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陕西师范大学附属中学2016届高三下学期第十次模拟考试数学(文)试题


陕西师大附中 2016 届高考数学模拟试题(文科)
一、选择题(本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.设集合 A ? {y y ? lg x } , B ? {x y ? 1 ? x} ,则 A ? B ? ( A. [0,1] B. (0,1] C. (??,1] )

D. [0. ? ?) ) D. 4 )

/>2.复数 z1 ? cos x ? i sin x , z2 ? sin x ? i cos x ,则 z1 ? z 2 ? ( A.1 B. 2
2

C. 3

3.使命题“对任意的 x ? [1, 2] , x ? a ? 0 ”为真命题的一个充分不必要条件为( A. a ? 4 B. a ? 5 C. a ? 4 D. a ? 5

4.2016 年 2 月,为保障春节期间的食品安全,某市质量监督局对超市进行食品检查,如图所示是 某品牌食品中微量元素含量数据的茎叶图, 已知该组数据的平均数为 11.5 , 则 ( ) A.9 B.

4 1 ? 的最小值为 a b

9 2

C.8

D.4

5. 从圆 x 2 ? 2 x ? y 2 ? 2 y ? 1 ? 0 外一点 P ? 3,2 ? 向这个圆作两条切线, 则两切线 夹角的余弦值为( A. 0 B. ) C.

1 2
1 4

3 2

D.

3 5

6.在数列 {an } 中, a1 ? ? , an ? 1 ? 则 a2016 的值为 ( A. ? C.

1 (n ? 2, n ? N* ) , an ?1

) B. 5 D.

1 4

4 5

5 4

1

7.如图为某几何体的三视图,求该几何体的内切球的表面积为( A. ?



1 4

B. 3?

C. 4?

D. ?

4 3

?x ? 0 ? 8.在平面直角坐标系中, 点 P 是由不等式组 ? y ? 0 所确定的平面区域内的动点,M , N 是 ?x ? y ? 4 ? 0 ?
圆 x 2 ? y 2 ? 1的一条直径的两端点,则 PM ? PN 的最小值为( A. 4 B. 2 2 ?1 C. 4 2 D. 7 )

???? ? ????



9.已知函数 f ( x) ? ln

1? x ? sin x ,则关于 a 的不等式 f (a ? 2) ? f (a2 ? 4) ? 0 的解集是( 1? x

2) A. ( 3 ,

B. (?3 ,2)

C. (1,2)

D. ( 3 , 5)

10.函数 f ( x) ? ?2sin 2 x ? sin 2 x ?1 ,给出下列四个命题: ①在区间 [

? 5?
8 , 8

] 上是减函数;②直线 x ?

?
8

是函数图象的一条对称轴;③函数 f ( x ) 的图象可

由函数 y ? 2 sin 2x 的图象向左平移 其中,正确的命题的序号是( A.①② 11.若双曲线 )

? ? 个单位得到; ④若 x ? [0, ] , 则 f ( x ) 的值域是 [0, 2] . 4 2
C.①④ D. ③④

B. ②③

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 、F2 ,线段 F1 F2 被抛物线 y 2 ? 2bx 的 a2 b2
) C.

焦点分成 7 : 5 的两段 ,则此双曲线的离心率为( A.

9 8

B.

6 37 37

3 2 4

D.

3 10 10

) 0 }? 12.对于函数 f ( x) 和 g ( x) , 设 ? ?{x| f( x

,? ?{x | g ( x) ? 0} , 若存在 ? , ? , 使得 ? ? ? ? 1 ,

则称 f ( x) 与 g ( x) 互为“零点相邻函数”.若函数 f ( x) ? e x ?1 ? x ? 2 与 g ( x) ? x2 ? ax ? a ? 3 互 为“零点相邻函数”,则实数 a 的取值范围是( A. [2, 4] B. [2, ] ) D. [2,3]

7 3

C. [ ,3]

7 3

2

二、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填写在题中的横线上)
2 2 2 13.在数列 {an } 中,已知 a1 ? a2 ? ?? an ? 2n ?1 , a1 ? a2 ??? an ?

