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七年级列方程解应用题复习


二、知识梳理:
1、列方程解应用题: 学习列方程解应用题是十分重要的,首 先从学习内容上讲,中学数学的学习离不开 方程,离不开利用列方程来解决应用问题, 特别是我们已经明确了这样一种思想:学习 数学重在应用.因此列方程解应用题中蕴含 的思想方法对学习者而言是十分重要的.第 二,通过列方程解应用题可以培养和提高分 析问题和解决问题的能力.这对于一个人的 发展也是十分重要

的.

列方程过程的实质有多种说法:如“通过 分析,找出等量关系,而列出方程”,或 “把题目中蕴含的相等关系找出来,列出方 程”.这些说法都指明了列方程的方向—— 找出相等关系.一般步骤如下: (1)审题、弄清题意,分清哪些是已知量,哪 些是未知量. (2)设未知数,选一个适当的未知量设为未知 数x. (3)列方程. (4)解所列的方程. (5)根据题意,作出答案.

具体可从以下三条途径出发研究解决:
(1)图解分析: 分析问题中的数量关系时,借助图 形,可以使抽象的关系直观化、简单化, 根据题意画图列式是对同学们的思维能 力的有效培养.这里,应要求“图要达 意”,避免图上发生错误而造成列式错 误.

(2)列表分析: 列表法的优点是通过列表归类使 对应量之间关系较为清晰,往往有利于 运用比例分析法显示解题思路. (3)框图分析: 框图分析是由文字语言、符号语 言及长方格通过题中相等关系确立而成, 容易操作,不拘一格。

例1、某连队从驻地出发前往某地执行任 务.行军速度是6千米/时,18分钟后, 驻地接到紧急命令,派遣通讯员小王 必须在一刻钟内把命令传达给连 队.小王骑自行车以14千米/时的速度 沿同一路线追赶连队.问是否能在规 定时间内完成任务.

例2、汽船从甲地顺水开往乙地,所用 时间比从乙地逆水开往甲地少1.5小 时.已知此船在静水中速度为18千米 /时,水流速度为2千米/时.求甲、 乙两地间的距离.

2、抓住“不变量”解应用题
列方程解应用题的关键是寻找数 量间的相等关系,这要从分析题中的 基本量入手去寻找.一般说来,一个 问题中有几种基本量就可以找出几种 相等关系.但有些应用题中的相等关 系不外露,如能抓住问题中的“不变 量”即可得到相等关系,从而列出方 程,甚至能找出多种解法,拓宽解题 思路.

例3、某工人在一定时间内加工一批零件, 如果每天加工44个就比规定任务少加工 20个;如果每天加工50个,则可超额10 个.求规定加工的零件数和计划加工的 天数. 分析:本题每天加工的零件数是变量,实 际做的工作总量也随着变化,但有两个 不变量,即计划加工的时间不变,规定 任务不变,这就是题目中的等量关系, 故可得到两种解法.

例4、一艘轮船从甲地顺流而下8小时到达 乙地,原路返回要12小时,才能到达甲 地,已知水流速度是每小时3千米,求 甲、乙两地的距离. 分析:本题中甲、乙两地间的距离与轮船 本身的速度(静水速度)是“不变量”, 分别抓住这两个“不变量”即得两种不 同的等量关系.可从两个不同方面设出 未知数.

有关溶液的浓度应用题是初中 代数中列方程解应用题的一类基 本题.解这类应用题,关键的问 题是:抓住不变量(如稀释前溶质 重量等于稀释后溶质重量)列方 程.

(1)求溶质

例5、现有浓度为20%的盐水300克和浓度为30 %的盐水200克,需配制成浓度为60%的盐水, 问两种溶液全部混合后,还需加盐多少克? 解:设两种溶液全部混合后,还需加盐x克,注 意混合前后溶质总量不变,依题意得方程: 20%×300+30%×200+x=60%(300+200+x). 化简得2x=900.解这个方程得x=450. 答:两种溶液全部混合后,还需加盐450克.

(2)求溶剂
例6、要把浓度为90%的酒精溶液500克, 稀释成浓度为75%的酒精溶液,需加水 多少克. 解:设需加水x克,因为加水前后溶质数 量不变,依题意得方程 75%(x+500)=90% ×500. 化简得15x=1500. 解这个方程得x=100. 答:需加水100克.

(3)求溶液
例7、有若干克4%的盐水蒸发了一些水分后, 变成10%的盐水,接着加进4%的盐水300克, 混合后变为6.4%的盐水, 问:最初有盐水多少克? 解:设最初有盐水x克,注意混合后的含盐量, 依题意得方程 4% ? x
4% ? x ? 4% ? 300 ? 6.4%( ? 300).

化简得 1.44x=720. 解这个方程得x=500. 答:最初有盐水500克.

