当前位置:首页 >> 数学 >>

2013年福建省普通高中毕业班质量检查理科数学word版


2013 年福建省普通高中毕业班质量检查


5 页.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 注意事项:







本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题),第 II 卷第 21 题为选考题,其他题为必考题.本试卷共

1

.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.考生作答时,将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区 域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效. 3.选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号;非选择题答案 使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚. 4.做选考题时,考生按照题目要求作答,并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 5.保持答题卡卡面清洁,不折叠、不破损.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 参考公式: 样本数据 x1,x2, …,xn 的标准差 s= 锥体体积公式

1 ?( x1 ? x )2 ? ( x2 ? x )2 ? … ? ( xn ? x )2 ? ? n?

V=

1 Sh 3

其中 x 为样本平均数 柱体体积公式 V=Sh 其中 S 为底面面积,h 为高

其中 S 为底面面积,h 为高 球的表面积、体积公式

S ? 4?R2 , V ?

4 3 ?R 3

其中 R 为球的半径

第Ⅰ卷(选择题
题目要求的.

共 50 分)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合

1.已知复数 z ? 1 ? i , z 为 z 的共轭复数,则下列结论正确的是 A. z ? ?1 ? i
2

B. z ? ?1+i

C. z ? 2

D. z ?

2

2.已知向量 a ? (m , 4), b ? (1,1) ,则“ m ? ?2 ”是“ a//b ”的

A .充分而不必要条件

B .必要而不充分条件 D .既不充分也不必要条件
1

C .充要条件

3.函数 f ( x) ? log 1 cos x ( ?
2

?

? x ? ) 的图象大致是 2 2

?

A

B

C

D

4.执行如图所示的程序框图,若输入的 x 值为 2,则输出的 x 值为 A.3 B.126 C. 127 D. 128

5.设 m, n 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面.下列命题正确的是

A .若 m // n, m ? ? ,则 n ? ? B .若 m // n, m // ? ,则 n // ?

C .若 m // ? , m // ? ,则 ? // ?

D .若 n ? ? , n ? ? ,则 ? ? ?

6.已知函数 f ( x) ? 2sin 2 x ? 2 3sin x cos x ?1 的图象关于点 (? , 0) 对称,则 ? 的值可以是 A. ?

? 6
2

B.

? 6

C. ?

? 12

D.

? 12

7.设抛物线 y ? 6 x 的焦点为 F ,准线为 l , P 为抛物线上一点, PA ? l ,垂足为 A .如果 ?APF 为正 三角形,那么 | PF | 等于

A .4 3

B. 6 3

C. 6

D . 12

8.在矩形 ABCD 中, AB ? 1 , AD ? 3 , P 为矩形内一点,且 AP ?

3 . 若 2

AP ? ? AB ? ? AD ? ?, ? ?R ? ,则 ? ? 3? 的最大值为
A.

3 2

B.

6 2

C.

3? 3 4

D.

6 ?3 2 4

? x ? kx 2 , x ? 0, ? 9.若函数 f ( x) ? ? x ? 1 有且只有 2 个不同的零点,则实数 k 的取值范围是 ? ln x, x?0 ?
A. (?4, 0) B. (??, 0] C. (?4,0]
2

D. (??, 0)

10.设数集 S ? ?a, b, c, d ?满足下列两个条件: (1) ?x, y ? S , xy ? S ; (2) ?x, y, z ? S , 若 x ? y , 则 xz ? yz . 现给出如下论断: ① a, b, c, d 中必有一个为 0; ② a, b, c, d 中必有一个为 1;

③若 x ? S 且 xy ? 1 ,则 y ? S ;④存在互不相等的 x, y, z ? S ,使得 x2 ? y, y 2 ? z . 其中正确论断的个数是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

第Ⅱ卷(非选择题
11. ( x ? 2)4 展开式中含 x 项的系数等于
2

共 100 分)

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在答题卡相应位置. .

?3 x ? y ? 1 ? 0, ? 12.若变量 x, y 满足约束条件 ?3 x ? y ? 11 ? 0, 则 z ? 2 x ? y 的最大值为 ? y ? 2, ?



