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相似三角形


中小学 1 对 1 课外辅导专家

新龙文教育学科教学案
教师: 徐老师 学生: 课 题
相似三角形 基础掌握还行,但应对难题很困难,需扩展 掌握相似三角形的判定和性质

日期 2014.10.12 星期:日时段: 10:00-12:00
本学期第 6 次课

学情分析 学习目标与 考点分析

学习重点 难 点 学习方法

相似三角形的判定和比例的转化
讲授法,练习法 教学过程

知识点回顾 (一)比例的性质
a c ? ? ad ? bc b d 此性质非常重要,要求掌握把比例式化成等积式、把等积式转化成比例的方法. a c a?b c?d a c a?b c?d ? 或 ? ? ? 2.合、分比性质: ? ? b d b d b d b d 注意:此性质是分子加(减)分母比分母,不变的是分母.

1.比例的基本性质:

a ? c ? e ? ??? ? m a a c e m ? . 3.等比性质:若 ? ? ? ? ? ? ? (b ? d ? f ? ? ? ? ? n ? 0) 则 b ? d ? f ? ??? ? n b b d f n
a b ? 即b 2 ? a ? c, 则b是a, c 的比例中项. b c (二)平行线分线段成比例定理

4.比例中项:若

1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比 2.推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例. 3.推论的逆定理:如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例. 那么这条直线平行于三角形的第三边. 此定理给出了一种证明两直线平行方法,即:利用比例式证平行线. 4.定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边 与原三角形 ...... .... 三边 对应成比例. ..

1

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(三)相似三角形 1、相似三角形的判定 ①两角对应相等的两个三角形相似(此定理用的最多); ②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似; ③三边对应成比例的两个三角形相似; 2、直角三角形斜边的高分直角三角形所成的两个直角三角形与原直角三角形相似. 3、相似三角形的性质 ①相似三角形对应角相等、对应边成比例. ②相似三角形对应高、对应角平分线、对应中线、周长的比都等于相似比(对应边的比) 例题讲解
例 1. 如图,已知 DE∥BC,EF∥AB,则下列比例式错误的是:____________

AD AE ? AB AC DE AD C. ? BC BD A.

B.

CE EA ? CF FB EF CF D. ? AB CB

练习

判断题:
a c a c ? (a ? b ? 0, c ? d ? 0), 则 ? .( b d a?b c?d a c a?b c?d ? 2.已知 ? (a ? b, c ? d ), 则 .( ) b d a ?b c?d

1.已知

)

3.若 a ? 1, b ?

5 ?1 3? 5 ,c ? , 则b是a, c 的比例中项. ( 2 2
DE EF ? ( BC AB

)

4.如图:DE∥BC,EF∥AB,则

) D

A E C
AC 2 AD ? .( BC 2 BD
2

B

F

5.在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,CD⊥AB 于 D,则

)

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中小学 1 对 1 课外辅导专家 例2

如图:AH 是 Rt△ABC 的斜边 BC 上的高, D 以 AB 和 AC 做等边三角形 ABD 和 等边△ACE,连结 DH,EH 求证: △AEH∽△BDH B

A

E

H

C

练习 如图:四边形 ABEG、GEFH、HFCD 都是边长为 a 的正方形,

(1)求证:△AEF∽△CEA (2)求证:∠AFB+∠ACB=45°

3

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中小学 1 对 1 课外辅导专家 例3

如图:E 是梯形 ABCD 上底 DC 中点, BE 交 AC 于 F 交 AD 的延长线于 G 求证:EF·GB=BF·GE

G D E F C

A

B

练习

已知:在△ACB 中,∠ACB 是 Rt∠,M 是 AB 中点,MD⊥AB 交 AC 于 E,BC 的延长线于 D 求证:AB2=4ME·MD B

A M E C D

4

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中小学 1 对 1 课外辅导专家 例 4 如图 ,梯形 ABCD 中, AB ∥ CD ,点 F 在 BC 上,连 DF 与 AB 的延长线交于点 G . ( 1 )求证:

△CDF ∽△BGF ; (2) 当点 F 是 BC 的中点时, 过 F 作 EF ∥ CD 交 AD 于点 E , 若 AB ? 6cm,EF ? 4cm ,
D E A 求 CD 的长. C F B G

练习 如图,已知 ?ABC ,延长 BC 到 D,使 CD=BC 取 AB 的中点 F,连接 FD 交 AC 于点 E。 (1)求

AE 的值; (2)若 AB= a ,FB=EC,求 AC 的长。 AC

A F E C D

B

5

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中小学 1 对 1 课外辅导专家 巩固练习 1、已知: ?ABC 与 ?DFE 相似且面积比为 4:25,则 ?ABC 与 ?DFE 的相似比为 2、如图所示,给出下列条件:① ?B ? ?ACD ;② ?ADC ? ?ACB ;③ ④ AC ? AD AB
2



AC AB ? ; CD BC

其中单独能够判定 △ ABC ∽△ ACD 的个数为( A.1 B.2 C.3 D.4



3、如图,已知 AB ∥ CD ∥ EF ,那么下列结论正确的是( A.

