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高考历年圆锥曲线解答题(教师版)


北京理科 2006(19) (本小题共 14 分) 已知点 M(-2,0) ,N(2,0) ,动点 P 满足条件|PM |-|PN |= 2 2 ,记动点 P 的轨 迹为 W. (Ⅰ)求 W 的方程; (Ⅱ)若 A,B 是 W 上的不同两点,O 是坐标原点,求 OA 、 OB 的最小值.

??? ?

??? ?

知点 M (?2,0), N (2,0) , 动点 P 满足条件 | PM | ? | PN |? 2 2 .记动点 P 的轨迹为
W.

(Ⅰ)求 W 的方程;

??? ??? ? ? (Ⅱ)若 A, B 是 W 上的不同两点, O 是坐标原点,求 OA ? OB 的最小值.
解: (1)依题意,点 P 的轨迹是以 M,N 为焦点的双曲线的右支,所求方程为:
x 2 y2 - =1 2 2

(x?0)
2 (1) 当直线 AB 的斜率不存在时, 设直线 AB 的方程为 x=x0, 此时 A x0, x 0-2 ) ( ,

??? ?? ?? 2 B(x0,- x 0-2 ) O B , AO?

=2

当直线 AB 的斜率存在时,设直线 AB 的方程为 y=kx+b,代入双曲线方程
x 2 y2 - =1 中,得: 2 2

(1-k2)x2-2kbx-b2-2=0……………………1? 依题意可知方程 1?有两个不相等的正数根,设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则
? ? ?=4k 2 b 2-4( -k 2) 1 ? (-b 2-2) 0 ? ? 2kb ? ?0 ? x1+x 2= 1- k 2 ? ? b 2+2 x1x 2= 2 ?0 ? ? k -1

??? ??? ? ? 解得|k|?1 又 OA ? OB =x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+b) (kx2+b)=(1+k2)x1x2+
kb(x1+x2)+b2=
2k 2+2 4 =2+ 2 ?2 2 k -1 k -1

??? ??? ? ? 综上可知 OA ? OB 的最小值为 2
06 年福建理科(20) (本小题满分 12 分)

已知椭圆

x2 ? y 2 ? 1 的左焦点为 F,O 为坐标原点。 2

(Ⅰ)求过点 O、F,并且与椭圆的左准线 l 相切的圆的方程; (Ⅱ)设过点 F 且不与坐标轴垂直交椭圆于 A、B 两点,线段 AB 的垂直平分线与 x 轴 交于点 G,求点 G 横坐标的取值范围.

解(1) ∵a2=2,b2=1,∴c=1,F(-1,0),l:x=-2. ∵圆过点 O、F. ∴圆心 M 在直线 x=设 M(-

1 上. 2

1 , t ),则圆半径 2 1 3 r=|(- )-(-2)|= . 2 2
由|OM|=r,得 ( ? ) ? t
2

1 2

2

?

3 . 2

解得 t=± 2 , ∴所求圆的方程为(x+

1 2 9 ) +(y± 2 ) 2= . 2 4

(2)设直线 AB 的方程为 y=k(x+1)(k≠0),

x2 2 代入 +y =1,整理得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0. 2
∵直线 AB 过椭圆的左焦点 F, ∴方程有两个不等实根. 记 A(x1,y1),B(x2,y2),AB 中点 N(x0,y0), 则 x1+x1=-

4k 2 , 2k 2 ? 1

1 2k 2 k x0= ( x1 ? x 2 ) ? ? 2 ? y0 ? k ( x0 ? 1) ? 2 , 2 2k ? 1 2k ? 1

?

AB 垂直平分线 NG 的方程为 y ? y 0 ? ?

1 ( x ? x0 ). k

令 y=0,得

xC ? x0 ? ky0 ? ?

2k 2 k2 k2 1 1 ?? 2 ?? 2 ?? ? 2 . 2 2 4k ? 2 2k ? 1 2k ? 1 2k ? 1

1 ∵ k ? 0,? ? ? x0 ? 0. 2

1 ∴点 G 横坐标的取值范围为( ? ,0 ) 。 2
20. (本小题满分 14 分)

x2 y 2 设 A, B 分别为椭圆 2 ? 2 ? 1(a, b ? 0) 的左、右顶点,椭圆长半轴的长等于焦距,且 a b
x ? 4 为它的右准线。
(Ⅰ) 、求椭圆的方程; (Ⅱ) 、设 P 为右准线上不同于点(4,0)的任意一点,若直线 AP, BP 分别与椭圆相交于 异于 A, B 的点 M 、N ,证明点 B 在以 MN 为直径的圆内。

a2 解: (Ⅰ)依题意得 a=2c, =4,解得 a=2,c=1,从而 b= 3 . c

故椭圆的方程为

x2 y2 ? ? 1. 4 3

(Ⅱ)解法 1:由(Ⅰ)得 A(-2,0) ,B(2,0).设 M(x0,y0). ∵M 点在椭圆上, 0= (4-x02) ∴y . 1 ○ 又点 M 异于顶点 A、 ∴-2<x0<2, B, 由 P、A、M 三点共线可以得
-4

3 4

2

M

1

A -2

2

B

4

P(4,

6 y0 ). x0 ? 2

-1

N
-2

-3

从而 BM =(x0-2,y0) ,

BP =(2,

6 y0 ). x0 ? 2

∴ BM · BP =2x0-4+

6 y0 2 = (x02-4+3y02). x0 ? 2 x 0 ? 2
5 (2-x0). 2

2

2 ○

将○代入○,化简得 BM · BP = 1 2

∵2-x0>0,∴ BM · BP >0,则∠MBP 为锐角,从而∠MBN 为钝角, 故点 B 在以 MN 为直径的圆内。 解法 2:由(Ⅰ)得 A(-2,0) ,B(2,0).设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,

则-2<x1<2,-2<x2<2,又 MN 的中点 Q 的坐标为(

x1 ? x 2 y ? y2 , 1 ) , 2 2

依题意,计算点 B 到圆心 Q 的距离与半径的差
2

BQ -

x ? x2 y ? y2 2 1 1 2 MN =( 1 -2)2+( 1 ) - [(x1-x2)2+(y1-y2)2] 4 4 2 2
=(x1-2) (x2-2)+y1y1 3 ○

又直线 AP 的方程为 y=

y1 y ( x ? 2) ,直线 BP 的方程为 y= 2 ( x ? 2) , x1 ? 2 x2 ? 2

而点两直线 AP 与 BP 的交点 P 在准线 x=4 上, ∴

6 y1 6 y2 (x2 ? 2) y1 3 ,即 y2= ? x1 ? 2 x2 ? 2 x1 ? 2
x1 y 3 2 2 ? 1 ? 1 ,即 y1 ? (4 ? x1 ) 4 4 3
2

4 ○

2

2

又点 M 在椭圆上,则

5 ○

于是将○、○代入○,化简后可得 BQ - 4 5 3 从而,点 B 在以 MN 为直径的圆内。 21. (本小题满分 14 分)

1 5 2 MN = (2-x1 )( x 2 ? 2) ? 0 . 4 4

已知椭圆 C1 :

x2 y2 ? ? 1 , 抛物线 C2 : ( y ? m) 2 ? 2 px( p ? 0) , 且 C1 ,C2 的公共弦 4 3

AB 过椭圆 C1 的右焦点 .
(Ⅰ) 当 AB ? x轴时, 求 m, p 的值, 并判断抛物线 C 2 的焦点是否在直线 AB 上; (Ⅱ) 是否存在 m, p 的值, 使抛物线 C 2 的焦点恰在直线 AB 上? 若存在, 求出符合条 件的 m, p 的值; 若不存在, 请说明理由 . 解: (Ⅰ)当 AB⊥x 轴时,点 A、B 关于 x 轴对称,所以 m=0,直线 AB 的方程为: x =1,从而点 A 的坐标为(1, 所以
3 3 )或(1,- ). 2 2

因为点 A 在抛物线上.

9 9 9 ,该焦点不在直线 AB 上. ? 2 p ,即 p ? .此时 C2 的焦点坐标为( ,0) 4 16 8

(II)解法一: 假设存在 m 、 p 的值使 C2 的焦点恰在直线 AB 上,由(I)知直线 AB 的斜率存在,故可设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 1) .

? y ? k ( x ? 1) ? 由 ? x2 y 2 消去 y 得 (3 ? 4k 2 ) x2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ?12 ? 0 ………………① ?1 ? ? 3 ?4
设 A、B 的坐标分别为(x1,y1), (x2,y2), 则 x1,x2 是方程①的两根,x1+x2= 由?
8k 2 3 ? 4k 2
y A O B
2

.
x

?( y ? m) ? 2 px
2

? y ? k ( x ? 1)
………………②

消去 y 得 (kx ? k ? m) ? 2 px . 因为 C2 的焦点 F ?(

p , m) 在直线 y ? k ( x ? 1) 上, 2 p kp kp 2 所以 m ? k ( ? 1) ,即 m ? k ? .代入②有 (kx ? ) ? 2 px . 2 2 2
即 k x ? p(k ? 2) x ?
2 2 2

k 2 p2 ?0. 4

…………………③

由于 x1,x2 也是方程③的两根,所以 x1+x2=

p(k 2 ? 2) . k2
……………………④

从而

8k 2 p(k 2 ? 2) 8k 2 = . 解得 p ? 3 ? 4k 2 k2 (4k 2 ? 3)(k 2 ? 2)

又 AB 过 C1、 、C2 的焦点,所以 、\、

AB ? ( x1 ?
则 p ? 4?

p p 1 1 ) ? ( x2 ? ) ? x1 ? x2 ? p ? (2 ? x1 ) ? (2 ? x2 ) , 2 2 2 2
…………………………………⑤

3 12k 2 4k 2 ? 12 ( x1 ? x2 ) ? 4 ? 2 ? . 2 4k ? 3 4 k 2 ? 3

8k 2 4k 2 ? 12 4 2 由④、⑤式得 ,即 k ? 5k ? 6 ? 0 . ? 2 2 2 (4k ? 3)(k ? 2) 4k ? 3
2 解得 k ? 6. 于是 k ? ? 6, p ?

4 . 3

2 2 因为 C2 的焦点 F ?( , m) 在直线 y ? ? 6( x ?1) 上,所以 m ? ? 6( ? 1) . 3 3

?

m?

6 6 或m ? ? . 3 3 6 6 4 或m ? ? ,p? . 3 3 3

由上知,满足条件的 m 、 p 存在,且 m ?

解法二:

设 A、B 的坐标分别为 ( x1 , y1 ) , ( x2 y2 ) . 因为 AB 既过 C1 的右焦点 F (1,0) ,又过 C2 的焦点 F ?(

p , m) , 2

p p 1 1 所以 AB ? ( x1 ? ) ? ( x 2 ? ) ? x1 ? x 2 ? p ? (2 ? x1 ) ? (2 ? x 2 ) . 2 2 2 2

即 x1 ? x2 ?

2 (4 ? p ) . 3

……①

由(Ⅰ)知 x1 ? x2 , p ? 2 ,于是直线 AB 的斜率 k ?

y2 ? y1 m ? 0 2m , ……② ? ? p x2 ? x1 p?2 ?1 2

且直线 AB 的方程是 y ?

2m ( x ? 1) , p?2
……③

所以 y1 ? y2 ?

2m 4m(1 ? p) ( x1 ? x2 ? 2) ? . p?2 3( p ? 2)

2 ?3x 2 ? 4 y1 ? 12 y ? y1 ? ? 0. 又因为 ? 1 ,所以 3( x1 ? x 2 ) ? 4( y1 ? y 2 ) ? 2 2 2 x 2 ? x1 ?3x 2 ? 4 y 2 ? 12 ?

……④

将①、②、③代入④得 m ?
2

3( p ? 4)( p ? 2)2 . 16(1 ? p)

……………⑤

?( y1 ? m) 2 ? 2 px1 x ? x1 ? 因为 ? ,所以 y1 ? y2 ? 2m ? 2 p 2 . 2 y2 ? y1 ?( y2 ? m) ? 2 px2 ?

…………⑥

将②、③代入⑥得 m2 ?

3 p( p ? 2)2 . 16 ? 10 p

……………⑦

由⑤、⑦得

3( p ? 4)( p ? 2)2 3 p( p ? 2) 2 ? . 即 3 p2 ? 20 p ? 32 ? 0 16(1 ? p) 16 ? 10 p

解得 p ?

4 4 2 或p ? ?8(舍去) .将 p ? 代入⑤得 m 2 ? , 3 3 3
m? 6 6 或m ? ? . 3 3

?

由上知,满足条件的 m 、 p 存在,且 m ?

6 6 4 或m ? ? ,p? 3 3 3

(20) (本小题满分 14 分) 已知点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ( x1 x2 ? 0) 是抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 上的两个动点, O 是坐标
2

? 原 点 , 向 量 OA , OB 满 足 O A

??? ?

??? ?

? ? ??

? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? O ? B O A. 设 圆 C 的 方 程 为 ? O B

x2 ? y2 ? ( x1 ? x2 ) x ? ( y1 ? y2 ) y ? 0
(I) 证明线段 AB 是圆 C 的直径; (II)当圆 C 的圆心到直线 X-2Y=0 的距离的最小值为时,求 P 的值。 (I) 证明线段 AB 是圆 C 的直径;

2 5 时,求 p 的值。 5 ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? 2 ??? ??? 2 ? ? ? ? 【解析】(I)证明 1: ? OA ? OB ? OA ? OB ,? (OA ? OB) ? (OA ? OB)
(II)当圆 C 的圆心到直线 X-2Y=0 的距离的最小值为

??? 2 ??? ??? ??? 2 ??? 2 ??? ??? ??? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? OA ? 2OA ? OB ? OB ? OA ? 2OA ? OB ? OB
整理得: OA ? OB ? 0

??? ??? ? ?

? x1 ? x2 ? y1 ? y2 ? 0
设 M(x,y)是以线段 AB 为直径的圆上的任意一点,则 MA ? MB ? 0 即 ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y2 ) ? 0 整理得: x ? y ? ( x1 ? x2 ) x ? ( y1 ? y2 ) y ? 0
2 2

???? ????

故线段 AB 是圆 C 的直径

证明 2: ? OA ? OB ? OA ? OB ,? (OA ? OB) ? (OA ? OB)
2

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

2

??? 2 ??? ??? ??? 2 ??? 2 ??? ??? ??? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? OA ? 2OA ? OB ? OB ? OA ? 2OA ? OB ? OB
整理得: OA ? OB ? 0

??? ??? ? ?

? x1 ? x2 ? y1 ? y2 ? 0 ……..(1)
设(x,y)是以线段 AB 为直径的圆上则 即

y ? y2 y ? y1 ? ? ?1( x ? x1 , x ? x2 ) x ? x2 x ? x1

去分母得: ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y2 ) ? 0 点 ( x1 , y1 ),( x1 , y2 ),( x2 , y1 )( x2 , y2 ) 满足上方程,展开并将(1)代入得:

x2 ? y2 ? ( x1 ? x2 ) x ? ( y1 ? y2 ) y ? 0
故线段 AB 是圆 C 的直径 证明 3: ? OA ? OB ? OA ? OB ,? (OA ? OB) ? (OA ? OB)
2

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

2

??? 2 ??? ??? ??? 2 ??? 2 ??? ??? ??? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? OA ? 2OA ? OB ? OB ? OA ? 2OA ? OB ? OB
整理得: OA ? OB ? 0

??? ??? ? ?

? x1 ? x2 ? y1 ? y2 ? 0 ……(1)
以线段 AB 为直径的圆的方程为

(x ?

x1 ? x2 2 y ? y2 2 1 ) ? (y ? 1 ) ? [( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ] 2 2 4

展开并将(1)代入得:

x2 ? y2 ? ( x1 ? x2 ) x ? ( y1 ? y2 ) y ? 0
故线段 AB 是圆 C 的直径 (II)解法 1:设圆 C 的圆心为 C(x,y),则

x1 ? x2 ? ?x ? 2 ? ? ? y ? y1 ? y2 ? ? 2

? y12 ? 2 px1, y22 ? 2 px2 ( p ? 0)
? x1 x2 ? y12 y2 2 4 p2

又因 x1 ? x2 ? y1 ? y2 ? 0

? x1 ? x2 ? ? y1 ? y2
?? y1 ? y2 ? y12 y2 2 4 p2

? x1 ? x2 ? 0,? y1 ? y2 ? 0

? y1 ? y2 ? ?4 p2
x? x1 ? x2 yy 1 1 ? ( y12 ? y2 2 ) ? ( y12 ? y2 2 ? 2 y1 y2 ) ? 1 2 2 4p 4p 4p

?

1 2 ( y ? 2 p2 ) p

所以圆心的轨迹方程为 y 2 ? px ? 2 p 2 设圆心 C 到直线 x-2y=0 的距离为 d,则

1 2 ( y ? 2 p2 ) ? 2 y | | x ? 2y | | y 2 ? 2 py ? 2 p 2 | p d? ? ? 5 5 5p |

| ( y ? p) 2 ? p 2 | ? 5p
当 y=p 时,d 有最小值

p p 2 5 ,由题设得 ? 5 5 5

?p ? 2.
解法 2: 设圆 C 的圆心为 C(x,y),则

x1 ? x2 ? ?x ? 2 ? ? ? y ? y1 ? y2 ? ? 2

? y12 ? 2 px1, y22 ? 2 px2 ( p ? 0)
? x1 x2 ? y12 y2 2 4 p2

又因 x1 ? x2 ? y1 ? y2 ? 0

? x1 ? x2 ? ? y1 ? y2
?? y1 ? y2 ? y12 y2 2 4 p2

? x1 ? x2 ? 0,? y1 ? y2 ? 0

? y1 ? y2 ? ?4 p2
x? x1 ? x2 yy 1 1 ? ( y12 ? y2 2 ) ? ( y12 ? y2 2 ? 2 y1 y2 ) ? 1 2 2 4p 4p 4p

?

1 2 ( y ? 2 p2 ) p

所以圆心的轨迹方程为 y 2 ? px ? 2 p 2

设直线 x-2y+m=0 到直线 x-2y=0 的距离为

2 5 ,则 5

m ? ?2
因为 x-2y+2=0 与 y 2 ? px ? 2 p 2 无公共点, 所以当 x-2y-2=0 与 y ? px ? 2 p 仅有一个公共点时,该点到直线 x-2y=0 的距离最小值为
2 2

2 5 5
? x ? 2 y ? 2 ? 0? (2) ? 2 2 ? y ? px ? 2 p ? (3)
将(2)代入(3)得 y ? 2 py ? 2 p ? 2 p ? 0
2 2

?? ? 4 p2 ? 4(2 p2 ? 2 p) ? 0
?p?0 ? p ? 2.
解法 3: 设圆 C 的圆心为 C(x,y),则

x1 ? x2 ? ?x ? 2 ? ? ? y ? y1 ? y2 ? ? 2

圆心 C 到直线 x-2y=0 的距离为 d,则

x1 ? x2 ? ( y1 ? y2 ) | 2 d? 5 |

? y12 ? 2 px1, y22 ? 2 px2 ( p ? 0)
y12 y2 2 ? x1 x2 ? 4 p2
又因 x1 ? x2 ? y1 ? y2 ? 0

? x1 ? x2 ? ? y1 ? y2
?? y1 ? y2 ? y12 y2 2 4 p2

? x1 ? x2 ? 0,? y1 ? y2 ? 0

? y1 ? y2 ? ?4 p2
1 ( y12 ? y2 2 ) ? ( y1 ? y2 ) | | y12 ? y2 2 ? 2 y1 y2 ? 4 p( y1 ? y2 ) ? 8 p 2 | 4p ?d ? ? 5 4 5p |

( y1 ? y2 ? 2 p)2 ? 4 p 2 ? 4 5p
当 y1 ? y2 ? 2 p 时,d 有最小值

p p 2 5 ,由题设得 ? 5 5 5

?p ? 2.

