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高二数学立体几何单元测试题)


高二数学立体几何第一二章测试卷必修 2 班级
一、 选择:12×5=60 分
1、经过空间任意三点作平面

编号

姓名

得分:





A.只有一个

B.可作二个

C.可作无数多个 D.只

有一个或有无数多个

2、两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为 5cm,4cm,3cm,把它们重叠在一起组成一个 新长方体,在这些新长方体中,最长的对角线的长度是 A. 77cm B. 7 2cm C. 5 5cm D. 10 2cm ( ) ( )

3.已知α ,β 是平面,m,n 是直线.下列命题中不正确的是 A.若 m∥n,m⊥α ,则 n⊥α C.若 m⊥α ,m⊥β ,则α ∥β B.若 m∥α ,α ∩β =n,则 m∥n D.若 m⊥α , m ? ? ,则α ⊥β

4.在正三棱柱 ABC ? A1 B1C1中, 若AB ? 2BB1 , 则AB1与C1 B所成的角的大小为 ( B.90° C.105° D.75° 5、在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,下列几种说法正确的是
1 1 ? AD A、 AC C、 AC1 与 DC 成 45 角



A.60°


s



B、 D1C1 ? AB 1C 成 60 角 1 1与B D、 AC
E

6、如图:正四面体 S-ABC 中,如果 E,F 分别是 SC,AB 的中点, 那么异面直线 EF 与 SA 所成的角等于 ( A.90° D.30° B.45° ) C . 60°
C

B

F A

7、异面直线 a、b 成 60°,直线 c⊥a,则直线 b 与 c 所成的角的范围 为 ( )
A.[30°,90°] B.[60°,90°] C.[30°,60°] D.[60°,120°] 8、PA、PB、PC 是从 P 点引出的三条射线,每两条夹角都是 60°,那么直线 PC 与平面 PAB

所成角的余弦值是
1 A. 2




P

2 B. 2

6 C. 3

3 D. 3

9、如图,PA⊥矩形 ABCD,下列结论中不正确的是(


D j A

A.PB⊥BC C.PD⊥BD

B.PD⊥CD D.PA⊥BD
O C B

10、设 M 是球心 O 的半径 OP 的中点,分别过 M , O 作垂直于 OP 的平面,截球面得两个圆,

则这两个圆的面积比值为: ( ) 1 1 2 3 (A) (B) (C) (D) 4 2 3 4 11、如图,在斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,则 C1 在底面 ABC 上
的射影必在( ) (A)直线 AB 上 (C)直线 AC 上 (B)直线 BC 上 (D)△ABC 内部

B A C1 A1

C

12、 . (08 年海南卷 12)某几何体的一条棱长为 7 ,在该几何体的正视

B1

图中,这条棱的投影是长为 6 的线段,在该几何体的侧视图与俯视图 中,这条棱的投影分别是长为 a 和 b 的线段,则 a + b 的最大值为 ( ) B. 2 3
2 3 4 5

A. 2 2 答题卡:
题号 选项 1

C. 4
6 7

D. 2 5
8 9 10 11 12

一、

填空:4×4=16 分

13、长方体一个顶点上三条棱的长分别为 3、4、5,且它的八个顶点都在同一球面上,这个 球 的表面积是 .

14、已知球内接正方体的表面积为 S,则球体积等于

15、若 AC、BD 分别是夹在两个平行平面? 、? 间的两条线段,且 AC =13,BD=15,AC、BD 在平面? 上的射影长的和是 14,则? 、? 间的距离为 .

16、从平面?外一点 P 引斜线段 PA 和 PB,它们与?分别成 45?和 30?角,则?APB 的最大值、 最小值分别是 。

三、计算证明:
17 、 ( 12 分 ) 在 空 间 四 边 形 ABCD 中 , M 、 N 、 P 、 Q 分 别 是 四 边 上 的 点 , 且 满 足 AM CN AQ CP ? ? ? =k.求证:M、N、P、Q 共面. MB NB QD PD

18、 (12 分)已知长方体的长宽都是 4cm,高为 2cm. ' ' ' ' ' ' (1)求 BC 与 A C , AA 与 BC , A D 与 BC 所成角的余弦值; ' ' ' ' (2)求 AA 与 BC, AA 与 CD, AA 与 CC 所成角的大小.

19、 (12 分) ABCD 是边长为 1 的正方形,M , N 分别为 DA, BC 上的点,且 MN // AB ,沿 MN 将正方形折成直二面角 AB ? MN ? CD (1)求证:平面 ADC ? 平面 AMD ; (2)设 AM ? x (0 ? x ? 1) ,点 N 与平面 ADC 间的距离为 y ,试用 x 表示 y
D C

M

N

A

B

20、(14 分)已知正方体 ABCD ? A1B1C1D1 , O 是底 ABCD 对角线的交点. ? 面 AB1D1 . 1 求证: (1) C1O // 面 AB1D1 ;(2) AC
A1

D1 B1

C1

D O A B

C

21、(10 分)如图,平面α ∥平面β ,点 A、C∈α ,B、D∈β ,点 E、F 分 AE CF ? 别在线段 AB、CD 上,且 EB FD ,求证:EF∥β .
A

C

?
E F

B

?