.

14.连掷两 次骰子得到的点数分别为 m 和 n ,若记向量 a = (m, n) 与向量 b ? (1, ?2) 的夹角为 ? , 则 ? 为锐角的概率是 .

?

?

15.已知程序框图如图所示,其功能是求一个数列 {an } 的前 10 项和,则数列 {an } 的一个通项公 式 an ? ,数列 {an ? an ?1} 的前 2016 项和为 .

开始

S ?0

n ? 2, k ? 1

k ? 10



是 S?S?1 n 输出S

n ? n?2

k ? k ?1

结束

? ? 1 1 ?sin x, x ? ? ?1, 0 ? 2 16.已知 a ? 0 ,函数 f ( x) ? ? ,若 f (t ? ) ? ? ,则实数 t 的取值范围 3 2 ?ax 2 ? ax ? 1, x ? ? 0, ?? ? ?
为 .

三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分)在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对的边为 a、b、c ,且满足

?? ? ?? ? cos 2 A ? cos 2 B ? 2cos ? ? A? cos ? ? A? ?6 ? ?6 ?
(1)求角 B 的值; (2)若 b ?

1 3 且 b ? a ,求 a ? c 的取值范围. 2

3

18. (本小题满分 12 分)某学校为调查高三年学生的身高情况,按随机抽样的方法抽取 80 名学 生, 得到男生身高情况的频率分布直方图 (图 (1) 和女生身高情况的频率分布直方图 (图 (2) ) . 已 知图(1)中身高在 170 ~ 175cm 的男生人数有 16 人.

(Ⅰ)试问在抽取的学生中,男、女生各有多少人? (Ⅱ)根据频率分布直方图,完成下列的 2 ? 2 列联表,并判断能有多大(百分几)的把握认为 “身高与性别有关”?

? 170cm
男生身高 女生身高 总计

? 170cm

总计

(Ⅲ)在上述 80 名学生中,从身高在 170 ~ 175cm 之间的学生按男、女性别分层抽样的方法, 抽出 5 人,从这 5 人中选派 3 人当旗手,求 3 人中恰好有一名女生的概率. 参考公式: K = 参考数据:
2

n(ad ? bc)2 (a ? c)(b ? d )(a ? b)(c ? d )

p( K 2 ? k0 )
0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

k0

2.07

2.71

3.84

5.02

6.64

7.88

10.83

4

19. (本小题满分 12 分)如图,在底面为梯形的四棱锥 S ? ABCD 中 ,已知 AD / / BC ,

?ASC ? 60? , AD ? DC ? 2 , SA ? SC ? SD ? 2 .
(Ⅰ)求证: AC ? SD ; (Ⅱ)求三棱锥 B ? SAD 的体积.
A

S

D

B

C

20. (本小题满分 12 分)已知椭圆 C :

3 y 2 x2 ,以原点为圆心,椭 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离 心率为 2 2 a b

圆的短半轴长为半径的圆与直线 x ? y ? 2 ? 0 相切. A、 B 是椭圆 C 的右顶点与上顶点,直线
y ? kx(k ? 0) 与椭圆相交于 E、 F 两点.

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)当四边形 AEBF 面积取最大值时,求 k 的值.

21. (本小题满分 12 分)已知 a ?R,函数 f ( x) ?

1 3 1 x ? (a ? 2) x 2 ? b , g ( x) ? 2a ln x . 6 2

(Ⅰ)若曲线 y ? f ( x) 与曲线 y ? g ( x) 在它们的交点 (1, c) 处的切线互相垂直,求 a , b 的值; (Ⅱ)设 F ( x) ? f ?( x) ? g ( x) ,若对任意的 x1 , x2 ? (0, ??) ,且 x1 ? x2 ,都有

F ( x1 ) ? F ( x2 ) ? a( x1 ? x2 ) ,求 a 的取值范围.

