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山东省青岛市2013届高三3月第一次模拟考试数学(理)试题


青岛市高三统一质量检测

数学(理科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共 150 分.考试时间 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必用 2B 铅笔和 0.5 毫米黑色签字笔(中性笔)将姓名、准考证号、 考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上. 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑;如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.答案不能答在试题卷上. 3.第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔(中性笔)作答,答案必须写在答题卡各题目指 定区域内相应的位置,不能写在试题卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的 答案;不准使用 涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效. 参考公式:球的表面积为: S ? 4? R ,其中 R 为球的半径.
2

第Ⅰ卷(选择题
一项是符合题目要求的. 1. i 是虚数单位,复数 A. 2

共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题.每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有

2i 的实部为 1? i B. ? 2 C. 1

D. ? 1

2 2. 设全集 U ? R ,集合 M ? x | y ? lg( x ? 1) , N ? ?x | 0 ? x ? 2? ,则 N ? (? M ) ? U

?

?

A. ?x | ?2 ? x ? 1 ?

B. ?x | 0 ? x ? 1 ?

C. ?x | ?1 ? x ? 1?

D. ?x | x ? 1 ?

3. 下列函数中周期为 ? 且为偶函数的是 A. y ? sin( 2 x ?

?
2

)

B. y ? cos( 2 x ?

?
2

)

C. y ? sin( x ?

?
2

)

D. y ? cos( x ?

?
2

)

4. 设 Sn 是等差数列 ?a n ? 的前 n 项和, a1 ? 2, a5 ? 3a3 ,则 S9 ? A. 90 B. 54 C. ? 54 D. ?72

5. 已知 m 、 n 为两条不同的直线, ? 、 ? 为两个不同的平面,则下列命题中正确的是 A.若 l ? m , l ? n ,且 m, n ? ? ,则 l ? ? B.若平面 ? 内有不共线的三点到平面 ? 的距离相等,则
正视图 左视图

俯视图

? // ?
C.若 m ? ? , m ? n ,则 n // ? D.若 m // n, n ? ? ,则 m ? ? 6. 一个几何体的三视图如图所示,其中俯视图与左视图均为半径是 2 的圆,则这个几何体 的表面积是 A. 16? B. 14? C. 12? D. 8?

7. 已知抛物线错误!未找到引用源。的焦点为 F ,准线为 l ,点为抛物线上一点,且在第 一象限,错误!未找到引用源。,垂足为 A ,则直线 AF 的倾斜角等于 A.错误!未找到引用源。 B.

5? 6

2? 3

C.错误!未找到引用源。

D.

8. 若两个非零向量 a , b 满足 | a ? b |?| a ? b |? 2 | a | ,则向量 a ? b 与 b ? a 的夹角为

?

?

?

?

?

?

?

? ?

? ?

2? 5? ? C. D. 6 3 3 x, x ? 0 ? 9. 已知函数 f ( x) ? ? 2 , 若函数 g ( x) ? f ( x) ? m 有三个不同的零点, 则实数 m ? x ? x, x ? 0
A.

? 6

B.

的取值范围为 A. [ ?

1 ,1] 2

B. [ ?

1 ,1) 2

C. ( ?

1 , 0) 4 1 x
n

D. (? , 0]

1 4

2 10. 已知 f ( x) ?| x ? 2 | ? | x ? 4 | 的最小值为 n ,则二项式 ( x ? ) 展开式中 x 项的系数为

A. 15

B. ?15

C. 30

D. ?30

11. 已知函数 f ( x ) 对定义域 R 内的任意 x 都有 f ( x ) = f (4 ? x) ,且当 x ? 2 时其导函数

f ?( x ) 满足 xf ?( x) ? 2 f ?( x), 若 2 ? a ? 4 则
A. f (2 ) ? f (3) ? f (log2 a)
a

B. f (3) ? f (log2 a) ? f (2 )
a

C. f (log2 a) ? f (3) ? f (2 )
a

D. f (log2 a) ? f (2 ) ? f (3)
a

b a 12. 定义区间 (a, b) ,[a, b) , (a, b] ,[a, b] 的长度均为 d? ? ,多个区间并集的长度
为各区间长度之和,例如, (, 2 [, 5的长度 d 2 ? 3 . 用 [ x ] 表示不超 1 ) 3 ) ? ? 1 5)3 ( )( ? ? ? 过 x 的 最 大 整 数 , 记 {} x [ ], 其 中 x ? R . 设 f x? ? x , gx ? ? , 当 x ? ?x () []{ x } () x 1