⒇、 (本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,有一个以 F1 0, ? 3 和 F2 0, 3 为焦点、离心率 为
3 的椭圆,设椭圆在第一象限的部分为曲线 C,动点 P 在 C 上,C 在点 P 处 2

?

?

?

?

???? ??? ??? ? ? ? 的切线与 x、 y 轴的交点分别为 A、B,且向量 OM ? OA ? OB 。求:
(Ⅰ)点 M 的轨迹方程;

???? ? (Ⅱ) OM 的最小值。
y2 x2 20.解: 椭圆方程可写为: 2 + 2 =1 a b C 的方程为: x2+
2 2 ?a -b =3 ? 式中 a>b>0 , 且 ? 3 3 得 a2=4,b2=1,所以曲线 = ? 2 ?a

y2 =1 (x>0,y>0). y=2 1-x2 (0<x<1) y '=- 4

2x 1-x2

设 P(x0,y0),因 P 在 C 上,有 0<x0<1, y0=2 1-x02 , y '|x=x0= -

4x0 ,得切线 AB 的方程为: y0

y=-

4x0 1 4 (x-x0)+y0 . 设 A(x,0)和 B(0,y),由切线方程得 x= , y= . y0 x0 y0

→ → → 由OM=OA +OB得 M 的坐标为(x,y), 由 x0,y0 满足 C 的方程,得点 M 的轨迹方程为: 1 4 + 2 =1 (x>1,y>2) x2 y → (Ⅱ)| OM|2= x2+y2, y2= 4 1 1- 2 x =4+ 4 , x2-1

4 4 → ∴| OM|2= x2-1+ 2 +5≥4+5=9.且当 x2-1= 2 ,即 x= 3>1 时,上式取等号. x -1 x -1 → 故|OM|的最小值为 3. (21) (本小题满分 14 分) → → 已知抛物线 x2=4y 的焦点为 F,A、B 是抛物线上的两动点,且 AF =λ FB (λ>0) .过 A、B 两点分别作抛物线的切线,设其交点为M. →→ (Ⅰ)证明FM · 为定值; AB (Ⅱ)设△ABM 的面积为 S,写出 S=f(λ)的表达式,并求 S 的最小值. 21.解:(Ⅰ)由已知条件,得 F(0,1),λ>0. → → 设 A(x1,y1),B(x2,y2).由 AF =λ FB , 即得 (-x1,1-y)=λ(x2,y2-1), ?-x1=λx2 ① ? 1-y1=λ(y2-1) ② ? 1 1 将①式两边平方并把 y1= x12,y2= x22 代入得 4 4 y1=λ2y2 ③

1 解②、③式得 y1=λ,y2= ,且有 x1x2=-λx22=-4λy2=-4, λ

1 1 抛物线方程为 y= x2,求导得 y′= x. 4 2 所以过抛物线上 A、B 两点的切线方程分别是 1 1 y= x1(x-x1)+y1,y= x2(x-x2)+y2, 2 2 1 1 1 1 即 y= x1x- x12,y= x2x- x22. 2 4 2 4 x1+x2 x1x2 x1+x2 解出两条切线的交点 M 的坐标为( , )=( ,-1). 2 4 2 ……4 分

→ → x1+x2 1 1 1 所以FM · =( AB ,-2)· 2-x1,y2-y1)= (x22-x12)-2( x22- x12)=0 (x 2 2 4 4 →→ 所以FM · 为定值,其值为 0. AB ……7 分

1 (Ⅱ)由(Ⅰ)知在△ABM 中,FM⊥AB,因而 S= |AB||FM|. 2 |FM|= x1+x2 ( )2+(-2)2= 2 = = 1 2 1 2 1 x + x + x x +4 4 1 4 2 2 1 2

1 y1+y2+ ×(-4)+4 2 1 1 λ+ +2= λ+ . λ λ

因为|AF|、|BF|分别等于 A、B 到抛物线准线 y=-1 的距离,所以 1 1 |AB|=|AF|+|BF|=y1+y2+2=λ+ +2=( λ+ )2. λ λ 于是 由 λ+ 1 1 S= |AB||FM|=( λ+ )3, 2 λ 1 ≥2 知 S≥4,且当 λ=1 时,S 取得最小值 4. λ

(21) (本小题满分 12 分)

x2 y 2 ? ? 1 有相同的热点,直线 y= 3x 为 C 的一条渐近线. 双曲线 C 与椭圆 8 4
(1) 求双曲线 C 的方程; (2) 过点 P(0,4)的直线 l,求双曲线 C 于 A,B 两点,交 x 轴于 Q 点(Q 点与 C 的顶点不 重合).当 PQ = ?1 QA ? ?2 QB ,且 ?1 ? ?2 ? ? 解: (Ⅰ)设双曲线方程为

8 时,求 Q 点的坐标. 3

x2 y 2 ? ?1 a 2 b2

x2 y 2 ? ?1 由椭圆 8 4
求得两焦点为 (?2, 0), (2, 0) ,

? 对于双曲线 C : c ? 2 ,又 y ? 3x 为双曲线 C 的一条渐近线
?
b ? 3 a
解得 a 2 ? 1, b2 ? 3 ,

? 双曲线 C 的方程为 x 2 ?

y2 ?1 3

(Ⅱ)解法一: 由题意知直线 l 的斜率 k 存在且不等于零。 设 l 的方程: y ? kx ? 4, A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 )

4 , 0) k ??? ? ??? ? ? PQ ? ?1QA
则 Q(?

4 4 ? (? , ?4) ? ?1 ( x1 ? , y1 ) k k

4 4 ? 4 ? 4 ? x1 ? ? k ? ? k ?? ? ?1 ( x1 ? ) ? 1 ?? k k ?? ? ?4 ? ?1 y1 ? y ?? 4 ? ? 1 ?1 ?

? A( x1 , y1) 在双曲线 C 上, ?
16 1 ? ?1 2 16 ( ) ? ?1 ? 0 k 2 ?1 ?1

16 2 k ? k 2 ? 2 ? 0. 3 16 ? (16 ? k 2 )?12 ? 32?1 ? 16 ? k 2 ? 0. 3 16 2 2 2 k ? 0. 同理有: (16 ? k )?2 ? 32?2 ? 16 ? 3

? 16 ? 32?1 ? 16?12 ?

若 16 ? k ? 0, 则直线 l 过顶点,不合题意.?16 ? k ? 0,
2 2

? ?1 , ?2 是二次方程 (16 ? k 2 ) x 2 ? 32 x ? 16 ?
? ?1 ? ?2 ? 32 8 ?? k ? 16 3
2

16 2 k ? 0. 的两根. 3

?k 2 ? 4 ,
此时 ? ? 0,? k ? ?2 .

? 所求 Q 的坐标为 (?2, 0) .

解法二: 由题意知直线 l 的斜率 k 存在且不等于零 设 l 的方程, y ? kx ? 4, A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 Q ( ?

??? ? ??? ? ? PQ ? ?1QA ,
??? ? ?Q 分 PA 的比为 ?1 .
由定比分点坐标公式得

4 , 0) . k

4 ? 4 ?1 x1 ? ?? k ? 1? ? ? x1 ? ? k ? (1 ? ?1 ) ? ? 1 1 ?? ? 4 ?0 ? 4 ? ?1 y1 ? y1 ? ? ? ? ?1 1 ? ?1 ? ?
下同解法一 解法三: 由题意知直线 l 的斜率 k 存在且不等于零 设 l 的方程: y ? kx ? 4, A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 Q ( ?

??? ? ??? ? ??? ? ? PQ ? ?1QA ? ?2 QB ,
4 4 4 ? (? , ?4) ? ?1 ( x1 ? , y1 ) ? ?2 ( x2 ? , y2 ) . k k k

4 , 0) . k

??4 ? ?1 y1 ? ?2 y2 ,
? ?1 ? ? 4 4 , ?2 ? ? , y1 y2
8 , 3

又 ?1 ? ?2 ? ?

?

1 1 2 ? ? y1 y2 3

即 3( y1 ? y2 ) ? 2 y1 y2 将 y ? kx ? 4 代入 x ?
2

y2 ? 1得 3

(3 ? k 2 ) y 2 ? 24 y ? 48 ? 3k 2 ? 0
? 3 ? k 2 ? 0 ,否则 l 与渐近线平行。

? y1 ? y2 ?

24 48 ? 3k 2 , y1 y2 ? 。 3? k2 3? k2

?3 ?

24 48 ? 3k 2 ? 2? 3? k2 3? k2

? k ? ?2

? Q(?2, 0)
解法四: 由题意知直线 l 得斜率 k 存在且不等于零,设 l 的方程: y ? kx ? 4 , A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )

4 , 0) k ??? ? ??? ? ? PQ ? ?1QA ,
则 Q(?

4 4 ? (? , ?4) ? ?1 ( x1 ? , y1 ) 。 k k 4 ? k ?? 4 ? ?1 ? 4 kx1 ? 4 x1 ? k
同理

?1 ? ?

4 kx2 ? 4

?1 ? ?2 ? ?


4 4 8 ? ?? . kx1 ? 4 kx2 ? 4 3
(*)

2k 2 x1x2 ? 5k ( x1 ? x2 ) ? 8 ? 0 。
y ? kx ? 4



x2 ?

y2 ?1 3
2 2

消去 y 得 (3 ? k ) x ? 8kx ?19 ? 0 . 当 3 ? k ? 0 时,则直线 l 与双曲线得渐近线平行,不合题意, 3 ? k ? 0 。
2 2

由韦达定理有:

8k 3? k2 19 x1 x2 ? ? 3? k2 x1 ? x2 ?
代入(*)式得

k 2 ? 4, k ? ?2

? 所求 Q 点的坐标为 (?2, 0) 。

21. (本小题满分 12 分)

已知两定点 F (? 2,0), F2 ( 2,0), 满足条件 PF 2 ? PF 1 ? 2 的点 P 的轨迹是曲线 E,直 1 线y=kx-1 与曲线 E 交于 A、B 两点。如果 AB ? 6 3, 且曲线 E 上存在点 C,使

??? ?

??? ?

??? ?

??? ??? ? ? ??? ? OA ? OB ? mOC, 求 m的值和?ABC的面积S 。
解:由双曲线的定义可知,曲线 E 是以 F1 ? 2, 0 , F2 且c ?

?

? ?

2, 0 为焦点的双曲线的左支,

?

2, a ? 1 ,易知 b ? 1
2 2

故曲线 E 的方程为 x ? y ? 1? x ? 0? 设 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,由题意建立方程组 ?
2 2 消去 y ,得 1 ? k x ? 2kx ? 2 ? 0

? y ? kx ? 1 2 2 ?x ? y ? 1

?

?

又已知直线与双曲线左支交于两点 A, B ,有

? 1? k 2 ? 0 ? 2 2 ?? ? ? 2k ? ? 8 ?1 ? k ? ? 0 ? ? ? x ? x ? ?2k ? 0 1 2 ? 1? k 2 ? ?2 ? x1 x2 ? ?0 ? 1? k 2 ?
2

解得 ? 2 ? k ? ?1

2 又∵ AB ? 1 ? k ? x1 ? x2 ? 1 ? k ?
2

? x1 ? x2 ?

2

? 4 x1 x2
2 2

?2 ? ?2k ? ?2 ? 1? k 2 ? ? ? 4? 2 ? 1? k 2 ? 1? k ?
依题意得 2

?1 ? k ?? 2 ? k ? ?1 ? k ?
2 2

?1 ? k ?? 2 ? k ? ? 6 ?1 ? k ?
2 2 2 2

3

4 2 整理后得 28k ? 55k ? 25 ? 0

2 ∴k ?

5 5 2 或k ? 7 4

但 ? 2 ? k ? ?1

∴k ? ?

5 2

5 x ? y ?1 ? 0 2 ??? ??? ? ? ??? ? 设 C ? xc , yc ? ,由已知 OA ? OB ? mOC ,得 ? x1, y1 ? ? ? x2 , y2 ? ? ? mxc , myc ?
故直线 AB 的方程为 ∴ ? mxc , myc ? ? ?

? x1 ? x2 y1 ? y2 ? , ? , ? m ? 0? m ? ? m

又 x1 ? x2 ?

2k 2k 2 2 ? ?4 5 , y1 ? y2 ? k ? x1 ? x2 ? ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ?8 2 k ?1 k ?1 k ?1

? ? ∴点 C ? ?4 5 , 8 ? ? m m? ? ?

将点 C 的坐标代入曲线 E 的方程,得

80 64 ? ?1 m2 m2

得 m ? ?4 ,但当 m ? ?4 时,所得的点在双曲线的右支上,不合题意 ∴ m ? 4 , C 点的坐标为 ? 5, 2

?
?

?
? 1 3

C 到 AB 的距离为

5 ? ? 5 ? 2 ?1 2 ? 5? 2 ? ? ?1 ? 2 ?
2

?

∴ ?ABC 的面积 S ?

1 1 ?6 3? ? 3 2 3

x2 y2 (19)如图,椭圆 2 ? =1(a>b>0)与过点 A(2,0)B(0,1)的直线有且只有 a b
一个公共点 T,

且椭圆的离心率 e=

3 . 2

(Ⅰ)求椭圆方程; (Ⅱ)设 F 1 、F 2 分别为椭圆的左、右焦点,M 为线段 AF 1 的中点,求证:∠ATM=∠ AF 1 T. 解: (I)过点 A 、 B 的直线方程为

x ? y ? 1. 2

x2 y 2 ? ? 1, a 2 b2
因为由题意得 有惟一解,

1 y ? ? x ?1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 即 (b ? a ) x ? a x ? a ? a b ? 0 有惟一解, 4
所以

? ? a2b2 (a2 ? 4b2 ? 4) ? 0


( ab ? 0 ) ,

a 2 ? 4b2 ? 4 ? 0.

3 又因为 e ? ,即 2
所以 从而得

a 2 ? b2 3 ? , a2 4

a 2 ? 4b 2 .
a 2 ? 2, b 2 ? 1 , 2

故所求的椭圆方程为

x2 ? 2 y2 ? 1 . 2

(II)由(I)得

c?

6 , 2

故 F1 (?

6 6 , 0), F2 ( , 0), 2 2 6 , 0). 4

从而 M (1 ?

x2 ? 2 y 2 ? 1, 2


1 y ? ? x ?1 2
解得 x1 ? x2 ? 1, 所以 T (1, ). 因为 tan ?AFT ? 1

1 2

6 ? 1, 2

又 tan ?TAM ?

1 2 , tan ?TMF2 ? ,得 2 6

2 1 ? 6 2 tan ?ATM ? 1 1? 6

?

6 ? 1, 2

(19) (本小题满分 12 分) 如图,曲线 G 的方程为 y2=2x(y≥0).以原点为圆心,以 t(t >0)为半径的圆分别与 曲线 G 和 y 轴的正半轴相交于点 A 与点 B.直线 AB 与 x 轴相交于点 C. (Ⅰ)求点 A 的横坐标 a 与点 C 的横坐标 c 的关系式; (Ⅱ)设曲线 G 上点 D 的横坐标为 a+2,求证: 直线 CD 的斜率为定值. y

解: (Ⅰ)由题意知, A(a,2a ) . 因为 OA ? t ,所以 a ? 2a ? t .
2 2

G : y2 ? 2x
D B A a

由于 t ? 0 ,故有 t ? a ? 2a . (1)
2

0) 由点 B(0,t ),C (c, 的坐标知,
直线 BC 的方程为

O

a?2



x

x y ? ?1. c t

又因点 A 在直线 BC 上,故有

a 2a ? ? 1, c t

将(1)代入上式,得

a 2a ? ? 1, c a(a ? 2)

解得 c ? a ? 2 ? 2(a ? 2) . (Ⅱ)因为 D(a ? 2 2(a ? 2)) ,所以直线 CD 的斜率为 ,

kCD ?

2(a ? 2) 2(a ? 2) 2(a ? 2) ? ? ? ?1 . a ? 2 ? c a ? 2 ? (a ? 2 ? 2(a ? 2)) ? 2(a ? 2)
y

所以直线 CD 的斜率为定值.

, 20. (本小题满分 12 分)如图,已知点 F (1 0) ,
直线 l : x ? ?1 , P 为平面上的动点,过 P 作直线

l

??? ??? ??? ??? ? ? ? ? l 的垂线,垂足为点 Q ,且 QP? ? FP?FQ . QF

F

?1 O

1

x

(Ⅰ)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)过点 F 的直线交轨迹 C 于 A,B 两点,交直线 l 于点 M ,已知 MA ? ?1 AF ,

????

????

???? ??? ? MB ? ?2 BF ,求 ?1 ? ?2 的值;
解法一: (Ⅰ)设点 P( x,y ) ,则 Q(?1 y) ,由 QP? , QF ? FP ? 得: FQ

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

y P B O A F

( x ? 1, ? , y) ? ( x ?1,y)? ?2,y) ,化简得 C : y 2 ? 4x . 0) (2 ? (
(Ⅱ)设直线 AB 的方程为:

Q

x ? my ? 1(m ? 0) .

x

2? ? 设 A( x1,y1 ) , B( x2,y2 ) ,又 M ? ?1 ? ? , , m? ?
? y 2 ? 4 x, 联立方程组 ? ,消去 x 得: ? x ? my ? 1,

M

y 2 ? 4my ? 4 ? 0 , ? ? (?4m)2 ? 12 ? 0 ,故

? y1 ? y2 ? 4m, ? ? y1 y2 ? ?4. ???? ??? ???? ? ??? ? 由 MA ? ?1 AF , MB ? ?2 BF 得:
y1 ? 2 2 ? ??1 y1 , y2 ? ? ??2 y2 ,整理得: m m

?1 ? ?1 ?

2 2 , ?2 ? ?1 ? , my1 my2
2?1 1 ? ? ? ? m ? y1 y2 ?

? ?1 ? ?2 ? ?2 ?

? ?2 ?
? ?2 ?
? 0.

2 y1 ? y2 ? m y1 y2
2 4m ? m ?4

解法二: (Ⅰ)由 QP? QF ? FP?FQ 得: FQ? PQ ? PF ) ? 0 , (

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ??? ? ? ?

??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ?( PQ ? PF )? PQ ? PF ) ? 0 , (

??? 2 ??? 2 ? ? ? PQ ? PF ? 0 , ??? ? ??? ? ? PQ ? PF .
所以点 P 的轨迹 C 是抛物线,由题意,轨迹 C 的方程为: y 2 ? 4 x . (Ⅱ)由已知 MA ? ?1 AF , MB ? ?2 BF ,得 ?1 ? 2 ? 0 . ?

????

??? ?

????

??? ?

