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2016届 数学一轮(文科) 人教A版 课时作业 第九章 平面解析几何 探究课6


(建议用时:80 分钟) x2 y2 1.椭圆a2+b2=1(a>b>0)与直线 x+y-1=0 相交于 P,Q 两点,且 OP⊥OQ(O 为原点). 1 1 (1)求证:a2+b2等于定值; ? 3 2? (2)若椭圆的离心率 e∈? , ?,求椭圆长轴长的取值范围. 2? ?3 (1)证明
2 2 2 2 2 2 ?b x +a y =a b , 由? 消去 y,

?x+y-1=0

得(a2+b2)x2-2a2x+a2(1-b2)=0,① ∵直线与椭圆有两个交点,∴Δ>0, 即 4a4-4(a2+b2)a2(1-b2)>0?a2b2(a2+b2-1)>0, ∵a>b>0,∴a2+b2>1. 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则 x1 、x2 是方程①的两实根. a2?1-b2? 2a2 ∴x1+x2= 2 ,x x = 2 .② a +b2 1 2 a +b2 由 OP⊥OQ 得 x1x2+y1y2=0, 又 y1=1-x1,y2=1-x2, 得 2x1x2-(x1+x2)+1=0.③ 式②代入式③化简得 a2+b2=2a2b2.④ 1 1 ∴a2+b2=2. (2)解 利用(1)的结论,将 a 表示为 e 的函数

c 由 e=a?b2=a2-a2e2, 代入式④,得 2-e2-2a2(1-e2)=0.

2-e2 1 1 ∴a = = + . 2?1-e2? 2 2?1-e2?
2

3 2 5 3 ∵ 3 ≤e≤ 2 ,∴4≤a2≤2. 5 6 ∵a>0,∴ 2 ≤a≤ 2 . ∴长轴长的取值范围是[ 5, 6]. x2 y2 2.已知椭圆a2+b2=1(a>0,b>0)的左焦点 F 为圆 x2+y2+2x=0 的圆心,且椭 圆上的点到点 F 的距离最小值为 2-1. (1)求椭圆方程; ? 5 ? (2)已知经过点 F 的动直线 l 与椭圆交于不同的两点 A, B, 点 M?-4,0?, 证明: ? ? →· → 为定值. MA MB (1)解 化圆的标准方程为(x+1)2+y2=1,

则圆心为(-1,0),半径 r=1,所以椭圆的半焦距 c=1. 又椭圆上的点到点 F 的距离最小值为 2-1,所以 a-c= 2-1,即 a= 2, 则 b2=a2-c2=1, x2 2 故所求椭圆的方程为 2 +y =1. (2)证明 ①当直线 l 与 x 轴垂直时,l 的方程为 x=-1.

? ? 2? 2? 可求得 A?-1, ?,B?-1,- ?. 2? 2? ? ? 7 5 2? ? 5 2? →· → =? ?-1+ , ?· ?-1+ ,- ?=- . 此时,MA MB 16 4 2?? 4 2? ? ②当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为 y=k(x+1), y=k?x+1?, ? ? 由?x2 2 +y =1, ? ?2 得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0,

2k2-2 4k2 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=- ,x x = . 1+2k2 1 2 1+2k2 5 5 5?? 5? ?? ? ? →· → =? ?x1+4,y1?· ?x2+4,y2?=?x1+4??x2+4?+y1y2 因为MA MB ? ?? ? ? ?? ?

5 ?5? =x1x2+4(x1+x2)+?4?2+k(x1+1)· k(x2+1) ? ? 5? 25 ? =(1+k2)x1x2+?k2+4?(x1+x2)+k2+16 ? ? 4k2 ? 2 25 2k2-2 ? 2 5?? =(1+k )· +?k +4??-1+2k2?+k +16 ?? 1+2k2 ? ?
2



-4k2-2 25 25 7 2 + =-2+ =- . 16 16 16 1+2k

→· → 为定值,且定值为- 7 . 所以,综上得MA MB 16 3.(2014· 北京卷)已知椭圆 C:x2+2y2=4. (1)求椭圆 C 的离心率; (2)设 O 为原点.若点 A 在直线 y=2 上,点 B 在椭圆 C 上,且 OA⊥OB,求线 段 AB 长度的最小值. 解 x2 y2 (1)由题意,知椭圆 C 的标准方程为 4 + 2 =1.

所以 a2=4,b2=2,从而 c2=a2-b2=2. 因此 a=2,c= 2. c 2 故椭圆 C 的离心率 e=a= 2 . (2)设点 A,B 的坐标分别为(t,2),(x0,y0),其中 x0≠0. →· → =0,即 tx +2y =0, 因为 OA⊥OB,所以OA OB 0 0 2y0 解得 t=- x .
0 2 又 x2 0+2y0=4,

所以|AB|2=(x0-t)2+(y0-2)2
2 2y0?2 ? 2 2 2 4y0 =?x0+ x ? +(y0-2) =x0+y0+ x2 +4 ? 0? 0 2 4-x2 0 2?4-x0? =x2 + + 2 0 2 x0 +4

x2 8 0 = 2 +x2+4(0<x2 0≤4).
0

x2 8 0 2 因为 2 +x2≥4(0<x2 0≤4),且当 x0=4 时等号成立, 0

所以|AB|2≥8. 故线段 AB 长度的最小值为 2 2. 4.(2014· 辽宁卷)圆 x2+y2=4 的切线与 x 轴正半轴,y 轴正半轴围成一个三角形, 当该三角形面积最小时,切点为 P(如图).

