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高等光学习题


高等光学思考题和习题
一、光的电磁理论、傅里叶分析 光的电磁理论、 (一)思考题 1.1.指出周期函数和非周期函数的频谱有何区别,实函数和偶函数 的频谱有何特点,原函数的有效宽度和频带宽度之间的关系。 1.2. 光场按线性系统的本征函数展开的物理意义及其好处?分别 写出坐标算子 x 和梯度算子-i?的本征解和正交性(分连续和 分立两种情形)。 1.3. 光场用复数表示的好处及其适用条件? 1.4. 解释空间频率、角谱以及光场用平面波角谱展开的物理意 义。如何理解衰逝波(非均匀平面波)和全反射的古斯-汉欣位 移? 1.5. 平面波的波矢k是复数时表示何物理意义? 在什么情况下k是 复数? 1.6.如何理解点源含有最丰富的信息,平面波不带任何信息? (二)习题: 习题: 1.1.证明平面波的平均能流密度为
< S >= 1 Re( E0 ( r ) 2
? H0 ( r )]

1

式中E0(r)和H0(r)分别是电矢量和磁矢量的振幅。 1.2.求准单色波列的频谱. 1.3.求准单色光振动
f ( t ) = A exp[ ? (t ? t 0 ) 2 τ2 ]exp[ j(2 πν 0 t + ? 0 )]

的频谱分布。 1.4.证明近轴近似下的球面波的空间频谱
F. T{exp[ j k 2 2 2 ( x + y 2 )]} = jλz exp[ ? jπλz( f x + f y )] 2z

1.5.证明两个高斯函数的卷积仍然是高斯函数。 1.6.证明两个洛伦兹函数的卷积仍然是洛伦兹函数。

二.标量衍射理论. 成像系统的频谱分析 标量衍射理论. (一)思考题: 思考题: 2.0.什么叫标量衍射理论? 条件, 适用范围? 并简要说明理由。 2.1.说明卷积的展宽性质和谱函数的性质及其光学意义。 2.2.说明按平面波展开的衍射积分公式的物理意义并将公式写成入 射波和某个函数的卷积形式, 该函数的的物理意义是什么? 在自由空间中,点扩展函数,传递函数,本征函数和本征值 之间是怎样的关系?

2

2.3.说明衍射光栅的三要素和光栅光谱仪的三个指标的意义, 光栅 光谱仪与F-P光谱仪的异同。 2.4. 说明基尔霍夫公式的物理意义并将公式写成入射波和某个函 数的卷积形式,该公式与按平面波展开的衍射积分公式是否 等价? 2.5. 在菲涅耳近似中,试解释λfx = cosα~ (x-x0)/z << 1的物 理意义,将菲涅耳衍射写成卷积形式,与基尔霍夫公式的卷 积形式相比较能得出什么结论。 2.6. 写出夫朗和费衍射的条件和举出几种实验观察方法并说明夫 朗和费衍射的实质。 2.7. 试分析正弦振幅光栅衍射的特征,当光栅周期d ≤ λ时, (超高频)衍射的特征如何?怎样理解被探测物的精细结构 以波长为极限? 2.8.为什么图象经放大后变不清晰? 2.9.试分析大量全同孔径夫朗和费衍射的特征以及轴外点的光强分 布特点。 2.10.平面波和点光源是最基本的光学函数模型,怎样理解前者不 携带光学信息而后者含有最丰富的光学信息?为什么我们无法 通过光学仪器准确测量平面波的角谱或者被测点光源本身?

3

2.11.带限函数的定义?取样定理的内容及其光学模拟.为什么取样 定理的形式不是唯一的?成像系统空间带宽积的意义? 2.12.比较衍射受限系统的相干传递函数和光学传递函数的区别和 联系。

(二)习题: 习题: 2.1.证明发散球面波的夫朗和费衍射是会聚球面波, 且满足物象关 系(近轴近似适合于菲涅耳衍射, 也是高斯光学的前堤)。 2.2.用波长=5000A的单色光垂直照射焦距f=25cm的透镜, 在透镜 前放入一遮光圆屏,圆屏中心在光轴上。 (1)若在焦点F处放置观察屏, 求屏上振幅分布和强度分布及衍射图 样中心强度与不加屏时中心强度之比; (2)α0是透镜在F点所张的角半径, α1是屏在F点张的角半径。若α
0

=2α1, 问第一暗环的直径多大?

