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四川省绵阳南山中学2009-2010学年高二下学期期中考试理科数学试题


2010 年 4 月 绵阳南山中学 2010 年春季高 2011 级半期考试 数学试题(理科)题卷 本试卷分为第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,共 4 页,全部解答都写在答题 卷(卡)上,交卷时只交答题卷和答题卡。100 分钟完卷,满分 100 分。 第 I 卷(选择题 共 48 分) 注意:1.做第 I 卷时,考生务必将自己的姓名﹑准考证号﹑考试科目用钢笔和

2B 或 3B 铅笔 写、涂在答题卡上; 2.每小题选出答案后,用 2B 或 3B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。若需改动,用 橡皮擦净后,再选涂其它答案,不准答在本题单上。

一﹑选择题(每小题 4 分,共 48 分,每小题只有一个是正确答案,选出后涂在答题卡上。 下列命题正确的是 A.过平面外一点作这个平面的垂直平面是唯一的 B.过直线外一点作这直线的垂线是唯一的 C.过直线外一点作这直线的平行平面是唯一的 D.过平面的一条斜线作这个平面的垂直平面是唯一的 2.已知三条不重合的直线 m, n, l ,两个不重合的平面 ? , ? ,有下列命题 ① m // n , n ? ? ? m // ? ; ② l ? ? , m ? ? , l // m ? ? // ? ; ( )

③ m ? ? , n ? ? , m // ? , n // ? ? ? // ? ; ④ ? ? ? , ? ? ? ? m , n ? ? ,

n ? m ?n ?? .
其 中 正 确 的 命 题 个 数 是

( A. 1

) B. 2 C. 3 D. 4

???? ? D1 A 、 3 . 在 平 行 六 面 体 ABCD - A1B1C1D1 中 , 向 量
( ) B.等长向量 C.共面向量

???? ? D1C 、 A1C1



A.有相同起点的向量

D.不共面向量

4. 空 间 中 ? A 的 两 边 与 ? B 的 两 边 分 别 垂 直 相 交 , 若 ?A ? 60? , 则 ? B = ( ) B.120° C.60°或 120° D.不确定

A.60°

5.直角三角形 ABC 的直角边 AB 在平面 ? 内, 顶点 C 在 ? 外, C 在 ? 内的射影为 C1 C1 且 ( 不 ( 在 ) B.锐角三角形 D.以上都有可能

AB









?ABC1



A.直角三角形 C.钝角三角形

6.如图, OABC 是四面体, G 是△ABC 的重心, G1 是 OG 上一点,且 OG ? 3OG1 ,则 ( ) oO · G1

A. OG1 ? OA ? OB ? OC

1 1 1 OG 1 ? OA ? OB ? OC 9 9 9 B. 1 1 1 OG 1 ? OA ? OB ? OC 3 3 3 C. 3 3 3 OG 1 ? OA ? OB ? OC 4 4 4 D.
3 7.已知正三棱锥的侧棱与底面所成角的余弦值为 3 ,则其侧面与底面所成的二面角的
余 弦 值 为 A · G B

C





1 A. 3

1 B. 2

2 C. 2

2 3 D. 3

8.已知平面 ? 、 ? 、? 两两垂直,过它们的公共点 O 引射线 OP 与它们三条交线中的两条均 成 ( A.25°

60 ?






OP



















B.30°

C.45°

D.60°
0

9. ?ABC 的顶点 B 在平面 ? 内, A 、C 在 ? 的同一侧, AB 、BC 与 ? 所成的角分别是 30 和 ( A. 15 ?

450 , 若


A B 3 , B ?C 4 ?

2 , ? , 则 AC A C 5



?

所 成 的 角 为

B.

300

0 C. 45

0 D. 60

10.正三角形 ABC 的边长为 a , P 、Q 分别是 AB 、 AC 上的动点,且 PQ// BC ,沿 PQ 将

?ABC 折起,使平面 APQ ? 平面BPQC ,设折叠后 A 、 B 两点间的距离为 d ,则 d 的最
小值为 ( )

5 a A. 8

5 a B. 8

10 a C. 8

10 a D. 4

11.在平面直角坐标系中,设 A(3, 2), B(?2, ?3) ,现沿 角 ( ) 后 ,

y 轴把直角坐标平面折成 120 ? 的二面
的 长 为

AB

A.

