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湖北省武汉中学等重点中学2013-2014学年高一下学期期中考试数学试题(扫描版含答案)


湖北省部分重点中学 2013—2014 学年度下学期高一期中考试

数学试卷参考答案
一.选择题 题号 答案 二.填空题 11. a6 ? 15 ;12.等边三角形 三.解答题
2

1 C

2 C

3 B

4 C

5 B

r />
6 D

7 A

8 C

9 B

10 A

; 13.18; 14.1; 15.①③⑤

16.(1) Q ax ? 3x ? 2 ? 0 的解集为 x x ? 1或x ? b

?

?

……………………………………3 分 ? a x2 ? 3 x? 2 ? 0 的两根为 1, b ,b ? 1, a ? 0 3 ? 1 ? b ? ? ? a ,…………………………………………………………………………4 分 ?? ?1 ? b ? 2 ? a ?

? a ? 1, b ? 2 ……………………………………………………………………………6 分
(2) Q a ? 1, b ? 2

?不等式为x2 ? (2 ? c) x ? 2c ? 0 即 ( x ? c)( x ? 2) ? 0

Qc ? 2

? 不等式的解集为 ? x 2 ? x ? c
17. 解 (1)因为 cos

? ………………………………………………12 分

A 2 5 ,角 A 是三角形内角 ? 2 5

? cos A ? 2 cos 2

A 3 4 ? 1 ? ,sin A ? ,…………………………………………2 分 2 5 5

又由 AB ? AC ? 3 得 bc cos A ? 3, ? bc ? 5 ,…………………………………………4 分

uu u r uuu r

1 ? S?ABC ? bc sin A ? 2 ………………………………………………………………6 分 2
(2)对于 bc ? 5 ,又 b ? c ? 6 ,? b ? 5, c ? 1 或 b ? 1, c ? 5 ,由余弦定理得

a 2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ? 20 ,

? a ? 2 5 ………………………………………………………………………………12 分
18.解:(1)由 a16 ? a17 ? a18 ? a9 ? ?36 ,得 a9 ? ?36, a17 ? ?12 ,所以 d ?

a17 ? a9 ? 3. 17 ? 9

首项 a1 ? a9 ? 8d ? ?60, an ? 3n ? 63. …………………………………………2 分

Sn ? ?60n ?

n(n ? 1) 3 41 3 412 ? 3 ? (n ? ) 2 ? ? , n ? N ? ,………………………4 分 2 2 2 2 2

所以当 n ? 20 或 n ? 21 时, Sn 最小,最小值为 S20 ? S21 ? ?630 …………………6 分 (其他解法相应给分) (2) bn ?

3 1 1 1 1 1 ………………………10 分 ? , bnbn?1 ? . ? ? an ? 66 n ? 1 n ?1 n ? 2 n ?1 n ? 2

设 Tn ? b1b2 ? b2b3 ? K ? bnbn?1 .

n 1 1 1 ?1 1? 1 ? 1 ? 1 ? ?Tn ? ( ? ) ? ? ? ? ? K ? ? ? ? 2 ? n ? 2 ? 2n ? 4 …………………12 分 2 3 ?3 4? ? n ?1 n ? 2 ?
19.解(1)设隔热层厚度为 x cm,由题设,每年能源消耗费用为 C(x)= k , 3x+5

再由 C(0)=8 得 k=40,……………………………………………………………2 分 40 因此 C(x)= .而建造费用 C1(x)=6x. 3x+5 40 800 故 f(x)=20C(x)+C1(x)=20× +6x= +6x(0≤x≤10).…………………6 分 3x+5 3x+5 (2)由 f(x)=2 (

400 ? 3 x ? 5 ? 5) ≥2(2 400-5)=70,…………………………10 分 3x ? 5

25 400 当且仅当 =3x+5 即 x=5 或 x ? ? (舍去)……………………………11 分 3x+5 3
即 x=5 时等号成立,得 f(x)min=70. 当隔热层修建为 5 cm 厚时,总费用达到最小值 70 万元.………………………12 分 20. (1)由题设得

1 1 ? n?1 ,? Sn ? n ? 3 ? 2n?1 ? 1 , S n ? 2n?1 ? n ? 2 Sn ? n ? 3 2 ? 1

n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 2n ?1,当 n ? 1 时也满足,? an ? 2n ? 1 …………………6 分
(2)(文) bn ? n ? 2n ,设 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn , Tn ? b1 ? b2 ? K ? bn

