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北京市朝阳区2016届高三第二次(5月)综合练习数学文试题


北京市朝阳区高三年级第二次综合练习

数学试卷(文史类)

2016.5

(考试时间 120 分钟 满分 150 分) 本试卷分为选择题(共 40 分)和非选择题(共 110 分)两部分

第一部分(选择题 共 40 分)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每

小题给出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项. 1. 已知集合错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,则错误!未找到引用源。 A.错误!未找到引用源。 D.错误!未找到引用源。 2. 复数 z ? B.错误!未找到引用源。 C. 错误!未找到引用源。

1+ i 错误!未找到引用源。( i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于 i
B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

A.第一象限

3.设 x ? R ,且 x ? 0 ,“ ( ) ? 1 ” 是“
x

1 2

1 ? 1 ”的 x

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4. 已知 m,n, l 为三条不同的直线,α,β,γ 为三个不同的平面,则下列命题中正确的是 A.若 m⊥ l ,n⊥ l , 则 m∥n C.若 m⊥α,n⊥α,则 m∥n

B.若 m∥α,n∥α,则 m∥n D.若 α⊥γ,β⊥γ,则 α∥β

5. 同时具有性质:“①最小正周期是 ? ;②图象关于直线 x ? 函数”的一个函数可以是 A. y ? cos ? 2 x ?

? ? 5? ? 对称;③在区间 ? , ? ? 上是单调递增 3 ?6 ?

? ?

?? ? 3? ?? ? ? 6 ?

B. y ? sin ? 2 x ?

? ?

?? ? 6?

C. y ? sin ? 2 x ?

? ?

D. y ? sin ?

? x ?? ? ? ?2 6?

6. 已知某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的最长棱的长是 A. 6 B. 5 C. D. 1 1 正视图 1 1 侧视图

2

2
俯视图

7.设函数 f ( x) ? ?

x ? 2, ? x ? 1, (a ? 0 且 a ? 1) 的最大值为1 ,则实数 a 的取值范围是 ? 2 ? log a x, x ? 2
B. (0,1 ) C. (0, ]

A. [ , 1)

1 2

1 2

D. ( 1, ??)

8.在边长为 1 的正方形 ABCD 中,已知 M 为线段 AD 的中点, P 为线段 AD 上的一点,若线段 BP =CD +PD ,则 A. ?MBA ? C.

3 ?PBC 4 1 ?M B A? ? P B C 2

2 ?PBC 3 1 D. ?MBA ? ?PBC 3
B. ?MBA ?

第二部分(非选择题 共 110 分)
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题卡上. 9.执行如图所示的程序框图,输出的 S = .

开始

k ? 2, S ? 1
k ? k ?1

k ? 5?
否 输出 S 的值



S ? S ?k

结束

10. 已知向量 a ? (1, 2) 错误!未找到引用源。 ,向量 b ? (2, m) 错误!未找到引用源。 ,若 a ? b 错误! 未找到引用源。与 a 错误!未找到引用源。垂直,则实数 m 的值为错误!未找到引用源。
2 2



11.已知过点 M (1,1) 的直线 l 与圆 ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 5 相切,且与直线 ax ? y ? 1 ? 0 垂直,则实数

a?

;直线 l 的方程为 . ;若双曲线

2 12. 在 平 面 直 角 坐 标 系 x O y 中 , 抛 物 线 y ? 8x 的 准 线 l 的 方 程 是

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的两条渐近线与直线 l 交于 M , N 两点,且 ?MON 的面积为 8 ,则此 a 2 b2
双曲线的离心率为 .

? x ? 0, ? y ? x, ? 13. 已知关于 x , y 的不等式组 ? 所表示的平面区域 D 为三角形,则实数 k 的取值 x ? y ? 2, ? ? ?2 x ? y ? k
范围是 . 14. 为了响应政府推进“菜篮子”工程建设的号召, 某经销商投资 60 万元建了一个蔬菜生产基地.第一 年支出各种费用 8 万元,以后每年支出的费用比上一年多 2 万元.每年销售蔬菜的收入为 26 万元.设

f (n) 表示前 n 年的纯利润( f (n) =前 n 年的总收入-前 n 年的总费用支出-投资额) ,则 f (n) ?
(用 n 表示) ;从第 年开始盈利.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15. (本小题满分 13 分) 在 ?ABC 中,角 A , B , C 的对边分别是 a, b, c ,已知 cos 2 A ? ?