???? MA ?1 则: ???? ? ? MB ?2

??? ? AF ??? .…………① ? BF

过点 A,B 分别作准线 l 的垂线,垂足分别为 A , B1 , 1

???? ???? ??? ? MA AA1 AF 则有: ???? ? ???? ? ??? .…………② ? MB BB1 BF ??? ? ??? ? ?1 AF AF 由①②得: ? ??? ? ??? ,即 ?1 ? ?2 ? 0 . ? ? ?2 BF BF
18. (本小题满分 14 分) 在直角坐标系 xOy 中,已知圆心在第二象限、半径为 2 2 的圆 C 与直线 y=x 相切于坐 标原点 O,椭圆
x2 y 2 ? ? 1 与圆 C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为 10。 a2 9 (1)求圆 C 的方程;

(2)试探究圆 C 上是否存在异于原点的点 Q,使 Q 到椭圆的右焦点 F 的距离等于线段 OF 的长,若存在求出 Q 的坐标;若不存在,请说明理由。 解析: (1)圆 C: ( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 8 ; (2)由条件可知 a=5,椭圆
x2 y 2 ,若存在,则 F 在 OQ 的中垂线上, ? ? 1 ,∴F(4,0) 25 9

又 O、Q 在圆 C 上,所以 O、Q 关于直线 CF 对称;
4 ? ?y ?x ? 5 ? ?3 1 ?x ? 直线 CF 的方程为 y-1= ? ( x ? 1) ,即 x ? 3 y ? 4 ? 0 , Q 设 (x,y) 则 ? , , 解得 ? 3 ? x ? 3y ? 4 ? 0 ? y ? 12 ?2 2 ? 5 ? ?

4 12 所以存在,Q 的坐标为 ( , ) 。 5 5

19. (本小题满分 12 分)

x2 ? y 2 ? 1有两个不 在平面直角坐标系 xOy 中,经过点 (0,2) 且斜率为 k 的直线 l 与椭圆 2
同的交点 P 和 Q . (I)求 k 的取值范围;

(II)设椭圆与 x 轴正半轴、 y 轴正半轴的交点分别为 A,B ,是否存在常数 k ,使得向量

? ??? ???? ??? ? OP ? OQ 与 AB 共线?如果存在,求 k 值;如果不存在,请说明理由.
19.解: (Ⅰ)由已知条件,直线 l 的方程为 y ? kx ? 2 ,

代入椭圆方程得

x2 ? (kx ? 2) 2 ? 1 . 2


整理得 ?

?1 ? ? k 2 ? x 2 ? 2 2kx ? 1 ? 0 ?2 ?

直线 l 与椭圆有两个不同的交点 P 和 Q 等价于 ? ? 8k ? 4 ?
2

?1 ? ? k 2 ? ? 4k 2 ? 2 ? 0 , ?2 ?

? ? 2? ? 2 2 2 ? , ∞? . ? ? 或k ? .即 k 的取值范围为 ? ?∞, ??? ? 2 ? ? 2 2 2 ? ? ? ? ??? ??? ? ? (Ⅱ)设 P( x1,y1 ),Q( x2,y2 ) ,则 OP ? OQ ? ( x1 ? x2,y1 ? y2 ) ,
解得 k ? ? 由方程①, x1 ? x2 ? ?

4 2k . 1 ? 2k 2



又 y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2 2 . 而 A( 2 0) B(01) AB ? (? 21) . ,, ,, ,



??? ?

所以 OP ? OQ 与 AB 共线等价于 x1 ? x2 ? ? 2( y1 ? y2 ) , 将②③代入上式,解得 k ?

??? ???? ?

??? ?

2 . 2

由(Ⅰ)知 k ? ?

2 2 或k ? ,故没有符合题意的常数 k . 2 2

19. (本小题满分 12 分)
2 在平面直角坐标系 xOy 中,过定点 C (0,p ) 作直线与抛物线 x ? 2 py ( p ? 0 )相交于

A,B 两点. (I)若点 N 是点 C 关于坐标原点 O 的对称点,求 △ ANB 面积的最小值;
(II) 是否存在垂直于 y 轴的直线 l , 使得 l 被以 AC 为直径的圆截得的弦长恒为定值?若存 在,求出 l 的方程;若不存在,说明理由.

y

C A O N

B x 19.本小题主要考查直线、圆和抛物线等平面解析几何

的基础知识,考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力. 解法 1: (Ⅰ)依题意,点 N 的坐标为 N (0, p) ,可设 A( x1,y1 ),B( x2,y2 ) , ?

x 直 线 AB 的 方 程 为 y ? k ?

p , 与 x2 ? 2 p y联 立 得 ?

? x 2 ? 2 p, y

x p ?y ? k ? .
y

消 去 y 得

x2 ? 2 pkx ? 2 p2 ? 0 .
由韦达定理得 x1 ? x2 ? 2 pk , x1 x2 ? ?2 p2 . 于是 S△ ABN ? S△ BCN ? S△ ACN

B C A O N x

1 ? · 2 p x1 ? x2 . 2

? p x1 ? x2 ? p ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2
? p 4 p2k 2 ? 8 p2 ? 2 p2 k 2 ? 2 ,
∴ 当 k ? 0 时, (S△ABN )min ? 2 2 p2 .
(Ⅱ)假设满足条件的直线 l 存在,其方程为 y ? a ,

AC 的中点为 O? , l 与 AC 为直径的圆相交于点 P , Q,PQ 的中点为 H ,
则 O?H ? PQ , Q? 点的坐标为 ?

? x1 y1 ? p ? , ?. 2 ? ?2

y

∵ O?P ?

1 1 2 1 AC ? x1 ? ( y1 ? p ) 2 ? y12 ? p 2 , 2 2 2
l A

B

y ?p 1 O?H ? a ? 1 ? 2a ? y1 ? p , 2 2
1 1 2 2 2 ∴ PH ? O?P ? O?H ? ( y12 ? p 2 ) ? (2a ? y1 ? p) 2 4 4

O?

C

O N

x

p? ? ? ? a ? ? y1 ? a( p ? a) , 2? ?

?? p? ? 2 ∴ PQ ? (2 PH ) 2 ? 4 ?? a ? ? y1 ? a( p ? a) ? . 2? ?? ?
令a?

p p p ?0, a ? , 得 此时 PQ ? p 为定值, 故满足条件的直线 l 存在, 其方程为 y ? , 2 2 2

即抛物线的通径所在的直线. 解法 2: (Ⅰ)前同解法 1,再由弦长公式得

AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 1 ? k 2· ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 1 ? k 2· 4 p 2 k 2 ? 8 p 2

? 2 p 1 ? k 2· k 2 ? 2 ,
又由点到直线的距离公式得 d ?

2p 1? k 2
2



从而 S△ ABN ? · d AB ? · 2 p 1 ? k · k ? 2 · ·
2

1 2

1 2

2p 1? k
2

? 2 p2 k 2 ? 2 ,

∴ 当 k ? 0 时, (S△ABN )min ? 2 2 p2 .
(Ⅱ)假设满足条件的直线 l 存在,其方程为 y ? a ,则以 AC 为直径的圆的方程为

( x ? 0)( x ? x1 ) ? ( y ? p)( y ? y1 ) ? 0 ,
将直线方程 y ? a 代入得 x2 ? x1 x ? (a ? p)(a ? y1 ) ? 0 ,
2 则 △? x1 ? 4(a ? p)(a ? y1 ) ? 4 ?? a ?

?? ??

p? ? ? y1 ? a( p ? a) ? . 2? ?

设直线 l 与以 AC 为直径的圆的交点为 P( x3,y3 ),Q( x4,y4 ) , 则有 PQ ? x3 ? x4 ? 令a?

?? p? ? p? ? 4 ?? a ? ? y1 ? a ( p ? a ) ? ? 2 ? a ? ? y1 ? a ( p ? a) . 2? 2? ? ?? ?

p p p ?0, a ? , 得 此时 PQ ? p 为定值, 故满足条件的直线 l 存在, 其方程为 y ? , 2 2 2
2 2

20. (本小题满分 12 分) 已知双曲线 x ? y ? 2 的左、右焦点分别为 F , F2 ,过点 F2 的动直线与双曲线相交于 1

A,B 两点.
(I)若动点 M 满足 F M ? F A ? F B ? FO (其中 O 为坐标原点) ,求点 M 的轨迹方程; 1 1 1 1 (II)在 x 轴上是否存在定点 C ,使 CA · CB 为常数?若存在,求出点 C 的坐标;若不存 在,请说明理由.

?????

???? ???? ????
??? ?

??? ?

20.解:由条件知 F1 (?2, , F2 (2, ,设 A( x1,y1 ) , B( x2,y2 ) . 0) 0) 解法一: (I)设 M ( x,y) ,则 则 F M ? ( x ? 2,y) , F A ? ( x1 ? 2,y1 ) , 1 1

?????

????

???? ???? ????? ???? ???? ???? F1B ? ( x2 ? 2,y2 ), ? (2, ,由 F1M ? F1 A ? F1B ? FO 得 FO 0) 1 1
? x ? 2 ? x1 ? x2 ? 6, ? x1 ? x2 ? x ? 4, 即? ? ? y1 ? y2 ? y ? y ? y1 ? y2
于是 AB 的中点坐标为 ?

? x?4 y? , ?. ? 2 2?

y y y1 ? y2 y 2 ( x1 ? x2 ) . 当 AB 不与 x 轴垂直时, ,即 y1 ? y2 ? ? ? x ?8 x1 ? x2 x ? 4 ? 2 x ? 8 2
2 2 2 2 又因为 A,B 两点在双曲线上,所以 x1 ? y1 ? 2 , x2 ? y2 ? 2 ,两式相减得

( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ,即 ( x1 ? x2 )( x ? 4) ? ( y1 ? y2 ) y .
将 y1 ? y2 ?

y ( x1 ? x2 ) 代入上式,化简得 ( x ? 6)2 ? y 2 ? 4 . x ?8

0) 当 AB 与 x 轴垂直时, x1 ? x2 ? 2 ,求得 M (8, ,也满足上述方程.
所以点 M 的轨迹方程是 ( x ? 6) ? y ? 4 .
2 2

0) (II)假设在 x 轴上存在定点 C (m, ,使 CA? 为常数. CB
当 AB 不与 x 轴垂直时,设直线 AB 的方程是 y ? k ( x ? 2)(k ? ?1) . 代入 x ? y ? 2 有 (1 ? k ) x ? 4k x ? (4k ? 2) ? 0 .
2 2 2 2 2 2

??? ??? ? ?

则 x1,x2 是上述方程的两个实根,所以 x1 ? x2 ?

4k 2 4k 2 ? 2 , x1 x2 ? 2 , k 2 ?1 k ?1

于是 CA? ? ( x1 ? m)( x2 ? m) ? k 2 ( x1 ? 2)( x2 ? 2) CB

??? ??? ? ?

? (k 2 ?1) x1x2 ? (2k 2 ? m)( x1 ? x2 ) ? 4k 2 ? m2
(k 2 ? 1)(4k 2 ? 2) 4k 2 (2k 2 ? m) ? ? ? 4k 2 ? m 2 2 2 k ?1 k ?1 ? 2(1 ? 2m)k 2 ? 2 4 ? 4m ? m2 ? 2(1 ? 2m) ? 2 ? m2 . 2 k ?1 k ?1

因为 CA? 是与 k 无关的常数,所以 4 ? 4m ? 0 ,即 m ? 1 ,此时 CA? = ?1 . CB CB 当 AB 与 x 轴垂直时,点 A,B 的坐标可分别设为 (2,2) , (2, 2) , ? 此时 CA? ? (1 2)? , 2) ? ?1. CB , (1 ? 故在 x 轴上存在定点 C (1 0) ,使 CA? 为常数. , CB 解法二: (I)同解法一的(I)有 ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

? x1 ? x2 ? x ? 4, ? y1 ? y2 ? y

当 AB 不与 x 轴垂直时,设直线 AB 的方程是 y ? k ( x ? 2)(k ? ?1) . 代入 x2 ? y 2 ? 2 有 (1 ? k 2 ) x2 ? 4k 2 x ? (4k 2 ? 2) ? 0 . 则 x1,x2 是上述方程的两个实根,所以 x1 ? x2 ?

4k 2 . k 2 ?1

? 4k 2 ? 4k . y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ? 4) ? k ? ? 4? ? 2 ? k ?1 ? k ?1
由①②③得 x ? 4 ?

4k 2 .…………………………………………………④ k 2 ?1

y?

4k .……………………………………………………………………⑤ k 2 ?1

当 k ? 0 时, y ? 0 ,由④⑤得,

x?4 ? k ,将其代入⑤有 y

x?4 4 y ( x ? 4) y y? ? .整理得 ( x ? 6)2 ? y 2 ? 4 . 2 ( x ? 4) ( x ? 4) 2 ? y 2 ?1 y2 4?
0) 当 k ? 0 时,点 M 的坐标为 (4, ,满足上述方程. 0) 当 AB 与 x 轴垂直时, x1 ? x2 ? 2 ,求得 M (8, ,也满足上述方程.
故点 M 的轨迹方程是 ( x ? 6) ? y ? 4 .
2 2

0) CB (II)假设在 x 轴上存在定点点 C (m, ,使 CA? 为常数,
当 AB 不与 x 轴垂直时,由(I)有 x1 ? x2 ?

??? ??? ? ?

4k 2 4k 2 ? 2 ? 1 , x1 x2 ? 2 . k2 k ?1

以上同解法一的(II) . 19、 (本小题满分 14 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中, 过 y 轴正方向上一点 C (0, c) 任作一直线,与抛物线 y ? x2 相交于 AB 两点,一条垂直于 x 轴的直线,分别与线段 AB 和直线 l : y ? ?c 交于 P, Q , (1)若 OA ? OB ? 2 ,求 c 的值; 分) (5 (2)若 P 为线段 AB 的中点,求证: QA 为此抛物线的切 线; 分) (5 (3)试问(2)的逆命题是否成立?说明理由。 分) (4 19、

y

C P
A

B

??? ??? ? ?

O

x
Q
l

解: (1)设过 C 点的直线为 y ? kx ? c ,所以 x2 ? kx ? c ? c ? 0? ,即 x ? kx ? c ? 0 ,设
2

A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? , OA = ? x1 , y1 ? , OB ? ? x2 , y2 ? ,因为 OA ? OB ? 2 ,所以

??? ?

??? ?

??? ??? ? ?

x1 x2 ? y1 y2 ? 2 ,即 x1 x2 ? ? kx1 ? c ??kx2 ? c ? ? 2 , x1 x2 ? k 2 x1 x2 ? kc ? x1 ? x2 ? ? c2 ? 2
2 2

k 所以 ?c ? k c ? kc? ? c ? 2 ,即 c2 ? c ? 2 ? 0, 所以 c ? 2 舍去c ? ?1
/

( 2 ) 设 过 Q 的 切 线 为 y ? y1 ? k1 ? x ? x1 ? , y ? 2 x , 所 以 k1 ? 2 x1 , 即

?

?

?x ? c , ?c ? , 又 y ? 2x1 x ? 2x12 ? y1 ? 2x1 x ? x12 , 它 与 y ? ? c 的 交 点 为 M ? 1 ? ? 2 2 x1 ? 2 ? ? c ? x ? x 2 y 1 y ?2 ? k k ?k ? P? 1 , ? ? ? 2 , 2 ? c ? ,所以 Q ? 2 , ?c ? ,因为 x1 x2 ? ?c ,所以 ? x ? x2 , 2 ? ? ? ? ? 2 1 ?

? x1 x2 ? ?k ? ? , ?c ? ? ? , ?c ? ,所以点 M 和点 Q 重合,也就是 QA 为此抛物线的切线。 ? ?2 2 ? ?2 ?k ? ?k ? (3) (2)的逆命题是成立,由(2)可知 Q ? , ?c ? ,因为 PQ ? x 轴,所以 P ? , yP ? ?2 ? ?2 ? x ? x2 k ? ,所以 P 为 AB 的中点。 因为 1 2 2
所以 M ? (21) (本小题满分 12 分)

x2 y 2 ? ? 1 的左、 已知椭圆 右焦点分别为 F ,F2 . F 的直线交椭圆于 B,D 两点, F2 过 1 过 1 3 2
的直线交椭圆于 A,C 两点,且 AC ? BD ,垂足为 P . (Ⅰ)设 P 点的坐标为 ( x0,y0 ) ,证明: (Ⅱ)求四边形 ABCD 的面积的最小值. (Ⅰ)椭圆的半焦距 c ? 3 ? 2 ? 1 ,
2 2 x0 y0 ? ?1; 3 2

2 2 由 AC ⊥ BD 知点 P 在以线段 F1F2 为直径的圆上,故 x0 ? y0 ? 1,
2 2 x2 y 2 1 x2 y0 ? ≤ 0 ? 0 ? ? 1. 3 2 2 2 2

所以,

(Ⅱ) (ⅰ)当 BD 的斜率 k 存在且 k ? 0 时, BD 的方程为 y ? k ( x ? 1) ,代入椭圆方程

x2 y 2 ? ? 1 ,并化简得 (3k 2 ? 2) x2 ? 6k 2 x ? 3k 2 ? 6 ? 0 . 3 2
设 B( x1,y1 ) , D( x2,y2 ) ,则

x1 ? x2 ? ?

6k 2 3k 2 ? 6 , x1 x2 ? 3k 2 ? 2 3k 2 ? 2

BD ? 1 ? k 2 ?x1 ? x2 ? (1 ? k 2 )??( x2 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ? ? ? ?
因为 AC 与 BC 相交于点 P ,且 AC 的斜率为 ?

4 3(k 2 ? 1) ; 3k 2 ? 2

1 , k

? 1 ? 4 3 ? 2 ? 1? 2 ?k ? ? 4 3(k ? 1) . 所以, AC ? 1 2k 2 ? 3 3? 2 ? 2 k
四边形 ABCD 的面积

1 24(k 2 ? 1) 2 ??( k 2 ? 1) 2 96 S ? ?BD AC ? ≥ ? . 2 2 2 2 (3k ? 2)(2k ? 3) ? (3k 2 ? 2) ? (2k 2 ? 3) ? 25 ? ? 2 ? ?
当 k ? 1 时,上式取等号.
2

(ⅱ)当 BD 的斜率 k ? 0 或斜率不存在时,四边形 ABCD 的面积 S ? 4 . 综上,四边形 ABCD 的面积的最小值为

96 . 25

(21) (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,椭圆 C 上的点到焦点距离的最大值为 3 , 最小值为 1 . (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)若直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 相交于 A , B 两点( A,B 不是左右顶点) ,且以 AB 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点,求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标. (I)由题意设椭圆的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2

a ? c ? 3, a ? c ? 1 , a ? 2, c ? 1, b2 ? 3

?

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

? y ? kx ? m ? (II)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,由 ? x 2 y 2 得 ?1 ? ? 3 ?4

(3 ? 4k 2 ) x2 ? 8mkx ? 4(m2 ? 3) ? 0 , ? ? 64m2k 2 ?16(3 ? 4k 2 )(m2 ? 3) ? 0 , 3 ? 4k 2 ? m2 ? 0 .
x1 ? x2 ? ? 8mk 4(m2 ? 3) , x1 ? x2 ? . 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3(m2 ? 4k 2 ) . 3 ? 4k 2

y1 ? y2 ? (kx1 ? m) ? (kx2 ? m) ? k 2 x1 x2 ? mk ( x1 ? x2 ) ? m2 ?