请考生在第 22,23,24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清
5

题号. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, 在 ?ABC 中,?B ? 90? , 以 AB 为直径的圆 O 交 AC 于 D , 过点 D 作圆 O 的切线交 BC 于 E , AE 交圆 O 于点 F . (Ⅰ)证明: E 是 BC 的中点; (Ⅱ)证明: AD ? AC ? AE ? AF .
A O D E F B C

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 以直角坐标系的原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 C1 的极坐标方程为

? x ? m ? t cos ? ? ? 4cos? ( ? ? 0) ,曲线 C2 的参数方程为 ? ( t 为参数 0 ? ? ? ? ) ,已知射线 ? y ? t sin ?

? ? ? ,? ? ? ?

?
4

,? ? ? ?

?
4

与曲线 C1 分别交 于(不包括极点 O )点 A, B, C .

(Ⅰ)求证: OB ? OC ? (Ⅱ)当 ? ?

2 OA .

?
12

时, B, C 都恰在曲线 C2 上,求 m 与 ? 的值.

24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? 2x ? 1 ? 2x ? a , g ( x) ? x ? 3 . (Ⅰ)当 a ? ?2 时,求不等式 f ( x) ? g ( x) 的解集; (Ⅱ)设 a ? ?1 ,且当 x ? [ ?

a 1 , ) 时, f ( x) ? g ( x) ,求 a 的取值范围. 2 2

6

陕西师大附中 2016 届高考数学模拟(文科)参考答案
一、CABBDC 二、13. CDAACD 14.

4n ? 1 3

1 6

15. an ?

504 1 , 2n 2017

16.

? 0, ???

三、17. 解: (1)由已知 cos 2 A ? cos 2 B ? 2cos ?

?? ? ?? ? ? A ? cos ? ? A ? ?6 ? ?6 ?
故B ?

得 2sin 2 B ? 2sin 2 A ? 2 ? cos 2 A ? (2)因为 b ? a ,所以 B ?

?3 ?4

1 2 sin 4

3 ? A? , 化简得 sin B ? 2 ?

?
3



2? . 3

?
3



由正弦定理

a c b ? ? ? sin A sin C sin B

3 ? 2 ,得 a=2sinA,c=2sinC, 3 2

1 ? 2? ? ? a ? c ? 2sin A ? sin C ? 2sin A ? sin ? ? A? 2 ? 3 ? 3 3 ?? ? ? sin A ? cos A ? 3 sin ? A ? ? 2 2 6? ?
因为 b ? a ,所以 所以 a ?

?
3

? A?

2? ? ? ? , ? A? ? , 3 6 6 2

1 ?? 3 ? c ? 3 sin ? A ? ? ?[ , 3) . 2 6? 2 ?

18.解: (Ⅰ)直方图中,因为身高在 170 ~ 175cm 的男生的频率为 0.08 ? 5 ? 0.4 , 设男生数为 n1 ,则 0.4 ?

16 ,得 n1 ? 40 . n1

由男生的人数为 40 ,得女生的人数为 80 ? 40 ? 40 . (Ⅱ) 男生身高 ? 170 cm 的人数 ? (0.08 ? 0.04 ? 0.02 ? 0.01) ? 5 ? 40 ? 30, 女生身高 ? 170 cm 的人数 0.02 ? 5 ? 40 ? 4 ,所以可得到下列二列联表: ≥170cm <170cm 总计
7

男生身高 30 女生身高 4 总计

10

40

36 46

40 80

34

K2 ?

