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【原创精品资料】10.2《导数的应用》错误解题分析


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10.2《导数的应用》错误解题分析
一、 知识导学 1、可导函数的极值 (1)极值的概念 设函数 f (x) 在点 x0 附近有定义,且若对 x0 附近的所有的点都有 f ( x) ? f ( x0 ) (或

f ( x) ? f ( x0 ) ),则称 f ( x0 ) 为函数的一个极大(小)值,称 x0 为极大(小)值点。
(2)求可导函数 f (x) 极值的步骤: ①求导数 f ?(x) 。求方程 f ?( x) ? 0 的根。 ②求方程 f ( x) ? 0 的根。
/

③检验 f ?(x) 在方程 f ?( x) ? 0 的根的左右的符号,如果在根的左侧附近为正,右侧附近为 负,那么函数 y ? f (x) 在这个根处取得极大值;如果在根的右侧附近为正,左侧附近为负, 那么函数 y ? f (x) 在这个根处取得极小值。 2、函数的最大值和最小值 (1)设 y ? f (x) 是定义在区间 ?a, b? 上的函数, y ? f (x) 在 ( a, b) 内有导数,求函数

y ? f (x) 在 ?a, b? 上的最大值与最小值,可分两步进行。
①求 y ? f (x) 在 ( a, b) 内的极值。 ②将 y ? f (x) 在各极值点的极值与 f (a ) 、 f (b) 比较,其中最大的一个为最大值,最小的 一个为最小值。 (2)若函数 f (x) 在 ?a, b? 上单调增加,则 f (a ) 为函数的最小值, f (b) 为函数的最大值; 若函数 f (x) 在 ?a, b? 上单调递减,则 f (a ) 为函数的最大值, f (b) 为函数的最小值。 二、疑难知识导析 1、在求可导函数的极值时,应注意:(以下将导函数 f ?(x) 取值为 0 的点称为函数 f (x) 的 驻点可导函数的极值点一定是它的驻点,注意一定要是可导函数。例如函数 y ?| x | 在点
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x ? 0 处有极小值 f (0) =0,可是这里的 f ?(0) 根本不存在,所以点 x ? 0 不是 f (x) 的驻点。
(1) 可导函数的驻点可能是它的极值点,也可能不是极值点。例如函数 f ( x) ? x 3 的导数

f ?( x) ? 3x 2 ,在点 x ? 0 处有 f ?(0) ? 0 ,即点 x ? 0 是 f ( x) ? x 3 的驻点,但从 f (x) 在

?? ?,???上为增函数可知,点 x ? 0 不是 f (x) 的极值点。
(2) 求一个可导函数的极值时, 常常把驻点附近的函数值的讨论情况列成表格, 这样可使函 数在各单调区间的增减情况一目了然。 (3) 在求实际问题中的最大值和最小值时, 一般是先找出自变量、 因变量, 建立函数关系式, 并确定其定义域。如果定义域是一个开区间,函数在定义域内可导(其实只要是初等函数, 它在自己的定义域内必然可导) 并且按常理分析, , 此函数在这一开区间内应该有最大 (小) 值(如果定义域是闭区间,那么只要函数在此闭区间上连续,它就一定有最大(小)。记住 这个定理很有好处),然后通过对函数求导,发现定义域内只有一个驻点,那么立即可以断 定在这个驻点处的函数值就是最大(小)值。知道这一点是非常重要的,因为它在应用上较 为简便,省去了讨论驻点是否为极值点,求函数在端点处的值,以及同函数在极值点处的值 进行比较等步骤。 2、极大(小)值与最大(小)值的区别与联系 极值是局部性概念,最大(小)值可以看作整体性概念,因而在一般情况下,两者是有区别 的。极大(小)值不一定是最大(小)值,最大(小)值也不一定是极大(小)值,但如果 连续函数在区间 ( a, b) 内只有一个极值,那么极大值就是最大值,极小值就是最小值。 三、经典例题导讲 [例 1]已知曲线 S : y ? ?
2