13.已知直线 l: y ? ? 3( x ?1) 与圆 O : x 2 ? y 2 ? 1在第一象限内交于点 M,且 l 与 y 轴交于点 A , 则

?MOA 的面积等于



14. 如图,A1 , A2 ,?, Am?1 ? m ? 2? 为区间 ?0,1? 上的 m 等分点, 直线 x ? 0 ,x ? 1 ,

y ? 0 和曲线 y ? ex 所围成的区域为 ?1 , 图中 m 个矩形构成的阴影区域为 ? 2 ,
在 ?1 中任取一点,则该点取自 ? 2 的概率等于 .

l 0 0x ? 15.定义两个实数间的一种新运算“*” x ? y ? g1 1 , :

?

y

?

x, y ? R .

当 x * x ? y 时, x ? * y .对任意实数 a, b, c ,给出如下结论: ① ?a * b?* c ? a * ?b * c ? ; ② ? a * b? ? c ? ? a ? c ? * ?b ? c ? ; ③ a *b ? b * a ; 其中正确的结论是 ④* a * b ?

a?b . 2

. (写出所有正确结论的序号)

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

3

16. (本小题满分 13 分) 某几何体 ABC? A1 B1C1 的三视图和直观图如图所 示. (Ⅰ)求证: A1C ? 平面AB1C1 ; (Ⅱ)求二面角 C1 ? AB1 ? C 的余弦值.

17.(本小题满分 13 分) 国Ⅳ标准规定:轻型汽车的氮氧化物排放量不得超过 80 mg / km .根据这个标准,检测单位从某出租车公 司运营的 A、B 两种型号的出租车中分别抽取 5 辆,对其氮氧化物的排放量进行检测,检测结果记录如下 (单位: mg / km ) 8 A 5 7 B 0 0 8 5 8 0 9 5 6 0 9

x

y
5

7

由于表格被污损,数据 x, y 看不清,统计员只记得 A、B 两种出租车的氮氧化物排放量的平均值相等,方 差也相等. (Ⅰ)求表格中 x 与 y 的值; (Ⅱ)从被检测的 5 辆 B 种型号的出租车中任取 2 辆,记“氮氧化物排放量超过 80 mg / km ”的车辆数 为 ? ,求 ? 的分布列和数学期望. 18. (本小题满分 13 分) 如图,我海监船在 D 岛海域例行维权巡航,某时刻航行至 A 处,此时测 得其东北方向与它相距 16 海里的 B 处有一外国船只, D 岛位于海监船 且 正东 14 2 海里处 . (Ⅰ)求此时该外国船只与 D 岛的距离; (Ⅱ) 观测中发现, 此外国船只正以每小时 4 海里的速度沿正南方向航行. 为了将该船拦截在离 D 岛 12 海里处,不让其进入 D 岛 12 海里内的海域,试确定海监船的航向,并求其
4

速度的最小值. (参考数据: sin 36 52' ? 0.6 , sin 53 08' ? 0.8 )
o o

19. (本小题满分 13 分)

x2 y 2 ? 3? 如图 1,椭圆 E : 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,左、右顶点分别为 A , A2 , T ?1, ? 1 a b ? 2?
为椭圆上一点,且 TF2 垂直于 x 轴. (Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)给出命题: “已知 P 是椭圆 E 上异于 A , A2 的一点,直线 A1 P,A2 P 分 1 别交直线 l : x ? t ( t 为常数)于不同两点 M 、N ,点 Q 在直线 l 上. 若直线 则 , PQ 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P , Q 为线段 MN 的中点” 写出此命 题的逆命题,判断你所写出的命题的真假,并加以证明; (Ⅲ)试研究(Ⅱ)的结论,根据你的研究心得,在图 2 中作出与该双曲线 有且只有一个公共点 S 的直线 m ,并写出作图步骤. 注意:所作的直线不能与双曲线的渐近线平行.

20.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ?

ax2 的图象在点 ?2, f ?2? ? 处的切线方程为 y ? 2 . 2x ? b

(Ⅰ)求 a, b 的值及 f ?x ? 的单调区间; (Ⅱ)是否存在平行于直线 y ?

1 x 且与曲线 y ? f ?x ? 没有公共点的直线?证明你的结论; 2

(Ⅲ)设数列 ?an ?满足 a1 ? ? ?? ? 1? , an?1 ? f ?an ? ,若 ?an ?是单调数列,求实数 ? 的取值范围.

5

21.本题有(1)(2)(3)三个选答题,每题 7 分,请考生任选 2 题作答,满分 14 分.如果多做,则按 、 、 所做的前两题记分.作答时,先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑,并将所选题号填入括 号中. (1) (本小题满分 7 分)选修 4-2:矩阵与变换 已知矩阵 M ? ?

? 4 ?3 ? ?7? ? ,向量 ? ? ? ? . ? 2 ?1 ? ?5?