80 ? (30 ? 36 ? 10 ? 4)2 ? 34.58 ? 10.828 , 40 ? 40 ? 34 ? 46

所以能有 99.9%的把握认为身高与性别有关; (Ⅲ)在 170 ~ 175cm 之间的男生有 16 人,女生人数有 4 人. 按分层抽样的方法抽出 5 人,则男生占 4 人,女生占 1 人. 设男生为 A1 , A2 , A3 , A4 ,女生为 B . 从 5 人任选 3 名有: ( A 1, A 2, A 3 ), ( A 1 , A2 , A4 ), ( A 1 , A2 , B), ( A 1, A 3, A 4 ), ( A 1, A 3 , B), ( A 1 , A4 , B),

( A2 , A3 , A4 ), ( A2 , A3 , B), ( A2 , A4 , B), ( A3 , A4 , B) ,共 10 种可能,
3 人中恰好有一名女生 有: ( A1 , A2 , B), ( A1 , A3 , B), ( A1 , A4 , B), ( A2 , A3 , B), ( A2 , A4 , B), ( A3 , A4 , B), 共 6 种可能, 故所求概率为

6 3 ? . 10 5

19.解: (Ⅰ)设 O 为 AC 的中点,连接 OS , OD ,? SA ? SC ,?OS ? AC

? DA ? DC,? DO ? AC,
又 OS , OD ? 平面 SOD ,且 OS ? DO ? O ,

AC ? 平面 SOD ,又 SD ? 平面 SOD ? AC ? SD
(Ⅱ)连接 BD ,在 ?ASC 中,? SA ? SC, ?ASC ? 60 , O 为 AC 的中点,
0

??ASC 为正三角形,且 AC ? 2, OS ? 3 ,

? 在 ?ASC 中, DA2 ? DC 2 ? 4 ? AC 2 , O 为 AC 的中点,
8

??ADC ? 900 ,且 OD ? 1 ,

? 在 ?SOD 中, OS 2 ? OD2 ? SD2
? ?SOD 为直角三角形,且 ?SOD ? 900

? SO ? OD 又 OS ? AC ,且 AC ? DO ? O ? SO ? 平面 ABCD

1 ?VB ? SAD ?VS ? BAD ? ? S ?BAD ? SO 3 1 1 1 1 3 ? ? ? AD ? CD ? SO ? ? ? 2 ? 2 ? 3 ? 3 2 3 2 3
20.解: (Ⅰ)由题意知: e ?

3 c = a 2

e2 ?

c2 a 2 ? b 2 3 ? ? , a 2 ? 4b 2 . 4 a2 a2
y B

又圆 x 2 ? y 2 ? b2 与直线 x ? y ? 2 ? 0 相切, b ? 1 , a 2 ? 4 ,

y2 故所求椭圆 C 的方程为 x2 ? ?1. 4
(Ⅱ)设 E( x1 , kx1 ) , F (x2 , kx2 ) ,其中 x1 ? x2 , 将 y ? kx 代入 椭圆的方程 x2 ? 故 x2 ? ? x1 ?
2 k ?4
2

F

y2 ? 1 整理得: (k 2 ? 4) x2 ? 4 , 4

O E

A

x

.①

又点 E ,F 到直线 AB 的距离分别为 h1 ?
2 x2 ? kx2 ? 2 5 2(2 ? k ? k 2 ? 4) 5(k ? 4)
2

2 x1 ? kx1 ? 2 5

?

2(2 ? k ? k 2 ? 4) 5(k 2 ? 4)



h2 ?

?

, AB ? 22 ? 1 ? 5

所以四边形 AEBF 的面积为
S?

4 4k 2(2 ? k ) 1 4(2 ? k ) 4 ? k 2 ? 4k 1 ? 2 1? ? 2 1? 2 ? ?2 AB (h1 ? h2 ) ? ? 5 ? 2 2 2 4 k ?4 2 k ?4 2 k ?4 5(k ? 4) k? k

? 2 2,
9

当 k 2 ? 4(k ? 0) ,即当 k ? 2 时,上式取等号,所以当四边形 AEBF 面积的最大值时, k ? 2 . 21.解 (1)? f ?( x) ?

1 2 3 x ? (a ? 2) x ,? f ?(1) ? a ? 2 2

? g ?( x) ?

2a ,? g ?(1) ? 2a x

依题意有 f ?(1) g ?(1) ? ?1 ,且 f (1) ? g (1) ,

3 ? 2a (a ? ) ? ?1 ? 1 1 7 ? 2 可得 ? ,解得 a ? 1, b ? ,或 a ? , b ? . 1 1 3 2 12 ? ? (a ? 2) ? b ? 0 ? ?6 2
(2) ? F ( x) ?