2.3.就以下两种情况, 求二维矩形光栅(矩形通光孔尺寸a×b, a方 向的光栅常数为d1, 缝数为N1, b方向的光栅常数为d2, 缝数为 N2)的夫朗和费衍射 (1)用平面波垂直照明;

4

(2)用沿x-z平面并与z轴成α角的平面波照明。 2.4.N个全同椭圆孔沿其长轴方向等间隔地排列,椭圆孔的长轴为a, 短轴为b, 中心间隔为d。在夫琅和费衍射条件下, 求衍射光强 在过衍射图样中心, 且与孔心线相平行的直线上的分布。 2.5.(1)设z=0平面上的透射函数为
F ( ξ , η) = A exp[ ?

ξ2 + η2 ] ω2 0

求在z取任意值的平面上的衍射复振幅分布; (2)证明当z值很大时, 在靠近z轴处, (1)中得到的衍射波的等相面 可近似视为半径
R ( z ) = z[1 + k 2ω 4z 2
0 4 0

]

的球面。 (本题所计论的衍射问题, 也就是高斯光束的传播情况。) 三. 光的干涉 (一)思考题: 思考题: 3.1.说明准单色扩展光源所产生的干涉条纹的特点,解释当准单色 均匀扩展线光源的线宽 P = Dλ / d 时杨氏干涉条纹可见度为 零。 3.2. 说明准单色点光源所产生的干涉条纹的特点, 部分相干光理论

5

3.3. 空间相干性和时间相干性指的是什么?如何量度?光源的角 宽度和相干孔径角是如何定义的?证明相干长度 Lc = λ /?λ。
2

3.4.描述热光源的特性和部分相干光理论的方法。 3.5.说明V (P,t )和KV (P,t-ρ/c)的物理意义。 3.6.说明互相干函数Γ12(τ)和互谱密度G12(ν)的物理意义。如何 利用杨氏干涉条纹测量准单色波场某二点之间的复相干度 γ12(ν)? 3.7.考虑两个中心频率分别为ν1和ν2的准单色光之间的干涉, 问 观测时间必须短到什么程度才能测得干涉条纹? 3.8.说明互强度J (P1, P2)的物理意义, 如何用它来描述准单色光 的干涉定律? 3.9.为什么严格意义上的完全非相干场不存在?如何定义初级非相 干光源? 为什么对于初级非相干光源尖锋函数的形式无关紧要? 3.10.如何描述一个较为实际的相干场? 3.11.如何理解激光具有良好的时间相干性和空间相干性? 3.12.(1)当把一单色点光源放在一会聚透镜物空间焦点上, 观察屏 与透镜空间焦面重合, 则观察到夫琅和费圆孔衍射图样。现在 将光源换为圆状准单色初级光源, 圆中心在光轴上, 圆面垂直

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于光轴, 要想仍获得夫琅和费圆孔衍射图样, 对光源大小。频 宽以及透镜直径应有什么限制? (2)在衍射计实验中, 光源不是单色点光源, 但仍引用夫琅和费圆 孔衍射的结果, 即取
I (1) ( Q ) = I ( 2 ) ( Q ) = ( 2 J1 ( u ) 2 ) , u u= 2π

λ

a sin φ

根据(1)的结果, 试说明为什么可以如此处理? 3.13.为什么要研究部分相干光的成象? 3.14.如何从Shell定理导出单色光的夫朗和费衍射?当照明所具有 的相干面积远小于孔径时,衍射强度如何?试说明理由。 3.15.说明相干照明和非相干照明的近似条件。 3.16. 对相干性极好的激光,相干时间可以大于探测器的响应时 间,互相干函数如何定义? 3.17. 互强度是如何引入的?为什么用它描述准单色近似下的相干 性问题?在准单色初级光源内相干尺度多大?在此光源(面积 AS)的辐射场中的近轴范围内相干尺度多大? 3.18. 利用非相干照明情况下输出强度和输入强度成线性写出杨氏 干涉装置的点扩展函数及输出与输入强度的关系。 3.19. 二阶相干性的概念及其与一阶相干性的关系?

7

(二)习题: 习题: 3.1.已知太阳的表观角直径为0.5。平均有效波长为6000A, 求阳光 的相干面积。 3.2.用两个相距很近的.互不相干的点光源S1和S2照射杨氏实验中的 双缝, 在什么样的条件下观察屏上的照度等于4I0? I0是在遮住 一个缝的情况下,S1或S2单独在屏上产生的照度。 3.3.波长为6328A的红色激光,其波长宽度Δλ=2×10 A, 试计算 其频宽。相干时间和相干长度. 3.4.在迈克尔逊干涉仪中, 用钠光灯为光源, 在干涉图样两次消失 之间, 平面镜移动 0.289mm。试计算两条钠谱线的波长差(其中 一条谱线的波长λ=5889.95A)。 3.5.一个直径为d的发光面元, 所发出光的平均波长为λ, 如果用 干涉孔径角量度的话,其空间相干性是多少弧度? 如果用相干面 积量度, 距光源 nd 远处的相干面积多大? 3.6.如图(1)所示的用迈克尔逊双星干涉仪测量双星的角直径。整 个装置的轴与其中一个星体发出的光平行, 来自另一个星体的 光线与装置成一角度θ,到达光的光程M1M3S1=M2M4S2, 假定星体的 光是一很窄的线宽, 其中心在波长λ0附近,轴向星体在S1和S2产
-7

