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高中数学竞赛讲义


直线与圆的方程 一、基础知识 1.解析几何的研究对象是曲线与方程。解析法的实质是用代数的方法研究几何 .首先是通过映射建立曲线 与方程的关系,即如果一条曲线上的点构成的集合与一个方程的解集之间存在一一映射,则方程叫做这条 曲线的方程,这条曲线叫做方程的曲线。如 x2+y2=1 是以原点为圆心的单位圆的方程。 2.求曲线方程的一般步骤:(1)建立适当的直角坐标系;(2)写出满足条件

的点的集合;(3)用坐标表示条件, 列出方程;(4)化简方程并确定未知数的取值范围; (5)证明适合方程的解的对应点都在曲线上,且曲线上 对应点都满足方程(实际应用常省略这一步) 。 3.直线的倾斜角和斜率:直线向上的方向与 x 轴正方向所成的小于 1800 的正角,叫做它的倾斜角。规定 平行于 x 轴的直线的倾斜角为 00,倾斜角的正切值(如果存在的话)叫做该直线的斜率。根据直线上一点 及斜率可求直线方程。 4.直线方程的几种形式: (1 )一般式: Ax+By+C=0; (2 )点斜式: y-y0=k(x-x0); (3)斜截式: y=kx+b ; (4)截距式: x ? x1 y ? y1 x y ? ? 1; (5 )两点式: ? a b x2 ? x1 y 2 ? y1 ; (6 )法线式方程:xcosθ +ysinθ =p (其中θ 为法线倾斜角,|p|为原点到直线的距离) ; (7)参数式: ? ? ? x ? x0 ? t cos? ? ? y ? y 0 ? t sin ? (其中θ 为该直线 倾斜角) ,t 的几何意义是定点 P0(x0, y0)到动点 P(x, y)的有向线段的数量(线段的长度前添加正负号, 若 P0P 方向向上则取正,否则取负) 。 5.到角与夹角:若直线 l1, l2 的斜率分别为 k1, k2,将 l1 绕它们的交点逆时针旋转到与 l2 重合所转过的最小 正角叫 l1 到 l2 的角;l1 与 l2 所成的角中不超过 900 的正角叫两者的夹角。若记到角为θ ,夹角为α ,则 tan θ = k 2 ? k1 1 ? k1 k 2 ,tanα = k 2 ? k1 1 ? k1 k 2 . 6.平行与垂直:若直线 l1 与 l2 的斜率分别为 k1, k2。且两者不重合,则 l1//l2 的充要条件是 k1=k2;l1 ? l2 的 充要条件是 k1k2=-1。 7.两点 P1(x1, y1)与 P2(x2, y2)间的距离公式:|P1P2|= ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 。 8.点 P(x0, y0)到直线 l: Ax+By+C=0 的距离公式: d ? | Ax 0 ? By 0 ? C | A2 ? B 2 。 9.直线系的方程:若已知两直线的方程是 l1:A1x+B1y+C1=0 与 l2:A2x+B2y+C2=0,则过 l1, l2 交点的直线 方程为 A1x+B1y+C1+λ (A2x+B2y+C2=0; 由 l1 与 l2 组成的二次曲线方程为 (A1x+B1y+C1) (A2x+B2y+C2) =0; 与 l2 平行的直线方程为 A1x+B1y+C=0( C ? C1 ). 10.二元一次不等式表示的平面区域,若直线 l 方程为 Ax+By+C=0. 若 B>0,则 Ax+By+C>0 表示的区域 为 l 上方的部分,Ax+By+C<0 表示的区域为 l 下方的部分。 11.解决简单的线性规划问题的一般步骤: (1)确定各变量,并以 x

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