(Ⅰ) 求矩阵 M 的特征值及属于每个特征值的一个特征向量; (Ⅱ)求 M ? .
3

(2) (本小题满分 7 分) 选修 4—4:极坐标与参数方程 如图,在极坐标系中,圆 C 的圆心坐标为 ?1, 0 ? ,半径为 1 . (Ⅰ)求圆 C 的极坐标方程; (Ⅱ)若以极点 O 为原点,极轴所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系.已知直线

? ? ? x ? ?1 ? t cos 6 , ? l 的参数方程为 ? ( t 为参数) ,试判断直线 l 与圆 C 的位置关系. ? y ? t sin ? ? 6 ?
(3) (本小题满分 7 分) 选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? 2 x ? 5 ? x . (Ⅰ)求证: f ( x) ? 5 ,并说明等号成立的条件; (Ⅱ)若关于 x 的不等式 f ( x) ?| m ? 2 | 恒成立,求实数 m 的取值范围.

6

2013 年福建省普通高中毕业班质量检查 理科数学试题参考解答及评分标准 说明: 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解 法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则. 二、对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度, 可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应给分数的一半;如果后继部分的解答 有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数.选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题 5 分,满分 50 分. 1. D ; 2. A ; 3. C ; 4. C ;5. A ;6. D ;7. C ;8. B ;9. B ;10. C . 二、填空题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题 4 分,满分 20 分. 11.24; 12.9; 13.

3 ; 14. 4

1 m(e ? 1)
1 m



15.①②③④.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.本小题主要考查简单几何体的三视图,直线与直线、直线与平面的位置关系,二面角等基础知识;考 查空间想象能力、 推理论证能力、 运算求解能力, 考查数形结合思想、 化归与转化思想、 函数与方程思想. 满 分 13 分. 解法一: (Ⅰ) 由三视图可知, 在三棱柱 ABC? A1 B1C1 中, 1 ? 底面A1 B1C1 , 1C1 ? A1C1 ,且 AA1 ? AC ? 4 , AA B

BC ? 3 .?????????????2 分
以点 C 为原点,分别以 CA 、 CB 所在直线为 x 轴、 y 轴,建立空间直角坐 标系,如图.由已知可得

A?4,0,0?, B?0,3,0?, C?0,0,0?, A1 ?4,0,4?, B1 ?0,3,4?, C1 ?0,0,4? ,

?CA1 ? ?4,0,4?, C1 A ? ?4,0,?4?, C1 B1 ? ?0,3,0? .??????4 分 ???? ???? ???? ???? ? ?CA1 ? C1 A ? 4 ? 4 ? 0 ? 0 ? 4 ? (?4) ? 0, CA1 ? C1B1 ? 4 ? 0 ? 0 ? 3 ? (?4) ? 0 ? 0 ,
7

? CA1 ? C1 A, CA1 ? C1 B1
又 C1 A ? C1 B1 ? C1 ,? A1C ? 平面AB1C1 .??????????????7 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)得, CA ? ?4,0,0?, CB1 ? ?0,3,4? ,

???? ?CB1 ? ? 0, n ? 设平面 AB1C 的法向量为 n ? ?x, y, z ?, 则 CA ? n, CB1 ? n, ? ? ??? ? n ? CA? ? 0, ?

?4 x ? 0, ?? ?3 y ? 4 z ? 0,
令 y ? 4 ,得平面 AB1C 的一个法向量为 n ? ?0,4,?3?, ?????????10 分 由(Ⅰ)知, CA1 是平面 AB1C1 的法向量,?????????????11 分

???? ???? n ? CA1 ?12 3 2 . cos n, 1 ? ???? ? CA ?? 10 n CA1 20 2
故二面角 C1 ? AB1 ? C 的余弦值为 解法二: (Ⅰ) 由三视图可知, 在三棱柱 ABC? A1 B1C1 中, 1 ? 底面A1 B1C1 , 1C1 ? A1C1 ,且 AA1 ? AC ? 4 , AA B