8

生的扰动是同相的。试说明如何测量角θ(利用图中已知尺寸h,

a 。)

Fig.1

3.7.一FP腔的反射率R=0.98,腔内介质的折射率1.55,厚4cm,用拓 展光源做实验,波长0.6微米.问: (1)中心干涉级数是多少? (2)在倾角1附近干涉圈的半角宽是多少? (3)色分辨本领有多高?可分辨最小波长间隔有多少? (4)如果用它对白光进行选频,透射最强的谱线有多少条,波长各为 多少?每条谱线的宽多少? (5)由于热胀冷缩,引起腔长的改变量为10 (相对值),谱线的漂移量 为多少? 3.8.证明
-5

?Aexp(?i2πνt), V(t) = ? ?0,

t ≤ t1 / 2 t > t1 / 2

9

的复相干度为

γ ( τ ) = (1 ?

τ
t1

) exp ( ? i 2 πν 0 τ )

3.9.阻尼振子的辐射场中某点复扰动为

?Aexp(?t / t1)exp(φ ?i 2πν0t) V(t) = ? ?0
式中t1是自发辐射寿命。 (1)求频谱; (2)证明P点的复相干度为
γ ( τ ) = exp( ? τ / t 1 ) exp( ? i 2 πν0τ )

t >0 t <0

3.10.用λ=6000A(Δλ=0.1A)的准单色扩展光源照明杨氏双孔。 r1=29.97cm, r2=30.00cm 。 只 开 P1 孔 时 I(1)(Q)=I0, 只 开 P2 孔 时 I(2)(Q)= 4I0, 两 孔 都 开 时 I(Q)=6I0, Q 点 的 条 纹 可 见 度 V(Q)=0.4。求μ12= ?

Fig.2

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3.11.在杨氏双缝干涉实验中, 用与双缝平行的准单色(λ=0.55μm) 带状光源照明, 光源到双缝所在平面的垂直距离为1m, 双缝间 距2mm。设光源均匀发光, 且其长度比宽度大得多。 (1)用范西特—泽尼克定理求两缝P1和P2的互强度J(P1, P2)及复 相干因子 μ(P1,P2);

(2)求观察屏上中点附近的可见度。当要求可见度大于0.9时, 求光 源的最大宽度. 3.12.用范西特-泽尼克定理解习题1.9。 3.13.证明正薄透镜对于在前后焦面上的互强度构成一个四维傅里 叶变换对。 3.14.把衍射计中的圆孔σ换成边长为b的正方形小孔, 并使其一组 对边和掩模上两孔P1和P2的边线平行, P1和P2仍保持为圆。求 (1)观察屏F上光强分布的表示式; (2)光源沿哪个方向扩展会影响F上干涉条纹的可见度? 光源线度增 加到多大时,可见度降为零? 3.15.在图(3)中δ与图面垂直的、均匀的、准单色带状初级光源, 其宽度e=5mm, 平均波长λ=5000A, l=10m, P1、P2是与光源平 行的无限窄狭缝, P1、P2所在平面与透镜L的前焦面重合.L是柱

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面透镜, 其焦距f=40cm, 宽度2a=2cm, 在L的后焦面上放置观察 屏σ。

Fig.3 (1)双缝前面的互强度; (2)双缝后面的互强度J(x1,x2); (3)σ上的光强I(x`); (4)求刚可被分辩的距离离d。 *3.16.一宽为e的带状光源, 通过一同轴的柱面聚光透镜L1照明物 体, 物体经一同轴的薄柱透镜L2成象, 两柱透镜L1、L2的母 线均与光源平行(即垂直图面), 如图4所示。

Fig.4 (1)求物面和象面互强度J0(x0,x0')和J1(x1,x1')的表示式。 (2)如果在物面放一余弦光栅, 其透射函数F(x0)=cosf0x0, 求透射 交叉系数, 象面强度分布I1(x1)和对频谱的限制。

