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数学必修2(人教A版)第3章-直线与方程-章末复习提升课


第三章 直线与方程 章末复习提升课 第三章 直线与方程 栏目 导引 第三章 直线与方程 直线的平行与垂直问题 1.两条直线 l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2 斜率都存在,l1∥l2 ?k1=k2,且 b1≠b2;l1⊥l2?k1·k2=-1;斜率不存在时单独考 虑,即 k1,k2 中有一个为零,另一个不存在,则两条直线垂直; 若 k1,k2 均不存在,则两直线平行或重合. 2.当两条直线给出一般式时,平行与垂直关系利用系数关系解 决.即 l1:A1x+B1y+C1=0;l2:A2x+B2y+C2=0.l1∥l2?A1B2 -A2B1=0,且 B1C2-B2C1≠0;l1⊥l2?A1A2+B1B2=0. 栏目 导引 第三章 直线与方程 已知两条直线 l1: ax-by+4=0 和 l2: (a-1)x+y+b=0, 求满足下列条件的 a、b 的值. (1)l1⊥l2,且 l1 过点(-3,-1); (2)l1∥l2,且坐标原点到这两条直线的距离相等. 栏目 导引 第三章 直线与方程 [解] (1)由已知可得 l2 的斜率必存在, 所以 k2=1-a. 若 k2=0,则 1-a=0,a=1. 因为 l1⊥l2,所以直线 l1 的斜率 k1 必不存在, 即 b=0. 又因为 l1 过(-3,-1),所以-3a+4=0, 4 即 a= (矛盾). 3 所以此种情况不存在,即 k2≠0. 栏目 导引 第三章 直线与方程 若 k2≠0,即 k1、k2 都存在, a 因为 k1= ,k2=1-a,l1⊥l2,所以 k1·k2=-1, b a 即 (1-a)=-1.① b 又因为 l1 过点(-3,-1),所以-3a+b+4=0.② 由①②联立,解得 a=2,b=2. 栏目 导引 第三章 直线与方程 (2)因为 l2 的斜率存在,l1∥l2, 所以直线 l1 的斜率存在. a 所以 k1=k2,即 =1-a.③ b 又因为坐标原点到这两条直线的距离相等,l1∥l2, 所以 l1、l2 在 y 轴上的截距互为相反数, 4 即 =-(-b).④ b ? ? ?a=2, ?a=3, 由③④联立解得? 或? ?b=-2 ? ? ?b=2. 2 所以 a、b 的值分别为 2、-2 或 、2. 3 栏目 导引 2 第三章 直线与方程 直线与坐标轴围成的直角三角形 直线与坐标轴围成的直角三角形常见的相关知识 (1)直角三角形的面积的最值及取最值时直线的方程. (2)直线在坐标轴上截得的距离和的最值及取最值时直线的方程. (3)直角三角形斜边的最小值及取最小值时直线的方程. 解决这些问题的基本步骤 ①根据问题的特点设出直线方程. ②将所求的目标用函数形式表示. ③根据问题的指向求解目标函数. ④问题回归作答. 栏目 导引 第三章 直线与方程 如图所示,已知直线 l 过点 P(3,2),且与 x 轴、y 轴的 正半轴分别交于 A、B 两点. (1)求△AOB 面积最小时 l 的方程; (2)求|OA|+|OB|取最小值时 l 的方程. 栏目 导引 第三章 直线与方程 [解] (1)设 A(a,0),B(0,b),显然 a>3,b>2, x y 则直线 l 的方程为 + =1, a b 2a 3 2 因为 P(3,2)在直线 l 上,所以 + =1,于是 b= , a b a- 3 a2 1 所以 S△AOB= ab= ,整理得 a2-S△AOB·a+3S△AOB=0.(*) 2 a


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