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2.1.4 平面与平面之间的位置关系001


第二章

点、直线、平面之间的位置关系

2.1.3 空间中直线与平面之间的位 置关系 2.1.4 平面与平面之间的位置关系

想一想

1.“直线与平面不相交”与“直线与平

面没有公共点”是相同的意义吗?
提示:不是.“直线与平面不相交”和“直线与平

r />面没有公共点”表示不同的意义,前者包括直线
与平面平行及直线在平面内这两种情况,而后者

仅指直线与平面平行.
做一做 A.l∈α C.l与α相交 答案:D 1.直线l与平面α有两个公共点,则( B.l∥α D.l?α )

思考2:如果两条异面直线所成的角是90°,则 称这两条直线互相垂直.两条互相垂直的异面直 线a,b,记作a⊥b. 在长方体ABCDA′B′C′D′中,有没有两条棱所在的直线是互 相垂直的异面直线?
C' B' C A' D A D'

B

例2 如图,在四面体ABCD中,E,F分别是棱AD, BC上的点,且 AE ? BF ? 1 ED FC 2 已知AB=CD=3, EF ? 3,求异面直线AB和CD所成的 角.
A E M

D B F C

2.平面与平面的位置关系 一条 公共直线 ? 相交 ——有 _______ ?平面与平面 _______
? 平行 ——_______ 没有 公共点 ?平面与平面 _______ ?

想一想

2.平面平行有传递性吗?

提示:有. 若α、β、γ为三个不重合的平面,则α∥β,

β∥γ?α∥γ.

做一做 答案:3

2.长方体的6个面中,一共有________

组平面互相平行. 3.如果在两个平面内分别有一条直线,这两条

直线互相平行,那么这两个平面的位置关系是
________.

答案:平行或相交

如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1 中M,N分别是A1B1和BB1的中点,则下列直线 与平面的位置关系是什么?
例1

(1)AM所在的直线与平面ABCD

的位置关系;
(2)CN所在的直线与平面ABCD的 位置关系; (3)AM所在的直线与平面CDD1C1 的位置关系;

(4)CN所在的直线与平面CDD1C1
的位置关系.

(1)AM所在的直线与平面ABCD的位置关系;
(2)CN所在的直线与平面ABCD的位置关系; (3)AM所在的直线与平面CDD1C1的位置关系; (4)CN所在的直线与平面CDD1C1的位置关系. 【解】 (1)AM所在的直线与平面ABCD相交; (2)CN所在的直线与平面ABCD相交; (3)AM所在的直线与平面CDD1C1平行; (4)CN所在的直线与平面CDD1C1相交. 【名师点评】 解答此类问题,首先要正确理解直线与 平面的三种位置关系的定义.在直线和平面的三种位置 关系中,否定其中两种,其反面是另外一种位置关系.

跟踪训练 1.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,指出B1C,BD1与

各面的位置关系.

解:(1)B1C?平面BCC1B1,B1C∥平面ADD1A1,B1C与
其余4个面相交. (2)BD1与6个面都相交.

题型二
例2

平面与平面的位置关系

如果三个平面两两相交,那么它们的交 交线有一条或三条,如图.

线有多少条?画出图形表示你的结论.
【解】

【名师点评】

图(1)表示三个平面有一条交线,联想书

本;(2)(3)表示3条交线,联想三棱柱或三面墙角.

跟踪训练
2.如图,已知平面α∩β=l,点A∈α,点B∈α,点
C∈β,且A?l,B?l,C?l,直线AB与l不平行,那么平面 ABC与平面β的交线与l有什么关系?证明你的结论.

解:相交.理由如下:∵直线AB与l不平行, ∴可令AB∩l=P,P∈平面ABC, ∴平面ABC∩平面β=PC,∴PC∩l=P.

即平面ABC与平面β的交线与l相交.