1 , 3

c ? 3,sin A ? 6 sin C .
(Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ) 若角 A 为锐角,求 b 的值及 ?ABC 的面积.

16. (本小题满分 13 分) 某城市要建宜居的新城,准备引进优秀企业进行城市建设. 这个城市的甲区、乙区分别 对 6 个 企业进行评估,综合得分情况如茎叶图所示. (Ⅰ)根据茎叶图,分别求甲、乙两区引进企业得分的平均值; 甲区企业 乙区企业 (Ⅱ)规定 85 分以上(含 85 分)为优秀企业. 5 3 9 5 6 若从甲、乙两个区准备引进的优秀企业中 9 8 4 8 3 4 6 各随机选取 1 个,求这两个 9 7 8 企业得分的差的绝对值不超过 5 分的概率. 17. (本小题满分 13 分) 已知等差数列 {an } 的首项 a1 和公差 d ( d ? 0) 均为整数,其前 n 项和为 Sn . (Ⅰ)若 a1 ? 1 ,且 a2 , a4 , a9 成等比数列,求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若对任意 n ? N ,且 n ? 6 时,都有 Sn ? S6 ,求 a1 的最小值.
?

18. (本小题满分 14 分) 在四棱锥 A ? BCDE 中,底面 BCDE 为菱形,侧面 ABE 为等边三角形,且侧面 ABE ? 底面

BCDE , O, F 分别为 BE, DE 的中点.
(Ⅰ)求证: AO ? CD ; (Ⅱ)求证:平面 AOF ? 平面 ACE ; (Ⅲ)侧棱 AC 上是否存在点 P ,使得 BP // 平面 AOF ?

A

E O C

F

D

AP 若存在,求出 的值;若不存在,请说明理由. B PC

19. (本小题满分 13 分)

已知函数 f ( x) ? ax ?

1 ? (a ? 1) ln x, a ? R . x

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调区间;

(Ⅱ)当 a ? 1 时,若 f ( x) ? 1 在区间 [ , e] 上恒成立,求 a 的取值范围.

1 e

20. (本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xOy 中, P( x0 , y0 )( y0 ? 0) 是椭圆 C : 过点 P 的直线 l 的方程为

x2 y2 ? ? 1 (? ? 0) 上的点, 2? 2 ? 2

x0 x y0 y ? ? 1. 2? 2 ? 2

(Ⅰ)求椭圆 C 的离心率; (Ⅱ)当 ? ? 1 时,设直线 l 与 x 轴、 y 轴分别相交于 A, B 两点,求 ?OAB 面积的最小值;

l (Ⅲ)设椭圆 C 的左、右焦点分别为 F 1 , F2 ,点 Q 与点 F 1 关于直线 对称,求证:
点 Q, P, F2 三点共线.

北京市朝阳区高三年级第二次综合练习

数学答案(文史类)
一、选择题:(满分 40 分) 题号 答案 1 D 2 D 3 A 4 C 5 B 6 A

2016.5

7 A

8 C

二、填空题:(满分 30 分) 题号 9 10 11 12 13 14

答案

10

7 ? 2

1 , 2

2x ? y ?1 ? 0

x ? ?2 , 5

(??, ?2] ? [0,1)

?n2 ? 19n ? 60 ,
5

(注:两空的填空,第一空 3 分,第二空 2 分) 三、解答题:(满分 80 分) 15. (本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ) 在 ?ABC 中,因为 cos 2 A ? 1 ? 2sin A ? ? ,
2

1 3

所以 sin A ?

6 . 3
a c ? ,解得 a ? 3 2 . sin A sin C
…………………6 分

因为 c ? 3,sin A ? 6 sin C ,由正弦定理

(Ⅱ) 由 sin A ?

