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2013年高考数学一轮复习课时训练:基本不等式(北师大版))


A级

基础达标演练 满分:60 分)

(时间:40 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分)

4 1.(2012· 渭南调研)若 x>0,则 x+x 的最小值为( A.2 B.3 C .2 2

). D.4

4 解析 ∵x>0,∴x+ x≥4. 答案 D 2.已知

0<x<1,则 x(3-3x)取得最大值时 x 的值为( 1 A. 3 B. 1 2 C. 3 4 D. 2 3 ).

解析 ∵0<x<1,∴1-x>0. ?x+1-x?2 3 ?= . ∴x(3-3x)=3x(1-x)≤3? ? 2 ? 4 1 当 x=1-x,即 x=2时取等号. 答案 B 3.把一段长 16 米的铁丝截成两段,分别围成正方形,则两个正方形面积之和 的最小值为( A.4 ). B.8 C.16 D.32

解析 设截成的两段铁丝长分别为 x,16-x,16>x>0,则围成的两个正方形面积 ? x 16-x?2 ? + ? 4 ? x 16-x ? x?2 ?16-x?2 ?4 ?≥ 之和为 S=?4? +? = 8 ,当且仅当 2 4= 4 ,即 x=8 时,等 ? ? ? 4 ? 号成立.故两个正方形面积之和的最小值为 8. 答案 B 4.(2012· 合肥模拟)若正实数 a,b 满足 a+b=1,则( 1 1 A.a+b有最大值 4 C. a+ b有最大值 2 1 B.ab 有最小值4 2 D.a2+b2 有最小值 2 ).

a2+b2 ?a+b?2-2ab 1 1 解析 由基本不等式,得 ab≤ 2 = ,所以 ab≤4,故 B 错;a+ 2 a+ b 1 a+b 1 = = ≥ 4 ,故 A 错;由基本不等式得 b ab ab 2 ≤ + b≤ 错. 答案 C 1 4 5.(2011· 重庆)已知 a>0,b>0,a+b=2,则 y=a+b的最小值是( 7 A.2 解析 B.4 9 C.2 D.5 b 4a? 9 ?= , a× b ? 2 ). a+b 2 = 1 2,即 a

1 1 2,故 C 正确;a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab≥1-2×4=2,故 D

1 4 1?1 4? 1? ?b 4a?? 1? 依题意得 + = ?a+b?(a+b)= ?5+?a+ b ??≥ ?5+2 a b 2? 2? ? ? ?? 2?

a+b=2 ? ?b 4a 当且仅当?a= b ? ?a>0,b>0

2 ,即 a=3,

4 1 4 9 b=3时取等号,即a+b的最小值是2,选 C. 答案 C 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 6.若 x>1,则 x+ 解析 x+ 4 的最小值为________. x-1 4 ?x-1?· +1=5,等号当且仅当 x-1 x-1

4 4 =x-1 + + 1≥ 2 x-1 x-1

4 = ,即 x=3 时成立. x-1 答案 5 7.函数 y=a1-x(a>0,a≠1)的图象恒过定点 A,若点 A 在直线 mx+ny-1= 1 1 0(mn>0)上,则m+n的最小值为________. 解析 ∵y=a1-x 恒过点 A(1,1),又∵A 在直线上, 1 1 m+n m+n n m 1 ∴ m + n = 1. 而 m+ n = m + n = 2 + m + n ≥2 + 2 = 4 ,当且仅当 m = n = 2

1 1 时,取“=”,∴m+n的最小值为 4. 答案 4 8.(2011· 浙江)若实数 x,y 满足 x2+y2+xy=1,则 x+y 的最大值为________. 解析 由 x2+y2+xy=1,得(x+y)2-xy=1, 即 xy=(x+y)2-1≤ ?x+y?2 3 2 ,所以 4 4(x+y) ≤1,

2 3 2 3 故- 3 ≤x+y≤ 3 , 2 3 当 x=y 时“=”成立,所以 x+y 的最大值为 3 . 答案 2 3 3

三、解答题(共 23 分) 9.(11 分)已知 x>0,y>0,且 2x+8y-xy=0, 求:(1)xy 的最小值; (2)x+y 的最小值.

解 ∵x>0,y>0,2x+8y-xy=0, (1)xy=2x+8y≥2 16xy, ∴ xy≥8,∴xy≥64. 故 xy 的最小值为 64. 2 8 (2)由 2x+8y=xy,得: y +x =1, ?2 8? ∴x+y=(x+y)· 1=(x+y)? y+ x? ? ? 2x 8y =10+ y + x ≥10+8=18. 故 x+y 的最小值为 18. 10.(12 分)(2011· 丽水模拟)某单位用 2 160 万元购得一块空地,计划在该空地上 建造一栋至少 10 层,每层 2 000 平方米的楼房.经测算,如果将楼房建为 x(x≥10)层,则每平方米的平均建筑费用为 560+48x(单位:元). (1)写出楼房平均综合费用 y 关于建造层数 x 的函数关系式; (2)该楼房应建造多少层时,可使楼房每平方米的平均综合费用最少?最少值是 多少?

