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奉化市锦屏中学


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李行达

复习 1、相似三角形的定义是什么? A A/

∠A=∠A/ ∠B=∠B/ ∠C=∠C/ 如果
AB BC AC = = / / / / AB BC A/ C /
那么 ΔABC∽ΔA/B/C/
B

C

B/

>C/

2、相似三角形与全等三角形有什么内在的联系呢?

全等三角形是相似比为1的特殊的相似三角形。

相似三角形的预备定理
平行于三角形一边的直线和其 他两边(或两边的延长线)相交, 所构成的三角形与原三角形相似。
几何语言叙述:
A

∵DE‖BC ∴⊿ADE∽⊿ABC
B

E A

D

E
B

C

C

1、求证命题: 如果一个三角形的两个角与另一个三

角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似。
A 已知:在△ABC 和△A/B/C/ 中, ∠A=∠A/ , ∠B=∠B/ 求证:ΔABC∽ △A/B/C/ 分析:要证两个三角形相似, 目前只有两个途径。一个是 B C B/ C/

A/

三角形相似的定义,(显然条件不具备);二个是我们刚才学 习的利用平行线来判定三角形相似的预备定理。为了使用它, 就必须创造具备定理的基本图形的条件。怎样创造呢?

(把小的三角形移动到大的三角形上)。

怎样实现移动呢?

证明:在ΔABC的边AB、AC上,分别截取AD=A/B/,AE=A/C/, 连结DE。 ∵ AD=A/B/, ∠A=∠A/,AE=A/C/ ∴ ΔA DE≌ΔA/B/C/, ∴ ∠ADE=∠B/, 又∵ ∠B/=∠B, ∴ ∠ADE=∠B, ∴ DE//BC, ∴ ΔADE∽ΔABC。 D A A/

E C B/ C/

∴ ΔA/B/C/∽ΔABC

B

判定定理1:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个 角对应相等,那么这两个三角形相似。 可以简单说成:两角对应相等,两三角形相似。

判定定理1:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个 角对应相等,那么这两个三角形相似。
可以简单说成:两角对应相等,两三角形相似。

几何语言叙述:

A A/

∵∠A=∠A?,∠B=∠B?
∴⊿ABC∽⊿ A? B? C ?
B
C B/ C/

2、例1、已知:ΔABC和ΔDEF中, ∠A=40°,∠B=80°, ∠E=80°, ∠F=60 °。求证:ΔABC∽ΔDEF

A
40°

D

80° 60°

80° C

60°

B

E

F

证明:∵ 在ΔABC中,∠A=40°,∠B=80°, ∴ ∠C=180°-∠A -∠B =180°-40°-80° =60° ∵ 在ΔDEF中,∠E=80°,∠F=60° ∴ ∠B=∠E,∠C=∠F ∴ ΔABC∽ΔDEF(两角对应相等,两三角形相似)。

练习 已知等腰 三角形 ΔABC 和 ΔA/B/C/ 中 , ∠ A 、 ∠A/ 分别是顶角,求证: ①如果∠A=∠A/,那么 ΔABC∽ΔA/B/C/。 ②如果∠B=∠B/ ,那么 ΔABC∽ΔA/B/C/。
A/ A

B A

C

B/ A/

C/

B

C

B/

C/

4、例2、求证:直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角 形和原三角形相似。
已知:在RtΔABC中,CD是斜边AB上的高。 求证:ΔACD ∽ ΔABC ∽ ΔCBD 。 证明: ∵ ∠A=∠A,∠ADC=∠ACB=900, ∴ ΔACD∽ΔABC(两角对应相等,两 三角形相似)。 同理 ΔCBD ∽ ΔABC 。 ∴ ΔABC∽ΔCBD∽ΔACD。 此结论可以称为“母子相似定理” C

A

D

B

1805年,拿破仑率领大军与德俄联军在莱茵河作战. 当时德俄联军在北岸布阵,法军在南岸,中间隔着很宽的 莱茵河.法军要开炮轰击德俄联军,必须知道河的宽度.拿 破仑为此大伤脑筋,站在南岸远望德俄阵地.忽然,他观察 到对面岸边的一个标志B,于是他想出了一个测量河宽的 办法.他在自己的岸边选点A、C、D,使得 AD⊥AB,DE⊥ AD,然后确定BE和AD的交点C.然后 测得AC=120米,CD=60米,DE=250米,你能帮助他算 出莱茵河的宽度吗?
B C A E



看谁答得快!

填 空: 两个等腰三角形都有一个角是45 °,则这两个

三角形 不一定相 似

已知: 在圆O中,弦AC和弦BD相交于 点P,证明Δ APD∽Δ BCP.
A D

O
B

P C

选 择
下列结论中,正确的个数是( B )

①任意两个等腰三角形都相似 ②任意两个等边三角形都相似 ③任意两个直角三角形都相似 ④任意两个等腰直角三角形都相似
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

若AB//CD,PA=3,AC=1,AB=2,则 CD=__________
P

A

B

C

D

延伸 已 知 : 如 图 , 在 ΔABC 和 ΔA?B?C? 中 , AD 、 A?D?分别是BC、B?C?上的高 A?D? AD —— = ——— 求证: BC B?C?
A

A?

B?
B

D?

C?

D

C

课外思考题:
如图 ,AB∥EF∥CD 若AB=3,CD=4,则EF长是多少?

A E

C

B

F

D

B

还有其它设计方法吗?

A
方法一

D C E B

方法二

方法三

A D

O

C

GE

课堂小结
1.预备定理:平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边 的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似.

2、相似三角形的判定定理1:两角对应相等,两三角形相似。
3、母子相似定理:直角三角形被斜边上的高分成的两个直 角三角形和原三角形相似。 4.相似三角形判定定理的应用. 四、课外作业。

教材P108,课内外练习.
作业本


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