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2013高考数学基础检测:04专题四 指数函数与对数函数


专题四
一、选择题 1.设 f(x) A.0 2.设 f(x)
? lg 2? x 2? x
? ? 2e ? ? ? log ?
x ?1

指数函数与对数函数

, x ? 2,
2

3

(x

? 1), x ? 2.

则 f[f(2)]的值为(

) C.2 D.3

B.1 ,则 f(
x 2 ) ? f( 2 x )

的定义域为(

) B.(-4, -1)∪(1, 4) D.(-4, -2)∪(2, 4)
1 2

A.(-4, 0)∪(0, 4) C.(-2, -1)∪(1, 2)

3.设 a>1,函数 f(x)=logax 在区间[a, 2a]上的最大值与最小值之差为 A.
2

,则 a=( D.4 )



B.2

C. 2

2

4.函数 f(x)=1+log2x 与 g(x)=2-x+1 在同一直角坐标系下的图象大致是(

5.设 0<a<1,函数 f(x)=loga(a2x-2ax-2),则使 f(x)<0 的 x 的取值范围是( ) A.(-∞, 0) B.(0, +∞) C.(-∞, loga3) D.(loga3, +∞) 6.若函数 f(x)=loga(x3-ax)(a>0, a≠1)在区间(A. [
1 4 ,1 ) 1 2

, 0)内单调递增,则 a 的取值范围是( C. (
9 4 , ?? )



B. [

3 4

,1 )

D. (1,

9 4

)

? x ? 2y ? 19 ? 0, ? 7.设二元一次不等式组 ? x ? y ? 8 ? 0, ? ? 2x ? y ? 14 ? 0

所表示的平面区域为 M,使函数 y=ax(a>0, a≠1)的

图象过区域 M 的 a 的取值范围是( A.[1, 3] 二、填空题 8.设 a>0, a≠1,函数 f(x)=a lg(x
2


10

B.[2,

]

C.[2, 9]

D.[

10

, 9]

? 2x ? 3)

有最大值,则不等式 loga(x2-5x+7)>0 的解集为

________________. 9. 已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数, 且对任意 x∈R 都有 f(x-1)=f(x+3), x∈[4, 6]时, 当 f(x)=2x+1, 则函数 f(x)在区间[-2,0]上的反函数 f-1(19)=_________.
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10.为了预防流感,某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知 药物释放过程中,室内每立方米空气中的含药量 y(毫克)与时间 t( 小 时 ) 成 正 比 ; 药 物 释 放 完 毕 后 , y 与 t 的 函 数 关 系 式 为 y= (
1 16 )
t?a

(a 为常数),如图所示.根据图中提供的信息,回答下列

问题: (1) 从药物释放开始, 每立方米空气中的含药量 y(毫克)与时间 t(小时)之间的函数关系 式为_____________; (2)据测定,当空气中每立方米的含药量降低到 0.25 毫克以下时,学生方可进教室, 那么从药物释放开始,至少需要经过________小时后,学生才能回到教室. 11.设函数 f(x)=lg(x2+ax-a-1),给出下列命题: (1)f(x)必有最小值; (2)若 a=0,则 f(x)的值域是 R; (3)若 a>0,且 f(x)的定义域为[2, +∞ ) ,则 f(x)有反函数; (4)若 f(x)在区间[2,+∞ ) 上单调递增,则实数 a 的取值范围是[-4, +∞ ) 其中正确命题的序号是__________. (要求把正确命题的序号都填上) 三、解答题 12.已知集合 A={x|log2(4x)·log4
a(x x(a
2 2

4 x
2

≥2},求函数 y=42x+1+4x(x∈A)的值域.

13.设 f(log

x) ? a

? 1) ? 1)

.

(1)求 f(x)的表达式,并判断函数 f(x)的奇偶性; (2)试证明函数 f(x)的图象上任意两点的连线的斜率大于 0; (3)对于 f(x),当 x∈(-1, 1)时,恒有 f(1-m)+f(1-m2)<0,求 m 的取值范围.

14.已知函数 f(x)=log4(4x+1)+kx(k∈R)是偶函数. (1)求 k 的值; (2)设 g(x)=log4(a·2x的取值范围. 15.已知函数 f(x)=loga(axx

4 3

a),若函数 f(x)与 g(x)的图象有且只有一个公共点,求实数 a

)(a>0, a≠1).