3 2 .???????????13 分 10

BC ? 3 .???????????????2 分

? AA1 ? 平面A1 B1C1 , B1C1 ? 平面A1 B1C1 ,? AA1 ? B1C1 , ? B1C1 ? A1C1, AA1 ? A1C1 ? A1 ,? B1C1 ? 平面A1 ACC1 ,????????4 分 ? A1C ? 平面A1 ACC1 ,? A1C ? B1C1 .????????????????5 分
由正方形 A1 ACC1 可得, A1C ? AC1 ,又 AC1 ? B1C1 ? C1 ,? A1C ? 平面AB1C1 .??????7 分 (Ⅱ)同解法一. 17.本题主要考查概率统计中数据平均值与方差、随机变量的分布列、数学期望等基础知识,考查数据处 理能力、运算求解能力以及应用用意识,考查必然与或然思想等.满分 13 分.
2 2 解:(Ⅰ)依题意得 xA ? xB , sA ? sB ,

=80 又 xA = (85+80+85+60+90) ,xB = (70+x ? 95+y+75) ,

1 1 5 5 1 1 2 2 s2 = (25+0+25+400+100) =110 ,s2 = ?100+(x ? 80)+225+(y ? 80)+25? , A B ? ? 5 5 ∴ x ? y ? 160
8

∴ ?

x+ y = 160, ? ? x ? 70, ? x ? 90, 解得 ? 或? 2 2 ( ? x ? 80)+(y ? 80)=200, ? y ? 90, ? y ? 70.

…………6 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)可得 B 种轻型汽车不会被惩罚的车辆数为 3,随机变量 ? ? 0,1, 2 .
P(? ? 0) ? C1 C1 C2 3 C2 1 6 2 ? , P(? ? 1) ? 2 2 3 ? , P(? ? 2) ? 3 ? .…………9 分 2 2 C5 10 C5 10 C5 10

故 ? 的分布列为

?
P

0

1 10

1 2 6 3 10 10 ……………………………………… 11 分
………………………………………………13 分

∴ E? ? 0 ?

1 6 3 6 ? 1? ? 2 ? ? . 10 10 10 5

18.本小题主要考查余弦定理等基础知识,考查应用意识、运算求解能力,考查化归与转化思想等.满分 13 分. 解法一: (Ⅰ)依题意,在 ?ABD 中 ?DAB ? 45 ,由余弦定理:
0

DB2 ? DB2 ? AB2 ? 2DA ? AB ? cos?DAB
2 ? 14 2) ? 162 - 2 ? 14 2 ? 16 ? (

2 ? 200 2
D
岛 距 离

此 时 该 外 国 船 只 与

DB ? 10 2 海 里

5分 (Ⅱ)在 ?ABD 中作 B C ? DA 于点 C 。 由正弦定理:

DB AB ? sin ?BAD sin ?BDA

? sin ?BDA ?

16sin 450 10 2

?

4 5

6分

4 ?8 2 5 3 DC ? BD cos ?BDA ? 10 2 ? ? 6 2 5 在 BC 上取点 E 使得 ED ? 12 ,连接 AE , ED .
在 Rt ?BCD 中 BC ? BD sin ?BDA ? 10 2 ? 在 Rt ?CED 中, ED ? 12 , DC ? 6 2

7分

∴ CE ? 6 2 ∴ EB ? BC - CE ? 2 2

在 Rt?AE C 中, AC ? AD - DC ? 8 2 ∴ EA ? 10 2 , sin ?EAD ?

CE 3 ? ? ?EAD ? 36o 52' CA 5

9分

又该外国船只到达点 E 的时间 t ?

BE 2 2 2 小时。 ? ? 4 4 2

10 分

9

则我海监船速度 v ?

AE 10 2 ? ? 20海里/小时。 t 2 2

12 分

(注:取“=”叩 1 分) ∴我海监船要以北偏东 90 - 36 52' ? 53 08 的航向和至少每小时 20 海里的速度前往点 E 处拦截。
o 0 o '

13 分 解法二: (Ⅰ)同解法一 (Ⅱ)在 ?ABD 中作 B C ? DA 于点 C 。

, 在 Rt ?BCA 中, AB ? 16 ?BAC ? 45 ? BC ? 8 2,AC ? 8 2
0

在 BC 上取点 E 使得 ED ? 12 ,连接 AE , ED . 在 Rt?CED 中, ED ? 12 DC ? AD - AC ? 14 2 - 8 2 ? 6 2 , , 所以 CE ? 6 2,BE ? 2 2 所以在 Rt?CEA 中, AC ? 8 2,AE ? 10 2 , sin ?EAC ? 7分

CE 3 ? AE 5
9分

? ?EAC ? 36o 52'
国为该外国船只到达点 C 的时间 t ?

BE 2 2 2 小时。 ? ? 4 4 2

10 分

所以我海监船速度 v ?