题型三
例3

空间中线面、面面关系的证明

求证:两条平行线中的一条与已知平面相交,则

另一条也与该平面相交. 已知:直线a∥b,a∩平面α=P.

求证:直线b与平面α相交.
【证明】 如图所示,∵a∥b,∴a和b确定一个平面β.

∵a∩α=P, ∴平面α和平面β相交于过P点的直线l. ∵在平面β内l与两条平行直线a、b中的一条直线a相交,

∴l必与b相交,设b∩l=Q,
又因为b不在平面α内,Q在平面α内(若b在α内,则α和β 都过两相交直线a和l,因此α和β重合,a在α内,和已知

矛盾),故直线b和平面α相交.
【名师点评】 证明直线和平面相交的一般方法有:(1) 否定直线在平面内,否定直线与平面平行;(2)证明直线

与平面只有一个公共点;(3)证明直线不在平面内,且有
一个公共点.

互动探究
3.若本例改为:两个平行平面中的一个与已知直线相 交,则另一个平面也与该直线相交,请予以证明. 已知:平面α∥β,a∩α=P,求证:β与a相交.

证明:假设a与β不相交,
则有a?β或者a∥β. 若a?β,∵α∥β,

∴a∥α,与a∩α=P矛盾;
若a∥β,∵α∥β, ∴a∥α或a?α,与a∩α=P矛盾.

∴假设不成立,β与a相交.

【方法感悟】
1.a?α时,表示直线a的线段全部画在表示平面α的平行四 边形内;a∥α时,直线a要和平行四边形的水平边平行. 2.研究线面关系时,利用正方体(或长方体)能有效地判定 与两个平面的位置关系有关命题的真假. 3.判断线线、线面、面面的位置关系,要牢牢地抓住其特 征与定义,要有画图的意识,结合空间想象能力全方位、 多角度地考虑问题,作出判断.如例1、例3. 4.两个相交平面的画法 (1)先画表示两个平面的平行四边形的相交两边,如图(a).

(2)再画出表示两个平面交线的线段,如图(b). (3)过图(b)中线段的端点分别引线段,使它们平行于图(b)中 表示交线的线段,如图(c). (4)画出图(c)中表示两个平面的平行四边形的第四边(被遮住 的线可以画成虚线,也可以不画),如图(d).(如例2)

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易错警示
例4

点、直线、平面位置关系判断中的误区

给出下列几个说法:

①过一点有且只有一条直线与已知直线平行;②过一点 有且只有一条直线与已知直线垂直;③过平面外一点有 且只有一条直线与该平面平行;④过平面外一点有且只 有一个平面与该平面平行.其中正确说法的个数为( A.0 C.2 B.1 D.3 )

【常见错误】
(1)没有考虑到点在已知直线上易误判①正确; (2)对相交垂直和异面垂直理解错误易误判②正确. 【解析】 ①当点在已知直线上时,不存在过该点的直 线与已知直线平行,故①错;②由于垂直包括相交垂直 和异面垂直,因而过一点与已知直线垂直的直线有无数 条,故②错;③过棱柱的上底面内的一点任意作一条直 线都与棱柱的下底面平行,所以过平面外一点与已知平 面平行的直线有无数条,故③错;④过平面外一点与已 知平面平行的平面有且只有一个,故④对. 【答案】 B

【失误防范】

重视点与直线、直线与直线、直线与平

面、平面与平面的位置关系的分类情况,并注意在解题
时利用这些知识全面考虑问题;研究范围由平面向空间 拓展后,要重视对“垂直”概念的理解.

跟踪训练
4.已知平面α∥平面β,直线a∥α,直线b∥β,那么a与 b的关系是( A.平行或相交 C.平行或异面 ) B.相交或异面 D.平行、相交或异面

解析:选D.已知平面α∥平面β,直线a∥α,直线b∥β, 那么a与b的关系是平行(如图(1))、相交(如图(3))或异面( 如图(2)).

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