? 以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 D(2,0), k AD ? kBD ? ?1 ,
? y1 y ? 2 ? ?1 , y1 y2 ? x1x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 ? 0 , x1 ? 2 x2 ? 2

3(m2 ? 4k 2 ) 4(m2 ? 3) 16mk ? ? ? 4 ? 0, 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
7m2 ? 16mk ? 4k 2 ? 0 ,解得
m1 ? ?2k , m2 ? ? 2k 2 2 ,且满足 3 ? 4k ? m ? 0 . 7

当 m ? ?2k 时, l : y ? k ( x ? 2) ,直线过定点 (2,0), 与已知矛盾;

2k 2 2 时, l : y ? k ( x ? ) ,直线过定点 ( , 0). 7 7 7 2 综上可知,直线 l 过定点,定点坐标为 ( , 0). 7
当m ? ? 21. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C:

x2 y2 6 ? 2 ? 1 (a>b>0)的离心率为 , 短轴一个端点到右焦点的距离为 3 . 2 a b 3

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点,坐标原点 O 到直线 l 的距离为

3 ,求△AOB 面积 2

的最大值. 21. (本小题满分 14 分)

?c 6 , ? ? 解: (Ⅰ)设椭圆的半焦距为 c ,依题意 ? a 3 ? a ? 3, ?
? b ? 1 ,? 所求椭圆方程为

x2 ? y 2 ? 1. 3

(Ⅱ)设 A( x1,y1 ) , B( x2,y2 ) . (1)当 AB ⊥ x 轴时, AB ? 3 . (2)当 AB 与 x 轴不垂直时, 设直线 AB 的方程为 y ? kx ? m .

由已知

m 1? k
2

?

3 2 3 2 ,得 m ? (k ? 1) . 4 2

把 y ? kx ? m 代入椭圆方程,整理得 (3k 2 ? 1) x2 ? 6kmx ? 3m2 ? 3 ? 0 ,

? x1 ? x2 ?
2

?6km 3(m 2 ? 1) , x1 x2 ? . 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1
2 2

? 36k 2 m2 12(m2 ? 1) ? ? AB ? (1 ? k )( x2 ? x1 ) ? (1 ? k ) ? 2 ? 2 3k 2 ? 1 ? ? (3k ? 1) ?
2

12(k 2 ? 1)(3k 2 ? 1 ? m2 ) 3(k 2 ? 1)(9k 2 ? 1) ? ? (3k 2 ? 1)2 (3k 2 ? 1)2
12k 2 12 12 ? 3? 4 ? 3? (k ? 0) ≤ 3 ? ?4. 2 1 9k ? 6k ? 1 2?3 ? 6 9k 2 ? 2 ? 6 k
当且仅当 9k ?
2

1 3 ,即 k ? ? 时等号成立.当 k ? 0 时, AB ? 3 , 2 k 3

综上所述 AB max ? 2 .

1 3 3 ? . ? 当 AB 最大时, △ AOB 面积取最大值 S ? ? AB max ? 2 2 2
(20) (本小题满分 12 分)设 F1 、 F2 分别是椭圆

x2 ? y 2 ? 1 的左、右焦点. 4

(Ⅰ)若 P 是该椭圆上的一个动点,求 PF · PF2 的最大值和最小值; 1 (Ⅱ) 设过定点 M (0,2) 的直线 l 与椭圆交于不同的两点 A 、B , 且∠ AOB 为锐角 (其中 O 为坐标原点) ,求直线 l 的斜率 k 的取值范围. 解: (Ⅰ)解法一:易知 a ? 2, b ? 1, c ? 3 所以 F1 ? 3, 0 , F2

?

? ?

3, 0 ,设 P ? x, y ? ,则

?

???? ???? ? PF1 ? PF2 ? ? 3 ? x, ? y ,

?

??

x2 1 3 ? x, ? y ? x ? y ? 3 ? x ? 1 ? ? 3 ? ? 3x 2 ? 8? 4 4
2 2

?

2

因为 x ?? ?2, 2? ,故当 x ? 0 ,即点 P 为椭圆短轴端点时, PF ? PF2 有最小值 ?2 1 当 x ? ?2 ,即点 P 为椭圆长轴端点时, PF ? PF2 有最大值 1 1 解法二:易知 a ? 2, b ? 1, c ? 3 ,所以 F1 ? 3, 0 , F2

???? ???? ?

???? ???? ?

?

? ?

3, 0 ,设 P ? x, y ? ,则

?

???? 2 ???? 2 ???? 2 ? ? ???? ???? ???? ???? ? ? ???? ???? PF1 ? PF2 ? F1 F2 ? PF1 ? PF2 ? PF1 ? PF2 ? cos ?F1 PF2 ? PF1 ? PF2 ? ???? ???? ? 2 PF1 ? PF2
? 1? x? 3 ? 2?

?

?

2

? y2 ? x ? 3

?

?

2

? y 2 ? 12? ? x 2 ? y 2 ? 3 (以下同解法一) ? ?

(Ⅱ)显然直线 x ? 0 不满足题设条件,可设直线 l : y ? kx ? 2, A? x1, y2 ? , B ? x2 , y2 ? ,

? y ? kx ? 2 ? ? 2 1? 2 联立 ? x 2 ,消去 y ,整理得: ? k ? ? x ? 4kx ? 3 ? 0 2 4? ? ? ? y ?1 ?4
∴ x1 ? x2 ? ?

4k k2 ?
? ?

1 4

, x1 ? x2 ?

3 k2 ? 1 4

由 ? ? ? 4k ? ? 4 ? k ?
2

3 3 1? 2 或k ? ? ? ? 3 ? 4k ? 3 ? 0 得: k ? 2 2 4?

又 0 ? ?A0B ? 90 ? cos ?A0B ? 0 ? OA ? OB ? 0
0 0

??? ??? ? ?

∴ OA ? OB ? x1x2 ? y1 y2 ? 0
2 又 y1 y2 ? ? kx1 ? 2?? kx2 ? 2? ? k x1x2 ? 2k ? x1 ? x2 ? ? 4 ?

??? ??? ? ?

3k 2 k2 ? 1 4

?

?k 2 ? 1 ?8k 2 ?4 ? 1 1 k2 ? k2 ? 4 4

?k 2 ? 1 ? ? 0 ,即 k 2 ? 4 ∵ 1 1 k2 ? k2 ? 4 4 3
故由①、②得 ?2 ? k ? ?

D
∴ ?2 ? k ? 2

E

3 3 或 ?k?2 2 2
x ? y 2 ? 1交 4
2

A

C
M
B

(20) (本题 14 分) 如图, 直线 y ? kx ? b 与椭圆

(第 19 题)

于 A,B 两点,记 △ AOB 的面积为 S . (I)求在 k ? 0 , 0 ? b ? 1 的条件下, S 的最大值; (II)当 AB ? 2 , S ? 1 时,求直线 AB 的方程. (Ⅰ)解:设点 A 的坐标为 ( x1,b) ,点 B 的坐标为 ( x2,b) ,

y A

O


x

x2 ? b 2 ? 1,解得 x1, ? ?2 1 ? b 2 , 2 4
1 b? x1 ? x2 2

B

所以 S ?

(第 20 题)

? 2b? 1 ? b2
≤ b2 ? 1 ? b2 ? 1 .
当且仅当 b ?

2 时, S 取到最大值 1 . 2

? y ? kx ? b, ? (Ⅱ)解:由 ? x 2 2 ? ? y ? 1, ?4
得?k ?
2

? ?

1? 2 2 ? x ? 2kbx ? b ? 1 ? 0 , 4?

? ? 4k 2 ? b2 ? 1 ,
| AB |? 1 ? k 2 ? x1 ? x1 | ? 1 ? k 2 ? |

4k 2 ? b 2 ? 1 ? 2. 1 2 ?k 4



设 O 到 AB 的距离为 d ,则

d?

2S ? 1, | AB |

又因为 d ?

|b| 1? k 2
2



所以 b ? k ? 1 ,代入②式并整理,得
2

1 ?0, 4 1 3 2 2 解得 k ? , b ? ,代入①式检验, ? ? 0 , 2 2 故直线 AB 的方程是 k4 ? k2 ?

y?

2 6 2 6 2 6 2 6 或y? 或y?? ,或 y ? ? . x? x? x? x? 2 2 2 2 2 2 2 2

(22)(本小题满分 13 分) . 设椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 过点 M ( 2,1) ,且着焦点为 F (? 2,0) 1 a 2 b2

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)当过点 P(4,1) 的动直线 l 与椭圆 C 相交与两不同点 A, B 时,在线段 AB 上取点 Q , 满足 AP ?QB ? AQ ?PB ,证明:点 Q 总在某定直线上

??? ??? ? ?

???? ??? ?

22 解 (1)由题意:

?c 2 ? 2 ? ?2 1 ? 2 ? 2 ?1 ?a b ?c 2 ? a 2 ? b 2 ?
(2)方法一

,解得 a2 ? 4, b2 ? 2 ,所求椭圆方程为

x2 y 2 ? ?1 4 2

设点 Q、A、B 的坐标分别为 ( x, y),( x1, y1 ),( x 2 , y2 ) 。

??? ? AP ??? ??? ???? ??? ? ? ? 由题设知 AP , PB , AQ , QB 均不为零,记 ? ? ??? ? ? PB

???? AQ ??? ,则 ? ? 0 且 ? ? 1 ? QB

又 A,P,B,Q 四点共线,从而 AP ? ?? PB, AQ ? ?QB

??? ?

??? ??? ? ?

??? ?

于是

4?

x1 ? ? x2 , 1? ? x ? ? x2 x? 1 , 1? ?

y1 ? ? y2 1? ? y1 ? ? y2 y? 1? ? 1?

从而
2 x12 ? ? 2 x2 ? 4 x , ??(1) 1? ? 2

y12 ? ? 2y2 2 ? y ,??(2) 1? ?2
2 2 x2 ? 2 y2 ? 4,??(4)

又点 A、B 在椭圆 C 上,即

x12 ? 2 y12 ? 4,??(3)

(1)+(2)×2 并结合(3)(4)得 4s ? 2 y ? 4 , 即点 Q( x, y) 总在定直线 2 x ? y ? 2 ? 0 上

方法二 设点 Q( x, y), A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,由题设, PA , PB , AQ , QB 均不为零。

??? ??? ???? ??? ? ? ?

??? ? ??? ? PA PB 且 ???? ? ??? ? AQ QB
又 P, A, Q, B 四点共线,可设 PA ? ?? AQ, PB ? ? BQ(? ? 0, ?1) ,于是

??? ?

??? ??? ? ?

??? ?

4 ? ?x 1? ? y , y1 ? 1? ? 1? ? 4 ? ?x 1? ? y x2 ? , y2 ? 1? ? 1? ? x1 ?

(1) (2)
2 2

由于 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 在椭圆 C 上,将(1)(2)分别代入 C 的方程 x ? 2 y ? 4, 整 , 理得

( x2 ? 2 y 2 ? 4)? 2 ? 4(2x ? y ? 2)? ? 14 ? 0 ( x2 ? 2 y2 ? 4)? 2 ? 4(2x ? y ? 2)? ? 14 ? 0
(4)-(3) 得

(3) (4)

8 ( 2 ? y ? 2 )? x ?

0

∵? ? 0,∴ 2 x ? y ? 2 ? 0
即点 Q( x, y) 总在定直线 2 x ? y ? 2 ? 0 上 19. (本小题共 14 分) 已知菱形 ABCD 的顶点 A,C 在椭圆 x ? 3 y ? 4 上,对角线 BD 所在直线的斜率为 1.
2 2

(Ⅰ)当直线 BD 过点 (0, 时,求直线 AC 的方程; 1) (Ⅱ)当 ?ABC ? 60 时,求菱形 ABCD 面积的最大值.
?

解: (Ⅰ)由题意得直线 BD 的方程为 y ? x ? 1 . 因为四边形 ABCD 为菱形,所以 AC ? BD . 于是可设直线 AC 的方程为 y ? ? x ? n .

由?

? x 2 ? 3 y 2 ? 4, ? y ? ?x ? n

得 4 x ? 6nx ? 3n ? 4 ? 0 .
2 2

因为 A,C 在椭圆上, 所以 ? ? ?12n ? 64 ? 0 ,解得 ?
2

4 3 4 3 . ?n? 3 3

设 A,C 两点坐标分别为 ( x1,y1 ), 2,y2 ) , (x

3n 3n 2 ? 4 则 x1 ? x2 ? , x1 x2 ? , y1 ? ? x1 ? n , y2 ? ? x2 ? n . 2 4
所以 y1 ? y2 ?

n . 2

所以 AC 的中点坐标为 ?

? 3n n ? ,?. ? 4 4? ? 3n n ? , ? 在直线 y ? x ? 1 上, ? 4 4?

由四边形 ABCD 为菱形可知,点 ? 所以

n 3n ? ? 1 ,解得 n ? ?2 . 4 4

所以直线 AC 的方程为 y ? ? x ? 2 ,即 x ? y ? 2 ? 0 . (Ⅱ)因为四边形 ABCD 为菱形,且 ?ABC ? 60 ,
?

所以 AB ? BC ? CA . 所以菱形 ABCD 的面积 S ?

3 2 AC . 2
2 2

由(Ⅰ)可得 AC ? ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) ?
2

?3n2 ? 16 , 2

所以 S ?

? 4 3 3 4 3? (?3n 2 ? 16) ? ? ?n? ?. ? 4 3 3 ? ? ?

所以当 n ? 0 时,菱形 ABCD 的面积取得最大值 4 3 . (21) (本小题满分 12 分) 如图、椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的一个焦点是 F(1,0) 为坐标原点. ,O a 2 b2

(Ⅰ)已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形,求椭圆的方程; (Ⅱ)设过点 F 的直线 l 交椭圆于 A、B 两点.若直线 l 绕点 F 任意转动,值有

OA ? OB ? AB ,求 a 的取值范围.
2 2 2

解法一:(Ⅰ)设 M,N 为短轴的两个三等分点, 因为△MNF 为正三角形, 所以 OF ?

3 MN , 2

即 1=

3 2b ? , 解得b= 3. 2 3
2

x2 y 2 ? 1. a ? b ? 1 ? 4, 因此,椭圆方程为 ? 4 3
2

(Ⅱ)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ). (ⅰ)当直线 AB 与 x 轴重合时,

OA ? OB ? 2a 2 , AB ? 4a 2 (a 2 ? 1),
2 2 2

因此,恒有 OA ? OB ? AB .
2 2 2

(ⅱ)当直线 AB 不与 x 轴重合时,

x2 y 2 设直线 AB 的方程为: x ? my ? 1, 代入 2 ? 2 ? 1, a b
整理得 (a ? b m ) y ? 2b my ? b ? a b ? 0,
2 2 2 2 2 2 2 2

所以 y1 ? y2 ?
2

2b2 m b 2 ? a 2b 2 , y1 y2 ? 2 a 2 ? b 2 m2 a ? b 2 m2
2 2

因为恒有 OA ? OB ? AB ,所以 ? AOB 恒为钝角. 即 OA? OB ? ( x1, y1 )? x2 , y2 ) ? x1x2 ? y1 y2 ? 0 恒成立. (

??? ??? ? ?

x1x2 ? y1 y2 ? (my1 ? 1)(my2 ? 1) ? y1 y2 ? (m2 ? 1) y1 y2 ? m( y1 ? y2 ) ? 1

(m 2 ? 1)(b 2 ? a 2b 2 ) 2b 2 m 2 ? 2 ?1 a 2 ? b2 m2 a ? b2 m2 ? m 2 a 2b 2 ? b 2 ? a 2b 2 ? a 2 ? ? 0. a 2 ? b2 m2 ?

又 a2+b2m2>0,所以-m2a2b2+b2-a2b2+a2<0 对 m ? R 恒成立, 即 a2b2m2> a2 -a2b2+b2 对 m ? R 恒成立. 当 m ? R 时,a2b2m2 最小值为 0,所以 a2- a2b2+b2<0. a2<a2b2- b2, a2<( a2-1)b2= b4, 因为 a>0,b>0,所以 a<b2,即 a2-a-1>0, 解得 a>

1? 5 1? 5 1? 5 或 a< (舍去),即 a> , 2 2 2 1? 5 ,+ ? ). 2

综合(i)(ii),a 的取值范围为(

解法二: (Ⅰ)同解法一, (Ⅱ)解: (i)当直线 l 垂直于 x 轴时, x=1 代入

1 y2 b2 (a 2 ? 1) ? 2 ? 1, y A2 ? =1. a2 b a2

因为恒有|OA|2+|OB|2<|AB|2,2(1+yA2)<4 yA2, yA2>1,即

a2 ? 1 >1, a

解得 a>

1? 5 1? 5 1? 5 或 a< (舍去),即 a> . 2 2 2

(ii)当直线 l 不垂直于 x 轴时,设 A(x1,y1), B(x2,y2). 设直线 AB 的方程为 y=k(x-1)代入

x2 y2 ? ? 1, a 2 b2

得(b2+a2k2)x2-2a2k2x+ a2 k2- a2 b2=0, 故 x1+x2=

2a 2 k 2 a 2 k 2 ? a 2b 2 , x2 x2 ? 2 . b2 ? a 2k 2 b ? a 2k 2

因为恒有|OA|2+|OB|2<|AB|2, 所以 x21+y21+ x22+ y22<( x2-x1)2+(y2-y1)2, 得 x1x2+ y1y2<0 恒成立. x1x2+ y1y2= x1x2+k2(x1-1) (x2-1)=(1+k2) x1x2-k2(x1+x2)+ k2

a 2 k 2 ? a 2b 2 2a 2 k 2 ( a 2 ? a 2b 2 ? b 2 )k 2 ? a 2b 2 2 2 ?k 2 ?k ? =(1+k ) 2 . b ? a 2k 2 b ? a 2k 2 b2 ? a 2k 2
2

由题意得(a2- a2 b2+b2)k2- a2 b2<0 对 k ? R 恒成立. ①当 a2- a2 b2+b2>0 时,不合题意; ②当 a2- a2 b2+b2=0 时,a=

1? 5 ; 2

③当 a2- a2 b2+b2<0 时,a2- a2(a2-1)+ (a2-1)<0,a4- 3a2 +1>0, 解得 a2>

3? 5 3? 5 1? 5 1? 5 或 a2> (舍去) ,a> ,因此 a ? . 2 2 2 2 1? 5 ,+ ? ). 2
x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦 a 2 b2

综合(i) (ii) 的取值范围为( ,a

20、 (本小题满分 12 分)在直角坐标系 xOy 中,椭圆 C1:

点分别为 F1、F2。F2 也是抛物线 C2: y 2 ? 4 x 的焦点,点 M 为 C1 与 C2 在第一象限的交 点,且 | MF2 |?

5 。 3

(1)求 C1 的方程; ??? (2)平面上的点 N 满足 MN ? MF ? MF2 ,直线 l∥MN,且与 C1 1 ? ??? ? 交于 A、B 两点,若 OA · OB =0,求直线 l 的方程。

???? ?

???? ???? ? ?

(Ⅰ)由 C2 : y ? 4 x 知 F2 (1 0) . ,
2

设 M ( x1,y1 ) , M 在 C2 上,因为 MF2 ? 得 x1 ?

5 5 ,所以 x1 ? 1 ? , 3 3

2 2 6 , y1 ? . 3 3

M 在 C1 上,且椭圆 C1 的半焦距 c ? 1 ,于是

8 ? 4 ? 2 ? 2 ? 1, 2 消去 b 并整理得 ? 9a 3b ?b 2 ? a 2 ? 1. ?
9a4 ? 37a2 ? 4 ? 0 ,
解得 a ? 2 ( a ?

