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山西省山大附中2013-2014学年高二数学12月月考试题


山西大学附中 2013——2014 上学期高二 12 月月考数学试题
考试时间:120 分钟 满分:100 分 一、选择题(本大题共有 12 小题,每小题 3 分,共 36 分) 1.垂直于同一条直线的两条直线一定 A.平行 B.相交 C.异面 D.以上都有可能 2.在空间四边形 ABCD 各边 AB 、 BC 、 CD 、 DA 上分别取 E 、 F 、 G 、 H

四点,如 果 EF 、 GH 相交于点 P ,那么 A B. 点 P 必在直线 BD 上 点 P 必在直线 AC 上 . C D. 点 P 必在平面 ABC 外 点 P 必在平面 DBC 内 . 3.对于任意的直线 l 与平面 ? ,在平面 ? 内必有直线 m ,使 m 与 l A.平行 B.相交 C.垂直 D.互为异面直线 4.几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观图可以是

5.如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为 45°,腰和上底均为 1 的等腰梯 形,那么原平面图形的面积是 A. 2 ? 2 C. B.

1? 2 2

2? 2 D. 1 ? 2 2 6. 已知 m, n 为两条不同的直线, ? , ? 为两个不同的平面,给出下列 4 个命题: ①若 m ? ? , n / /? , 则m / / n ②若 m ? ? , n / /? , 则m ? n ③若 m ? ? , m ? ? , 则? / / ? ④若 m / /? , n / /? , 则m / / n
其中真命题的序号为 A.①② B.②③ C.③④ D.①④ 7. 棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,点 M , N 分别在线段 AB1 , BC1 上,且 AM ? BN , 给出以下结论: ① AA1 ? MN ②异面直线 AB1 , BC1 所成的角为 60° ③四面体 B1 D1CA 的体积为

1 3

? AB1 , AC ? BC1 其中正确的结论的个数为 ④ AC 1 1
A.1 B.2 C.3 D.4 8.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,这个圆柱的全面积与侧面积的比是

1 ? 4? 1 ? 2? C. 4? ? 9.对两条不相交的空间直线 a 与 b , 必存在平面 ? , 使得 A. B. a ? ? , b / /? C. a ? ?,b ? ? D. a ? ? , b ? ? a ? ?,b ? ? 10.如图,正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E , F 分别为棱
A. B.

1 ? 2? 2?

D.

1 ? 4? 2?

1

第 10 题

AB, CC1 的中点,在平面 ADD1 A1 内且与平面 D1 EF 平行的直线
A.不存在 B.有 1 条 C.有 2 条 D.有无数条 11.一个正三棱锥(底面为正三角形,顶点在底面上的射影为底面的中心)的四个顶点都在 半径为 1 的球面上, 其中底面的三个顶点在过该球球心的一个截面上, 则该正三棱锥的体积 是

3 3 3 3 C. D. 4 3 4 ? ? 12 . 三棱 柱 ABC ? A1 B1C1 中 , AA1 与 AC 、 AB 所 成 角 均为 60 , ?BAC ? 90 , 且
A. B.

3 12

AB ? AC ? AA 1 ?1 ,则 A 1 B 与 AC1 所成角的余弦值为
A.1 B.

2 2

C.

3 3

D.

3 2

二.填空题(本大题共有 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 13.下列几个命题中, ① 有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱; ② 有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体叫棱锥; ③ 有两个面互相平行,其余各面都是等腰梯形的多面体是棱台; ④ 以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转所得的旋转体是圆锥; ⑤ 以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转所得的旋转体是圆台; 其中正确命题的序号是 14.下列各图是正方体或三棱锥, P, Q, R, S 分别是所在棱的中点,这四个点不共面的图象 是 (填写序号)
S P
P S

P
R

S

P

S

R

R

Q

Q
Q

R

Q

① ② ③ ④ 15. 如图,已知正三棱柱 ABC-A1 B1C1 的底面边长为 2cm ,高为 5cm ,则一质点自点 A 出发,沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点 A1 的最短路线的长为________ cm .

16 题

16.如图,正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的是 ①当 0 ? CQ ? (写出所有正确命题的编号).

的棱长为 1,P 为 BC 的中点,Q

为线段 CC1 上的动点,过点 A, P, Q 的平面截该正方体所得的截面记为 S ,则下列命题正确

1 时, S 为等腰梯形 2 3 1 ③当 CQ ? 时, S 与 C1 D1 的交点 R 满足 C1 R ? 4 3 6 3 ④当 ? CQ ? 1 时, S 为六边形 ⑤当 CQ ? 1 时, S 的面积为 2 4

1 时, S 为四边形 2

②当 CQ ?

山西大学附中
2

2013——2014 上学期高二 12 月月考 数学试题答题纸 考试时间:120 分钟 满分:100 分 一、选择题(本大题共有 12 小题,每小题 3 分,共 36 分) 题号 答案 二、填空题(本大题共有 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 13. 15. ;14. ;16. ; . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

三、解答题(本大题共有 5 小题,共 48 分) 17. (本小题满分 6 分)如下图,是一个几何体的三视图,若它的体积是 3 3 ,求 a 的值, 并求此几何体的表面积。 1 1

a

3

正视图 2

侧视图

俯视图

18.(本小题满分 10 分)如图, 在直三棱柱 ABC ? A1B1C1

3

中, AC ? 3, BC ? 4, AB ? 5 , AA1 ? 4 , (I)求证: AC ? BC1 ; (II)求异面直线 AC1 与 B1C 所成角的余弦值.

19. (本小题满分 10 分) 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 是正方形, 侧棱 PD ⊥ 底面 ABCD , PD ? DC , E 是 PC 的中点,作 EF ? PB 交 PB 于点 F . (Ⅰ)证明 PA // 平面 EDB ; P (Ⅱ)证明 PB ? 平面 DEF .

F D

E

C

A

B

20.(本小题满分 10 分)在三棱拄 ABC ? A 1B1C1 中, AB ? 侧面 BB1C1C ,已知 BC ? 1 ,

4

?BCC1 ?

?
3

, AB ? C1C ? 2 .

(Ⅰ)求证: C1B ? 平面 ABC ; (Ⅱ)试在棱 C1C (不包含端点 C , C1 )上确定一点 E 的位置,使得 EA ? EB1 A A1

B C E C1

B1

21. (本小题满分 12 分)在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, 棱长为 1, E , F 分别为棱 BB1 和 DD1

5

的中点. (1)求证:平面 B1 FC1 / / 平面 ADE ; (2)求四面体 A1 ? FEA 的体积. (3)若 G 是 C1 D1 上靠近 C1 的四等分点,动点 H 在底面 ABCD 内,且 AH ? 点 H 的轨迹,并探求 GH 长度的最小值.

1 ,请说明 2

6


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