AE 10 2 ? ? 20海里/小时。 t 2 2

12 分

所 以 我 海 监 船 要 以 北 偏 东 90 - 36 52' ? 53 08 的 航 向 和 至 少 每 小 时 20 海 里 的 速 度 前 往 拦 截 。
o 0 o '

13 分 (注:取“=”扣 1 分) 解法三:以 A 点为原点,以 AD 所在的直线为 x 轴建立直角坐标系,如 图。 (Ⅰ)依题意, D(14 2, , | AB |? 16 ?BAD ? 45 , , 0)
0

2 2 所以 B(8 2, 2)| DB |2 ? 14 2 - 8 2) ? 8 2) ? 200. , ( ( 8

此时该外国船只距与 D 岛距离 DB ? 10 2 海里

5分

(Ⅱ)以点 D 为圆心,以 12 为半径作圆 D,则圆 D 的方程为: x - 14 2 ) 2 ? y 2 ? 144 ( 在 ?ABD 中作 B C ? DA 于点 C ,则直线 B C 的方程为: x ? 8 2 设直线 B C 与圆 D 在第一象限的交点为点 E ,联接 EA 。 7分

10

联立 ?

? (x - 14 2 ) 2 ? y 2 ? 144 , ? 解得 E(8 2,6 2 ) , ? x ? 8 2, ?
(8 2 ) 2 ? (6 2 ) 2 ? 10 2 , | BE |? 8 2 - 6 2 ? 2 2 ,

8分

所以 | AE |?

所以 tan?EAC ? k AC ?

6 2 8 2

?

3 3 0 ,所以 sin ?EAD ? , ?EAD ? 36 52 ' 。 5 4

国为该外国船只到达点 E 的时间 t ?

| BE | 2 2 2 小时, ? ? 4 4 2

10 分

所以我海监船速度 v ?

| AE | 10 2 ? ? 20 海里/小时。 t 2 2

12 分

所 以 我 海 监 船 要 以 北 偏 东 90 - 36 52' ? 53 08 的 航 向 和 至 少 每 小 时 20 海 里 的 速 度 前 往 拦 截 。
o 0 o '

13 分 19.本小题主要考查椭圆的标准方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识,考查推理论证能 力、运算求解能力,考查化归与转化思想、数形结合思想、特殊与一般思想等.满分 13 分. 解法一: (Ⅰ)因为 T ?1, ? 为椭圆上一点, TF2 垂直于 x 轴,所以在 ?TF1 F2 中, TF1 ?

? 3? ? 2?

5 3 , TF2 ? , 2 2

? TF1 ? TF2 ? 2a, ? a ? 2, ? 所以 ? 所以 b ? 3 , F1F2 ? 2 ,又因为 ? ? F1 F2 ? 2c, ? c ? 1, ?
所以椭圆 E 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 .????????????????4 分 4 3

(Ⅱ)逆命题: “已知 P 是椭圆 E 上一点,直线 A1P、A2 P 分别交直线 l : x ? t ( t 为常数)于 M 、N 两 点,若 Q 为线段 MN 的中点,则直线 PQ 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P ” ,为真命题.?????6 分 证明如下: 设 P ? x0 , y0 ? ,则
2 2 x0 y0 ? ? 1, 4 3

又 l A1P : y ?

? y ?t ? 2? ? ? y0 ? t ? 2 ? ? y0 y ? x ? 2? , lA2 P : y ? 0 ? x ? 2? ,所以 M ? t , 0 ? , N ? t, ?, x0 ? 2 ? x0 ? 2 ? x0 ? 2 x0 ? 2 ? ?

y0 ? t ? 2 ? y0 ? t ? 2 ? ? y ? x t ? 4? x0 ? 2 x0 ? 2 设 MN 的中点 Q( x1 , y1 ) ,则 x1 ? t , y1 ? , ? 0 20 2 x0 ? 4
11

又因为 x0 ? 4 ?
2

2 ? ?3 ? x0t ? 4 ? ? y0 ? x0t ? 4 ? ?3 ? x0t ? 4 ? ?4 y0 ,所以 y1 ? ,即点 Q ? t , ? ? ,???8 分 2 4 y0 3 x0 ? 4 4 y0 ? ?

所以 k PQ

?3 ? x0t ? 4 ? ? y0 2 ?3 ? x0t ? 4 ? ? 4 y0 ?3x0 3x 2 ? 3x0t 4 y0 ? , ? ? ? 0 4 y0 ? t ? x0 ? t ? x0 4 y0 ? t ? x0 ? 4 y0
?3x0 3x 3 ? x ? x0 ? ? y0 ,即 y ? ? 0 x ? . 4 y0 4 y0 y0

则 lPQ : y ?