1 不合题意,舍去) . 3

x2 y 2 ? ? 1. 故椭圆 C1 的方程为 4 3
(Ⅱ)由 MF ? MF2 ? MN 知四边形 MF1 NF2 是平行四边形,其中心为坐标原点 O , 1 因为 l ∥ MN ,所以 l 与 OM 的斜率相同,

???? ???? ? ?

???? ?

2 6 故 l 的斜率 k ? 3 ? 6 . 2 3
设 l 的方程为 y ? 6( x ? m) .

?3x 2 ? 4 y 2 ? 12, ? 由? 消去 y 并化简得 ? y ? 6( x ? m), ?
9 x 2 ? 16mx ? 8m2 ? 4 ? 0 .
设 A( x1,y1 ) , B( x2,y2 ) ,

16m 8m2 ? 4 x1 ? x2 ? , x1 x2 ? . 9 9
因为 OA ? OB ,所以 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 .

??? ?

??? ?

x1x2 ? y1 y2 ? x1x2 ? 6( x1 ? m)( x2 ? m)

? 7 x1x2 ? 6m( x1 ? x2 ) ? 6m2
8m2 ? 4 16m ? 7? ? 6m? ? 6m 2 9 9
1 ? (14m 2 ? 28) ? 0 . 9
所以 m ? ? 2 .

此时 ? ? (16m)2 ? 4 ? 9(8m2 ? 4) ? 0 , 故所求直线 l 的方程为 y ? 6x ? 2 3 ,或 y ? 6x ? 2 3 . 21. (本小题满分 12 分) 设点 P( x0 , y0 ) 在直线 x ? m( y ? ? m, 0 ? m ? 1) 上,过点 P 作双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 的两条切 线 PA、PB ,切点为 A 、B ,定点 M ( (1)求证:三点 A 、M、B 共线。 (2)过点 A 作直线 x ? y ? 0 的垂线,垂足为 N ,试求 ?AMN 的重心 G 所在曲线方程.
2 2 2 2 21.证明: (1)设 A(x1, y1), B( x 2 y 2 ,由已知得到 y1 y2 ? 0 ,且 x1 ? y1 ? 1, x2 ? y2 ? 1, , )

1 , 0) . m

设切线 PA 的方程为: y ? y1 ? k ( x ? x1 ) 由 ?

? y ? y1 ? k ( x ? x1 ) 得 2 2 ? x ? y ?1
y

(1 ? k 2 ) x2 ? 2k ( y1 ? kx1 ) x ? ( y1 ? kx1 )2 ?1 ? 0
2 从 而 ? ?4k 2 ( y ? k x )2 ? 4 (1? k ) 1y ? k x2 ) ? 4 (1 2k ( ? 1 1 1

x?m
, ? )

0
O
P

N
A M

解得 k ?

x1 y1

x

因此 PA 的方程为: y1 y ? x1 x ? 1 同理 PB 的方程为: y2 y ? x2 x ?1 又 P(m, y0 ) 在 PA、PB 上,所以 y1 y0 ? mx1 ? 1 , y2 y0 ? mx2 ? 1 即点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 都在直线 y0 y ? mx ? 1 上 又M(

B

1 , 0) 也在直线 y0 y ? mx ? 1 上,所以三点 A、M 、B 共线 m

(2)垂线 AN 的方程为: y ? y1 ? ? x ? x1 , 由?

? y ? y1 ? ? x ? x1 x ? y1 x1 ? y1 , ), 得垂足 N ( 1 2 2 ? x? y ?0

设重心 G( x, y)

3 ? 9x ? 3y ? ? m ? x1 ? ? 4 解得 ? 1 ? 9 y ? 3x ? ?y ? m ? 1 ? 4 1 1 1 2 2 2 2 ) ? y 2 ? 为重心 G 所在 由 x1 ? y1 ? 1 可得 (3 x ? 3 y ? )(3x ? 3 y ? ) ? 2 即 ( x ? m m 3m 9
1 1 x1 ? y1 ? ? x ? 3 ( x1 ? m ? 2 ) ? 所以 ? ? y ? 1 ( y ? 0 ? x1 ? y1 ) 1 ? 3 2 ?
曲线方程 20. (本小题满分 12 分) 在直角坐标系 xOy 中,点 P 到两点 (0, 3) , (0,3) 的距离之和等于 4,设点 P 的轨迹为 ?

C ,直线 y ? kx ? 1 与 C 交于 A,B 两点.
(Ⅰ )写出 C 的方程; (Ⅱ )若 OA ? OB ,求 k 的值; (Ⅲ )若点 A 在第一象限,证明:当 k>0 时,恒有| OA |>| OB |. (Ⅰ)设 P(x,y) ,由椭圆定义可知,点 P 的轨迹 C 是以 (0, 3),,3) 为焦点,长半 ? (0 轴为 2 的椭圆.它的短半轴 b ? 故曲线 C 的方程为 x ?
2

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

22 ? ( 3) 2 ? 1 ,

y2 ? 1. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3 分 ··········· ·········· ········· ·········· ··········· ········· 4

(Ⅱ)设 A( x1,y1 ),B( x2,y2 ) ,其坐标满足

? 2 y2 ? 1, ?x ? 4 ? ? y ? kx ? 1. ?
消去 y 并整理得 (k ? 4) x ? 2kx ? 3 ? 0 ,
2 2

故 x1 ? x2 ? ?

若 OA ? OB ,即 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 . 而 y1 y2 ? k x1x2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 1 ,
2

??? ?

??? ?

2k 3 ,x1 x2 ? ? 2 .·························· 5 分 ··········· ·········· ····· ·········· ··········· ····· k ?4 k ?4
2

于是 x1 x2 ? y1 y2 ? ?

3 3k 2 2k 2 ? 2 ? 2 ?1 ? 0 , k2 ? 4 k ? 4 k ? 4

2 化简得 ?4k ? 1 ? 0 ,所以 k ? ?

(Ⅲ) OA ? OB ? x1 ? y1 ? ( x2 ? y2 )
2 2 2 2

???? 2 ?

???? 2 ?

1 . ··········· ··········· ······ 分 ··········· ·········· ······· ·········· ··········· ······ 8 2

2 2 ? ( x12 ? x2 ) ? 4(1 ? x12 ?1? x2 )

? ?3( x1 ? x2 )( x1 ? x2 )
? 6k ( x1 ? x2 ) . k2 ? 4 3 知 x2 ? 0 ,从而 x1 ? x2 ? 0 .又 k ? 0 , k ?4
2

因为 A 在第一象限,故 x1 ? 0 .由 x1 x2 ? ? 故 OA ? OB ? 0 ,

???? 2 ???? 2 ? ?

即在题设条件下,恒有 OA ? OB . ··························· 12 分 ··········· ·········· ······ ·········· ··········· ······ 21. (本小题满分 12 分)

???? ?

???? ?

(注意:在试题卷上作答无效) .........
双曲线的中心为原点 O ,焦点在 x 轴上,两条渐近线分别为 l1,l2 ,经过右焦点 F 垂直于 l1

AB OB 成等差数列,且 BF 与 FA 同向. 的直线分别交 l1,l2 于 A,B 两点.已知 OA 、 、
(Ⅰ)求双曲线的离心率; (Ⅱ)设 AB 被双曲线所截得的线段的长为 4,求双曲线的方程. 21. 解: (Ⅰ)设 OA ? m ? d , AB ? m , OB ? m ? d 由勾股定理可得: (m ? d )2 ? m2 ? (m ? d )2 得: d ?

??? ??? ??? ? ? ?

??? ?

??? ?

1 b AB 4 m , tan ?AOF ? , tan ?AOB ? tan 2?AOF ? ? 4 a OA 3

b a ? 4 ,解得 b ? 1 ,则离心率 e ? 5 . 由倍角公式? 2 a 2 3 2 ?b? 1? ? ? ?a? 2
(Ⅱ)过 F 直线方程为 y ? ?

a x2 y 2 ( x ? c ) ,与双曲线方程 2 ? 2 ? 1 联立 b a b

将 a ? 2b , c ? 5b 代入,化简有

15 2 8 5 x ? x ? 21 ? 0 4b2 b

2 ? ? a ?2 ? ?a? 4 ? 1 ? ? ? x1 ? x2 ? ?1 ? ? ? ? ?( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ? ? ? ?b? ? ?b? ? ? ?

?? 32 5b ?2 28b2 ? ? ,解得 b ? 3 将数值代入,有 4 ? 5 ?? ?4 ? 5 ? ?? 15 ? ? ?? ?
故所求的双曲线方程为

x2 y 2 ? ? 1。 36 9

21. (本小题满分 12 分)

0) 1) 设椭圆中心在坐标原点, A(2,,B(0, 是它的两个顶点,直线 y ? kx(k ? 0) 与 AB 相交
于点 D,与椭圆相交于 E、F 两点. (Ⅰ)若 ED ? 6DF ,求 k 的值; (Ⅱ)求四边形 AEBF 面积的最大值. 21. (Ⅰ)解:依题设得椭圆的方程为

??? ?

????

x2 ? y 2 ? 1, 4

直线 AB,EF 的方程分别为 x ? 2 y ? 2 , y ? kx(k ? 0) . ················ 分 ··········· ····· ·········· ····· 2 如图,设 D( x0,kx0 ),E( x1,kx1 ),F ( x2,kx2 ) ,其中 x1 ? x2 , 且 x1,x2 满足方程 (1 ? 4k ) x ? 4 ,
2 2

y B D O E

F A x

故 x2 ? ? x1 ?

2 1 ? 4k 2

.①

由 ED ? 6DF 知 x0 ? x1 ? 6( x2 ? x0 ) ,得 x0 ? 由 D 在 AB 上知 x0 ? 2kx0 ? 2 ,得 x0 ? 所以

??? ?

????

1 5 10 ; (6 x2 ? x1 ) ? x2 ? 7 7 7 1 ? 4k 2

2 . 1 ? 2k

2 10 , ? 1 ? 2k 7 1 ? 4k 2
2

化简得 24k ? 25k ? 6 ? 0 ,

2 3 或 k ? . ··········· ··········· ·········· ···· 6 分 ··········· ·········· ··········· ···· ·········· ··········· ··········· ···· 3 8 ( Ⅱ ) 解 法 一 : 根 据 点 到 直 线 的 距 离 公 式 和 ① 式 知 , 点 E,F 到 AB 的 距 离 分 别 为
解得 k ?

h1 ?

x1 ? 2kx1 ? 2 5

?

2(1 ? 2k ? 1 ? 4k 2 ) 5(1 ? 4k 2 )



h2 ?

x2 ? 2kx2 ? 2 5

?

2(1 ? 2k ? 1 ? 4k 2 ) 5(1 ? 4k 2 )

. ··········· ··········· · 9 分 ··········· ·········· ·· ·········· ··········· ··

又 AB ?

22 ? 1 ? 5 ,所以四边形 AEBF 的面积为

S?

1 AB (h1 ? h2 ) 2

1 4(1 ? 2k ) ? ? 5? 2 5(1 ? 4k 2 )
? 2(1 ? 2k ) 1 ? 4k 2

?2

1 ? 4k 2 ? 4 k 1 ? 4k 2

≤2 2 ,
当 2k ? 1 ,即当 k ?

1 时,上式取等号.所以 S 的最大值为 2 2 . ··········· 分 ·········· 12 ·········· 2

解法二:由题设, BO ? 1 , AO ? 2 . 设 y1 ? kx1 , y2 ? kx2 ,由①得 x2 ? 0 , y2 ? ? y1 ? 0 , 故四边形 AEBF 的面积为

S ? S△BEF ? S△AEF
··········· ·········· ··········· ·········· ·········· ··········· ··········· ·········· ? x2 ? 2 y2 ·········································· 9 分

? ( x2 ? 2 y2 ) 2
2 2 ? x2 ? 4 y2 ? 4 x2 y2 2 2 ≤ 2( x2 ? 4 y2 )

?2 2,
当 x2 ? 2 y2 时,上式取等号.所以 S 的最大值为 2 2 .·················12 分 ··········· ······ ·········· ······ 22. (本小题满分 14 分) 如图,设抛物线方程为 x ? 2 py( p ? 0) , M 为直线 y ? ?2 p 上任意一点,过 M 引抛物线
2

的切线,切点分别为 A,B . (Ⅰ)求证: A,M ,B 三点的横坐标成等差数列;

? (Ⅱ)已知当 M 点的坐标为 (2, 2 p) 时, AB ? 4 10 .求此时抛物线的方程;
(Ⅲ)是否存在点 M ,使得点 C 关于直线 AB 的对称点 D 在抛物线 x2 ? 2 py( p ? 0) 上, 其中,点 C 满足 OC ? OA ? OB ( O 为坐标原点) .若存在,求出所有适合题意的点 M 的 坐标;若不存在,请说明理由. y B A O x

??? ?

??? ??? ? ?

?2 p M

22. (Ⅰ)证明:由题意设 A ? x1, 1 ?,B ? x2, 2 ?,x1 ? x2,M ( x0, 2 p) . ?

? ?

x2 ? 2p ?

? ?

x2 ? 2p ?

由 x ? 2 py 得 y ?
2

x x2 ,得 y ? ? , p 2p

所以 k MA ?

x1 x , k MB ? 2 . p p x1 ( x ? x0 ) , p

因此直线 MA 的方程为 y ? 2 p ?

直线 MB 的方程为 y ? 2 p ?

x2 ( x ? x0 ) . p

所以

x12 x ? 2 p ? 1 ( x1 ? x0 ) ,① 2p p

2 x2 x ? 2 p ? 2 ( x2 ? x0 ) .② 2p p

x1 ? x2 ? x1 ? x2 ? x0 , 2 x ? x2 因此 x0 ? 1 ,即 2x0 ? x1 ? x2 . 2 所以 A,M ,B 三点的横坐标成等差数列.
由①、②得 (Ⅱ)解:由(Ⅰ)知,当 x0 ? 2 时,

将其代入①、②并整理得:

x12 ? 4x1 ? 4 p2 ? 0 ,
2 x2 ? 4x2 ? 4 p2 ? 0 ,

所以 x1,x2 是方程 x2 ? 4 x ? 4 p2 ? 0 的两根, 因此 x1 ? x2 ? 4 , x1 x2 ? ?4 p2 ,
2 x2 x12 ? 2 p 2 p x1 ? x2 x0 ? ? ? , x2 ? x1 2p p

又 k AB

所以 k AB ?

2 . p

由弦长公式得 AB ? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ? 1 ? 又 AB ? 4 10 , 所以 p ? 1 或 p ? 2 , 因此所求抛物线方程为 x ? 2 y 或 x ? 4 y .
2 2

4 16 ? 16 p 2 . 2 p

(Ⅲ)解:设 D( x3,y3 ) ,由题意得 C( x1 ? x2,y1 ? y2 ) , 则 CD 的中点坐标为 Q ?

? x1 ? x2 ? x3 y1 ? y2 ? y3 ? , ?, 2 2 ? ?
x0 ( x ? x1 ) , p

设直线 AB 的方程为 y ? y1 ?

由点 Q 在直线 AB 上,并注意到点 ?

? x1 ? x2 y1 ? y2 ? , ? 也在直线 AB 上, 2 ? ? 2

代入得 y3 ?

x0 x3 . p
2

若 D( x3,y3 ) 在抛物线上,则 x3 ? 2 py3 ? 2x0 x3 , 因此 x3 ? 0 或 x3 ? 2 x0 .

即 D(0, 或 D ? 2 x0, 0)

? ?

2 2 x0 ? ?. p ?

(1)当 x0 ? 0 时,则 x1 ? x2 ? 2x0 ? 0 ,此时,点 M (0, 2 p) 适合题意. ?
2 ? x12 ? x2 ? (2)当 x0 ? 0 ,对于 D(0, ,此时 C ? 2 x0, 0) ?, 2p ? ?

kCD

2 x12 ? x2 2 x2 ? x2 2p , ? ? 1 2 x0 4 px0

又 k AB ?

x0 , AB ? CD , p
2 2 x0 x12 ? x2 x12 ? x2 ? ? ? ? ?1 , p 4 px0 4 p2

所以 k AB ? CD k

2 2 即 x1 ? x2 ? ?4 p2 ,矛盾.

对于 D ? 2 x0,

? ?

2 2 ? 2 x0 ? x 2 ? x2 ? ,因为 C ? 2 x0,1 ? ? ,此时直线 CD 平行于 y 轴, p ? 2p ? ?

又 k AB ?

x0 ? 0, p

所以直线 AB 与直线 CD 不垂直,与题设矛盾, 所以 x0 ? 0 时,不存在符合题意的 M 点.

? 综上所述,仅存在一点 M (0, 2 p) 适合题意.

20. (本小题满分 12 分) 已知抛物线 C :y ? 2 x , 直线 y ? kx ? 2 交 C 于 A,B 两点,M 是线段 AB 的中点, M 过
2

作 x 轴的垂线交 C 于点 N . (Ⅰ)证明:抛物线 C 在点 N 处的切线与 AB 平行; (Ⅱ)是否存在实数 k 使 NA?NB ? 0 ,若存在,求 k 的值;若不存在,说明理由.
2 20 . 解 法 一 : Ⅰ ) 如 图 , 设 A( x1,x1 ) , B( x2,x2 ) , 把 y ? kx? 2 代 入 y ? 2 x 得 ( 2 2 2 2

??? ??? ? ?

2 x 2 ? kx ? 2 ? 0 ,

由韦达定理得 x1 ? x2 ?

k , x1 x2 ? ?1 , 2
? ?. ?

y M 2 B 1 O N 1 x A

? xN ? xM ?

? k k2 x1 ? x2 k ? ,? N 点的坐标为 ? , 2 4 ?4 8

设抛物线在点 N 处的切线 l 的方程为 y ?

k2 k? ? ? m? x ? ? , 8 4? ?

mk k 2 ? ?0, 将 y ? 2 x 代入上式得 2 x ? mx ? 4 8
2
2

? 直线 l 与抛物线 C 相切,
? mk k 2 ? ?? ? m2 ? 8 ? ? ? ? m2 ? 2mk ? k 2 ? (m ? k )2 ? 0 ,? m ? k . 4 8 ? ?
即 l ∥ AB . (Ⅱ)假设存在实数 k ,使 NA?NB ? 0 ,则 NA ? NB ,又? M 是 AB 的中点,

??? ??? ? ?

?| MN |?

1 | AB | . 2 1 1 1 由(Ⅰ)知 yM ? ( y1 ? y2 ) ? (kx1 ? 2 ? kx2 ? 2) ? [k ( x1 ? x2 ) ? 4] 2 2 2

? k2 1 ? k2 ? ? ? 4? ? ? 2 . 2? 2 ? 4
? MN ? x 轴,? MN |?| yM ? yN |? |
2 2

k2 k 2 k 2 ? 16 ?2? ? . 4 8 8
2

| 又 | AB |? 1 ? k ? x1 ? x2 |? 1 ? k ? ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2

1 2 ?k? ? 1 ? k ? ? ? ? 4 ? (?1) ? k ? 1? k 2 ? 16 . 2 ?2?
2

2

?

k 2 ? 16 1 2 ? k ? 1? k 2 ? 16 ,解得 k ? ?2 . 8 4

即存在 k ? ?2 ,使 NA?NB ? 0 . 解法二: (Ⅰ)如图,设 A( x1, 1 ),B( x2, 2 ) ,把 y ? kx ? 2 代入 y ? 2 x 得 2x 2x
2 2
2

??? ??? ? ?

k 2 x 2 ? kx ? 2 ? 0 .由韦达定理得 x1 ? x2 ? ,x1 x2 ? ?1 . 2

? xN ? xM ?

