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直线的方程(二)


直线的方程
(二)

一、复习回顾
直线名称 已知条件 点斜式 斜截式 直线方程
y ? kx ? b

使用范围
k 存在

缺陷 X=x1表示不出 X=0表示不出

P1 ( x 1 , y 1 ), k y ? y 1 ? k ( x ? x 1 )

r />
k, b

k 存在

应用直线方程的点斜式,求经过下列两点的直线方程: ⑴A(2,1),B(6,-3);⑵A(0,5) B(5,0);⑶A(-4,-5) B(0,0).

二、讲解新课
3. 直线方程的两点式
已知直线上两点
A( x 1 , y 1 ) , B( x 2 , y 2 ) ( x 1 ? x 2 ) 求直线方程.

推导:首先利用直线的斜率公式求出斜率,然后利用点斜式
写出直线方程为:
y ? y1 ? y 2 ? y1 x 2 ? x1 ( x ? x 1 ) ,( x 1 ? x 2 ) (1)

进而推出 y ? y1

y 2 ? y1

?

x ? x1 x 2 ? x1

,(y 1 ? y 2 ) ,( x 1 ? x 2 )

(2)

探究1:哪些直线不能用两点式表示? 0 倾斜角是 0 0 或 90 的直线不能用两点式公式表示 探究2:若要包含倾斜角为 0 0 或90 0 的直线,应把 两点式变成什么形式?

( y ? y 1 )( x 2 ? x 1 ) ? ( x ? x 1 )( y 2 ? y 1 )

探究3:我们推导两点式是通过点斜式推导出来的,还有没有其他 的途径来进行推导呢? 利用同一直线上三点中任意两点的斜率相等

例1、求分别过以下两点的直线直线方程 (1)A(0,-3) B(2,1) (2)A(0,5) B(6,0) (3)(a,0)B(0,b)
4.直线方程的截距式
新疆

王新敞
学案

定义:直线与x轴交于一点(a,0),定义为a直线在x轴上的截距;
新疆

王新敞
学案

直线与y轴交于一点(0,b ),定义b为直线在y轴上的截距.

过(a,0 ),(0,b)(a,b均不为0)的直线方程,由两点式得
y ? ? b a x ? b ?

x a

?

y b

?1

以上直线方程是由直线在x轴和y轴上的截距确定的,所以叫做 直线方程的截距式.

优点有截距式画直线比较方便,因为可以直接确定直线与x轴和
y轴的交点的坐标 探究4: a,b表示截距,是不是表示直线与坐标轴的两个交点 到原点的距离?
新疆

王新敞
学案

不是,它们可以是正,也可以是负,也可以为0. 探究5:有没有截距式不能表示的直线? 有,当截距为零时.故使用截距式表示直线时,应注意单独 考虑这几种情形,分类讨论,防止遗漏

三、讲解范例
例2 说出下列直线的方程,并画出图形. ⑴倾斜角为 45 0 y轴上的截距为0; ⑵在y轴上的截距为-5,在x轴上的截距为6 ⑶在x轴上截距是-3,与y轴平行 例3、直线 y ? ax ? b (a ? b ? 0) 的图象是( D )
y
y

y

y

-1

O

x

-1

O

x

O

O

x

1

x

A

B

C

D

例4、 过点P(2,1)作直线l交x,y正半轴于AB两点, 当 | PA | ? | PB |取到最小值时,求直线l的方程 解:设直线l的方程为: y ? 1 ? k ( x ? 2 ), ( k ? 0 ) 令y=0解得
x ? 2? 1
K一定存 在吗?



令x=0,解得

y ? 1 ? 2k

k 1 ? A(1 ? , 0 ) , B(0,1 ? 2 K ) k
?| P A | ? | P B |? ? (1 ? 1 k
2

)(4 ? k ) ?

2

8 ? 4( k

2

?

1 k
2

)

8 ? 4 ? 2 ? 4

当且仅当

k

2

?即 1

| k ? ? 1 | PA | ? | PB 取到最小值.

又 ? k ? 0 ? k ? ?1

所以直线l的方程为:x ? y ? 3 ? 0

四、课堂练习: 五、小结 :
通过列表从名称、形式、已知条件、使用范围、示意图等 方面对所学的直线方程的四种形式 (点斜式、斜截式、两点式、截距式)进行填表比较:


直线名称 点斜式

已知条件

直线方程

使用范围

缺陷

P1 ( x 1 , y 1 ), k

y ? y 1 ? k ( x ? x1 )
y ? kx ? b
y ? y1 y 2 ? y1 ? x ? x1 x 2 ? x1

k 存在
k 存在
x1 ? x 2 , y1 ? y 2

斜截式

k, b
( x1 , y 1 )

两点式

(x 2 ,y 2 )

截距式

a,b

x a

?

y b

?1

a ? 0, b ? 0

六、作业
1、p44. 5,7题 2、启东作业:四


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