3 6 ? . , 0 ? A ? 得 cos A ? 3 3 2

由余弦定理 a 2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ,得 b2 ? 2b ? 15 ? 0 . 解得 b ? 5 或 b ? ?3 (舍).

1 5 2 . S?ABC ? bc sin A ? 2 2
16. (本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ) x甲 =

…………………13 分

79+84+88+89+93+95 =88 , 6
…………………4 分

x乙 =

7 8 + 8 3 + 8 4 + 8 6 + 9 5 +. 9 6 =87 6

(Ⅱ)甲区优秀企业得分为 88,89,93,95 共 4 个,乙区优秀企业得分为 86,95,96 共 3 个.从两个区各选 一个优秀企业,所有基本事件为(88,86),(88,95),(88,96),(89,86),(89,95), (89,96),(93,86),(93,95),(93,96)(95,86)(95,95)(95,96)共 12 个. 其中得分的绝对值的差不超过 5 分有(88,86), (89,86), (93,95), (93,96), (95,95), (95,96)共 6 个. 则这两个企业得分差的绝对值不超过 5 分的概率 p ?

6 1 ? .………13 分 12 2

17. (本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ)因为 a2 , a4 , a9 成等比数列,所以 a4 ? a2 ? a9 . 将 a1 ? 1 代入得 (1 ? 3d ) 2 ? (1 ? d ) ? (1 ? 8d ) , 解得 d ? 0 或 d ? 3 . 因为数列 {an } 为公差不为零的等差数列,所以 d ? 3 . 数列 {an } 的通项公式 an ? 1 ? (n ?1) ? 3 ? 3n ? 2 .……………………………6 分 (Ⅱ)因为对任意 n ? N , n ? 6 时,都有 Sn ? S6 ,
?

2

所以 S6 最大,则 d ? 0 , ? 所以 ?

? S6 ? S7 , ? S 6 ? S5 .

?a7 ? 0, ?a1 ? 6d ? 0, 则? ?a6 ? 0. ?a1 ? 5d ? 0.

因此 ?5d ? a1 ? ?6d . 又 a1 , d ? Z , d ? 0 , 故当 d ? ?1 时, 5 ? a1 ? 6 , 此时 a1 不满足题意. 当 d ? ?2 时, 10 ? a1 ? 12 , 则 a1 ? 11 , 当 d ? ?3 时, 15 ? a1 ? 18 , a1 ? 16,17 , 易知 d ? ?3 时, a1 ? 16 , 则 a1 的最小值为 11 . 18. (本小题满分 14 分) 解:(Ⅰ)因为 ?ABE 为等边三角形, ………………………………………………………13 分

O 为 BE 的中点,
所以 AO ? BE . 又因为平面 ABE ? 平面 BCDE , 平面 ABE ? 平面 BCDE ? BE ,

AO ? 平面 ABE ,
所以 AO ? 平面 BCDE . 又因为 CD ? 平面 BCDE , 所以 AO ? CD .……………………………………………………………4 分 (Ⅱ)连结 BD ,因为四边形 BCDE 为菱形, 所以 CE ? BD . 因为 O, F 分别为 BE, DE 的中点, 所以 OF // BD ,所以 CE ? OF . 由(Ⅰ)可知, AO ? 平面 BCDE . 因为 CE ? 平面 BCDE ,所以 AO ? CE . 因为 AO ? OF ? O ,所以 CE ? 平面 AOF . 又因为 CE ? 平面 ACE , 所以平面 AOF ? 平面 ACE .…………………………………………………9 分 (Ⅲ)当点 P 为 AC 上的三等分点(靠近 A 点)时, BP // 平面 AOF . 证明如下: 设 CE 与 BD, OF 的交点分别为 M , N ,连结 AN , PM . 因为四边形 BCDE 为菱形, O, F 分别为 BE, DE 的中点, P E O B N M C F D A