2 3 x ? x 2 ? 4 x 及点 P(0,0) ,求过点 P 的曲线 S 的切线方程。 3
x?0

【错解】 y? ? ?2 x ? 2 x ? 4 ,? 过点 P 的切线斜率 k ? y? 切线方程为 y ? 4 x 。

? 4 ,? 过点 P 的曲线 S 的

【错因】 曲线在某点处的切线斜率是该曲线对应的函数在该点处的导数值, 这是导数的几何 意义。在此题中,点 P 凑巧在曲线 S 上,求过点 P 的切线方程,却并非说切点就是点 P , 上述解法对求过点 P 的切线方程和求曲线在点 P 处的切线方程,认识不到位,发生了混淆。 【正解】设过点 P 的切线与曲线 S 切于点 Q( x0 , y0 ) ,则过点 P 的曲线 S 的切线斜率
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k ? y?
S 上,

x ? x0

? ?2 x0 ? 2 x0 ? 4 ,又 k PQ ?
2

y0 y 2 ,? ?2 x0 ? 2 x0 ? 4 ? 0 。①? 点 Q 在曲线 x0 x0

2 3 2 2 ? y 0 ? ? x0 ? x0 ? 4 x0 . ②,②代入①得 ? 2 x0 ? 2 x0 ? 4 ? 3
化简,得

?

2 3 2 x0 ? x0 ? 4 x0 3 x0

4 3 3 2 x0 ? x0 ? 0 ,? x0 ? 0 或 x 0 ? 。若 x0 ? 0 ,则 k ? 4 ,过点 P 的切线方程 3 4 3 35 35 x. ? 过点 P 的曲线 S 的切 为 y ? 4 x ;若 x 0 ? ,则 k ? ,过点 P 的切线方程为 y ? 4 8 8 35 x. 线方程为 y ? 4 x 或 y ? 8
[例 2]已知函数 f ( x) ? ax ? 3x ? x ? 1 在 R 上是减函数,求 a 的取值范围。
3 2 2 【错解】 f ?( x) ? 3ax ? 6x ? 1, ? f (x) 在 R 上是减函数,? f ?( x) ? 0 在 R 上恒成立,

? 3ax2 ? 6 x ? 1 ? 0 对一切 x ? R 恒成立,? ? ? 0 ,即 36 ? 12 a ? 0 ,? a ? ?3 。
2 【正解】 f ?( x) ? 3ax ? 6 x ? 1 ,? f (x) 在 R 上是减函数,? f ?(x) ? 0 在 R 上恒成立,

? ? ? 0 且 a ? 0 ,即 36 ? 12 a ? 0 且 a ? 0 ,? a ? ?3 。
[例 3]当 x ? 0 ,证明不等式 【证明】 f ( x ) ? ln( x ? 1) ?

x ? ln(1 ? x) ? x 。 1? x

x x ,g ( x) ? ln(x ? 1) ? x , f ?( x) ? 则 , x ? 0 时。 当 1? x (1 ? x) 2 x ?x ? 0 , g ?( x) ? 又 , 1? x 1? x

? f (x) 在 ?0,??? 内是增函数, f ( x) ? f (0) , n 1 ? x) ? ? 即 l(

g ? ? ( 当 x ? 0 时, ?( x) ? 0 , g (x) 在 ?0,??? 内是减函数, g ( x) ? g (0) , n 1 ? x) ? x ? 0 , 即l
x ? ln(1 ? x) ? x 成立。 1? x x 【点评】由题意构造出两个函数 f ( x ) ? ln( x ? 1) ? , g ( x) ? ln(x ? 1) ? x 。利用导数 1? x
因此,当 x ? 0 时,不等式 求函数的单调区间,从而导出 f ( x) ? f (0) 及 g ( x) ? g (0) 是解决本题的关键。 [例 4]设工厂到铁路线的垂直距离为 20km,垂足为 B。铁路线上距离 B 为 100km 处有一原料 供应站 C,现要在铁路 BC 之间某处 D 修建一个原料中转车站,再由车站 D 向工厂修一条公路。 如果已知每千米的铁路运费与公路运费之比为 3:5,那么,D 应选在何处,才能使原料供应站 C
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运货到工厂 A 所需运费最省? 解 : 设 BD 之间的距离为 x km,则|AD|= x 2 ? 202 ,|CD|= 100 ? x 。如果公路运费为 a 元 /km,那么铁路运费为

3a 元/km。故从原料供应站 C 途经中转站 D 到工厂 A 所需总运费 y 5
x2 ? 400 ,( 0 ? x ? 100 )。对该式求导,得

为: y ? 3a (100 ? x ) + a 5

y? =

? 3a a (5 x ? 3 x 2 ? 400 ) ax 2 2 + = ,令 y ? ? 0 ,即得 25 x =9( x ? 400 ),解之得 2 2 5 5 x ? 400 x ? 400