(1)求函数 f(x)的定义域; (2)若 a=2,求 f(x)在区间[1,4]上的最值; (3)讨论 f(x)在定义域上的单调性.

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一、选择题 1.C f(2)=log3(22–1)=1,f[f(2)]=f(1)=2e1–1=2e0=2. 2.B 本题考查已知 y=f(x)的定义域求解形如 y=f[g(x)]类型函数的定义域;由原函数可知
2 ? x 2 ? x

f ( x ) ? lg

的定义域为(–2, 2),故函数 y

? f(

x 2

)? f(

2 x

)

中自变量 x 满足

2 ? ? 2 ? ? 2 ? x ? ? x ? ( ? 4 , ? 1 ) ? (1 , 4 ). ? x ? ? 2 ?? 2 ? 2 ?

3.D ∵a>1, ∴f(x)=loga(x)是[a, 2a]上的增函数.∴f(x)max=loga(2a)=1+loga2,f(x)min=logaa=1, 由题意可知 loga2=
1 2

, ∴a=4.故选 D.

4. f(x)=1+log2x 可由 y=log2x 的图象向上平移一个单位得到; C g(x)=2–x+1 是当 x=0 时, g(x)=2. 故 选 C. 5. 由 f(x)<0 和 loga(a2x–2ax–2)<0=loga1, 0<a<1, a2x–2ax–2>1, C 又 故 解得 ax>3 或 ax<–1 (舍 去) ,所以 x<loga3. 6.B 本题考查复合函数的单调性及导数的概念. (i)当 a>1 时,若使 y=f(x)单调增,只需 g(x)=x3–ax 为在 x ? ( ?
g ?( x ) ? 3 x
2

1 2

,0 )

上的增函数,即有

? a ? 0

,在 x ? ( ?

1 2

,0 )

? 恒成立,只需 g min

(x) ? 0

,解得 a≤0 这与 a>1 矛盾,故

舍去. (ii)当 0<a<1 时,若使 y=f(x)单调增,只需 g(x)=x3–ax 为在 x ? ( ? 有 g ?( x )
? 3x
2

1 2

,0 )

上的减函数,即 ,解得 a≥
3 4

? a ? 0

,在 x ? ( ?

1 2

,0 )

? 恒成立,只需 g min

(x) ? 0



3 4

? a ? 0

,又

∵0<a<1,∴

3 4

≤a<1,故选 B.

7.C 画出题设中的线性区域如图中的阴影部分.可求得 A(1, 9), B(3, 8),当 y=ax 过 A、B 时,函数 y=ax 的图象过区域 M,分别解得 a=9 和 a=2,∴a 的取值范围是[2,9],故选 C. 二、填空题 8. (2,3) 9.3–2log23

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10.

1 ? 10 t ( 0 ? t ? ), ? 10 ? y ? ? 1 ? 1 t? 1 ( ) 10 ( t ? ). ? 10 ? 16

;0.6

解析:依题意,两段函数图象都经过点 (

1 10

,1 )

,药物释放过程中,y=10t(0≤t≤

1 10

);药

物释放完毕后,y

? (

1 16

t?

1 10

)

1 ? 10 t ( 0 ? t ? ), ? 10 1 ? (t ? ), ? y ? ? 1 10 ? 1 t? 1 10 ) (t ? ). ?( 10 ? 16
t? 1 10

当空气中每立方米的含药量降低

到 0.25 毫克以下时,学生方可进教室.由 0 . 25 三、解答题

? (

1 16

)

? t ? 0 .6 .

12 . 解 : 由 题 意 知 (2+log2x)(1–log2x)≥2 , 整 理 得
? 1 ? log x ? 0?
2

l o g2 x ? l o g2 x ? 0

2

,解不等式得

1 2

2

? x ?1

, 4x=u, u∈[2, 4], y=42x+1+4x 要化为 y=4u2+u, u∈[2, 4]. 令 则 则 又

函数 y=4u +u 在区间[2,4]上单调递增,故 y≥4×22+2=18, y≤4×42+4=68,∴值域为[18,68]. 13.解: (1)令 logax=t,得 x=at,∴原函数化为
f (t ) ? a (a
t 2t 2

? 1) ? 1)
x

? a

a
2

a (a

?1

(a

t

? a

?t

),


a

f (x) ? a

a
2

?1

(a

? a

?x

). 又 f ( ? x ) ? a

2

?1

(a

?x

? a ) ? ? f ( x ), a a
2

x

∴f(x)为奇函数.
(a
x1

(2)任取 x1, x2∈R,且 x1<x2,则
a a
2

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ?