(1)求点 P 的坐标; (2)焦点在 x 轴上的椭圆 C 过点 P,且与直线 l:y=x+ 3交于 A,B 两点.若 △PAB 的面积为 2,求 C 的标准方程. 解 x0 (1)设切点坐标为(x0,y0)(x0>0,y0>0),则切线斜率为-y ,切线方程为 y
0 0

x0 -y0=-y (x-x0),即 x0x+y0y=4,此时,两个坐标轴的正半轴与切线围成的 1 4 4 8 三角形面积为 S=2· x· y =x y .
0 0 0 0 2 由 x2 0+y0=4≥2x0y0 知当且仅当 x0=y0= 2时 x0y0 有最大值,即 S 有最小值,

因此点 P 的坐标为( 2, 2). x2 y2 (2)设 C 的标准方程为a2+b2=1(a>b>0),点 A(x1,y1),B(x2,y2).
2 2 ?x y ? + 2 2=1, 2 2 由点 P 在 C 上知a2+b2=1,并由?a b ? ?y=x+ 3

得 b2x2+4

4 3 ? x1+x2=- b2 , ? 3x+6-2b2=0, 又 x1, x2 是方程的根, 因此? 6-2b2 ? ?x1x2= b2 .



y1=x1+ 3,y2=x2+ 3, 48-24b2+8b4 得|AB|= 2|x1-x2|= 2· . b2

由点 P 到直线 l 的距离为

3 1 3 及 S△PAB=2× ×|AB|=2 得 b4-9b2+18=0,解 2 2

x2 y2 得 b2=6 或 3, 因此 b2=6, a2=3(舍)或 b2=3, a2=6.从而所求 C 的方程为 6 + 3 =1. 5.如图,已知点 E(m,0)(m>0)为抛物线 y2=4x 内一个定点,过 E 作斜率分别为 k1, k2 的两条直线交抛物线于点 A,B,C,D,且 M,N 分别是 AB,CD 的中点.

(1)若 m=1,k1k2=-1,求△EMN 面积的最小值; (2)若 k1+k2=1,求证:直线 MN 过定点. (1)解 当 m=1 时,E 为抛物线 y2=4x 的焦点,

∵k1k2=-1,∴AB⊥CD. 设直线 AB 的方程为 y=k1(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2), ?y=k1?x-1?, 由? 2 得 k1y2-4y-4k1=0, ?y =4x, 4 y1+y2=k ,y1y2=-4.
1

2? ?x1+x2 y1+y2? ?2 ?,∴M?k2+1,k ?, ∵M? , 2 ? ? 1 1? ? 2 同理,点 N(2k2 1+1,-2k1), 1 1 ∴ S △ EMN = 2 |EM|· |EN| = 2 ? 2 ?2 ? 2 ?2 2 2 ?k2? +?k ? · ?2k2 1? +?-2k1? = 2 ? 1? ? 1?
1

1 k2 1+ 2+2 k
1

1 2 ≥2 2+2=4,当且仅当 k1 =k2,即 k1=± 1 时,△EMN 的面积取得最小值 4. (2)证明 设直线 AB 的方程为 y=k1(x-m),A(x1,y1),B(x2,y2),

?y=k1?x-m?, 由? 2 得 k1y2-4y-4k1m=0, ?y =4x

4 y1+y2=k ,y1y2=-4m,
1

2? ?x1+x2 y1+y2? ?2 ∵M? 2+m, ?, , 2 ?,∴M? k k 2 ? 1 1? ? ? 2? ?2 同理,点 N?k2+m,k ?, ? 2 2? k1k2 ∴kMN= =k k . k1+k2 1 2 ∴直线 MN 的方程为 2 ? ?2 ?? y- =k1k2?x-?k2+m??,即 y=k1k2(x-m)+2, k1 ? ? 1 ?? ∴直线 MN 恒过定点(m,2). x2 y2 6.(2015· 福建质量检查)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 Г:a2+b2=1(a>b>0) 过点(2,0),焦距为 2 3. (1)求椭圆 Г 的方程; (2)设斜率为 k 的直线 l 过点 C(-1,0)且交椭圆 Г 于 A,B 两点,试探究椭圆 Г 上是否存在点 P, 使得四边形 OAPB 为平行四边形?若存在, 求出点 P 的坐标; 若不存在,请说明理由. 解 (1)由已知得 a=2,c= 3,

因为 a2=b2+c2,所以 b2=a2-c2=1, x2 所以椭圆 Г 的方程为 4 +y2=1. (2)依题意得,直线 l:y=k(x+1),设 A(x1,y1),B(x2,y2),假设椭圆 Г 上存在 ?x1+x2=x0, 点 P(x0,y0)使得四边形 OAPB 为平行四边形,则? ?y1+y2=y0.

y=k?x+1?, ? ? 由?x2 2 +y =1, ? ?4 得(1+4k2)x2+8k2x+4(k2-1)=0, -8k2 所以 x1+x2= , 1+4k2 ? -8k ? 2k y1+y2=k(x1+x2+2)=k? 2+2?= 2. 1 + 4 k ? ? 1+4k -8k ? ?x0=1+4k2, 于是? 2k y0= ? ? 1+4k2, 2k ? ? -8k 即点 P 的坐标为? 2, 2?. ?1+4k 1+4k ? 又点 P 在椭圆 Г 上, ? -8k ?2 ? 2? ?1+4k ? ? 2k ?2 所以 +?1+4k2? =1, 4 ? ? 整理得 4k2+1=0,此方程无解. 故椭圆 Г 上不存在点 P,使得四边形 OAPB 为平行四边形.
2 2 2 2


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