? x2 y 2 ? 4 ? 3 ? 1, 3 2 3x0 3 ? 联立方程 ? ,消 y 并化简得: x ? 2 x ? 2 ? 1 ? 0 , ?????9 分 2 4 y0 2 y0 y0 ? y ? ? 3x0 x ? 3 , ? 4 y0 y0 ?
2 ? 3x ? ? 3 ?? 3 ? 9 x2 ? 12 y0 ? 36 ? 1? ? 0 所以 ? ? ? ? 0 ? ? 4 ? ?0, 2 2 ?? 2 4 4 y0 ? 2 y0 ? ? 4 y0 ?? y0 ?
2

所以直线 PQ 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P .???????10 分 (Ⅲ)如图,①任作一条直线 n 垂直于实轴;②作直线 A S、A2 S 分别 1 交直线 n 于 I 、 J 两点;③作线段 IJ 的中点 V ,则直线 SV 即为所求的直 线 m .?????????????????????13 分 解法二: (Ⅰ)因为 T ?1, ? 为椭圆上一点, TF2 垂直于 x 轴,

? 3? ? 2?

c ? 1, ? a 2 ? b 2 ? 1, ? ? ? 2 2 ? a 2 ? 4, ? ? ?3? ?3? 所以 ? 即? 解得 ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? b ? 3, ? 1 ? ? 2 ? ? 1, ? 1 ? 2 ? ? 2 ? 1, 2 2 2 ?a ?a b ? b ?
所以椭圆 E 的方程为 (Ⅱ) (Ⅲ)同解法一. 20.本题考查函数的导数、导数的应用、数学归纳法等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力,考 查数形结合思想、函数与方程思想、特殊与一般思想、分类讨论思想等.满分 14 分. 解法一:(Ⅰ)依题意, f ( x) ?
/

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

????????????????4 分

2ax 2 ? 2abx ,????????????????1 分 (2 x ? b)2

12

? 8a ? 4ab ? (4 ? b)2 ? 0, ? f (2) ? 0, ?a ? 1, ? 由? 可得 ? 解得 ? ? f (2) ? 2, ?b ? ?2. ? 4a ? 2, ?4 ? b ?
/

所以 f ? x ? ?

x2 2 x2 ? 4 x , f / ( x) ? .????????????????3 分 2x ? 2 (2 x ? 2) 2

当 x 变化时, f / ( x) 与 f ( x ) 的变化情况如下表: x

(??, 0)
+

0 0 0

(0,1)
_

(1, 2)
-

2 0 2

(2, ??)
+

f / ( x)
f ( x) ?

?

?

?

所以,函数 f (x) 的单调递增区间为 (??, 0) , (2, ??) ,单调递减区间为 (0,1) , (1, 2) . ???5 分 (Ⅱ)与直线 y ?

1 1 x 平行的直线设为 y ? x ? m , 2 2
①????6 分

? y ? f ( x), 1 ?1 ? 2m ? x ? 2m ? 0 ? 由? 得 f ( x) ? x ? m ,即 1 2 2 ? x ? 1? ?y ? 2 x ? m ?
当m ?

1 2m 时,方程①有唯一解 x ? ,此时曲线与直线有公共点; 2 1 ? 2m 1 当 m ? 时,方程①无解,此时直线与曲线没有公共点. 2 1 1 故存在直线 y ? x ? 与曲线 y ? f ?x ? 没有公共点. ??????????????8 分 2 2 2 an (Ⅲ) an ?1 ? , 2an ? 2
下面先用数学归纳法证明:当 ? ? 2 时, an ? 2 . 证: ①当 n=1 时, a1 ? ? >2 不等式成立. ② 假设当 n=k 时,不等式成立,即 ak ? 2 . 则 ak ?1 ? 2 ?
2 ak (a ? 2)2 ?2? k ? 0 ,于是 ak ?1 ? 2 . 2ak ? 2 2ak ? 2

故当 n=k+1 时,不等式成立. 根据①②可知,对于 n ? N ,有 an ? 2 .????????????????10 分
*

于是 an?1 ? an ?

2 an a (2 ? an ) ? an ? n ? 0, 2an ? 2 2an ? 2

13

所以 an?1 ? an ,即 {an } 是单调递减数列. 当 1 ? ? ? 2 时, a1 ? ? ,由(Ⅰ)知, a2 ? f (a1 ) ? f (? ) ? f (2) ? 2 , 于是有 a3 ? a2 ,故 {an } 不是单调数列. 当 0 ? ? ? 1 时, a1 ? ? <0, a2 ?