0 ? x ? k 时,不等式 f( )? ( )解集区 间的长度为 5 ,则 k 的值为 x gx
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 网

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13. 某程序框图如右图所示, a ? 3 ,则该程序运行后, 若 输出的 x 值为 ; 14. 若 是

开始

?

a 1

1 (2 x ? )dx ? 3 ? ln 2(a ? 1) ,则 a 的值 x
;

n ? 1, x ? a

? x2 ? y2 ? 4 ? 15. 已知 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0 ,则目标函数 ? y?0 ?
z ? 2 x ? y 的最大值是
16.给出以下命题: ;

n ? n ?1 n?3
否 输出 x 是

x ? 2x ?1

y2 ? x 2 ? 1的渐近线方程为 y ? ? 2x ; ① 双曲线 2
+ ② 命题 p : “ ?x ? R , sin x ?

结束

1 ? 2 ”是真命题; sin x

? ③ 已知线性回归方程为 y ? 3 ? 2 x ,当变量 x 增加 2 个单位,其预报值平均增加 4 个单位 ;
④ 设随机变量 ? 服从正态分布 N (0,1) ,若,则 P(?1 ? ? ? 0) ? 0.6 ; ⑤ 已知

2 6 5 3 7 1 10 ?2 ? ?2, ? ? 2, ? ? 2, ? ? 2, 2?4 6?4 5? 4 3? 4 7 ? 4 1? 4 10 ? 4 ?2 ? 4

依照以上各式的规律,得到一般性的等式为 则正确命题的序号为

n 8?n ? ? 2 ,( n ? 4 ) n ? 4 (8 ? n) ? 4

(写出所有正确命题的序号).

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin ? x (? ? 0) 在区间 [0,

?

? 2? ] 上单调递增,在区间 [ , ] 上单调递减;如 3 3 3

图,四边形 OACB 中, a , b , c 为 △ ABC 的内角 A,B,C 的对边,且满足

4? ? cos B ? cosC sin B ? sin C 3 . ? sin A cos A
B

C

?
O
A

(Ⅰ)证明: b ? c ? 2a ; (Ⅱ)若 b ? c ,设 ?AOB ? ? , (0 ? ? ? ? ) , OA ? 2OB ? 2 , 求四边形 OACB 面积的最大值. 18.(本小题满分 12 分) 现有长分别为 1m 、 2m 、 3m 的钢管各 3 根(每根钢管质地均匀、粗细相同且附有不同的 编号),从中随机抽取 n 根(假设各钢管被抽取的可能性是均等的,1 ? n ? 9 ),再将抽取 的钢管相接焊成笔直的一根. (Ⅰ)当 n ? 3 时,记事件 A ? {抽取的 3 根钢管中恰有 2 根长度相等},求 P ( A) ; (Ⅱ)当 n ? 2 时,若用 ? 表示新焊成的钢管的长度(焊接误差不计),①求 ? 的分布列; ②令? ? ?? 2? ? ? ? 1, E (? ) ? 1 ,求实数 ? 的取值范围.

19.(本小题满分 12 分) 如图,几何体 ABCD ? B1C1D1 中,四边形 ABCD 为菱形, ?BAD ? 60 , AB ? a ,
?

面 B1C1D1 ∥面 ABCD , BB1 、 CC1 、 DD1 都垂直 于面 ABCD ,且 BB1 ? 2a , E 为 CC1 的中点,

D1 B1

C1

F 为 AB 的中点.
(Ⅰ)求证: ?DB1 E 为等腰直角三角形; (Ⅱ)求二面角 B1 ? DE ? F 的余弦值.
A

E

D

C
B

20.(本小题满分 12 分) 已知 n ? N ,数列 ?d n ?满足 d n ?
?

F

3 ? (?1) n ,数列 ?an ? 满足 an ? d1 ? d2 ? d3 ???? ? d2n ;又 2

m n 知数列 ?bn ? 中, b1 ? 2 ,且对任意正整数 m, n , bn ? bm .

(Ⅰ)求数列 ?an ? 和数列 ?bn ? 的通项公式; (Ⅱ)将数列 ?bn ? 中的第 a1 项,第 a2 项,第 a3 项, ……,第 an 项,……删去后,剩余的 . . . .

项按从小到大的顺序排成新数列 ?cn ? ,求数列 ?cn ? 的前 2013 项和. 21.(本小题满分 13 分) 已知向量 m ? (e x ,ln x ? k ) , n ? (1, f ( x)) , m / / n ( k 为常数, e 是自然对数的底数), 曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线与 y 轴垂直, F ( x) ? xex f ?( x) . (Ⅰ)求 k 的值及 F ( x) 的单调区间; ( Ⅱ ) 已 知 函 数 ( a 为 正 实 数 ), 若 对 于 任 意 x2 ?[0,1] , 总 存 在 x1 ? (0, ??) , 使 得

??