2 11

B. 4 2

C. 2 3

D.

6

12.正方体 ABCD? A1 B1C1 D1 中,点 P 在侧面 BCC1 B1 及其边界上运动,并且总是保持

AP ? BD1 , 则动点 P 的轨迹是





A.线段 BC1 B. BB1 中点与 CC1 中点连成的线段 C.线段 B1C 第 II 卷(非选择题 共 52 分) 注意: 用钢笔或圆珠笔直接答在答题卷上,答卷前将答题卷密封线内的项目填写清楚 二、填空题(每小题 3 分,共 12 分) D. BC 中点与 B1C1 中点连成的线段

[来源:ZXXK]

? ?i, j, k?为单位正交基底,若向量 a ? 2i? ? ?j ? k?, b? ? 4i? ? 9 ?j ? k?, ,则这两个 13.空间中
向量的位置关系是___________。 (选填“平行”或“垂直” ) 14.直二面角 ? - l - ? 的棱 l 上有一点 A ,在平面 ? , ? 内各有一条射线 AB , AC 与 l 均成

450 ,则 ?BAC ?



15.已知正 ?ABC 的边长为 2cm,PA ? 平面 ABC ,A 为垂足, PA =2cm,那么 P 到 BC 的 且 距离为 。

16. 在 棱 长 为 1 的 正 方 体 是 。

ABCD ? A1B1C1D1 中 , 异 面 直 线 A1C

与 B1 D1 间 的 距 离

三、解答题(每小题 10 分,共 40 分)
1 17.如图,正三棱柱 ABC? A1 B1C1 的各条棱长均为 a , E 、F 、G 分别是 AC 、 AB 、 AA

的中点.

(1)请在图中作出过 BC 且平行于平面 EFG 的一个截面,并说明理由; (2)求所作截面图形的面积。

A E
[来源:ZXXK]

F C

B

G

A1 C1

BB BB 1

B1

18.如图, ?ABC 中, AB ? 6cm , AC ? 8cm , BC ? 10cm , P 是平面 ABC 外一点,且

PA ? PB ? PC ? 6cm 。
(1)求点 P 到平面 ABC 的距离; C (2)求 PA 与平面 ABC 所成角的大小。

P

B

[来源:ZXXK]

A

19.如图,平行四边形 ABCD 中, ?DAB ? 60 , AB ? 2, AD ? 4 将 ?CBD 沿 BD 折起到
?

?EBD 的位置,使平面 EDB ? 平面 ABD
(I)求证: AB ? DE ;
[来源:学*科*网]

(Ⅱ)求三棱锥 E ? ABD 的侧面积。

? 20.如图, 已知四棱锥 P ? ABCD , 底面 ABCD 为菱形,PA ? 平面 ABCD , ABC ? 60? ,
[来源:Zxxk.Com]

E 、 F 分别是 BC 、 PC 的中点。

[来源:学|科|网]

(1)证明: AE ? PD ;

6 (2)若 H 为 PD 上的动点, EH 与平面 PAD 所成最大角的正切值为 2 ,求锐二面角

E ? AF ? C 的余弦值;
(3)在(2)的条件下,设 AB ? 2 ,求点 D 到平面 AEF 的距离。

[来源:学_科_网]

[来源:Zxxk.Com]

绵阳南山中学 2010 年春季高 2011 级半期考试 数学试题(理科) 参考答案 选择题答案:1~5 DBCDA 6~10 BACBD 11~12 AC

填空题答案:13. 垂直 解答题 答案:

14.

60 ?

15.

7

16.