1 2 x ? (a ? 2) x ? 2a ln x . 2

不妨设 x1 ? x2 , F ( x1 ) ? F ( x2 ) ? a( x1 ? x2 ) , 等价于 F ( x2 ) ? ax2 ? F ( x1 ) ? ax1 . 设 G( x) ? F ( x) ? ax , 则对任意的对任意的 x1 , x2 ? (0, ??) ,且 x1 ? x2 ,都有 等价于 G( x) ? F ( x) ? ax 在 (0, ??) 上是增函数.

F ( x2 ) ? F ( x1 ) ?a, x2 ? x1

G ( x) ?

1 2 x ? 2a ln x ? 2 x , 2

可得 G?( x) ? x ?

2a x 2 ? 2 x ? 2a ?2 ? , x x
2

依题意有,对任意 x ? 0 ,有 x ? 2 x ? 2a ? 0 恒成立. 由 2a ? x2 ? 2 x ? ( x ? 1)2 ? 1,可得 a ?

1 . 2

22. (1)证明:连接 BD ,因为 AB 为 ? O 的直径,所以 BD ? AC . 又 ?B ? 90? ,所以 CB 切 ? O 于点 B ,且 ED 切于 ? O 于点 E , 因此 EB ? ED , ?EBD ? ?EDB , ?CDE ? ?EDB ? 90? ? ?EBD ? ?C , 所以 ?CDE ? ?C ,得 ED ? EC ,因此 EB ? EC , 即 E 是 BC 的中点.
10

(2)证明:连接 BF ,显然 BF 是 Rt ?ABE 斜边上的高, 可得 ?ABE ? ?AFB ,于是有 即 AB ? AE ? AF ,
2

AB AE ? , AF AB

同理可得 AB 2 ? AD ? AC ,所以 AD ? AC ? AE ? AF . 23.解: (Ⅰ)依题意 OA ? 4cos ? , OB ? 4 cos(? ?

?

) , OC ? 4 cos(? ? ) ; 4 4

?

? OB ? OC ? 4 cos(? ? ) ? 4 cos(? ? ) 4 4 ? 2 2(cos ? ? sin ? ) ? 2 2(cos ? ? sin ? ) ? 4 2 cos ? ? 2 OA
(Ⅱ) 当? ?

?

?

?
12

时,B, C 两点的极坐标为 (2,

?

), (2 3, ? ), 化为直角坐标为 (1, 3),(3, ? 3), 3 6

?

所以经过点 B,C 的直线方程为 y ? 3 ? ? 3( x ?1) ,而曲线 C2 是经过点 (m,0) 且倾斜角为 ? 的直线,故 m ? 2, ? ?

2? 。 3

24.解: (1)当 a ? ?2 时,不等式 f ( x) ? g ( x) 化为 2x ?1 ? 2x ? 2 ? x ? 3 ? 0 .设函数

y ? 2 x ?1 ? 2 x ? 2 ? x ? 3 ,
1 ? ? 5 x , x ? , ? 2 ? 1 ? 则 y ? 2x ?1 ? 2x ? 2 ? x ? 3 ? ?? x ? 2, ? x ? 1, 2 ? ?3x ? 6, x ? 1. ? ?
其图像如图所示.从图像可知,当且仅当 x ? (0,2) 时,

y ? 0 .所以原不等式的解集是 {x 0 ? x ? 2} .
(2)当 x ? [ ?

a 1 , ) 时, f ( x) ? 1 ? a .不等式 f ( x) ? g ( x) 化为 1 ? a ? x ? 3 .所以 a ? 2 ? x 2 2
11

4 a 1 a , ) 都成立.故 ? ? a ? 2 ,即 a ? . 3 2 2 2 4 从而 a 的取值范围是 ( ?1, ] . 3
对 x ? [?

12


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