?

??

?

g ( x2 ) ? F ( x1 ) ,求实数 a 的取值范围 .

22.(本小题满分 13 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的焦距为 2 3 ,离心率为 ,其右焦点为 F ,过点 2 a b 2

B(0,b )作直线交椭圆于另一点 A .
(Ⅰ)若 AB ? BF ? ?6 ,求 ?ABF 外接圆的方程; (Ⅱ)若过点 M (2,0) 的直线与椭圆 N :

??? ??? ? ?

x2 y 2 1 ? ? 相交于两点 G 、 H ,设 P 为 N 上一点, a 2 b2 3

且满足 OG ? OH ? tOP( O 为坐标原点),当 PG ? PH ?

???? ????

??? ?

??? ???? ?

2 5 时,求实数 t 的取值范围. 3

青岛市高三统一质量检测

数学(理科)参考答案及评分标准
一、选择题:本大题共 12 小题.每小题 5 分,共 60 分. CBACD ABBCA CB 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.

13. 31

14. 2

15. 2 5

16.①③⑤

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答 时应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤. 17. (本小题满分 12 分)

4? 3 ,解得: ? ? , ? 3 2 sin B ? sin C 2 - cos B - cos C ? ? sin A cos A
解:(Ⅰ)由题意知:

2?

?

……………………………2 分

? sin B cos A ? sin C cos A ? 2 sin A - cos B sin A - cos C sin A ? sin B cos A ? cos B sin A ? sin C cos A ? cos C sin A ? 2 sin A

? sin ( A ? B) ? sin ( A ? C ) ? 2 sin A ………………………………………………………4 分
? sin C ? sin B ? 2 sin A ?? b ? c ? 2a …………………………………………………6 分
(Ⅱ)因为 b ? c ? 2a,b ? c ,所以 a ? b ? c ,所以 △ ABC 为等边三角形

1 3 SOACB ? S?OAB ? S?ABC ? OA ? OB sin ? ? AB 2 2 4
……………………………………………9 分

……………………………8 分

? sin ? - 3 cos? ?
?? ? (0,? ) ,?? 当且仅当 ? -

5 3 ? 5 3 , ………………………………………10 分 ? 2sin (? - ) ? 4 3 4

?

? 2? ?(- , ), 3 3 3
5? 5 3 时取最大值, S OACB 的最大值为 2 ? ………………12 分 6 4

?
3

?

?
2

, ?? 即

18.(本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)事件 A 为随机事件, P( A) ? (Ⅱ)① ? 可能的取值为 2,3, 4,5,6
1 1 C3C32C6 9 ? ………………………………………4 分 3 C9 14

P(? ? 2) ? P(? ? 4) ?

C32 1 ? C92 12
1 1 C32 ? C3C3 1 ? C92 3

P(? ? 3) ? P(? ? 5) ?

1 1 C3C3 1 ? C92 4

1 1 C3C3 1 ? C92 4

[来源:Zxxk.Com]

P(? ? 6) ?

C32 1 ? C92 12

∴ ? 的分布列

?
P

2

[来源:学*科*网]

3

4

5

6

为:

1 12

1 4

1 3

1 4

1 12

……………………………………………………9 分 ② E (? ) ? 2 ?

1 1 1 1 1 ? 3? ? 4 ? ? 5? ? 6 ? ? 4 12 4 3 4 12

………………………………10 分

?? ? ?? 2? ? ? ? 1 ,? E(? ) ? ?? 2 E(? ) ? ? ? 1 ? ?4? 2 ? ? ? 1
? E (? ) ? 1 ,??4? 2 ? ? ? 1 ? 1 ? 0 ? ? ?
19.(本小题满分 12 分) 解: (I) 连接 BD , AC 于 O , 交 因为四边形 ABCD 为菱形,?BAD ? 60 , 所以 BD ? a
?