x1 =15, x2 =-15(不符合实际意义,舍去)。且 x1 =15 是函数 y 在定义域内的唯一驻点,所以
由此可知,车站 D 建于 B,C 之间并 x1 =15 是函数 y 的极小值点,而且也是函数 y 的最小值点。 且与 B 相距 15km 处时,运费最省。 【点评】 这是一道实际生活中的优化问题,建立的目标函数是一个复合函数,用过去的知识 求其最值往往没有一般方法,即使能求出,也要涉及到较高的技能技巧。而运用导数知识,求 复合函数的最值就变得非常简单。一般情况下,对于实际生活中的优化问题,如果其目标函 数为高次多项式函数、简单的分式函数简单的无理函数、简单的指数、对数函数,或它们的 复合函数,均可用导数法求其最值。由此也可见,导数的引入,大大拓宽了中学数学知识在实 际优化问题中的应用空间。
3 ' ' [例 5](四川)函数 f ( x) ? 3x ? 3ax ?1, g ( x) ? f ( x) ? ax ? 5 ,其中 f ( x) 是 f (x ) 的导

函数。(1)对满足-1≤ a ≤1 的一切 a 的值,都有 g (x) <0,求实数 x 的取值范围; (2)设 a =- m ,当实数 m 在什么范围内变化时,函数 y = f (x ) 的图象与直线 y =3 只 有一个公共点。 解:(1)由题意 g ? x ? ? 3x ? ax ? 3a ? 5
2
2

令 ? ? x ? ? ? 3 ? x ? a ? 3x ? 5 , ?1 ? a ? 1
2

对 ?1 ? a ? 1 ,恒有 g ? x ? ? 0 ,即 ? ? a ? ? 0 ∴?

? ? ?1? ? 0 ? ?? ? ?1? ? 0 ?

即?

?3 x 2 ? x ? 2 ? 0
2 ?3 x ? x ? 8 ? 0

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解得 ?

2 ? x ?1 3

故 x ?? ?

? 2 ? ,1? 时,对满足-1≤ a ≤1 的一切 a 的值,都有 g ? x ? ? 0 。 ? 3 ?

(2) f ' ? x ? ? 3x2 ? 3m2 ①当 m ? 0 时, f ? x ? ? x3 ?1 的图象与直线 y ? 3 只有一个公共点 ②当 m ? 0 时,列表:

x
f ' ? x? f ? x?
∴ f ? x ?极小 ? f

? ??, m ?
?
?

?m
0
极大

?? m , m ?
?
?

m
0
极小

? m , ?? ?
?
?

? x ? ? ?2m

2

m ? 1 ? ?1

又∵ f ? x ? 的值域是 R ,且在 m , ?? 上单调递增 ∴当 x ? m 时函数 y ? f ? x ? 的图象与直线 y ? 3 只有一个公共点。 当 x ? m 时,恒有 f ? x ? ? f ? m 由题意得 f ? m ? 3
2 即 2m m ? 1 ? 2 m ? 1 ? 3 3

?

?

?

?

?

?

解得 m ? ? 3 2, 0 ? 0, 3 2

?

? ?

? ?

综上, m 的取值范围是 ? 3 2, 3 2 。 [例 6]若电灯 B 可在桌面上一点 O 的垂线上移动,桌面上有与点 O 距离为 a 的另一点 A,问 电灯与点 0 的距离怎样,可使点 A 处有最大的照度?( ?BAO ? ? , BA ? r , 照度与 sin ? 成 正比,与 r 成反比) 【分析】如图,由光学知识,照度 y 与 sin ? 成正比,与 r 成反比,
2
2

?

即y?C

sin ? ( C 是与灯光强度有关的常数)要想点 A 处有最 r2
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大的照度,只需求 y 的极值就可以了。 解:设 O 到 B 的距离为 x ,则 sin ? ?

x , r ? x2 ? a2 r

于是 y ? C

sin ? x ?C 3 ?C 2 r r

x
3 (x2 ? a 2 ) 2

(0 ? x ? ?) , y ? ? C

a 2 ? 2x 2 (x2 ?
5 a2 ) 2

? 0。

当 y ? ? 0 时,即方程 a ? 2 x ? 0 的根为 x1 ? ?
2 2

a 2

(舍)与 x 2 ?

a 2

,在我们讨论的半

闭区间 ?0,??? 内,所以函数 y ? f (x) 在点

a 2

取极大值,也是最大值。即当电灯与 O 点距

离为

a 2

时,点 A 的照度 y 为最大。

(0,

a 2



(
-

a 2

,??)

y?
y

+ ↗



【点评】 在有关极值应用的问题中, 绝大多数在所讨论的区间上函数只有一点使得 f ?(x) =0 且在该点两侧, f ?(x) 的符号各异,一般称为单峰问题,此时,该点就是极值点,也是最大 (小)值点。

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