) D.

AD BC ? DF CE

B.

BC DF ? CE AD

C.

CD BC ? EF BE

CD AD ? EF AF

4、已知△ABC∽△DEF,且 AB:DE=1:2,则△ABC 的面积与△DEF 的面积之比为 (A)1:2 (B)1:4 (C)2:1 (D)4:1 )

5、若△ABC∽△DEF, △ABC 与△DEF 的相似比为1∶2,则△ABC 与△DEF 的周长比为( A.1∶4 B.1∶2 C.2∶1 D.1∶ 2

6、如果一个直角三角形的两条边长分别是 6 和 8,另一个与它相似的直角三角形边长分别是 3 和 4 及 x,那么

x 的值(
A.只有 1 个

) B.可以有 2 个 C.有 2 个以上但有限 D.有无数个

6

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7、如图,菱形 ABCD 中,对角线 AC、BD 相交于点 O,M、N 分别是边 AB、AD 的中点,连接 OM、ON、MN,则下 列叙述正确的是( )

A.△AOM 和△AON 都是等边三角形 B.四边形 MBON 和四边形 MODN 都是菱形 C.四边形 AMON 与四边形 ABCD 是位似图形 D.四边形 MBCO 和四边形 NDCO 都是等腰梯形 A M B O C N D

8、如图,小正方形的边长均为 1,则下列图中的三角形(阴影部分)与 △ ABC 相似的是(



A. 9、如图,梯形 ABCD 中, AD ∥ BC, 点 E 在 BC 上, AE ? BE, 点 F 是 CD 的中点,且

AF ? AB, 若 AD ? 2.7,AF ? 4,AB ? 6, 则 CE 的长为
A. 2 2 B. 2 3 ? 1 C. 2.5 D. 2.3

A

D F

B

E

C

10、如图,在 △ ABC 中, AB ? AC, 点 E、F 分别在 AB 和 AC 上,CE 与 BF 相交于点 D, 若 AE ? CF,D 为 BF 的中点, AE ? AF 的值为___________.
7 淮安新龙文教育

中小学 1 对 1 课外辅导专家 11、 在 ?ABC 中, D、 E 分别是 AB、 AC 的中点连结 DE、 BE、 CD, 且 BE 与 CD 交于点 O, 若 ?DEO 的面积 S ?DEO =1, 则 ?ABC 的面积 S ?ABC = 。

12、如图,在 ?ABC ,点 D、E 分别在 AB、AC 上,连结 DE 并延长交 BC 的延长线于点 F,连结 DC、BE,若

?BDE ? ?BCE ? 1800 。 ( 1 ) 请 写 出 图 中 的 两 对 相 似 三 角 形 ;( 不 另 外 添 加 字 母 和 线 ) 。 (2)任选其
A

A F E O
F

D

E C

中一对进行证明。 B

B

C

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中小学 1 对 1 课外辅导专家 13、小曼和他的同学组成了“爱琢磨”学习小组,有一次,他们碰到这样一道题: “已知正方形 ABCD,点 E、F、 G、H 分别在边 AB、BC、CD、DA 上,若 EG ? FH ,则 EG=FH。 ”为了解决这个问题,经过思考,大家给出了以 下两个方案: 方案一:过点 A 作 AM//HF 交 BC 于点 M,过点 B 作 BN//EG 交 CD 于点 N; 方案二:过点 A 作 AM//HF 交 BC 于点 M,过点 A 作 AN//EG 交 CD 于点 N 。 ?? (1)对小曼遇到的问题,请在甲、乙两个方案中任选一个加以证明(如图(1) ) ; (2)如果把条件中的“正方形”改为“长方形” ,并设 AB=2,BC=3(如图(2) ) ,是探究 EG、FH 之间有怎样的 数量关系,并证明你的结论;
0 (3)如果把条件中的“ EG ? FH ”改为“EG 与 FH 的夹角为 45 ” ,并假设正方形 ABCD 的边长为 1,FH 的长



5 (如图(3) ) ,试求 EG 的长度。 2

A

H

D G

A

H

D G

A E B

H

D

E B 图(1) F C

E B F 图(2) C F 图(3)

G C

教导主任签字: ___________

新龙文教育教务处
9 淮安新龙文教育

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新龙文教育一对一上课情况反馈表
上课学生 上课老师

上课时间 徐老师 上课内容

2014.10.12

相似三角形

教师评定: 1、 学生上次作业评价: ○非常好 ○好 ○ 一般 ○ 一般 ○ 需要优化 ○ 需要优化

2、 学生本次上课情况评价:○非常 好 ○好

教师签字: 学生对于本次课的评价: ○ 特别满意 ○ 满意 ○ 一般 ○ 差 学生签字:
家长对于本次课的评价:

○ 特别满意

○ 满意

○ 一般

○ 差

家长的建议与意见:

家长签字: 2014 年 请家长填写好后,务必交学生带回给上课教师。 月 日

新龙文教育教务处

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