? k k2 x1 ? x2 k ? ,? N 点的坐标为 ? , 2 4 ?4 8

? 2 ? .? y ? 2x ,? y? ? 4 x , ?

? 抛物线在点 N 处的切线 l 的斜率为 4 ?
??? ??? ? ?

k ? k ,? l ∥ AB . 4

(Ⅱ)假设存在实数 k ,使 NA?NB ? 0 .

??? ? ? ? k k 2 ? ??? ? k k2 ? 2 2 由(Ⅰ)知 NA ? ? x1 ? ,x1 ? 2 NB 2 ?, ? ? x2 ? ,x2 ? ? ,则 4 8 ? 4 8 ? ? ? ??? ??? ? ? ? k ?? k? ? k 2 ?? 2 k 2 ? NA?NB ? ? x1 ? ?? x2 ? ? ? ? 2 x12 ? ?? 2 x2 ? ? 4 ?? 4? ? 8 ?? 8? ? k ?? k? ? k 2 ?? 2 k 2 ? ? ? ? x1 ? ?? x2 ? ? ? 4 ? x12 ? ?? x2 ? ? 4 ?? 4? ? 16 ?? 16 ? ?
k ?? k? ? k ?? k ?? ? ? ? ? x1 ? ?? x2 ? ???1 ? 4 ? x1 ? ?? x2 ? ? ? 4 ?? 4? ? 4 ?? 4 ?? ? ?

? k k2 ? ? k2 ? ? ? x1 x2 ? ? x1 ? x2 ? ? ???1 ? 4 x1 x2 ? k ( x1 ? x2 ) ? ? 4 16 ? ? 4? ? ? k k k2 ? ? k k2 ? ? ? ?1 ? ? ? ???1 ? 4 ? (?1) ? k ? ? ? 4 2 16 ? ? 2 4? ? ? k2 ?? 3 ? ? ? ?1 ? ?? ?3 ? k 2 ? 16 ? ? 4 ? ?
? 0,

? ?1 ?

3 k2 ? 0 ,??3 ? k 2 ? 0 ,解得 k ? ?2 . 4 16

即存在 k ? ?2 ,使 NA?NB ? 0 . 21. (本小题满分 12 分) 设椭圆

??? ??? ? ?

x2 y 2 2 ? 2 ? 1, ? a ? b ? 0 ? 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,离心率 e ? ,右准线为 l , 2 a b 2

M , N 是 l 上的两个动点, F1M ? F2 N ? 0
(Ⅰ)若 F1M ? F2 N ? 2 5 ,求 a , b 的值; (Ⅱ)证明:当 MN 取最小值时, F M ? F2 N 与 F1F2 共线。 1
2 2 2 【解】 :由 a ? b ? c 与 e ?

????? ???? ?

?????

???? ?

????? ???? ?

???? ?

a 2 2 2 ,得 a ? 2b ? c 2

? ? ? 2 ? 2 F1 ? ? 0? 0? l ? 2 a,?,F2 ? 2 a,? , 的方程为 x ? 2a ? ? ? ? ?
设M

?

2a,y1 ,N

?

?

2a,y2

?

则 F1M ? ?

?????

? ?3 2 ? ???? ? 2 ? a,y1 ?,2 N ? ? F a,y2 ? ? 2 ? ? 2 ? ? ? ? ?

由 F M ? F2 N ? 0 得 1

????? ???? ?

3 y1 y2 ? ? a 2<0 ① 2 ????? ???? ? (Ⅰ)由 F1M ? F2 N ? 2 5 ,得

?3 2 ? 2 ? ? 2 a ? ? y1 ? 2 5 ? ? ? ? 2 ? 2 ? ? 2 a ? ? y2 ? 2 5 ? ? ?
2

2





2 由①、②、③三式,消去 y1 , y2 ,并求得 a ? 4

故 a ? 2, b ?
2

2 ? 2 2
? ? y1 ? y2 ? ? y12 ? y2 2 ? 2 y1 y2 ? ?2 y1 y2 ? 2 y1 y2 ? ?4 y1 y2 ? 6a 2
2

(Ⅱ) MN

当且仅当 y1 ? ? y2 ?

6 6 6 a 或 y2 ? ? y1 ? a 时, MN 取最小值 a 2 2 2
???? ? ?3 2 ? ? 2 ? a,y1 ? ? ? a,y2 ? ? 2 2a, y1 ? y2 ? 2 2a, 0 ? 2 F1F2 ? 2 ? ? 2 ? ? ? ? ?

此时, F1M ? F2 N ? ?

????? ???? ?

?

? ?

?

故 F M ? F2 N 与 F1F2 共线。 1 (21) (本小题满分 14 分) 已知中心在原点的双曲线 C 的一个焦点是 F1 ?? 3,0? ,一条渐近线的方程是 5x ? 2 y ? 0 . (Ⅰ)求双曲线 C 的方程; (Ⅱ)若以 k ?k ? 0? 为斜率的直线 l 与双曲线 C 相交于两个不同的点 M,N,线段 MN 的垂 直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为

????? ???? ?

???? ?

81 ,求 k 的取值范围. 2

(21)本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、线段的定

比分点等基础知识,考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法,考查推理运算能 力.满分 14 分. (Ⅰ)解:设双曲线 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? 0, b ? 0 ) .由题设得 a 2 b2

?a 2 ? b2 ? 9 ?a 2 ? 4 x2 y 2 ? ? ? ?1. ,解得 ? 2 ,所以双曲线方程为 ?b 5 4 5 ?b ? 5 ? ? ? 2 ?a
(Ⅱ)解:设直线 l 的方程为 y ? kx ? m ( k ? 0 ) .点 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) 的坐标满足方

? y ? kx ? m ? 程组 ? x 2 y 2 ?1 ? ? 5 ?4
将①式代入②式,得

x 2 (kx ? m)2 ? ? 1 ,整理得 (5 ? 4k 2 ) x2 ? 8kmx ? 4m2 ? 20 ? 0 . 4 5
2

此方程有两个一等实根, 于是 5 ? 4k ? 0 , ?? ? 8 k ) ? 4 ? )k 且 ( m 2 ( 4 ( 5 4 理得 m ? 5 ? 4k ? 0 . ③
2 2

2

m)2 0 ? 2? 0

. 整

由根与系数的关系可知线段 MN 的中点坐标 ( x0 , y0 ) 满足

x1 ? x2 4km 5m ? , y0 ? kx0 ? m ? . 2 2 5 ? 4k 5 ? 4k 2 5m 1 4km ? ? (x ? ). 从而线段 MN 的垂直平分线方程为 y ? 2 5 ? 4k k 5 ? 4k 2 9km 9m , 0) , (0, ) .由题设可得 此直线与 x 轴, y 轴的交点坐标分别为 ( 2 5 ? 4k 5 ? 4k 2 x0 ?
1 9km 9m 81 (5 ? 4k 2 )2 | |?| |? .整理得 m2 ? ,k ? 0. 2 5 ? 4k 2 5 ? 4k 2 2 |k|
将上式代入③式得

(5 ? 4k 2 )2 ? 5 ? 4k 2 ? 0 ,整理得 (4k 2 ? 5)(4k 2 ? | k | ?5) ? 0 , k ? 0 . |k|

解得 0 ?| k |?

5 5 或 | k |? . 4 2

所以 k 的取值范围是 (??, ? ) ? (?

5 4

5 5 5 , 0) ? (0, ) ? ( , ??) . 2 2 4

19. (本小题共 14 分)

x2 y 2 3 已知双曲线 C : 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 3 ,右准线方程为 x ? a b 3
(Ⅰ)求双曲线 C 的方程; (Ⅱ) 设直线 l 是圆 O : x2 ? y 2 ? 2 上动点 P( x0 , y0 )( x0 y0 ? 0) 处的切线,l 与双曲线 C 交 于不同的两点 A, B ,证明 ?AOB 的大小为定值.
.w.k.s.5.u.c.o.m

【解法 1】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识,考查曲线和方 程 的关系等解析几何的基本思想方法,考查推理、运算能力.

? a2 3 ? ? ? 3 ,解得 a ? 1, c ? 3 , (Ⅰ)由题意,得 ? c c ? ? 3 ?a ?
2 2 2

w.w.w. k. s.5.u.c.o.m

∴ b ? c ? a ? 2 ,∴所求双曲线 C 的方程为 x ?
2

y2 ? 1. 2

(Ⅱ)点 P ? x0 , y0 ?? x0 y0 ? 0? 在圆 x2 ? y 2 ? 2 上, 圆在点 P ? x0 , y0 ? 处的切线方程为 y ? y0 ? ? 化简得 x0 x ? y0 y ? 2 .

w.w.w. k.s.5 .u.c.o.m

x0 ? x ? x0 ? , y0

w.w.w. k. s.5.u.c.o.m



? 2 y2 ?1 ?x ? 2 ? ?x x ? y y ? 2 0 ? 0



2 2 x0 ? y0 ? 2



? 3x

2 0

2 ? 4 ? x 2 ? 4 x0 x ? 8 ? 2 x0 ? 0 ,

2 ∵切线 l 与双曲线 C 交于不同的两点 A、B,且 0 ? x0 ? 2 ,
2 2 2 2 ∴ 3x0 ? 4 ? 0 ,且 ? ? 16 x0 ? 4 3 x0 ? 4 8 ? 2 x0 ? 0 ,

?

??

?

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设 A、B 两点的坐标分别为 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? , 则 x1 ? x2 ?

4 x0 8 ? 2 x2 , x1 x2 ? 2 0 , 2 3x0 ? 4 3x0 ? 4

w.w.w. k.s.5 .u.c.o.m

??? ??? ? ? OA ? OB ∵ cos ?AOB ? ??? ??? ,且 ? ? OA ? OB

??? ??? ? ? 1 OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? x1 x2 ? 2 ? 2 ? x0 x1 ?? 2 ? x0 x2 ? , y0 ? x1 x2 ? 1 2 ?4 ? 2 x0 ? x1 ? x2 ? ? x0 x1 x2 ? 2 ? ? 2 ? x0

w.w. w. k.s. 5.u.c.o.m

2 2 2 2 x0 ?8 ? 2 x0 ? ? 8 ? 2 x0 8 x0 1 ? ?4 ? 2 ? ? 2 ? ? 2 2 3x0 ? 4 2 ? x0 ? 3x0 ? 4 3x0 ? 4 ? ? ?

??

2 2 8 ? 2 x0 8 ? 2 x0 ? 2 ? 0. 2 3x0 ? 4 3x0 ? 4

? ∴ ?AOB 的大小为 90 .

.w.k.s.5 .u.c.o .m

【解法 2】 (Ⅰ)同解法 1. (Ⅱ)点 P ? x0 , y0 ?? x0 y0 ? 0? 在圆 x2 ? y 2 ? 2 上, 圆在点 P ? x0 , y0 ? 处的切线方程为 y ? y0 ? ?
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x0 ? x ? x0 ? , y0

? 2 y2 ?1 ?x ? 2 2 化简得 x0 x ? y0 y ? 2 .由 ? 及 x0 ? y0 ? 2 得 2 ?x x ? y y ? 2 0 ? 0

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? 3x

2 0 2 0

2 ? 4 ? x 2 ? 4 x0 x ? 8 ? 2 x0 ? 0 2 ? 4 ? y 2 ? 8 y0 x ? 8 ? 2 x0 ? 0

① ②

? 3x

2 ∵切线 l 与双曲线 C 交于不同的两点 A、B,且 0 ? x0 ? 2 ,
2 ∴ 3x0 ? 4 ? 0 ,设 A、B 两点的坐标分别为 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? ,
2 2 8 ? 2 x0 2 x0 ? 8 则 x1 x2 ? 2 , , y1 y2 ? 2 3x0 ? 4 3x0 ? 4

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? ∴ OA ? OB ? x1x2 ? y1 y2 ? 0 ,∴ ?AOB 的大小为 90 .

??? ??? ? ?

.w.k.s.5 .u.c.o .m

2 2 (∵ x0 ? y0 ? 2 且 x0 y0 ? 0 ,∴ 0 ? x0 ? 2,0 ? y0 ? 2 ,从而当 3x0 ? 4 ? 0 时,方程 2 2 2

①和方程②的判别式均大于零). 20、 (本小题满分 14 分) (注意:在试题卷上作答无效) .........

过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的对称轴上一点 A? a,0?? a ? 0? 的直线与抛物线相交于 M、 N 两点,自 M、N 向直线 l : x ? ? a 作垂线,垂足分别为 M 1 、 N1 。 (Ⅰ)当 a ? (Ⅱ)记
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p 时,求证: AM1 ⊥ AN1 ; 2

?AMM1 、 ?AM1 N1 、 ?ANN1 的面积分别为 S1 、 S2 、 S3 ,是否存在 ? ,

2 使得对任意的 a ? 0 ,都有 S2 ? ? S1S2 成立。若存在,求出 ? 的值;若不存在,说明理由。

20 题。本小题主要考察抛物线的定义和几何性质等平面解析几何的基础知识,考查综合运 用数学知识进行推理运算的能力。 (14 分) 解:依题意,可设直线 MN 的方程为 x ? my ? a, M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,则有

M (?a, y1 ), N (?a, y2 )
由?

? x ? my ? a ? y ? 2 px
2

消去 x 可得 y 2 ? 2mpy ? 2ap ? 0

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从而有 ?

? y1 ? y2 ? 2mp ? y1 y2 ? ?2ap



于是 x1 ? x2 ? m( y1 ? y2 ) ? 2a ? 2(m2 p ? a) 又由 y12 ? 2 px1 , y12 ? 2 px2 可得 x1 x2 ? (Ⅰ)如图 1,当 a ?



( y1 y2 )2 (?2ap)2 ? ? a2 4 p2 4 p2



p p p 时,点 A( , 0) 即为抛物线的焦点, l 为其准线 x ? ? 2 2 2 P P 此时 M 1 ( ? , y1 ), N1 ( ? , y2 ), 并由 ①可得 y1 y2 ? ? p2 2 2 uuuu v uuuv 证法 1: Q AM1 ? (? p, y1 ), AN1 ? (? p, y2 )

uuuu uuuv v ? AM1 ? AN1 ? p2 ? y1 y2 ? p2 ? p2 ? 0,即AM1 ? AN1
Q K AM1 ? ? y1 y , K AN1 ? ? 2 , p p

证法 2:

? K AM1 ? K AN1 ?

y1 y2 p2 ? ? 2 ? ?1,即AM1 ? AN1. p2 p

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2 (Ⅱ)存在 ? ? 4 ,使得对任意的 a ? 0 ,都有 S2 ? 4S1S3 成立,证明如下:

证法 1:记直线 l 与 x 轴的交点为 A ,则 OA ? OA ? a 。于是有 1 1

1 1 S1 ? ? MM 1 ? A1M 1 ? (x1 ? a) y1 2 2 1 S2 ? ? M 1 N1 ? AA1 ? a y1 ? y2 2 1 1 S3 ? ? NN1 ? A1 N1 ? (x2 ? a ) y2 2 2

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2 ? S2 ? 4S1S3 ? (a y1 ? y2 ) 2 ? ( x1 ? a ) y1 ? ( x2 ? a ) y2

? a 2 [( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 ] ? [ x1 x2 ? a( x1 ? x2 ) ? a 2 ] y1 y2
将①、②、③代入上式化简可得

a2 (4m2 p2 ? 8ap) ? 2ap(2am2 p ? 4a2 ) ? 4a2 p(m2 p ? 2a)
2 上式恒成立,即对任意 a ? 0, S2 ? 4S1S3 成立
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2 证法 2:如图 2,连接 MN1 , NM1 ,则由 y1 y2 ? ?2ap, y1 ? 2 px1 可得

KOM ?

y1 2 p 2 py2 2 py2 y2 ? ? ? ? ? KON1 ,所以直线 MN1 经过原点 O, x1 y1 y1 y2 ?2ap ?a

同理可证直线 NM1 也经过原点 O 又 OA ? OA ? a 设 M1 A ? h1, N1 A ? h2 , MM1 ? d1, NN1 ? d2 , 则 1 1 1

S1 ?

1 1 1 d1h1 , S2 ? ? 2a (h1 ? h2 ) ? a (h1 ? h2 ), S3 ? d 2 h2 . 2 2 2

21. (本小题满分 12 分) 已知点 P ( x0 , y0 ) 为双曲线 1

x2 y 2 ? ? 1 ( b 为正常数)上任一 8b 2 b 2
P

y

点, F2 为双曲线的右焦点,过 P 作右准线的垂线,垂足为 A ,连接 1

P 2
A

F2 A 并延长交 y 轴于 P2 .

P1
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F1

O

F2

x

(1) 求线段 P P 的中点 P 的轨迹 E 的方程; 1 2 (2) 设 轨 迹 E 与 x 轴 交 于 B、D 两 点 , 在 E 上 任 取 一 点

Q x, y ( y? 0 ,直线 QB,QD 分别交 y 轴于 M ,N 两点. (1 ) 1 ) 1
求证:以 MN 为直径的圆过两定点.

( 0),( b,y0) A 解: (1) 由已知得 F2 3b, ,则直线 F2 A 的方程为: y ? ?
令 x ? 0 得 y ? 9 y0 ,即 P (0,9 y0 ) , 2

8 3

3 y0 ( x ? 3b) , b

x0 ? ? x0 ? 2 x ? x? 2 x0 2 y0 2 4x2 y2 ? ? ?1, 设 P x,y) ? ,则 ,即 ? ( y 代入 2 ? 2 ? 1 得: 2 ? 8b b 8b 25b 2 ? y ? y0 ? 9 y0 ? 5 y ? y0 ? 5 ? 0 ? ? 2
即 P 的轨迹 E 的方程为

x2 y2 ? ?1. 2b2 25b2

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x2 y2 ? 1 中令 y ? 0 得 x 2 ? 2b2 ,则不妨设 B - 2b, (2) 在 2 ? ( 0),D 2b, , ( 0) 2 2b 25b
于 是 直 线 QB 的 方 程 为 : y ?

y1 ( x ? 2b) , x1 ? 2b

直 线 QD 的 方 程

为: y ?

y1 ( x- 2b) , x1 - 2b

则 M 0, (

2by1 - 2by1 , ),N 0, ( ) x1 ? 2b x1 - 2b 2by1 2by1 )(y ? ) 0 , ? x1 ? 2b x1 - 2b

则以 MN 为直径的圆的方程为: x 2 ? y (

令 y ? 0 得: x 2 ?