10%

(4)求浓度
例8、甲种硫酸溶液含硫酸的百分数是乙种硫酸溶液 的1.5倍,甲种硫酸溶液5份与乙种硫酸溶液3份混 合成的硫酸溶液含硫酸52.5%,求两种硫酸溶液含 硫酸的百分数. 解:设乙种硫酸溶液含硫酸的百分数为x,则甲种硫 酸溶液含硫酸的百分数为1.5x,依题意得方程 5×1.5x+3x=52.5%×8. 化简得105x=42.解这个方程得x=0.4=40%, 则 1.5x=1.5×0.4=0.6=60%. 答:甲种硫酸溶液含硫酸的百分数是60%,乙种硫酸 溶液含硫酸的百分数是40%.

从以上几例可以看出: 抓住不变量关系是解决有 关百分比浓度应用题中所涉及的 各种量的关键.

3、用整体思想解应用题
数学崇尚简捷.初中不少数学应用题 若能着眼于整体结构,往往能触及问 题的本质,从而获得简捷明快的解 法.把整体思想解题用于教学不但可 以培养学生着眼于整体的意识,而且 有利于培养学生思维的敏捷性.

例9、甲、乙两人分别从A、B两地同 时相向出发,在离B地6千米处相遇 后又继续前进,甲到B地,乙到A地 后,都立即返回,又在离A地8千米 处相遇,求A、B两地间的距离.

分析:用常规方法解决本题具有一定难度,若把两个 运动过程一起处理,便可使问题迎刃而解.

解:如图,第一次相遇,甲、乙两人合走一个全程, 对应乙走6千米; 第二次相遇,甲、乙两人合走了三个全程,故乙共 走了18千米, 设A、B两地间的距离为x千米,第二次相遇时乙走了 (x+8)千米, 所以x+8=18,x=10. 答:A、B两地间距 离为10千米.

例10、甲、乙两人分别从A、B两地相向而行,若两人 同时出发,则经4小时相遇;若甲先出发3小时后乙 再出发,则经2小时相遇,问甲、乙单独走完AB这 段路程各需几小时? 解:由两人同时出发经4小时相遇,知两人2小时走全 程的一半; 又由甲出发3小时后乙再出发,经2小时相遇,知甲3 小时走完全程的一半. 故甲走完全程需6小时. 因甲走5小时,乙走2小时可走完全程,而甲6小时走 完全程,故甲走1小时的路程乙需走2小时,故乙走 完全程需12小时. 答:单独走完全程,甲需6小时,乙需12小时.

注意:用常规方法解题是必要的,但 本题运用整体思想求解不但看透了本 质,而且利于培养学生的逻辑思维能 力.

4、合理设元巧解一元一次方程应用题:
列方程解应用题在初中代数中既是重点,又 是难点.怎样列方程解应用题,除了找出题中的相 等关系外,关键还在于如何设元.在列方程解应用 题时,大多时候是将要求的量设为未知元(设直接 元).而有时设直接元时,不易找出题目中的相等 关系,此时则应恰当选择题目中要求的未知量外有 关的某个量为未知元(设间接元),求出这些量后, 再用这些量求出要求的量.还有些时候除了设直接 元或间接元,还要设辅助列方程的量为未知元(设 辅元),它在方程中,不需求出或不能求出,但便 于建立相等关系列方程.

(1)不同的设元有不同的方程
应用题一般有多个未知量,因而有多种 设元方法,从而有多种不同的方程. 例11、从A地到B地,先下山然后走平路,某人 骑自行车以每小时12千米的速度下山,而以 每小时9千米的速度通过平路,到达B地共用 55分钟.回来时以每小时8千米的速度通过平 路而以每小时4千米的速度上山,回到A地共 用1.5小时,从A地到B地有多少千米?

(2)直接设元与间接设元
一般情况下采用直接设元,即问 什么就设什么,但有时根据问题的 性质,选设适当的间接未知量,就 可能使数量之间的复杂关系变得比 较简单,容易列出关于间接未知量 的方程来.

例12、从家里骑车到火车站,若每小 时行30千米,则比火车开车时间早 到15分;若每小时行18千米,则比 火车开车时间迟到15分.现要求在 火车开车前10分钟到达火车站,骑 车的速度应是多少?

例13、设有五个数,其中每四个数之和分别是15、22、 23、24、32,求这五个数. 分析:这个题目如果设直接元,就应设五个未知元, 涉及几个未知数的问题,须列出几个方程,不易解 出.因此,我们想到设间接元的方法,题中已知五 个数中四个数之和,若设五个数总和为x,则这五 个数分别是:x-15,x-22,x-23,x-24,x-32,它 们的和等于x. 解:(设间接元)设这五个数的和是x 则(x-15)+(x-22)+(x-23)+(x-24)+(x-32)=x. 解方程得x=29. 这五个数分别为:29-15=14,29-22= 7,29-23=6, 29-24=5,29-32=-3. 答:这五个数是14,7,6 ,5,-3.