Tn ? 1? 2 ? 2 ? 22 ? 3? 23 ? K ? (n ?1) ? 2n?1 ? n ? 2n (1) 2Tn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? 3? 24 ? K ? (n ?1) ? 2n ? n ? 2n?1 (2)
?Tn ? 1? 2 ? 2 ? 23 ? K ? 2n ? n ? 2n ?1 ?
2

(1)-(2),

2(1 ? 2n ) ? n ? 2n ?1 整理得 1? 2

Tn ? (n ?1)2n?1 ? 2 ………………………………………………………13 分
(理) bn ?

Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? L ? bn ?1 ? bn ?

1 2 3 n ?1 n ? 2 ? 3 ? L ? n ?1 ? n 2 2 2 2 2 1 1 2 3 n ?1 n Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? L ? n ? n ?1 2 2 2 2 2 2
(1)-(2),整理得

n n ? n, n 2 ?2 2
n ?1

(1) (2)

Tn ? 2 ?

1 n 2?n ? n ? 2 ? n ? 2 ……………………………………………13 分 n ?1 2 2 2

21.解:(1)因为 (an?1 ? an ) g (an ) ? f (an ) ? 0, g (an ) ? 4(an ?1), f (an ) ? (an ?1)2 .

3 1 an ? .…………………3 分 4 4 3 1 3 1 3 (2)由(1) an ?1 ? an ? .? an ?1 ? 1 ? an ? ? 1 ? ( an ? 1) , 4 4 4 4 4 3 3 因 为 an ?1 ? 1 ? (an ? 1), a1 ? 1 ? 1 , 所 以 数 列 ?an ?1? 是 以 1 为 首 项 , 公 比 为 的 等 比 数 4 4
所以 (an ?1)(3an ? 4an?1 ? 1) ? 0 ,又 a1 ? 2 ,所以 an ?1 ? 列.………………………………………………………………………………………7 分 ( 3 ) ( 文 ) 由 ( 2 ) 可 知
n

?3? an ? 1 ? ? ? ?4?

n ?1

所 以

?3? an ? ? ? ?4?

n ?1

?1 ,

?3? 1? ? ? ? ? 3 ?n ? 4 S n ? n ? ? ? ? n ? 4 ?1 ? ? ? ? ,……………………………………………9 分 3 ? ? ?4? ? ? 1? 4

? 3? 1 Q Sn ? n ? 3?? ? ? ………………………………………………………………11 分 ? 4? 4

n

?3? ?3? 1 ?3? 1 Q n ? 1, 2,3, 4 时 ? ? ? ,当 n ? 5 时 ? ? ? , Q y ? ? ? 单调递减,? n ? 5 为满足条 ?4? 4 ?4? 4 ?4?
件的最小值. ……………………………………………………………………14 分

n

n

x

?3? ?3? (理)由(2)可知 an ? 1 ? ? ? 所以 an ? ? ? ?4? ?4?
从而 bn ?

n ?1

n ?1

?1

32 n ?1 ? 3n ? 4n ?1 ?3? ? 3? ? 2n?2 4 ?4?

n ?1

x ?? 3 ?n ?1 ? ?3? ? 1 ,因为 y ? ?? ? ? ? ? 为减函数,所以 bn 的最大项为 4 ? ? ?4? ? ? ? ?

b1 ? 0 .…………………………………………………………………………………9 分

n ?1 ?? 3 ?n ?1 1 ? 3 3 1 ?3? 又 bn ? 3 ?? ? ? ? ? ? ? ,而此时 n 不为整数才能有 ? ? ? ,…………11 分 2? 4 2 ?4? ?? 4 ? ? 4 ?

2

?3? 所以只需考虑 ? ? ?4?

n ?1

1 ?3? 接近于 , Q y ? ? ? 单调递减 2 ?4?
n ?1

x

?3? 当 n ? 3时 ,? ? ?4?

1 1 9 ?3? ? 与 相差 ;当 n ? 4 时, ? ? 16 16 2 ?4?

n ?1

?

5 27 1 与 相差 64 64 2

所以 bn 的最小项为 b3 ? ?

189 189 .故 bn 的最大项为 b1 ? 0 ,最小项为 b3 ? ? .…14 分 256 256


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