6 6

17.解: (1)如图,连接 A1 B , A1C ,则截面 A1 BC 即为所求??????????3 分 理由如下:
1 ∵ E 、 F 、 G 分别是 AC 、 AB 、 AA 的中点,

A E G A1 C1 C

F

B B

∴ GE // A1C , EF // BC 。 由 GE ? EF ? E , A1C ? BC ? C , ∴ 平面 EFG // 平面 A1CB 。 ???????????6 分 (2)∵ 此三棱柱是正三棱柱,且各棱长均为 a , ∴ A1C ?

B1
1

B

[来源:]

2a , A1 B ? 2a , BC ? a ,

∴ 截面图形△A1BC 是等腰三角形,

a 7 ( 2a) 2 ? ( ) 2 ? a 2 2 . 且底边 BC 上的高为
∴ ?A1 BC 的面积为

S ?A1BC ?

1 7 7 2 ?a? a? a 2 2 4 。

7 2 a 即截面图形的面积为 4 。??????????????????????10 分
18.(1)解:过 P 作 PO ? 平面 ABC 于 O 点, 则 PO 的长就是点 P 到平 面 ABC 的距离。????????????????1 分 由 AB ? 6 , AC ? 8 , BC ? 10 知 ?ABC 是 ?A ? 90? 的直角三角形????3 分 由 PA ? PB ? PC 知,点 O 是 ?ABC 的外心,即 BC 的中点????????5 分

在 Rt?POB 中, PO ?

PB2 ? BO2 ? 11

∴ P 到平面 ABC 的距离为 11 。????????????????????6 分 (2)解:连 AO ,则 ?PAO 就是 PA 与平面 ABC 所成的角??????????8 分

在 Rt?POA 中,

sin ?PAO ?

PO 11 ? PA 6 ?????????????????9 分
arcsin 11 6 。???????????????10 分
?

∴ PA 与平面 ABC 所成的角为

19.(I)证明:在 ?ABD 中,? AB ? 2, AD ? 4, ?DAB ? 60

? BD ? AB 2 ? AD 2 ? 2 AB ? 2 AD cos ?DAB ? 2 3 ? AB 2 ? BD 2 ? AD 2 ,? AB ? DE
又? 平面 EBD ? 平面 ABD 平面 EBD ? 平面 ABD ? BD, AB ? 平面 ABD ?????????2 分

? AB ? 平面 EBD ??????????????????????????4 分 ? DF ? 平面 EBD,? AB ? DE ????????????????????5 分
(Ⅱ)解:由(I)知 AB ? BD, CD // AB,?CD ? BD, 从而 DE ? D 在 Rt ?DBE 中,? DB ? 2 3, DE ? DC ? AB ? 2

? S?ABE ?

1 DB ? DE ? 2 3 2 ????????????????????????6 分
[来源:Z|xx|k.Com]

又? AB ? 平面 EBD, BE ? 平面 EBD,? AB ? BE

? BE ? BC ? AD ? 4 ? S ?ABE ? ,

1 AB ? BE ? 4 2 ?????????????8 分

? D E? B D , 平面 EBD ? 平面 ABD ? ED ? ,平面 ABD
而 AD ? 平面

ABD,? ED ? AD,? S ?ADE ?

1 AD ? DE ? 4 2

综上,三棱锥 E ? ABD 的侧面积, S ? 8 ? 2 3 ??????????10 分

20.解: (1)证明:由四边形 ABCD 为菱形, ?ABC ? 60 ,知 ?ABC 为正三角形
0

∵ E 为 BC 的中点 ∴ AE ? BC ,又 BC // AD ∴ AE ? AD ??????????1 分 ∵ PA ? 平面 ABCD , AE ? 平面 ABCD ∴ PA ? AE 而 PA ? 平面 PAD , AE ? 平面 ABCD ,且 PA ? AD ? A , ∴ AE ? 平面 PAD ,又 PD ? 平面 PAD ,∴ AE ? PD ??????????3 分 (2)设 AB ? 2 ,连结 AH , EH 由(1)知 AE ? 平面 PAD ,而 AH ? PD ,∴ EH ? PD , 则 ? EHA 为 EH 与平面 PAD 所成的角。?????????????????? 4 分 在 Rt ?EAH 中, AE ? 3 ,当 AH 最小时,即当 AH ? PD 时, ? EHA 最大,此时

