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2012年中考数学复习 第八章实践应用性问题 第39课 几何应用性问题课件


第39课 几何应用性问题

要点梳理
几何应用题的形式有长度、面积、体积、角度以及三角函 数的计算,还有方案设计等.基本解法:先根据题目已知条件 准确画出图形,把生活情景的问题转化为数学问题,再运用几 何计算中的一些基本方法予以解决.

[难点正本 疑点清源]
1.解图形与几何应用题策略 首先要阅读材料,理解题意,找到考查的主要内容和知 识点,揭示实际问题的数学本质,把实际问题转化成数学

问题,然后应用相应的知识来解决问题.
2.用代数方法解几何应用题 熟悉相关的知识,注意积累生活经验,灵活运用掌握的

有关图形与几何知识,将实际问题转化为数学问题.几何
题中求线段的长度和求某一个角的度数,往往借用方程的 思想方法来解决.

基础自测
1.(2011· 济宁)在一次夏令营活动中,小霞同学从营地A点出发,
要到距离A点1000m的C地去,先沿北偏东70°方向到达B地, 然后再沿北偏西20°方向走了500 m到达目的地C,此时小霞

在营地A的( C ) A.北偏东20°方向上
B.北偏东30°方向上

C.北偏东40°方向上
D.北偏西30°方向上

解析:如图,AD∥BE,则∠DAB+∠ABE=180°, 又∠DAB=70°,∠EBC=20°, 所以∠ABC=90°. 在Rt△ABC中,AC=1000,BC=500, 则∠BAC=30°, ∠DAC=70°-30°=40°, 故在北偏东40°方向上.

2.在同一时刻,身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米,一 棵大树的影长为4.8米,则树的高度为( C ) A.4.8米 B.4.6米 C.9.6米 D.10米

解析:根据相似比,得 0.8 =4.8 ,x=9.6,应选C.
1.6 x

3.如图,农村常搭建横截面为半圆形的全封闭塑料薄膜蔬菜 大棚.如果不考虑塑料薄膜埋在土里的部分,那么搭建一 个这样的蔬菜大棚需用塑料薄膜的面积是( B ) A.64πm2 C.78πm2 B.68πm2 D.80πm 2

解析:将大棚圆柱展开,可知是一个矩形和两个半圆, 所以大棚面积=32×2π+π×22=68π.

4.(2010· 广州)长方体的主视图与俯视图如图所示,则这个长方体 的体积是( C )

A.52

B.32

C.24

D.9

解析:由主视图可知,这个长方体的长和高分别为4和3, 由俯视图可知,这个长方体的长和宽分别是4和2,

因此这个长方体的体积为4×2×3=24.

5.如图,某公园的一座石拱桥是圆弧形(劣弧),其跨度为24米,

拱的半径为13米,则拱高为( B )
A.5米 C.7米 B.8米 D.5 3 米

解析:设圆心为O,连OA、OD, 在Rt△AOD中,OA=13,AD=12, ∴OD=5,∴CD=13-5=8,应选B.

题型分类 深度剖析
题型一 有关长度、面积问题
【例 1】 小王购买了一套经济适用房,他准备将地面铺上地砖,地 面结构如图所示.根据图中的数据(单位:m),解答下列问题:

(1)用含x、y的代数式表示地面总面积;
(2)已知客厅面积比卫生间面积多21 m2, 且地面总面积是卫生间面积的15倍.若

铺1 m2地砖的平均费用为80元,那么铺
地砖的总费用为多少元?

解:(1)S=6x+3×2+4×3+2y=6x+2y+18.

(2) ?6x=2y+21, ?
?x=4, ? 解之,得 ? ? ?y=1.5.

?

?6x+2y+18=15×2y, ?

∴总费用:(6×4+2×1.5+18)×80=3600(元).
探究提高

适当分割,将图形转化为便于求长度、面积的几何图形.

知能迁移1

(2010· 江西)图①是一张长与宽不相等的矩形纸片,

同学们都知道按图②所示的折叠方法可以裁剪出一个正方
形纸片和一个矩形纸片(如图③).

(1)实验:将两纸片分别按图④、⑤所示的折叠方法进行:

请你分析在图④、⑤的最右边的图形中用虚线画出折痕,并顺
次连接每条折痕的端点,所围成的四边形分别是什么四边形?