?2 ? 0. 2? ? 2

所以 a3 ? a2 ?

a2 (2 ? a2 ) ? 0 ,于是 a3 ? a2 ,故 {an } 不是单调数列. 2a2 ? 2
2 ?2 an ? 0 ,又因为 an?1 ? ,于是 an ? 0 . 2? ? 2 2an ? 2

当 ? ? 0 时, a1 ? ? , a2 ?

所以 an ?1 ? an ?

an (2 ? an ) ? 0 ,故 an?1 ? an 。故 {an } 是单调递增数列. 2an ? 2

当 ? ? 0 时, an ? 0 .故 {an } 不是单调数列. 当 ? ? 2 时, an ? 2 .故 {an } 不是单调数列. 综上, ? 的取值范围是 (??,0) ? (2, ??) .????????????????14 分 解法二: (Ⅰ) 、(Ⅱ)同解法一 (Ⅲ)当 ? >1 时,由于 a1 ? ?, an?1 ? f ?an ? , 由(Ⅰ)知:当 x >1 时,有 f ?x ? ? 2 ,且 f ?2? ? 2, x ? 2 时, f ?x ? >2. 所以,当 ? ? 2 时,有 an ? 2 ,数列 ?an ? 不单调;当 ? ? 2 且 n ? 2 时, an >2.
2 an a ?2 ? an ? 因为 an?1 ? an ? , ? an ? n 2?an ? 1? 2?an ? 1?

则当 n ? 2 时,有 a n ?1 < an . 又 a 2 ? a1 ?

? ?2 ? ? ? , 2?? ? 1?

当 1< ? <2 时,有 a2 > a1 ,数列 ?an ? 不单调; 当 ? >2 时,有 a2 < a1 ,数列 ?an ? 单调递减. 所以,当 ? >2 时,数列 ?an ? 单调递减; 当 1< ? ? 2 时,数列 ?an ? 不单调.
14

当 ? <1 时,同理可证:当 ? <0 时,数列 ?an ? 单调递增;当 0 ? ? <1 时,数列 ?an ? 不单调. 综上可知:当 ? <0 或 ? >2 时,数列 ?an ? 是单调数列; 当 0 ? ? <1 或 1< ? ? 2 时,数列 ?an ? 不是单调数列. 21. (本小题满分 7 分)选修 4-2:矩阵与变换 (1) 本小题主要考查矩阵的特征值与特征向量等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想.满分 7 分. 解法一 : (Ⅰ)矩阵 M 的特征多项式为 f (? ) ? ? 2 ? 3? ? 2 , 令 f (? ) ? 0 ,解得 ?1 ? 1, ?2 ? 2 , 当 ?1 ? 1 时,得 ?? ? ? ? ,当 (Ⅱ)由 ? ? m?? ? n?? 得 ?

? 1? ? 1?

?2 ? 2 时,得 ? ? ? ? ? . ?????????3 分 ? 2?

?3?

?m ? 3n ? 7 ,解得 m ? 1, n ? 2 . ? m ? 2n ? 5 ?1? ?1? ? 3 ? ? 49 ? ? ? 2 ? ? 33 ?

3 所以 M 3? ? M 3 (?? ? 2? ? ) ? M 3?? ? 2M 3? ? ? ?13?? ? 2?2 ? ? ? ? ? ? 2 ? 23 ? ? ? ?

?????????7 分 解法二: (Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)因为 M ? ?
2

? 4 ?3 ?? 4 ?3 ? ?10 ?9 ? ?? ??? ?, ? 2 ?1?? 2 ?1? ? 6 ?5 ?

?10 ?9 ?? 4 ?3 ? ? 22 ?21? M3 ?? ?? ??? ? ? 6 ?5 ?? 2 ?1? ? 14 ?13 ?
所以 M 3? ? ?

? ? 22 ?21 ?? 7 ? ? 49 ? ? ?? ? ? ? ? ?????????????7 分 ? 14 ?13 ?? 5 ? ? 33 ?

