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6.5数列的综合应用(作业)


限时作业 30 数列的综合应用 一、选择题 1.设{an},{bn}分别为等差数列与等比数列,a1=b1=4,a4=b4=1,则下列结 论正确的是( ).

A.a2>b2 C.a5>b5

B.a3<b3 D.a6>b6

2.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,S9=-36,S13=-

104,等比数列{bn} 中,b5=a5,b7=a7,则 b6 的值为( A.±4 B.-4 C.4 D.无法确定 ).

3.在单位正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,黑、 白两只蚂蚁均从点 A 出发,沿棱 向前爬行,每爬完一条棱称为“爬完一段”,白蚂蚁的爬行路线是 AA1 →A1D1→D1C1→?,黑蚂蚁的爬行路线是 AB→BB1→B1C1→?,它们都遵 循以下的爬行规则:所爬行的第 i+2 段与第 i 段所在的直线必为异面 直线(其中 i 为正整数),设黑、白蚂蚁都爬完 2 012 段后各自停止在 正方体的某个顶点处,则此时两者的距离为( A.1 B. C. D.0 ).

4.已知数列{an},{bn}满足 a1=1,且 an,an+1 是函数 f(x)=x2-bnx+2n 的两个 零点,则 b10 等于( A.24 B.32 C.48 D.64 ).

5.(2011 湖北高考,文 10)若实数 a,b 满足 a≥0,b≥0,且 ab=0,则称 a 与 b 互补.记φ (a,b)=-a-b,那么φ (a,b)=0 是 a 与 b 互补的( A.必要而不充分的条件 B.充分而不必要的条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要的条件 6.气象学院用 3.2 万元买了一台天文观测仪,已知这台观测仪从启用 的第一天起连续使用,第 n 天的维修保养费为(n∈N*)元,使用它直至 报废最合算(所谓报废最合算是指使用的这台仪器的平均耗资最少), 一共使用了( ). ).

A.600 天 B.800 天 C.1 000 天 二、填空题 7.定义运算:=ad-bc,若数列{an}满足=1 且=12(n∈N*),则 a3= ,数列{an}的通项公式为 an= . D.1 200 天

8.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 am-1+am+1-=0,S2m-1=38,则 m= .

9.设 a1,d 为实数,首项为 a1,公差为 d 的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 S5S6+15=0,则 d 的取值范围是 三、解答题 10.某人有人民币 1 万元,若存入银行,年利率为 6%;若购买某种股票, 年分红 24%,每年储蓄的利息和买股票所分的红利都存入银行. .

(1)问买股票多少年后,所得红利才能和原来的投资款相等? (2)经过多少年,买股票所得的红利与储蓄所拥有的人民币相等?(精 确到整年) (参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1,lg 1.06≈0.025 3)

11.已知函数 f(x)=m·x+t 的图象经过点 A(1,1),B(2,3)及 C(n,Sn),Sn 2 为数列{an}的前 n 项和. (1)求 an 及 Sn; (2)若数列{cn}满足 cn=6nan-n,求数列{cn}的前 n 项和 Tn.

12.(2011 江西高考,文 21)(1)已知两个等比数列{an},{bn},满足 a1=a(a>0),b1-a1=1,b2-a2=2,b3-a3=3,若数列{an}唯一,求 a 的值. (2)是否存在两个等比数列{an},{bn},使得 b1-a1,b2-a2,b3-a3,b4-a4 成 公差不为 0 的等差数列?若存在,求{an},{bn}的通项公式;若不存在, 说明理由.

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参考答案

一、选择题 1.A 2.A 3.B 4.D 5.C 6.B 解析:由第 n 天的维修保养费为(n∈N*)元,可以得出观测仪 的整个耗资费用,由平均费用最少而求得最小值成立时的相应 n 的 值. 设一共使用了 n 天,则使用 n 天的平均耗资为=++,当且仅当=时取 得最小值,此时 n=800,故选 B. 二、填空题 7.10 4n-2 8.10 9.d≤-2 或 d≥2 解析:由 S5S6+15=0,得·+15=0. 整理可得 2+9a1d+10d2+1=0. ∵a1,d 为实数, ∴Δ =(9d)2-4×2×(10d2+1)≥0,解得 d≤-2 或 d≥2. 三、解答题 10.解:设该人将 1 万元购买股票,x 年后所得的总红利为 y 万元, 则 y=24%+24%(1+6%)+24%(1+6%)2+?+24%(1+6%)x-1 =24%(1+1.06+1.062+?+1.06x-1)=4(1.06x-1). (1)由题意,得 4(1.06x-1)=1,

∴1.06x=. 两边取常用对数,得 xlg 1.06=lg=1-3lg 2. ∴x=≈≈4. (2)由题意,得 4(1.06x-1)=(1+6%)x,∴1.06x=.解得 x≈5. 答:(1)买股票 4 年后所得的红利才能和原来的投资款相等;(2) 经过大约 5 年,买股票所得的红利与储蓄所拥有的人民币相等. 11.解:(1)∵函数 f(x)=m·2x+t 的图象经过点 A(1,1),B(2,3), 则解得 ∴f(x)=2x-1, 即 Sn=2n-1,可得 an=2n-1. (2)∵cn=3n·2n-n, ∴Tn=c1+c2+?+cn =3(2+2·22+3·23+?+n·2n)-(1+2+?+n). 令 S'n=1·2+2·22+3·23+?+n·2n,① 2S'n=1·22+2·23+3·24+?+(n-1)·2n+n·2n+1,② ①-②得-S'n=2+22+23+?+2n-n·2n+1, ∴S'n=(n-1)2n+1+2, Tn=3·(n-1)·2n+1+6-. 12.解:(1)设{an}的公比为 q,则 b1=1+a,b2=2+aq,b3=3+aq2. 由 b1,b2,b3 成等比数列得(2+aq)2=(1+a)(3+aq2), 即 aq2-4aq+3a-1=0.

由 a>0 得Δ =4a2+4a>0,故方程有两个不同的实根. 再由{an}唯一,知方程必有一根为 0,将 q=0 代入方程得 a=. (2)假设存在两个等比数列{an},{bn}使 b1-a1,b2-a2,b3-a3,b4-a4 成 公差不为 0 的等差数列.设{an}的公比为 q1,{bn}的公比为 q2, 则 b2-a2=b1q2-a1q1, b3-a3=b1-a1, b4-a4=b1-a1, 由 b1-a1,b2-a2,b3-a3,b4-a4 成等差数列得

即 ①×q2-②得 a1(q1-q2)(q1-1)2=0, 由 a1≠0 得 q1=q2 或 q1=1. (ⅰ)当 q1=q2 时,由①,②得 b1=a1 或 q1=q2=1,这时(b2-a2)-(b1-a1)=0 与公差不为 0 矛盾; (ⅱ)当 q1=1 时,由①,②得 b1=0 或 q2=1,这时(b2-a2)-(b1-a1)=0 与 公差不为 0 矛盾. 综上所述,不存在两个等比数列{an},{bn}使 b1-a1,b2-a2,b3-a3,b4-a4 成公差不为 0 的等差数列.


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