(3)加设辅助元
有些应用题中,常隐含一些未知的常 量,这些量对于求解无直接联系,但 如果不指明这些量的存在,则难求其 解.因而常把这些未知的常量设为参 数,作为桥梁帮助思考,这就是加设 辅助元.

例14、一轮船从重庆到武汉需5昼夜,从 武汉到重庆需7昼夜,试问一木排从重 庆漂流到武汉需要多少时间? 分析:该题若设直接元,即木排漂流所需 时间,很难找到相等关系来列方程,但 由题意知轮船从重庆到武汉为顺水航行, 从武汉到重庆为逆水航行,轮船在静水 中速度不变,木排漂流速度为水流速度, 引入辅助元:重庆到武汉轮船行驶路程 为s,水流速度为v,由轮船在静水中速 度不变可列方程.

说明:在列出一元一次方程解应用题时, 因为方程中只有一个未知数,所以不 管应用题中有几问,都只能设一个未 知数,但有时只设出一个未知数,有 关的等量关系很难表达,这样就需要 在方程中引入一个辅助元,便于列出 方程表达等量关系,这个辅助元在解 的过程中,常常被约掉,实际上还是 一个未知数.

例15、某人上午8时乘装有竹杆的船逆流 而上,10时半发现一捆竹杆掉入河中, 他立即掉头顺流去追,用30分追上了 竹杆.竹杆是何时掉入河中的? 注:在以上求解中,我们是以河岸为参 照物来设定船速V和水流速度v的.并 且,我们发现船速和水速实际上对结 果都无影响.可以说这里的参数V、v 是设而不求,只起到一个中间过渡作 用.

例16、一组割草人要把两块到处长得一 样密的草地里的草割完,大的一块比 小的一块大一倍,上半天全部人在大 草地割草;下半天一半人仍留在大草 地上,到晚上把草割完,另一半人去 割小草地的草,到晚上还剩下一小块, 最后由一人再用一天的时间刚好割 完.如果这组割草人每天割草速度是 相等的,问他们共有多少人?

(4)整体设元
在某些应用题中,直接设元相 当困难,就是间接设元,也会感到未 知数太多,已知关系太少.如果在未 知数的某一部分中存在一个整体关系, 可设这一部分为一个未知量,这样就 减少了设元的个数,从而易列出方程 (组).这种设元方法称之为整体设 元.

例17、一个五位数的最高位上数字是5, 若将这个5移至最右边的数位上,这所 得的五位数比原数的2/3多7001,求原 五位数。 【注】 此题中的原五位数后四位组成的 数在题中没有变化,故可设其为x.若 分别设个十百千上的数字,则有四个未 知量,仅一个相等关系,无法解题.

列方程解应用题中的设元问题是 一个十分广泛、灵活而有趣的内容, 没有一种万能的方法,没有一种必由 的途径.总之,设元的宗旨要使列方 程的思路简捷,列出的方程的解法容 易.在学习中必须灵活运用.切忌生 搬硬套.

三、小结:
列方程解应用题的原理是:正确列出的 方 程能准 确地表 达出题 目中各 量之间 的关 系.就是说,方程即表达了题意,这样方程 中 未知数 的值能 使方程 成立 , 也就符 合题 意. 我们对间接未知数的作用有了一个初步 的了解,它是我们从已知通向未知,从复杂 通向简单,从困难通向容易的一座桥梁。正 因为如此,在选择哪一个未知数作为间接未 知数时,要经过认真思考,为此一定要弄清 题意,弄清题目中已知数与未知数之间的数 量关系。

四、课后练习:
1、现有含盐15%的盐水350克,稀释成 含盐2%的盐水,问应加水多少克? 2、甲、乙两人从同一村庄步行去县城, 甲比乙早出发1小时,而晚到1小时,甲 每小时走4千米,乙每小时走6千米,求 从村庄到县城的路程? 3、三个数中每两个数之和分别是27、28、 29,求这三个数.

4、李伟从家里骑摩托车到火车站,如 果每小时行30千米,那么比火车开车 时间早到15分钟;若每小时行18千米, 则比火车开车时间迟到15分钟.现在 李伟打算在火车开车前10分钟赶到火 车站,李伟此时骑摩托车的速度应该 是多少?

5、从两块重量分别为12千克和8千克, 并且含铜百分数不同的合金上,分别 切下重量相同的一块,并把所切下的 一块与另外一种合金所剩下的部分合 在一起熔炼,形成两块新的合金,并 且这两块新合金的含铜百分数相同, 问开始在每种合金上切下的一部分重 量是多少千克?

6、一船往返于甲、乙两个码头之间, 由甲到乙是顺水,乙到甲是逆水, 并知船在静水中的速度为8千米/时, 平时逆水行与顺水行一次的时间比 为2∶1,某天恰逢暴雨,水流速度 是原来的2倍,这条船往返甲、乙两 码头之间一次共用9小时,求甲、乙 两码头间的距离是多少千米?


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