1 ………………………………………… 12 分 4

因为 BB1 、 CC1 都垂直于面

ABCD ,? BB1 // CC1 ,又面 B1C1D1 ∥面

z
D1

C1 B1
E

ABCD ,
所以四边形 BCC1B1 为平行四边形 ,则

B1C1 ? BC ? a ……………………………2 分
因为 BB1 、 CC1 、 DD1 都垂直于面 ABCD , 则 DB1 ?
源:Z,xx,k.Com]

H
D

C

O

DB 2 ? BB12 ? a 2 ? 2a 2 ? 3a

x A
[来

F

B

y

DE ? DC 2 ? CE 2 ? a 2 ?

a2 6a ? 2 2 a2 6a …4 分 ? 2 2

B1E ? B1C12 ? C1E 2 ? a 2 ?
所以 DE ? B1E ?
2 2

6a 2 ? 6a 2 ? 3a 2 ? DB12 4

所以 ?DB1 E 为等腰直角三角形

………………………………………………5 分

(II)取 DB1 的中点 H ,因为 O, H 分别为 DB, DB1 的中点,所以 OH ∥ BB1 以 OA, OB, OH 分别为 x, y , z 轴建立坐标系, 则 D(0, ?

[来源:学科网 ZXXK]

a 3 2 a 3 a , 0), E (? a, 0, a), B1 (0, , 2a), F ( a, , 0) 2 2 2 2 4 4 ???? ???? 3 a 2 3 3 a, , a), DF ? ( a, a, 0) ………………7 分 2 2 2 4 4

所以 DB1 ? (0, a, 2a), DE ? (?

???? ?

设面 DB1E 的法向量为 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) , 则 n1 ? DB1 ? 0, n1 ? DE ? 0 ,即 ay1 ? 2az1 ? 0 且 ?

??

?? ???? ?

?? ??? ?

3 a 2 ax1 ? y1 ? az1 ? 0 2 2 2

令 z1 ? 1,则 n1 ? (0, ? 2,1) ………………………………………………………………9 分 设面 DFE 的法向量为 n2 ? ( x2 , y2 , z2 ) , 则 n2 ? DF ? 0, n2 ? DE ? 0 即 令 x2 ? 1 ,则 n2 ? (1, ?

??

?? ?

?? ???? ?

?? ??? ? ?

3 3 3 a 2 ax2 ? ay2 ? 0 且 ? ax2 ? y2 ? az2 ? 0 4 4 2 2 2
……………………………………………………11 分

?? ?

3 2 6 , ) 3 3

?? ?? ? 则 cos n1 , n2 ?

6 2 6 ? 2 2 3 3 ? ,则二面角 B1 ? DE ? F 的余弦值为 …12 分 2 2 1 8 3 ? 1? ? 3 3

20.(本小题满分 12 分) 解:? d n ?

3 ? 2n 3 ? (?1) n ? 3n …………………3 分 ,? an ? d1 ? d2 ? d3 ???? ? d2n ? 2 2
………………5 分

2 2 3 3 n n 又由题知:令 m ? 1 ,则 b2 ? b1 ? 2 , b3 ? b1 ? 2 ? bn ? b1 ? 2

若 bn ? 2 ,则 bn ? 2 , bm ? 2 ,所以 bn ? bm 恒成立
n m nm n mn m n

若 bn ? 2 ,当 m ? 1 , bn ? bm 不成立,所以 bn ? 2
n m n

n

……………………………………6 分

(Ⅱ)由题知将数列 ?bn ? 中的第 3 项、第 6 项、第 9 项……删去后构成的新数列 ?cn ? 中的 奇数列与偶数列仍成等比数列,首项分别是 b1 ? 2 , b2 ? 4 公比均是 8, …………9 分

T2013 ? (c1 ? c3 ? c5 ???? ? c2013 ) ? (c2 ? c4 ? c6 ???? ? c2012 )

2 ? (1 ? 81007 ) 4 ? (1 ? 81006 ) 20 ? 81006 ? 6 ? ? ? …………………………………………12 分 1? 8 1? 8 7
? ln x ? k 1nx ? k ?( x) ? x ?f 21.(本小题满分 13 分)解:(I)由已知可得: f ( x ) = , ex ex 1

由已知, f ?(1) ?

1? k ? 0 ,∴ k ? 1 …………………………………………………………2 分 e

1 ? F ( x) ? xex f ?( x) ? x( ? ln x ? 1) ? 1 ? x ln x ? x 所以 F ?( x) ? ? ln x ? 2 …………3 分 x
由 F ?( x) ? ? ln x ? 2 ? 0 ? 0 ? x ? 由 F ?( x) ? ? ln x ? 2 ? 0 ? x ?

1 , e2

1 e2
………………………………………5 分

? F ( x) 的增区间为 (0,

1 1 ] ,减区间为 [ 2 , ?? ) 2 e e

(II)? 对于任意 x2 ?[0,1] ,总存在 x1 ? (0, ??) , 使得 g ( x2 ) ? F ( x1 ) ,

? g ( x)max ? F ( x)max
由(I)知,当 x ?