?1

? a

? x1

? a

x2

? a

? x2

)?

?1

(

a

x1

? a

x2

)( a

x1 ? x 2

? 1)

a
x1

x1 ? x 2

,∵a>0 且 a≠1,x1<x2, ∴ a x

1

? x2

? 0, a

x1 ? x 2

?1? 0

.当 0<a<1 时,

a

2

? 1 ? 0, a

? a

x2

? 0

,∴f(x1)–f(x2)<0.当 a>1 时,a2–1>0,

a

x1

?a

x2

? 0

, ∴f(x1)–f(x2)<0
? 0

综上,f(x1)<f(x2),∴f(x)在 R 上为增函数.∴x1<x2 时,f(x1)<f(x2),即 点连线的斜率大于 0.

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) x1 ? x 2

,故任意两

(3)由 f(1–m)+f(1–m2)<0,得

?? 1 ? 1 ? m ? 1 ? ? f(1–m)<f(m2–1),∴ ? ? 1 ? m 2 ? 1 ? 1 , 解得 1 ? m ? ? ?1 ? m ? m 2 ? 1 ?

2

.故

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m 的取值范围是 (1 ,

2)



14 . 解 : 1 ) 由 函 数 f(x) 的 偶 函 数 可 知 : f(1)=f(–1) , ∴log4(4+1)+k=log4(4–1+1)–k , 即 (
2 k ? l o g4 5 4 ? l o g 4 5 ? ? 1,? k ? ? 1 2
4


( 4 ? 1) ?
x

(2)函数 f(x)与 g(x)的图象有且只有一个公共点,即方程 log
(a ? 2 ?
x

1 2

x ? log

4

4 3

a) 4 3

有且只有一个实根,化简得方程 2 x
at ? 1 ? 0

?

1 2
x

? a ?2 ? 3 4

x

4 3

a

,令 t=2x>0,则方程
? 0? a ? 3 4

( a ? 1) t ?

2

有且只有一个正根.① a ,不合题意;若 a

?1? t ? ? 1 2

,不合题意;② ?



–3,若 a
?1 a ?1

?

3 4

? t ? ?2

? ?3 ? t ?

;③有一个正根与一个负根,即

? 0 ? a ?1.
(1, ?? )

综上,实数 a 的取值范围是 { ? 3} ? 15.解: (1)由 ax
? x ? 1 a
2


x ? 0 ,? a x ? 1 ? 0 ,? x ? 1 a ,

?

x ? 0, 得

x (a

x ? 1) ? 0 . ? a ? 0 ,

.∴函数定义域为 { x | x
f ( x ) ? log

?

1 a
2

, a ? 0 , a ? 1}
1 4
2


, ?? ).

(2)若 a=2,则

2

(2 x ?

x ), x ? (

可以判断 f(x)在[1,4]上是增函数,
6

∴f(x)min=f(1)=log2(2–1)=0, (3)设 x 1 , x 2 ? (
? ( x1 ?
x1 ? ?

f ( x ) max ? f ( 4 ) ? log

(8 ?

4 ) ? log

2


x1 ? x2 )

1 a
2

, ?? ) ,且 x1<x2. ( ax 1 ? x 2 ) ? 1 ]. ? x 2 ? x 1 ? 1 a
2

x 1 ) ? ( ax

2

?

x 2 ) ? a ( x1 ? x 2 ) ? (

x 2 )[ a (

x1 ?
x1 ?

,?

x2 ?
?

x1 ?

1 a

,? a (

x1 ?

x2 ) ? a ?

2 a

? 2

, ( ∴
? log

x 2 )[ a (

x 2 ) ? 1 ] ? 0 , ? ax 1 ?

x 1 ? ax

2

x2

l , 0<a<1, o 若 则g ?

a

( ax 1 ?

x1 )

a

( ax

2

x2 )

,∴f(x)为减函数.若 a>1,则 log

a

( ax 1 ?

x 1 ) ? log

a

( ax

2

x2 )

, ∴f(x)为增

函数.

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