2 2 x2 y2 2b2 y12 y1 , ? 1 上,则 x12 ? 2b 2 ? ,而 Q x1 , y1) 在 2? ( 2 2 2 25 2b 25b x1 ? 2b

于是 x ? ?5b ,即以 MN 为直径的圆过两定点 (?5b,0),(5b,0) . (20) (本小题满分 12 分) 已知,椭圆 C 过点 A (1, ) ,两个焦点为(-1,0)(1,0) , 。 (1) 求椭圆 C 的方程; (2) E,F 是椭圆 C 上的两个动点,如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数,证明直 线 EF 的斜率为定值,并求出这个定值。
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3 2

(20)解: (Ⅰ)由题意,c=1,可设椭圆方程为

1 9 3 ? 2 ? 1,解得 b2 ? 3 , b 2 ? ? (舍去) 2 4 1? b 4b
……………4 分

所以椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1。 4 3

3 x2 y 2 ? ? 1得 (Ⅱ)设直线 AE 方程为: y ? k ( x ? 1) ? ,代入 2 4 3

3 (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 4k (3 ? 2k ) x ? 4( ? k ) 2 ? 12 ? 0 2 3 设 E (x E , y E ) , F (x F , y F ) ,因为点 A(1, ) 在椭圆上,所以 2 3 4( ? k )2 ? 12 xF ? 2 3 ? 4k 2 3 yE ? kxE ? ? k 2

………8 分

又直线 AF 的斜率与 AE 的斜率互为相反数,在上式中以—K 代 K,可得

3 4( ? k )2 ? 12 xF ? 2 3 ? 4k 2 3 yE ? ?kxE ? ? k 2
所以直线 EF 的斜率 K EF ?

yF ? yE ?k ( xF ? xE ) ? 2k 1 ? ? xF ? xE xF ? xE 2
1 。 2
……12 分

即直线 EF 的斜率为定值,其值为 (21) (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,过右焦点 F 的直线 l 与 C 相交 2 a b 3

于 A 、 B 两点,当 l 的斜率为 1 时,坐标原点 O 到 l 的距离为 (I)求 a , b 的值;

2 2

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(II) C 上是否存在点 P,使得当 l 绕 F 转到某一位置时,有 OP ? OA ? OB 成立? 若存在,求出所有的 P 的坐标与 l 的方程;若不存在,说明理由。 解:(I)设 F (c, 0) ,直线 l : x ? y ? c ? 0 ,由坐标原点 O 到 l 的距离为

??? ?

??? ??? ? ?

2 2



c 3 |0?0?c| 2 ,解得 c ? 1 .又 e ? ? ,? a ? 3, b ? 2 . ? a 3 2 2
x2 y 2 ? ? 1 .设 A( x1 , y1 ) 、 B ( x2 , y2 ) 3 2

(II)由(I)知椭圆的方程为 C :

由题意知 l 的斜率为一定不为 0,故不妨设 l : x ? my ? 1 代入椭圆的方程中整理得 (2m2 ? 3) y 2 ? 4my ? 4 ? 0 ,显然 ? ? 0 。

4m 4 , y1 y2 ? ? , .... ....① 2 2m ? 3 2m 2 ? 3 ??? ??? ??? ? ? ? .假设存在点 P,使 OP ? OA ? OB 成立,则其充要条件为:
由韦达定理有: y1 ? y2 ? ? 点 P的坐标为( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ,点 P 在椭圆上,即

( x1 ? x2 )2 ( y1 ? y2 )2 ? ?1。 3 2
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整理得 2x12 ? 3 y12 ? 2x22 ? 3 y22 ? 4x1x2 ? 6 y1 y2 ? 6 。

又 A、B 在椭圆上,即 2x12 ? 3 y12 ? 6, 2x22 ? 3 y22 ? 6 . 故 2 x1 x2 ? 3 y1 y2 ? 3 ? 0 ................ ................② 将 x1x2 ? (my1 ? 1)(my2 ?1) ? m2 y1 y2 ? m( y1 ? y2 ) ?1 及①代入②解得 m ?
2

1 2

? y1 ? y2 ?

4m 2 3 2 2 3 2 ? 2 ? ,即 P( , ? 或? ). , x1 ? x2 = ? 2 2m ? 3 2 2 2 2 2

当m ?

2 3 2 2 时, P( , ? ), l : x ? y ?1; 2 2 2 2 2 3 2 2 时, P( , ), l : x ? ? y ?1. 2 2 2 2

当m ? ?

(22) (本小题满分 14 分) 设椭圆 E:

x2 y 2 ? ? 1 (a,b>0)过 M(2, 2 ) ,N( 6 ,1)两点,O 为坐标原点, a 2 b2

(I)求椭圆 E 的方程; (II)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且

??? ??? ? ? OA ? OB ?若存在,写出该圆的方程,并求|AB |的取值范围,若不存在说明理由。
x2 y 2 解:(1)因为椭圆 E: 2 ? 2 ? 1 (a,b>0)过 M(2, 2 ) ,N( 6 ,1)两点, a b
2 ?4 ?1 1 ? a 2 ? b2 ? 1 ? a2 ? 8 ?a 2 ? 8 x2 y 2 ? ? ? ?1 所以 ? 解得 ? 所以 ? 2 椭圆 E 的方程为 8 4 ?b ? 4 ? 6 ? 1 ?1 ?1 ?1 ? a 2 b2 ? b2 4 ? ?
(2)假设存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,

? y ? kx ? m ??? ??? ? ? ? 且 OA ? OB , 设 该 圆 的 切 线 方 程 为 y ? kx ? m 解 方 程 组 ? x 2 y 2 得 ? ?1 ? 4 ?8

x2 ? 2(kx ? m)2 ? 8 ,即 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4kmx ? 2m2 ? 8 ? 0 ,
2 2 2 2 2 2 则△= 16k m ? 4(1 ? 2k )(2m ? 8) ? 8(8k ? m ? 4) ? 0 ,即 8k ? m ? 4 ? 0
2 2

4km ? ? x1 ? x2 ? ? 1 ? 2k 2 ? ? 2 ? x x ? 2m ? 8 ? 1 2 1 ? 2k 2 ?
y1 y2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? k 2 x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m2 ?

,

k 2 (2m2 ? 8) 4k 2 m2 m2 ? 8k 2 ? ? m2 ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

要 使 O A ?

? ? ??

? ? ?? O , B需 使 x1 x2 ?

y1 ?y2 , 即 0

2m2 ? 8 m2 ? 8k 2 ? ?0 , 所 以 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

3m2 ? 8k 2 ? 8 ? 0 , 所 以 k 2 ?

? m2 ? 2 3m2 ? 8 8k 2 ? m2 ? 4 ? 0 , 所 以 ? 2 ?0 又 ,所以 8 ? 3m ? 8

m2 ?

8 2 6 2 6 ,即 m ? 或m?? ,因为直线 y ? kx ? m 为圆心在原点的圆的一条切 3 3 3

m2 m2 8 2 6 ? ? ,r ? 线,所以圆的半径为 r ? ,r ? ,所求的圆为 2 2 2 3m ? 8 3 1? k 3 1? k 1? 8

m

2

x2 ? y 2 ?

8 2 6 2 6 ,此时圆的切线 y ? kx ? m 都满足 m ? 或m?? ,而当切线的斜 3 3 3

率不存在时切线为 x ? ?

x2 y 2 2 6 2 6 2 6 ? ?1 的两个交点为 ( 与椭圆 ,? )或 8 4 3 3 3

(?

??? ??? ? ? 8 2 6 2 6 ,? ) 满足 OA ? OB ,综上, 存在圆心在原点的圆 x 2 ? y 2 ? ,使得该圆的 3 3 3 ??? ? ??? ?

任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且 OA ? OB .

4km ? ? x1 ? x2 ? ? 1 ? 2k 2 ? 因为 ? , 2 ? x x ? 2m ? 8 ? 1 2 1 ? 2k 2 ?
所以 ( x1 ? x2 )2 ? ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ? (?

4km 2 2m2 ? 8 8(8k 2 ? m2 ? 4) , ) ? 4? ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 (1 ? 2k 2 )2

| AB |? ( x1 ? x2 ) 2 ? ? y1 ? y2 ? ? (1 ? k 2 )( x1 ? x2 ) 2 ? (1 ? k 2 )
2

8(8k 2 ? m2 ? 4) (1 ? 2k 2 ) 2

?

32 4k 4 ? 5k 2 ? 1 32 k2 ? 4 ? [1 ? 4 ], 3 4k ? 4k 2 ? 1 3 4k ? 4k 2 ? 1
32 1 [1 ? ] 1 3 4k 2 ? 2 ? 4 k

①当 k ? 0 时 | AB |?

因为 4k ?
2

1 ? 4 ? 8 所以 0 ? k2

1 1 ? , 1 4k 2 ? 2 ? 4 8 k

所以

32 32 1 ? [1 ? ] ? 12 , 1 3 3 2 4k ? 2 ? 4 k
4 2 6 ?| AB |? 2 3 当且仅当 k ? ? 时取”=”. 3 2

所以

② 当 k ? 0 时, | AB |?

4 6 . 3

③ 当 AB 的斜率不存在时, 两个交点为 (

2 6 2 6 2 6 2 6 ,? ) 或 (? ,? ) ,所以此时 3 3 3 3

| AB |?

4 6 , 3
4 4 6 ?| AB |? 2 3 即: | AB |? [ 6, 2 3] 3 3

综上, |AB |的取值范围为 21. (本小题满分 12 分)

y 2 x2 5 已知双曲线 C 的方程为 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) ,离心率 e ? ,顶点到渐近线的 a b 2
距离为

2 5 。 5

(I)求双曲线 C 的方程; (II)如图,P 是双曲线 C 上一点,A,B 两点在双曲线 C 的两条渐 近线上,且分别位于第一、二象限,若 AP ? ? PB, ? ? [ , 2] , 求 ?AOB 面积的取值范围。
w.w.w.k. s.5.u.c.o.m

??? ?

??? ?

1 3

21. (本小题满分 14 分) 已知双曲线 C 的方程为

y 2 x2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0), a 2 b2

离心率 e ?

5 2 5 , 顶点到渐近线的距离为 . 2 5

(Ⅰ)求双曲线 C 的方程; (Ⅱ)如图,P 是双曲线 C 上一点,A,B 两点在双曲线 C 的两条渐近线上,且分别位于 第一,二象限.若 AP ? ? PB, ? ? [ , 2], 求△AOB 面积的取值范围. 解答一(Ⅰ)由题意知,双曲线 C 的顶点 (O, a) 到渐近线 ax ? by ? 0的距离为

??? ?

??? ?

1 3

2 5 , 5



ab a 2 ? b2

?

2 5 ab 2 5 ,即 ? , 5 c 5

? ab 2 5 , ? ? 5 ?c ?c 5 ? , 由? ? a 2 ? ?c 2 ? a 2 ? b 2 ? ? ?

?a ? 2, ? ?b ? 1, 得 ? ?c ? 5,

∴双曲线 C 的方程为

y2 ? x 2 ? 1. 4

(Ⅱ)由(Ⅰ)知双曲线 C 的两条渐近线方程为 y ? ?2 x. 设 A(m, 2m), B(?n, 2n), m ? 0, n ? 0.

w.w.w. k.s.5.u.c.o.m

由 AP ? ? PB 得 P 点的坐标为 (

??? ?

??? ?

m ? ? n 2(m ? ? n) , ), 1? ? 1? ?

将 P 点坐标代入

y2 (1 ? ? n) 2 ? x 2 ? 1, 化简得 mn ? . 4 4?

设∠AOB ? 2? ,? tan( 又

?

1 1 4 ? ? ) ? 2,? tan ? ? ,sin ? ? ,sin 2? ? . 2 2 2 5

? | OA |? 5m4 | OB |? 5n?

? S? AOB ?

1 1 1 | OA |? OB |? 2? ? 2mn ? (? ? ) ? 1. | sin 2 2 ?

1 1 1 S (? ) ? (? ? ) ? 1, ? ?[ , 2], 记 2 ? 3
8 9 , S (2) ? , 3 4 1 8 当 ? ? 1 时,△AOB 的面积取得最小值 2,当 ? ? 时,△AOB 的面积取得最大值 ∴△ 3 3. 8 AOB 面积的取值范围是 [2, ]. 3
由 S '(? ) ? 0得? ? 1, 又S(1)=2,S( ) ? 解答二(Ⅰ)同解答一 (Ⅱ)设直线 AB 的方程为 y ? kx ? m, 由题意知 | k |? 2, m ? 0.

1 3



{ y ? kxx ? m y?2 { y ? kx2? m y?? x

得 A 点的坐标为 (

m 2m , ), 2?k 2?k ? m 2m , ). 2?k 2?k



得 B 点的坐标为 (

由 AP ? ? PB 得 P 点的坐标为 (

??? ?

??? ?

m 1 ? 2m 1 ? ( ? ), ( ? )), 1? ? 2 ? k 2 ? k 1? ? 2 ? k 2 ? k

将 P 点坐标代入

y2 4m 2 (1 ? ? )2 ? x 2 ? 1得 ? . 4 4 ? k2 ?
1 1 1 | OQ |? XA | ? | OQ |? x8 |? m? xA ? xB) | | ( 2 2 2
w.w. w. k.s .5.u.c.o.m

设 Q 为直线 AB 与 y 轴的交点,则 Q 点的坐标为(0,m).

S? AOB ? S? AOQ ? S? BOQ ?

1 m m 1 4m 2 1 1 ? )? ? ? (? ? ) ? 1. = m( 2 2 2?k 2?k 2 4?k 2 ?
以下同解答一. 20(本小题满分 12 分) 已知椭圆

x2 y 2 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,离心率 e ? ,右准线方程为 2 a b 2

x ? 2。
(I)求椭圆的标准方程; (II) 过点 F 的直线 l 与该椭圆交于 M , N 两点, F2 M ? F2 N ? 且 1

????? ???? ?

2 26 , 求直线 l 的方程。 3

本小题主要考查直线、椭圆、平面向量等基础知识,以及综合运用数学知识解决问题及推理 运算能力。

解: (Ⅰ)有条件有

{

c 2 ? a 2 2 a ? 2 ,解得 a ? 2,c=1 。 c

w.w.w. k.s.5 .u.c.o.m

?b ? a 2 ? c2 ? 1。
所以,所求椭圆的方程为

x2 ? y2 ? 1 。…………………………………4 分 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 F1 (?1,0) 、 F2 1 0) (, 。 若直线 l 的斜率不存在,则直线 l 的方程为 x=-1. 将 x=-1 代入椭圆方程得 y ? ?

2 。 2

不妨设 M (?1,

2 2 , ) 、 N ? 1, ( ? ) 2 2

uuuu uuuv v 2 2 ? F2 M ? F2 N ? (?2, ) ? (?2, ? ) ? (?4,0) . 2 2 uuuu uuuv v ? F2 M ? F2 N ? 4 ,与题设矛盾。

? 直线 l 的斜率存在。
设直线 l 的斜率为 k,则直线的方程为 y=k(x+1) 。 设 M (x1,y1 ) 、 N ( x2 , y2 ) ,

联立

{

x2 ? y 2 ?1 2 y=k(x+1) ,消 y 得 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4k 2 x ? 2k 2 ? 2 ? 0 。
2k ?4k 2 ,从而 y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ? 2) ? , 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k

由根与系数的关系知 x1 ? x2 ?

又? F2 M ? ( x1 ?1, y1 ) , F2 N ? ( x2 ?1, y2 ) ,

?????

???? ?

????? ???? ? ? F2 M ? F2 N ? ( x1 ? x2 ? 2, y1 ? y2 ) 。
????? ???? 2 ? ? F2 M ? F2 N ? ( x1 ? x2 ? 2)2 ? ( y1 ? y2 )2
?( 8k 2 ? 2 2 2k 2 ) ?( ) 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2

4(16k 4 ? 9k 2 ? 1) ? 4k 4 ? 4k 2 ? 1

?

4(16k 4 ? 9k 2 ? 1) 2 26 2 ?( ) 。 4 2 4k ? 4k ? 1 3
4 2

化简得 40k ? 23k ? 17 ? 0 解得 k ? 1或者k ? ?
2 2

17 40

w.w. w. k.s. 5.u.c.o.m

? k ? ?1. ? 所求直线l的方程为y ? x ? 1或者y ? ? x ? 1
(21) (本小题满分 14 分)

以知椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点分别为 F1 (?c,0)和F2 (c,0)(c ? 0) , 过点 a 2 b2

E(

a2 , 0) 的直线与椭圆相交与 A, B 两点,且 F1 A / / F2 B, F1 A ? 2 F2 B 。 c
w.w.w. k.s.5 .u.c.o.m

(1) 求椭圆的离心率; (2) 求直线 AB 的斜率;

w.w.w. k.s.5. u.c.o.m

(3) 设点 C 与点 A 关于坐标原点对称,直线 F2 B 上有一点 H (m, n)(m ? 0) 在

? AFC 的外接圆上,求 1

n 的值 m

w.w.w. k. s.5.u.c.o.m

本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、圆的方程等基础知识,考查用代 数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想,考查运算能力和推理能力,满分 14 分

(I)

a2 ?c EF2 F2 B 1 1 c ? ? ,从而 2 解:由 F A // F2 B 且 FA ? 2 F2B ,得 ? 1 1 EF1 F1A 2 a 2 ?c c
2 2

整理,得 a ? 3c ,故离心率 e ? (II)
2 2

c 3 ? a 3
2

w.w. w. k.s. 5.u.c.o.m

解:由(I)得 b ? a ? c ? 2c ,所以椭圆的方程可写为 2 x2 ? 3 y 2 ? 6c2
2

设直线 AB 的方程为 y ? k ? x ?

? ?

a2 ? ? ,即 y ? k ( x ? 3c) . c ?

w.w.w. k. s.5.u.c.o.m

由已知设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则它们的坐标满足方程组 ? 消去 y 整理,得 (2 ? 3k ) x ?18k cx ? 27k c ? 6c ? 0 .
2 2 2 2 2 2

? y ? k ( x ? 3c)
2 2 2 ?2 x ? 3 y ? 6c

依题意, ? ? 48c (1 ? 3k ) ? 0,得 ?
2 2

3 3 ?k? 3 3




x1 ? x2 ?

18k 2c 2 ? 3k 2

x1 x2 ?

27k 2c 2 ? 6c c 2 ? 3k 2



w.w.w.k. s.5.u.c.o.m

由题设知,点 B 为线段 AE 的中点,所以

x1 ? 3c ? 2 x2



联立①③解得

x1 ?

9k 2 c ? 2c 9k 2 c ? 2c , x2 ? 2 ? 3k 2 2 ? 3k 2

将 x1 , x2 代入②中,解得 k ? ?

2 . 3
3c 2
w.w.w. k.s.5.u.c.o.m

(III)解法一:由(II)可知 x1 ? 0, x2 ? 当k ? ?

2 时,得 A(0, 2c) ,由已知得 C(0, ? 2c) . 3

线段 AF1 的垂直平分线 l 的方程为 y ?

2 2? c? c?? ? x ? ? 直线 l 与 x 轴 2 2 ? 2?
2 2

c? ?c ? ? ?c ? 的交点 ? , 0 ? 是 ?AF1C 外接圆的圆心,因此外接圆的方程为 ? x ? ? ? y 2 ? ? ? c ? . 2? ?2 ? ? ?2 ?
直线 F2 B 的方程为 y ? 2( x ? c) ,于是点 H(m,n)的坐标满足方程组
2 ?? c? 9c 2 2 ?? m ? ? ? n ? 2? 4 ?? ? ?n ? 2(m ? c)

5 ? ?m ? 3 c n 2 2 ? , 由 m ? 0, 解得 ? 故 ? 5 ?n ? 2 2 c m ? 3 ?