[来源:ZXXK]

tan ?EHA ?
又 AD ? 2

AE 3 6 ? ? AH AH 2 因此 AH ? 2 ,

0 ∴ ?ADH ? 45 ∴ PA ? 2 ??????????????????? 5 分

方法一: PA ? 平面 ABCD , PA ? 平面 PAC , ∴平面 PAC ? 平面 ABCD 过 E 作 EO ? AC 于 O , EO ? 平面 PAC , O 作 OS ? AF 于 S , 则 过 连结 ES , ?ESO 则 为二面角 E ? AF ? C 的平面角。???????????????????? 6 分

在 Rt ?AOE 中,

EO ? AE ? sin 300 ?

3 3 , AO ? AE ? cos300 ? 2 2 SO ? AO ? sin 450 ? 3 2 4 ,

又 F 为的中点,∴ ?SAO ? 45 在 Rt?SOA 中,
0

SE ? EO 2 ? SO 2 ?


3 9 30 ? ? 4 8 4

3 2 SO 15 cos ?ESO ? ? 4 ? SE 5 30 4 在 Rt?ESO 中,

15 即所求二面角的余弦值为 5 ???????????????????????7 分

方法二: 由(1)知两两垂直,以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则:

A ? 0, 0, 0 ? , B

? ?

3, ?1, 0 , C

? ?

3,1, 0 , D ? 0, 2, 0 ? , P ? 0, 0, 2 ? , E

?

?

? 3 1 ? 3, 0, 0 , F ? ? 2 , 2 ,1? ? ? ? ∴

?

??? ? AE ?

?

??? ? 3 1 ? ? 3, 0, 0 , AF ? ? ? 2 , 2 ,1? ? ? ? ?????????????????????7 分

设平面 AEF 的一个法向量为

?? m ? ? x1 , y1 , z1 ?



? 3 x1 ? 0 ?? ??? ? ? ? m ? AE ? 0 ? ? 3 1 ? ? ?? ??? x1 ? y1 ? z1 ? 0 ? ?m ? AF ? 0 ,因 此 ? 2 2 则?

?? z1 ? ?1,则 m ? ? 0, 2, ?1? ??????????????????????? 8 分 取
∵ BD ? AC, BD ? PA, PA ? AC ? A , BD ? 平面 AFC



??? ? BD ? ? 3,3, 0

?

? 为平面的法向量。????????????????????6 分



?? ??? ? ?? ??? ? m ? BD 2?3 15 cos m, BD ? ?? ??? ? ? ? 5 5 ? 12 m ? BD

15 二面角为锐角,所以所求二面角的余弦值为 5 ???????????????? 7 分
(3)方法一:由(2)得:在 Rt?PAC 中 , PA ? AC ? 2 ,∴ 在 Rt?PAB 中, PA ? PB ? 2, PB ? 2 2 ,∴ Rt?PBC 中, 又 AE ? 3 ,∴

AF ?

1 PC ? 2 2

EF ?

1 PB ? 2 2 ,

[来源:Z&xx&k.Com]

S ?AEF ?

15 4 ???????????????????????? 8 分

又 分

S ?AED ?

1 1 AD ? AE ? 3 h ? PA ? 1 2 2 ,点 F 到平面 AED 的距离 ,??????? 9

设点 D 到平面 AEF 的距离为 d ,



VF ? AED
d?

1 1 S AED ? h ? S AEF ? d ? VD? AEF ,∴ 3 3 ,

∴ 分

S AED ? h 3 ?1 4 5 ? ? S AEF 5 15 4 ????????????????????????10

方法二:由(2)解法 2 知,平面 AEF 的一个法向量为 分

?? m ? ? 0, 2, ?1?

????????8

又∵

???? AD ? ? 0, 2,0 ?

?? ???? m ? AD 4 4 5 d ? ?? ? ? m 5 ?????????????10 5 ∴点 D 到平面 AEF 的距离为
分 其余方法请酌情给分! !


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