NM 1 ? . 所以 MC 2
设 P 为 AC 上靠近 A 点的三等分点, 则

AP NM 1 ? ? ,所以 PM // AN . PC MC 2

因为 AN ? 平面 AOF , PM ? 平面 AOF ,所以 PM // 平面 AOF . 由于 BD // OF , OF ? 平面 AOF , BD ? 平面 AOF , 所以 BD // 平面 AOF ,即 BM // 平面 AOF . 因为 BM ? PM ? M , 所以平面 BMP // 平面 AOF . 因为 BP ? 平面 BMP ,所以 BP // 平面 AOF . 可见侧棱 AC 上存在点 P ,使得 BP // 平面 AOF ,且

AP 1 ? . PC 2

…………………………………………………………………………14 分

19. (本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ) 函数 f ( x ) 的定义域为 x x ? 0 , f ?( x)= (1) 当 a ? 0 时, ax ? 1 ? ? , 令 f ?( x) ? 0 ,解得 0 ? x ? 1 ,则函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (0, 1)

?

?

ax 2 ? (a ? 1) x ? 1 (ax ? 1)( x ? 1) ? . x2 x2

(1, +? ) 令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? 1 ,函数 f ( x ) 单调递减区间为 . (1, +? ) 1) ,单调递减区间为 所以函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (0, .
(2) 当 0 ? a ? 1 时,

1 ? 1, a
1 ,则函数 f ( x ) 的单调递增区间为 a

令 f ?( x) ? 0 ,解得 0 ? x ? 1 或 x ?

(0, 1) ;
1 1 (1, ) . ,函数 f ( x ) 单调递减区间为 a a 1 1 ( , +?) ,单调递减区间为 (1, ) . 1) , 所以函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (0, a a
令 f ?( x) ? 0 ,解得 1 ? x ? (3) 当 a ? 1 时, f ?( x)=

( x ? 1)2 ? 0 恒成立, x2

(0, +?) . 所以函数 f ( x ) 的单调递增区间为
(4) 当 a ? 1 时, 0 ?

1 ? 1, a

令 f ?( x) ? 0 ,解得 0 ? x ?

1 或 x ? 1 ,则函数 f ( x ) 的单调递增区间为 a

1 (0, ) , ( 1, +?) ; a 1 1 1) . ? x ? 1 ,则函数 f ( x) 的单调递减区间为 ( , a a 1 1 (0, ) , 1) . ( 1, +?) ,单调递减区间为 ( , 所以函数 f ( x ) 的单调递增区间为 a a
令 f ?( x) ? 0 ,解得 …………………………………………………………………………………7 分 (Ⅱ)依题意,在区间 [ , e] 上 f ( x)min ? 1.

1 e

f ?( x) ?

ax 2 ? (a ? 1) x ? 1 (ax ? 1)( x ? 1) ? , a ?1. x2 x2

令 f ?( x) ? 0 得, x ? 1 或 x ?

1 . a

若 a ? e ,则由 f ?( x) ? 0 得, 1 ? x ? e ,函数 f ( x ) 在( 1, e )上单调递增. 由 f ?( x) ? 0 得,

1 1 ? x ? 1 ,函数 f ( x) 在( ,1 )上单调递减. e e

所以 f ( x)min ? f (1) ? a ?1 ? 1 ,满足条件; 若 1 ? a ? e ,则由 f ?( x) ? 0 得,

1 1 ? x ? 或1 ? x ? e ; e a

由 f ?( x) ? 0 得,

1 ? x ? 1. a
1 1 e a 1 a

函数 f ( x ) 在( 1, e ), ( , ) 上单调递增,在 ( ,1) 上单调递减.

1 f ( x) min ? min{ f ( ), f (1)} , e

? e2 ? 1 ? f ( ) ?1 ?a ? 依题意 ? e ,即 ? e ? 1 ,所以 2 ? a ? e ; ? ? ? f (1) ? 1 ? a?2
若 a ? 1 ,则 f ?( x) ? 0 . 所以 f ( x ) 在区间 [ , e] 上单调递增, f ( x) min ? f ( ) ? 1 ,不满足条件; 综上, a ? 2 . 20. (本小题满分 14 分) 解:(Ⅰ)依题 a ? ……………………………………………13 分

1 e

1 e

2? , c ? 2? 2 ? ? 2 ? ? ,

所以椭圆 C 离心率为 e ?

?
2?

?