(注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用= 购地总费用 ) 建筑总面积 解 (1)依题意得 y=(560+48x)+ =560+48x+ 2 160×10 000 2 000x

10 800 x (x≥10,x∈N+); 10 800 x ≥2 48×10 800=1 440(元),

(2)∵x>0,∴48x+ 当且仅当 48x=

10 800 ,即 x=15 时取到“=”, x

此时,平均综合费用的最小值为 560+1 440=2 000(元). 所以,当该楼房建造 15 层时,可使楼房每平方米的平均综合费用最少,最少值 为 2 000 元. B级 综合创新备选 满分:40 分)

(时间:30 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 10 分)

1.(2011· 皖南八校联考(二))已知 x>0,y>0,x,a,b,y 成等差数列,x,c, d,y 成等比数列,则 A.0 解析 B.1 ?a+b?2 cd 的最小值是( C .2 ). D.4

?a+b?2 ?x+y?2 ?2 xy?2 由题知 a+b=x+y,cd=xy,x>0,y>0,则 cd = xy ≥ xy

=4,当且仅当 x=y 时取等号. 答案 D 2.(2011· 延安模拟)若直线 ax-by+2=0(a>0,b>0)被圆 x2+y2+2x-4y+1= 1 1 0 截得的弦长为 4,则a+b的最小值为( 1 A.4 解析 B. 2 3 C.2+ 2 ). 3 D.2+2 2

1 1 1 ?1 ? 圆的直径是 4 ,说明直线过圆心 ( - 1,2) ,故 2 a + b = 1 , a + b = ?2a+b? ? ?

b a ?1 1? 3 b a 3 ?a+b?= + + ≥ + 2,当且仅当 = ,即 a=2( 2-1),b=2- 2时取 a 2b ? ? 2 a 2b 2

等号. 答案 C 二、填空题(每小题 4 分,共 8 分) 1 ?? 1 ? ? 3.(2011· 湖南)x,y∈R,且 xy≠0,则?x2+y2??x2+4y2?的最小值为________. ? ?? ? 解析 1 ? 2 1 ?? 1 ? ?x +y2??x2+4y2?= 1+4+ 4x2y2+ 2 2≥1 +4 +2 xy ? ?? ? 1 4x2y2· 2 2 = 9 ,当且仅 xy

1 2 当 4x2y2=x2y2时等号成立,即|xy|= 2 时等号成立. 答案 9 2 4.(2011· 江苏)在平面直角坐标系 xOy 中,过坐标原点的一条直线与函数 f(x)= x 的图象交于 P,Q 两点,则线段 PQ 长的最小值是________. 2 解析 假设直线与函数 f(x)= x的图象在第一象限内的交点为 P,在第三象限内 的交点为 Q,由题意知线段 PQ 的长为 OP 长的 2 倍. 2? ? 假设 P 点的坐标为?x0,x ?,则|PQ|=2|OP|=2 ? 0? x0= 2时,取“=”号. 答案 4 三、解答题(共 22 分) a b 4 5.(10 分)已知 a,b>0,求证:b2+a2≥ . a+b a b 证明 ∵b2+a2≥2 a+b≥2 ab>0, ?a b? ∴?b2+a2?(a+b)≥2 ? ? 1 2 ab=4. ab· a b b2· a2=2 1 ab>0, 4 4 2 x2 0+ 2≥4.当且仅当 x0= 2,即 x x
0 0

a b ? ? 2= 2, a b 4 b a ∴b2+a2≥ .当且仅当? a+b ? ?a=b

取等号,

即 a=b 时,不等式等号成立.

6.(12 分)(2011· 洛阳模拟)桑基鱼塘是某地一种独具地方特色的农业生产形式, 某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目,该项目准备购置一块 1 800 平方米的矩 形地块,中间挖出三个矩形池塘养鱼,挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影 部分所示)种植桑树,池塘周围的基围宽均为 2 米,如图,设池塘所占的总面积

为 S 平方米. (1)试用 x 表示 S; (2)当 x 取何值时,才能使得 S 最大?并求出 S 的最大值. x-6 解 (1)由题图形知,3a+6=x,∴a= 3 . ?1 800 ? ?1 800 ? 则总面积 S=? x -4?· a+2a? x -6? ? ? ? ? ?5 400 ? x-6?5 400 ? =a? x -16?= 3 ? x -16? ? ? ? ? ?10 800 16x? =1 832-? x + 3 ?, ? ? ?10 800 16x? 即 S=1 832-? x + 3 ?(x>0). ? ? ?10 800 16x? (2)由 S=1 832-? x + 3 ?, ? ? 得 S≤1 832-2 10 800 16x x ·3

=1 832-2×240=1 352(平方米). 10 800 16x 当且仅当 x = 3 ,此时,x=45. 即当 x 为 45 米时,S 最大,且 S 最大值为 1 352 平方米.


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