D

22、 (14 分)设棱锥 M-ABCD 的底面是正方形,且 MA=MD,MA⊥AB,如图,△AMD 的面积为 1,试求能够放入这个棱锥的最大球的半径.
M

D

C

A B

题号 选项 13、50π

1
D

2
C

3
B

4
B

5
D 16、105 ,15
0 0

6
B

7 A

8
D

9
C

10
D

11 A

12
C

14、

?s 2 s
24

15、12

17、略 18、略

19、解: (1)MN⊥AM,MN//CD ∴CD⊥AM 又 CD⊥DM ∴CD⊥平面 ADM ∴平面 ADC⊥平面 ADM (2)∵MN//CD MN ? 平面 ADC CD ? 平面 ADC∴MN//平面 ADC ∴M、N 到平面 ADC 的距离相等
过 M 作 MP⊥AD ∵平面 ADM⊥平面 ADC ∴MP⊥平面 ADC∵MN⊥DM MN⊥AM ∴∠AMN=90
0

在 Rt△ADM 中, MP ?

x(1 ? x) x ? (1 ? x)
2 2

∴ y ? MP ?

x(1 ? x) 2x 2 ? 2x ? 1

20、证明: (1)连结 AC 1 1 1 1 ,设 AC
连结 AO1 , 又 O1 , O 分别是

B1D1 ? O1

ABCD ? A1B1C1D1 是正方体

? A1 ACC1 是平行四边形? AC AC 且 AC 1 1 ? AC 1 1

A1C1 , AC 的中点,?O1C1 AO 且 O1C1 ? AO ? AOC1O1 是平行四边形
面 AB1D1

?C1O AO1 , AO1 ? 面 AB1D1 , C1O ? 面 AB1D1 ? C1O
(2)

CC1 ? 面 A1B1C1D1
即AC ? B1D1 1

?CC1 ? B1D!
同理可证 AC 1



AC 1 1 ?B 1D 1, ?B 1D 1 ? 面AC 1 1C
又 D1B1

? AB1 ,

AB1 ? B1 ? AC ? 面 AB1D1 1
M

21、略 22、(14 分) 解:如图,∵ AB⊥AD,AB⊥MA
的中点, 则 EF∥AB 都相切的球,

∴ AB⊥平面 MAD,设 E、 F 分别为 AD、 BC ∴ EF⊥平面 MAD, ∴ EF⊥ME 设球 O 是与平面 MAD、 平面 ABCD、 平面 MBC 则球 O 的半径 r 满足: r= 2S△MEF ME+EF+MF

由对称性可设 O 为△MEF 的内心, 2 设 AD=EF=a,∵ S△MAD=1,∴ ME= ,MF=

H G D E A O C F B

a

a +( ) a

2

2

2

∴ r=

2 2 a+ +

a

a +( ) a

2

2


2

2 2 2+2

2 = 2 -1,且当 a= ,即 a= 2 时,上式等号

a

成立 ∴ 当 AD=ME= 2 时,与平面 MAD、平面 ABCD、平面 MBC 都相切的球的最大半径为 2 -1. 再作 OG⊥ME 于 G,过 G 作 GH⊥MA 于 H,易证 OG∥平面 MAB ∴ G 到平面 MAB 的距离就是球心 O 到平面 MAB 的距离,∵ △MGH∽△MAE,∴ 其中 MG= 2 -( 2 -1)=1,AE=

GH MG = , AE MA

2 2 2 10 MG·AE 5 5 2 ,MA= ( ) +( 2) = ∴ HG= = ,∵ > 2 -1 2 2 2 MA 5 5 ∴ 点 O 到平面 MAB 的距离大于球 O 的半径,同样,点 O 到平面 MCD 的距离大于球 O 的半径 ∴ 球 O 在棱锥 M-ABCD 中,且不可能再大,因而所求的最大球的半径为 2 -1.

★★★★★如果直角三角形的斜边与平面 ? 平行,两条直角边所在直线与平面 ? 所成的角分 别为

? 1和? 2 ,则 (

B

sin 2 ?1 ? sin 2 ? 2 ? 1 ) A.

sin 2 ?1 ? sin 2 ? 2 ? 1 C. sin 2 ?1 ? sin 2 ? 2 ? 1 B.

2 2 D. sin ?1 ? sin ? 2 ? 1


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