2 .……………………………………………3 分 2
x0 x 2 2 ? y0 y ? 1 ,得 x ? ,则 A( , 0) . 2 x0 x0

(Ⅱ)依题意 x0 ? 0 ,令 y ? 0 ,由

令 x ? 0 ,由

x0 x 1 1 ? y0 y ? 1 ,得 y ? ,则 B(0, ) . 2 y0 y0

则 ?OAB 的面积 S?OAB ?

1 1 2 1 . OA OB ? ? 2 2 x0 y0 x0 y0
x2 x2 ? y 2 ? 1上,所以 0 ? y0 2 ? 1 . 2 2

因为 P( x0 , y0 ) 在椭圆 C :

xy 1 x0 2 2 所以 1 ? ,则 ? 2. ? y0 2 ? 2 0 0 ,即 x0 y0 ? 2 x0 y0 2 2
所以 S?OAB ?

1 1 OA OB ? ? 2. 2 x0 y0
x0 2 2 ? y0 2 , 即 x0 ? ?1, y0 ? ? 时 , ?O A B 面 积 的 最 小 值 为 2 2
……………………………………………………………8 分

当 且 仅 当

2.
(Ⅲ)由
2 y0

?2

? 1?

2 x0 ? 0 ,解得 ? 2? ? x0 ? 2? . 2? 2

①当 x0 ? 0 时, P(0, ? ) , Q(?? , 2? ) ,此时 kF2 P ? ?1 , kF2Q ? ?1. 因为 kF2Q ? kF2 P ,所以三点 Q, P, F2 共线. 当 P(0, ?? ) 时,也满足. ②当 x0 ? 0 时,设 Q(m, n) , m ? ?? , FQ 的中点为 M ,则 M ( 1 得:

m?? n , ) ,代入直线 l 的方程, 2 2

x0m ? 2 y0n ? x0? ? 4? 2 ? 0 .
设直线 FQ 的斜率为 k ,则 k ? 1 所以 2 y0m ? x0n ? 2 y0? ? 0 .
2 ? x0 m ? 2 y0 n ? x0? ? 4? 2 ? 0 2 x0 ? ? 4 x0? 2 4 x0 y0? ? 8 y0? 2 由? ,解得 m ? . ?? ,n ? 2 2 2 2 4 y0 ? x0 4 y0 ? x0 ? 2 y0 m ? x0 n ? 2 y0? ? 0 2 2 x0 ? ? 4 x0? 2 4 x0 y0? ? 8 y0? 2 ? ? , ). 2 2 2 2 4 y0 ? x0 4 y0 ? x0

2y n ? 0, m?? x0

所以 Q(

2 当点 P 的横坐标与点 F2 的横坐标相等时,把 x0 ? ? , y0 ?

?2
2

代入 m ?

2 2 x0 ? ? 4 x0? 2 ?? 中 2 2 4 y0 ? x0

得 m ? ? ,则 Q, P, F2 三点共线. 当点 P 的横坐标与点 F2 的横坐标不相等时, 直线 F2 P 的斜率为 kF2 P ?

y0 . x0 ? ?

由 ? 2? ? x0 ? 2? , x0 ? ?2? .

所以直线 F2Q 的斜率为 k F2Q

4 x0 y0? ? 8 y0? 2 2 2 4 y0 ? x0 4 x0 y0? ? 8 y0? 2 ? ? 2 2 2 x0 2? ? 4 x0? 2 2 x0 2? ? 4 x0? 2 ? 8 y0 ? ? 2 x0 ? ? 2 ? 2 2 4 y0 ? x0

4 x0 y0? ? 8 y0? 2 x0 y0 ? 2 y0? y ( x ? 2? ) ? ? ? 20 0 2 2 2 4 x0? ? 8 y0 ? x0? ? 2 y0 x0 ? ? x0 ? 2? 2
? y0 ( x0 ? 2? ) y0 . ? ( x0 ? ? )( x0 ? 2? ) x0 ? ?

因为 kF2Q ? kF2 P ,所以 Q, P, F2 三点共线. 综上所述 Q, P, F2 三点共线. ……………………………………………………………14 分


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