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四. 晶体光学.电光.磁光和声光效应 晶体光学. 电光. (一)思考题: 思考题: 4.0.说明光学示性面、矢径和法线的物理意义?主轴的意义和求法 4.1.在晶体内的平面波为
E = E 0 exp[iω ( t ? s ?r

υn

)]

能否写成
E = E 0 exp[iω (t ? f ?r

υf

)]

4.2.说明在菲涅耳公式中的主折射率和主传播速度的物理意义, 可 否把它们看着是某个真实速度的三个分量? 4.3.详述波法线椭球,详述法线面。光线面和折射率曲面各自的定 义, 它们之间的联系和区别以及它们各自的用处。 4.4.已知晶体的折射率椭球, 并给定波矢和场强E的大小,试详述如 何确定D、E、H、S。 4.5.如何理解双轴晶体的法线轴所属的光线圆锥以及光线轴所属的 法线圆锥。 4.6.双折射的两条光线是否是一对正交本征模?

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4.7.光在各向同性媒质和各向同性媒质分界面上发生反射时, 什么 情况下遵守反射定律? 什么情况下不遵守反射定律? 在不遵守 反射定律时, 如何确定反射线的方向? 4.8.判断下列晶体的正负单轴性。

4.9.光沿单轴晶体主截面入射到空气和晶体的分界面上, 试导出折 射光和反射光振幅所满足的菲涅耳公式。 4.10.为什么说旋光介质本征态 J± 表示长短轴在其主轴上的左右 旋椭圆偏振光?这对本征态有何特征? 4.11.描述琼斯矢量为
?1 ? ? ? , ? 3? ?i ? ? ? 1? , ? ? ?1 ? i ? ?1 + i ? . ? ?

的波的偏振态, 并找出以上各种矢量的正交琼斯矢量, 且描述其 偏振态。

(二)习题: 习题: 4.0.证明 D(n)?E(n) = 0 4.1.*(1)证明D和E的离散角为 ( m ≠ n )

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tg 2α =
4 vn [(

sx s )2 + ( 2 )2 + ( 2 z 2 )2] 2 2 v ? vx vn ? v y vn ? vz
2 n

1 sy

(2)对于单轴晶体, 证明
tg 2α =
2 sin θ cos θ ( ve2 ? vo ) 2 ve2 sin2 θ + vo cos2 θ

式中θ表示波法线与光轴的夹角; (3)证明在单轴晶体中,当θ满足tgθ= ne/no 时, 离散角达最大 值。
α m = tg ? 1
2 1 n o ? n e2 ( ) 2 no ne

(4)对钠黄光方解石的no=1.658, ne=1.486, 求方解石晶体中光线 和波的最大夹角。 4.2.对双轴晶体,当εx < εy < εz 时,导出确定光线光轴方位和光线 速度的公式。 4.3. 有 一 块 主 折 射 率 no=1.5246, ne=1.4792 的 电 光 晶 体 , 厚 度 d=1mm, 晶体的轴与其表面成45°角, 波长λ=5000A的自然光 正入射到晶体上, 求 (1)分别用波矢面法和光线面法作出折射光线和波法线的传播方向 以及偏振方向; (2)晶体内o光和e光传播方向的夹角; (3)o光和e光的折射率; (4)o光和e光的光线速度; (5)o光和e光从晶体后表面射出时的相位差。

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*4.4.光从空气以入射角θ1射到单轴晶体表面, 晶体的光轴在入射 面内, 且与界面的夹角为φ, 晶体的主折射率为no和ne, 分别用 波矢面法和光线面法作出折射光线,证明晶体中非常光的传播方 向由下式给出
tgθ t = no ne n1 sin θ 1 2 2 (n sin φ + n cos φ )(ne2 sin 2 φ + no cos 2 φ ? n1 sin 2 θ 1 ) 1/ 2
2 e 2 2 o 2 2 (no ? ne2 ) sin φ cos φ ? 2 2 2 ne sin φ + no cos 2 φ

根据以上结果讨论几种特例:(1) φ=0°; (2) φ=90°; (3)θ=0°; 4.5.证明沿单轴旋光晶体的光轴传播的线偏振光的偏振方向经晶体 后旋转角为(9.7-25)。 4.6.求下图中光线的出射方向

4.8.试求以下问题的本征值和归一化本征函数并说明其物理意义。 (1)光沿纵调制KDP晶体的主轴传播; (2)光沿横调制LiNbO3晶体主轴传播; (3)光沿单轴旋光晶体的光轴传播。

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付里叶分析

光的电磁理论

二.标量衍射理论

五.成像系统的频谱分析

三.部分相干光理论

四.晶体光学

七.全息术

六.光学信息处理

四.电光和声光效应

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