……………………………………………………………………6 分

1 1 1 时, F ( x) 取得最大值 F ( 2 ) ? 1 ? 2 .………………………………8 分 e2 e e

对于 g ( x) ? ? x2 ? 2ax ,其对称轴为 x ? a 当 0 ? a ? 1 时, g ( x)max ? g (a) ? a2 , ? a ? 1 ?
2

1 ,从而 0 ? a ? 1 ………………10 分 e2
1 1 ,从而 1 ? a ? 1 ? 2 ……12 分 2 e 2e

当 a ? 1 时, g ( x)max ? g (1) ? 2a ?1 , ? 2a ? 1 ? 1 ? 综上可知: 0 ? a ? 1 ?

1 ………………………………………………………………13 分 2e 2

22.(本小题满分 13 分)解:(Ⅰ)由题意知: c ? 3 , e ? 解得: a ? 6, b ? 3 ? 椭圆 C 的方程为:

c 2 2 2 2 ,又 a ? b ? c , ? a 2

x2 y 2 ? ?1 …………………………2 分 6 3 ??? ? ??? ? 可得: B(0, 3) , F ( 3,0) ,设 A( x0 , y0 ) ,则 AB ? (?x0 , 3 ? y0 ) , BF ? ( 3, ? 3) , ??? ??? ? ? ? AB ? BF ? ?6 ,?? 3x0 ? 3( 3 ? y0 ) ? ?6 ,即 y0 ? x0 ? 3

? 4 3 ? x0 2 y0 2 ? x0 ? x0 ? 0 ? ?1 ? ? ? ? 3 ?? 3 由? 6 ,或 ? ? y0 ? ? 3 ?y ? x ? 3 ? ?y ? 3 0 ? 0 ? 0 3 ?

即 A(0, ? 3) ,或 A(

4 3 3 , ) 3 3

…………………………………………………………4 分

①当 A 的坐标为 (0, ? 3) 时, OA ? OB ? OF ? 3 ,? ?ABF 外接圆是以 O 为圆心,

3 为半径的圆,即 x 2 ? y 2 ? 3 ……………………………………………………………5 分
②当 A 的坐标为 (

4 3 3 , ) 时, k AF ? 1 , kBF ? ?1 ,所以 ?ABF 为直角三角形,其外接 3 3 2 3 2 3 1 15 , , ) ,半径为 AB ? 3 3 2 3

圆是以线段 AB 为直径的圆,圆心坐标为 (

? ?ABF 外接圆的方程为 ( x ?

2 3 2 2 3 2 5 ) ? (y ? ) ? 3 3 3 2 3 2 2 3 2 5 ) ? (y ? ) ? ……7 分 3 3 3

综上可知: ?ABF 外接圆方程是 x 2 ? y 2 ? 3 ,或 ( x ? (Ⅱ)由题意可知直线 GH 的斜率存在.

设 GH : y ? k ( x ? 2) , G( x1 , y1 ) , H ( x2 , y2 ) , P( x, y )

[来源:学|科|网 Z|X|X|K]

? y ? k ( x ? 2) ? 由 ? x2 得: (1 ? 2k 2 ) x2 ? 8k 2 x ? 8k 2 ? 2 ? 0 2 ? ? y ?1 ? 2
4 2 2 由 ? ? 64k ? 4(2k ? 1)(8k ? 2) ? 0 得: k ?
2

1 (? ) 2

…………………… …9 分

x1 ? x2 ?

8k 2 8k 2 ? 2 , x1 x2 ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

??? ???? 2 5 ? ???? 2 5 2 5 2 ,? HG ? 即 1 ? k x1 ? x2 ? ? PG ? PH ? 3 3 3
1 ,结合( ? )得: ………………………… ……………………11 分 4 ???? ???? ??? ? ?OG ? OH ? tOP ,?( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ? t ( x, y) ?k2 ?
从而 x ?

y ? y2 1 ?4k x1 ? x2 8k 2 ? [k ( x1 ? x2 ) ? 4k ] ? ,y? 1 ? 2 t t t (1 ? 2k 2 ) t t (1 ? 2k )

? 点 P 在椭圆上,?[
即t ? 8?
2

8k 2 ?4k ]2 ? 2[ ]2 ? 2 ,整理得: 16k 2 ? t 2 (1 ? 2k 2 ) 2 2 t (1 ? 2k ) t (1 ? 2k )

8 2 6 2 6 ? t ? 2 ………………………………13 分 ,??2 ? t ? ? ,或 2 1 ? 2k 3 3


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