当k ?

n 2 2 2 时,同理可得 ? ? . m 5 3
3c 2

w.w.w. k. s.5.u.c.o.m

解法二:由(II)可知 x1 ? 0, x2 ? 当k ? ?

2 时,得 A(0, 2c) ,由已知得 C(0, ? 2c) 3

由椭圆的对称性可知 B, F2 ,C 三点共线,因为点 H(m,n)在 ?AF1C 的外接圆上, 且 F A // F2 B ,所以四边形 AFCH 为等腰梯形. 1 1 由直线 F2 B 的方程为 y ? 2( x ? c) ,知点 H 的坐标为 (m, 2m ? 2c) . 因为 AH ? CF ,所以 m2 ? ( 2m ? 2c ? 2c)2 ? a2 ,解得 m=c(舍) ,或 m ? 1 则n ?

5 c. 3

2 2 n 2 2 c ,所以 ? . 3 m 5

w.w. w. k.s.5. u.c.o.m

当k ?

n 2 2 2 时同理可得 ? ? m 5 3

19、 (本小题满分 13 分) 已知椭圆 E 经过点 A? 2,3? ,对称轴为坐标轴,焦点

F1 , F2 在 x 轴上,离心率 e ?
(Ⅰ)求椭圆 E 的方程;

1 。 2

(Ⅱ)求 ?F AF2 的角平分线所在直线 l 的方程; 1 (Ⅲ)在椭圆 E 上是否存在关于直线 l 对称的相异两点? 若存在,请找出;若不存在,说明理由。

20.(本小题满分 14 分) 已知双曲线

x ? y 2 ? 1 的左、右顶点分别为 A1 , A2 ,点 P( x1 , y1 ) , Q( x1 , ? y1 ) 是双曲 2

线上不同的两个动点。 (1)求直线 A P 与 A2 Q 交点的轨迹 E 的方程; 1 (2 若过点 H (0, h)(h ? 1) 的两条直线 l1 和 l2 与轨迹 E 都只有一个交点, l1 ? l2 , h 的 且 求 值。 20. (1)解:由 A , A2 为双曲线的左右顶点知, A (? 2,0), A2 ( 2,0), 1 1

A1P : y ?

y1 ? y1 ? y2 ( x ? 2) , A2Q : y ? ( x ? 2) ,两式相乘 y 2 ? 2 1 ( x 2 ? 2) , x1 ? 2 x1 ? 2 x1 ? 2

x12 1 y12 1 2 ? y1 ? 1,即 2 因为点 P( x1 , y1 ) 在双曲线上,所以 ? ,故 y 2 ? ? ( x 2 ? 2) , 2 2 x1 ? 2 2
所以

x2 x2 ? y 2 ? 1 ,即直线 A1 P 与 A2 Q 交点的轨迹 E 的方程为 ? y 2 ? 1 . 2 2
1 x?h。 k

(2)解法 1:设 l1 : y ? kx ? h ,则由 l1 ? l2 知, l2 : y ? ? 将 l1 : y ? kx ? h 代入

x2 ? y2 ? 1 得 2

x2 ? (kx ? h) 2 ? 1 ,即 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4khx ? 2h2 ? 2 ? 0 , 2
由 l1 与 E 只有一个交点知, ? ? 16k 2 h2 ? 4(1 ? 2k 2 )(2h2 ? 2) ? 0 ,即 1 ? 2k 2 ? h2 。 同理,由 l2 与 E 只有一个交点知, 1 ? 2 ?

1 1 ? h 2 ,消去 h2 得 2 ? k 2 ,即 k 2 ? 1 , 2 k k

从而 h2 ? 1 ? 2k 2 ? 3 ,又 Q h ? 1 ,? h ? 3. 。
[来

解法 2:由题意知直线 l1 和 l2 都是椭圆 E 的切线,由对称性知,两直线的倾斜角分别为

45? 和 135? ,设其方程为 y ? ? x ? h ,代入椭圆 E 的方程

x2 ? y2 ? 1 得 2

x2 ? (? x ? h) 2 ? 1 ,即 3x 2 ? 4hx ? 2h2 ? 2 ? 0 2
由 ? ? 0 得 16h2 ? 4 ? 3 ? (2h2 ? 2) ? 0 ,即 h2 ? 3 ,

Q h ? 1 ,?h ? 3.
19(本小题满分 12 分) 已知一条曲线 C 在 y 轴右边,C 上每一点到点 F(1,0)的距离减去它到 y 轴距离的差都是 1. (Ⅰ)求曲线 C 的方程; (Ⅱ)是否存在正数 m,对于过点 M(m,0)且与曲线 C 有两个交点 A,B 的任一直线,都 有 FA ? FB ? 0 ?若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,请说明理由。 解: (Ⅰ)设 P( x, y) 是曲线 C 上任意一点,那么点 P( x, y) 满足:

??? ??? ? ?

( x ? 1) 2 ? y 2 ? x ? 1( x ? 0) 。
化简得 y ? 4 x( x ? 0)
2

(Ⅱ)设过点 M (m, 0)(m ? 0) 的直线 l 与曲线 C 的交点为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 。 设 l 的 方 程 为 x ? ty ? m , 由 ?

y ?x ? t ? ? y ? 4x
2

m

得 y ? 4ty ? 4m ? 0 ,
2

? ? 16(t 2 ? m) ? 0 .
于是 ?

? y1 ? y2 ? 4t ? y1 y2 ? ?4m



又 FA ? ( x1 ?1, y1 ), FB ? ( x2 ?1, y2 )

??? ?

??? ?

??? ??? ? ? FA ? FB ? 0 ? ( x1 ?1)( x2 ?1) ? y1 y2 ? x1x2 ? ( x1 ? x2 ) ?1? y1 y2 ? 0 ②
又x?

y2 ,于是不等式②等价于 4
2 y12 y2 y2 y2 ? ? y1 y2 ? ( 1 ? 2 ) ? 1 ? 0 4 4 4 4

?

( y1 y2 )2 1 ? y1 y2 ? ?( y1 ? y2 )2 ? 2 y1 y2 ? ? 1 ? 0 ? 16 4?



由①式,不等式 ③ 等价于

m2 ? 6m ? 1 ? 4t 2
对任意实数 t , 4t 的最小值为 0,所以不等式④对于一切 t 成立等价于
2

m2 ? 6m ? 1 ? 0 ,即 3 ? 2 2 ? m ? 3 ? 2 2 。
由此可知,存在正数 m ,对于过点 M (m, 0) ,且与曲线 C 有两个交点 A, B 的任一直线, 都有 FA ? FB ? 0 ,且 m 的取值范围是 (3 ? 2 2,3 ? 2 2) (20)(本小题满分 12 分) 设椭圆 C:

??? ??? ? ?

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F,过点 F 的直线与椭圆 C 相交于 A,B a 2 b2
??? ? ??? ?

两点,直线 l 的倾斜角为 60o, AF ? 2 FB . (I) (II) 求椭圆 C 的离心率; 如果|AB|=

15 ,求椭圆 C 的方程. 4

(20)解: 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,由题意知 y1 <0, y2 >0. (Ⅰ)直线 l 的方程为 ,其中 c ? a2 ? b2 . y ? 3 ( x? c)

? y ? 3( x ? c ), ? 联立 ? x 2 y 2 得 (3a2 ? b2 ) y2 ? 2 3b2cy ? 3b4 ? 0 ? 2 ? 2 ?1 b ?a

? 3b2 (c ? 2a) ? 3b2 (c ? 2a) 解得 y1 ? , y2 ? 3a 2 ? b2 3a 2 ? b2
因为 AF ? 2 FB ,所以 ? y1 ? 2 y2 . 即

??? ?

??? ?

3b2 (c ? 2a) ? 3b 2 (c ? 2a) ? 2? 3a 2 ? b2 3a 2 ? b 2
c 2 ? . a 3
……6 分

得离心率 e ?

(Ⅱ)因为 AB ? 1 ?

1 2 4 3ab2 15 y2 ? y1 ,所以 ? 2 2? . 3 4 3 3a ? b



c 2 5 15 5 ? 得b ? a .所以 a ? ,得 a=3, b ? 5 . 4 4 a 3 3

椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1. 9 5

……12 分

(20) (本小题满分 12 分) 设 F1 , F2 分别是椭圆 E :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点,过 F1 斜率为 1 的直线 ? a 2 b2

与 E 相交于 A, B 两点,且 AF2 , AB , BF2 成等差数列。 (1)求 E 的离心率; (2) 设点 P(0, ?1) 满足 PA ? PB ,求 E 的方程

(20.)解: (I)由椭圆定义知 AF2 ? BF2 ? AB ? 4a ,又 2 AB ? AF2 ? BF2 , 得 AB ?

4 a 3

l 的方程为 y ? x ? c ,其中 c ? a2 ? b2 。
设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则 A、B 两点坐标满足方程组

?y ? x ? c ? 2 ?x y2 ? 2 ?1 ? 2 ?a b
2 2 2 2 2 2 2 化简的 a ? b x ? 2a cx ? a c ? b ? 0

?

?

?

?

a 2 ? c 2 ? b2 ? ?2a 2c 则 x1 ? x2 ? 2 , x1 x2 ? a ? b2 a 2 ? b2
因为直线 AB 斜率为 1,所以 AB ?
2 2 x2 ? x1 ? 2 ?? x1 ? x2 ? ? 4 x1 x2 ? ? ?



4 4ab 2 a? 2 , 故 a 2 ? 2b2 3 a ? b2

所以 E 的离心率 e ?

c a 2 ? b2 2 ? ? a a 2

(II)设 AB 的中点为 N ? x0 , y0 ? ,由(I)知

x0 ?

c x1 ? x2 ?a 2 c 2 ? 2 ? ? c , y0 ? x0 ? c ? 。 2 3 2 a ?b 3

由 PA ? PB ,得 kPN ? ?1 , 即

y0 ? 1 ? ?1 x0

得 c ? 3 ,从而 a ? 3 2, b ? 3

故椭圆 E 的方程为

x2 y 2 ? ? 1。 18 9

20.(本小题满分 13 分)

如图,椭圆 C: A1,A2,B1,B2,焦点为 F1,F2, | A1B1| = ,

的顶点为

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设 n 是过原点的直线,是与 n 垂直相交于 P 点、 l 与椭圆相交于 A,B 两点的直线, 是否存在上述直线 l 使 请说明理由 。 解 (1)由 知 a2+b2=7, ① , 成立?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,

由 又 b =a -c
2 2 2

知 a=2c,

② ③

由 ①②③解得 a =4,b =3,

2

2

故椭圆 C 的方程为



(2)设 A,B 两点的坐标分别为(x1,y1)(x2,y2) 假设使 成立的直线 l 不存在,

(1) 当 l 不垂直于 x 轴时,设 l 的方程为 y=kx+m, 由 l 与 n 垂直相交于 P 点且 得

[来源:学。科。网]

,即 m2=k2+1. ∵ (20) (本小题满分 12 分) 已知定点 A(-1,0),F(2,0),定直线 l:x= ,不在 x 轴上的动点 P 与点 F 的距离是它 到直线 l 的距离的 2 倍.设点 P 的轨迹为 E,过点 F 的直线交 E 于 B、C 两点,直线 AB、AC 分别交 l 于点 M、N (Ⅰ)求 E 的方程; (Ⅱ)试判断以线段 MN 为直径的圆是否过点 F,并说明理由.
w_w w. k#s5_u.c o *m

,

1 2

本小题主要考察直线、轨迹方程、双曲线等基础知识,考察平面机袭击和的思想方法及推理 运算能力. 解:(1)设 P(x,y),则 ( x ? 2) ? y ? 2 | x ?
2 2

1 | 2

y2 化简得 x - =1(y≠0)………………………………………………………………4 分 3
2

(2)①当直线 BC 与 x 轴不垂直时,设 BC 的方程为 y=k(x-2)(k≠0) 与双曲线 x2-

y2 =1 联立消去 y 得 3

w_w w. k# s5_u.c o*m

(3-k)2x2+4k2x-(4k2+3)=0 由题意知 3-k2≠0 且△>0 设 B(x1,y1),C(x2,y2),

? 4k 2 x1 ? x2 ? 2 ? ? k ?3 则? 2 ? x x ? 4k ? 3 ? 1 2 k2 ?3 ?
y1y2=k2(x1-2)(x2-2)=k2[x1x2-2(x1+x2)+4]

4k 2 ? 3 8k 2 ? =k ( 2 +4) k ?3 k2 ?3
2



?9k 2 k2 ?3

w_w w. k#s5 _u.c o*m

因为 x1、x2≠-1 所以直线 AB 的方程为 y=

y1 (x+1) x1 ? 1

因此 M 点的坐标为(

3 y1 1 ) , 2 2( x1 ? 1)

???? ? ???? 3 y1 3 y2 3 3 FM ? (? , ) ,同理可得 FN ? (? , ) 2 2( x1 ? 1) 2 2( x2 ? 1)
因此 FM ?FN ? (? ) ?
2

w_w w. k#s5 _u.c o*m

???? ???? ?

3 2

9 y1 y2 2( x1 ? 1)( x2 ? 1)

?81k 2 4 k2 ?3 = ? 2 4k ? 3 4 k 2 9 4( 2 ? ? 1) k ?3 k2 ?3
=0 ②当直线 BC 与 x 轴垂直时,起方程为 x=2,则 B(2,3),C(2,-3) AB 的方程为 y=x+1,因此 M 点的坐标为(

3 3 ,? ) 2 2 ???? ???? ? 3 2 3 3 因此 FM ?FN ? ( ? ) ? ? ( ? ) =0 2 2 2 ???? ??? ? ? 综上 FM ?FN =0,即 FM⊥FN
同理可得 FN ? ( ?

????

???? ? 1 3 3 3 , ), FM ? (? , ) 2 2 2 2

w_w w. k#s5_u.c o*m

故以线段 MN 为直径的圆经过点 F………………………………………………12 分

(20) (本小题满分 12 分) 已知椭圆 为 4。 (1) 求椭圆的方程; (2) 设直线 l 与椭圆相交于不同的两点 A, B ,已知点 A 的坐标为( ? a, 0 ) ,点

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 e ? , 连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积 2 a b 2

??? ??? ? ? Q(0, y0 ) 在线段 AB 的垂直平分线上,且 QA? ? 4 ,求 y0 的值 QB
【解析】本小题主要考察椭圆的标准方程和几何性质,直线的方程,平面向量等基础知识, 考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想,考查运算和推理能力,满分 12 分 (1)解:由 e ? 由题意可知,

c 3 2 2 2 2 2 ,得 3a ? 4c ,再由 c ? a ? b ,得 a ? 2b ? a 2

1 ? 2a ? 2b ? 4, 即ab ? 2 2

解方程组 ?

?a ? 2b 得 a=2,b=1 ?ab ? 2
x2 ? y2 ? 1 4

所以椭圆的方程为

(2)解:由(1)可知 A(-2,0) 。设 B 点的坐标为(x1,,y1),直线 l 的斜率为 k,则直线 l 的 方程为 y=k(x+2),

? y ? k ( x ? 2) ? 于是 A,B 两点的坐标满足方程组 ? x 2 2 ? ? y ?1 ? 4
由方程组消去 Y 并整理,得 (1 ? 4k ) x ? 16k x ? (16k ? 4) ? 0
2 2 2 2

由 ?2 x1 ?

16k 2 ? 4 ,得 1 ? 4k 2

2 ? 8k 2 4k x1 ? , 从而y1 ? , 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2
设线段 AB 是中点为 M,则 M 的坐标为 (? 以下分两种情况:

8k 2 2k , ) 2 1 ? 4k 1 ? 4 k 2

(1)当 k=0 时,点 B 的坐标为(2,0) 。线段 AB 的垂直平分线为 y 轴,于是

QA ? (?2, ? y0 ), QB ? (2, ? y0)由QA? =4,得y0 = ? 2 2 QB
(2)当 K ? 0 时,线段 AB 的垂直平分线方程为 Y ?

?

?

?

?

2k 1 8k 2 ? (x ? ) 1 ? 4k 2 k 1 ? 4k 2

令 x=0,解得 y0 ?
?

6k 1 ? 4k 2
?

由 QA ? (?2, ? y0 ), QB ? ( x1 , y1 ? y0)

QA? ? ?2 x1 ? y0 ( y1 ? y0)= QB

?

?

?2(2 ? 8k 2 ) 6k 4k 6k ? ( ? ) 2 2 2 1 ? 4k 1 ? 4k 1 ? 4k 1 ? 4 k 2

=

4(16k 4 ? 15k 2 ? 1) ?4 (1 ? 4k 2 )2
2

整理得 7k ? 2, 故k ? ?

14 2 14 所以y0 = ? 7 5 2 14 5
m2 ?0, 2

综上 y0 = ? 2 2或y0 = ?

(21) (本题满分 15 分) 已知 m>1, 直线 l : x ? my ?

椭圆 C :

x2 ? y 2 ? 1 ,F1, F2 分别为椭圆 C 的左、右焦点. 2 m

(Ⅰ)当直线 l 过右焦点 F2 时,求直线 l 的方程; (Ⅱ)设直线 l 与椭圆 C 交于 A, B 两点, VAF F2 , 1

VBF1F2 的重心分别为 G , H .若原点 O 在以线段
GH 为直径的圆内,求实数 m 的取值范围.
解析:本题主要考察椭圆的几何性质,直线与椭圆,点与圆的位置关系等基础知识,同时考 察解析几何的基本思想方法和综合解题能力。 (Ⅰ)解:因为直线 l : x ? my ?

m2 ? 0 经过 F2 ( m 2 ? 1, 0) , 2

所以 m 2 ? 1 ? 又因为 m ? 1 , 所以 m ? 2 ,

m2 ,得 m 2 ? 2 , 2

2 故直线 l 的方程为 x ? 2 y ? ? 0。 2
(Ⅱ)解:设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 。

2

? m2 x ? my ? ? ? 2 由? 2 ,消去 x 得 ? x ? y2 ? 1 ? m2 ?
2 y 2 ? my ? m2 ?1 ? 0 4

m2 则由 ? ? m ? 8( ? 1) ? ?m2 ? 8 ? 0 ,知 m2 ? 8 , 4
2

且有 y1 ? y2 ? ?

m m2 1 , y1 ?y2 ? ? 。 2 8 2

由于 F (?c,0), F2 (c,0), , 1 故 O 为 F1F2 的中点, 由 AG ? 2GO, BH ? 2HO , 可知 G (
2

????

??? ???? ?

????

x1 y1 x y , ), h( 2 , 1 ), 3 3 3 3

GH ?

( x1 ? x2 ) 2 ( y1 ? y2 ) 2 ? 9 9
x1 ? x2 y1 ? y2 , ), 6 6

设 M 是 GH 的中点,则 M ( 由题意可知 2 MO ? GH ,

即 4[(

x1 ? x2 2 y ?y ( x ? x )2 ( y ? y )2 ) ? ( 1 2 )2 ] ? 1 2 ? 1 2 6 6 9 9

即 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 而 x1 x2 ? y1 y2 ? (my1 ?

m2 m2 )(my2 ? ) ? y1 y2 2 2

m2 1 ? (m2 ? 1 ( ? ) ) 8 2

m2 1 ? ?0 所以 8 2
即m ? 4
2

又因为 m ? 1 且 ? ? 0 所以 1 ? m ? 2 。 所以 m 的取值范围是 (1, 2) 。


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