(2) (本小题满分 7 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 本小题主要考查参数方程、极坐标方程等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想.满分 7 分. 解 : Ⅰ ) 如 图 , 设 圆 C 上 任 意 一 点 的 极 坐 标 D?? , ? ? . 连 结 OD , BD , 在 Rt?OBD 中 , 因 为 (

O D ? O B o s B O ,所以 ? ? 2cos ? .?????3 分 c ? D

? ? ? x ? ?1 ? t cos 6 , ? (Ⅱ)由 ? ? y ? t sin ? , ? 6 ?
得直线 l 的普通方程为 y ?

3 ?x ? 1? , 3
15

即直线 l 的普通方程为 x ? 3 y ? 1 ? 0 , 由 ? ? 2 cos? ,得圆 C 的直角坐标方程为 ?x ? 1? ? y 2 ? 1 ,
2

因为圆心到直线 l 的距离为 d ?

1? 1 ? 3 ? 0 ? 1 2

?1 ,

所以直线 l 与圆 C 的相切.????7 分 (3)(本小题满分 7 分)选修 4-5:不等式选讲 本小题主要考查绝对值不等式、 柯西不等式证明等基础知识, 考查推理论证能力, 考查化归与转化思想. 满 分 7 分. 解: (Ⅰ)由柯西不等式得 (2 x ? 5 ? x )2 ? (22 ? 12 )[ 所以 f ( x) ? 2 x ? 5 ? x ? 5 .

? x? ??
2

5 ? x ] ? 25 ,

?

2

当且仅当

x 5? x ,即 x ? 4 时,等号成立. ???????????????3 分. ? 2 1

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ( x) ? 5 ,又不等式 f ( x) ?| m ? 2 | 恒成立, 所以 | m ? 2 |? 5 , 解得 m ? 7 或 m ? ?3 . 故 m 的取值范围为 (??, ?3] ? [7, ??) . ??????????7 分

16


相关文章:
2014年福建省普通高中毕业班质量检查(理科)数学word版
2014年福建省普通高中毕业班质量检查(理科)数学word版_数学_高中教育_教育专区。2014年福建省普通高中毕业班质量检查(理科)数学word版2014...
2013年福建省质检理科数学word版
2013年福建省质检理科数学word版_数学_高中教育_教育专区。2013年福建省质检理科数学word版2013 年福建省普通高中毕业班质量检查 理 5 页.满分 150 分.考试时间 ...
2014年福建省普通高中毕业班质量检查(word版理科数学试...
2014年福建省普通高中毕业班质量检查(word版理科数学试卷及答案)_数学_高中教育_教育专区。2014年福建省普通高中毕业班质量检查(word版理科数学试卷及答案)2014...
2013年福建省高三质检理科数学试卷word版
2013 年福建普通高中毕业班质量检查理科数学本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题) ,第II 卷第 21 题为选考题,其他题为必考题.本 试卷共 5 页....
福建省2013届普通高中毕业班质量检查数学理试卷(word版)
福建省2013届普通高中毕业班质量检查数学理试卷(word版) 隐藏>> 2013 年福建普通高中毕业班质量检查理科数学本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题),第...
福建省2013届普通高中毕业班质量检查数学理试卷(word版)
福建省2013届普通高中毕业班质量检查数学理试卷(word版) 隐藏>> 2013 年福建普通高中毕业班质量 检查理科数学本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题),...
2010年福建省普通高中毕业班质量检查理科数学word
2010年福建省普通高中毕业班质量检查理科数学word_数学_高中教育_教育专区。2010 年福建省普通高中毕业班质量检查 理科数学 本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷...
2013年福建省漳州市普通高中毕业班质量检查文科数(word)
2013年福建省漳州市普通高中毕业班质量检查文科数(word)_数学_高中教育_教育专区...的数学成绩情况,采用分层抽样方法从两所学校一共抽取了 110 名学生的数学成绩,...
2015福建省普通高中毕业班质量检查理科数学试题及答案w...
2015福建省普通高中毕业班质量检查理科数学试题及答案word_数学_高中教育_教育专区。福建省 2015 普通高中毕业班质量检查试卷 数学(理科) 第Ⅰ卷(选择题 共 50 ...
福建省福州市2013年高中毕业班5月质量检查数学(理)试题...
福建省福州市2013年高中毕业班5月质量检查数学(理)试题(Word版)_数学_高中教育...2013 年福州市高中毕业班质量检查 数学(理科)试卷(完卷时间 120 分钟;满分 ...
更多相关标签:
福建省理科本科录取率 | 2017届福建省理科综合 | 福建省增值税普通发票 | 福建省普通教育研究室 | 福建省普通初中示范校 | 福建省 普通住宅 | 福建省高中排名 | 福建省重点高中排名 |