(2)当原矩形纸片的AB=4,BC=6时,分别求出(1)中连接折痕 各端点所得四边形的面积,并求出它们的面积比; (3)当纸片ABCD的长和宽满足怎样的数量关系时先后得到的两 个四边形的面积比等于(2)所得到的两个四边形的面积比? (4)用(2)中所得到的两张纸片,分别裁剪出那两个四边形,用 剩下的8张纸片拼出两个周长不相等的等腰梯形,用图表示 并标明主要数据,分别求出两个梯形的周长.

解:(1)图④所示的是正方形,图⑤所示的是菱形. (2)S正方形NMPQ=S正方形ABEF= 1×4×4=8,
2

S菱形NMPQ=S矩形FEBC= 1×2×4=4,
2

S正方形NMPQ∶S菱形NMPQ=2∶1. (3)设AB=a,BC=b, 则S正方形= 1 a2,S菱形= 1a(b-a)= 1 ab- 1a2,
2 2 2 2

要使S正方形=2S菱形, 需 1a2=2( 1ab- 1 a2),
2 2 2

∴3a2=2ab, ∵a≠0,∴3a=2ba

(4)如图所示,两个等腰梯形周长分别是6+2 5 ,6+4

2.

题型二

解直角三角形的应用

【例 2】 如图,A城气象台测得台风中心在A城正西方向300千米 的B处,并以每小时10 7千米的速度向北偏东60°的BF方向移

动,距台风中心200千米的范围内是受台风影响的区域.
(1)A城是否受到这次台风的影响?为什么? (2)若A城受到这次台风的影响,那么A城

遭受这次台风影响的时间有多长?

解:(1)过A画AC⊥BF于C,

在Rt△ABC中,∠ABC=30°,AB=300,
∴AC= AB=150<200, ∴A城受到这次台风的影响.
1 2

(2)以A为圆心,200千米为半径画弧,交BF于D、E两点,
在Rt△ACD中,AD=200,AC=150, ∴CD= 2002-1502=50 7, ∴DE=2CD=100 7 , ∴A城遭受这次台风影响的时间是
100 7 =10小时. 10 7

探究提高 解直角三角形在实际中有广泛的应用,其解题思路是:弄清 题中名词术语的意义,然后根据题意画出几何图形,建立数学 模型,将实际问题中的数量关系归结为解直角三角形中各元素 之间的关系.

知能迁移2

(1)(2011· 武汉)如图,铁路MN和公路PQ在点O处交

汇,∠QON=30°.公路PQ上A处距离O点240米.如果火车行
驶时,周围200米以内会受到噪音的影响.那么火车在铁路 MN上沿ON方向以72千米/时的速度行驶时,A处受噪音影响

的时间为(
A.12秒 C.20秒

)
B.16秒 D.24秒

解析:如下图,以点A为圆心,200米长为半径画弧,交MN于 点B、C,画AD⊥MN于点D. 在Rt△AOD中,∠QON=30°,OA=240,所以AD=120. 在Rt△ABD中,AB=200,所以BD=160. 又CD=BD,所以BC=320, 故时间t=
320米 320米 =16秒. = 72千米/时 20米/秒

(2)(2011· 绍兴)为倡导“低碳生活”,常选择以自行车作为代步工 具,如图1所示是一辆自行车的实物图,车架档AC与CD的长 分别为45 cm,60 cm,且它们相互垂直,座杆CE的长为20 cm, 点A、C、E在同一条直线上,且∠CAB=75°,如图2.

①求车架档AD的长; ②求车座点E到车架档AB的距离. (结果精确到1 cm,参考数据:sin 75°≈0.9659,cos 75° ≈0.2588,tan 75°≈3.7321)

解:①AD= 452+602 =75 cm.

∴车档架AD的长为75 cm.
②过点E作EF⊥AB,垂足为点F, 距离EF=AE·sin 75°=(45+20)sin 75°≈62.7835≈63 cm.

∴车座点E到车档架AB的距离是63 cm.

题型三

利用三角函数进行图形计算

【例 3】 (2010· 潍坊)路边路灯的灯柱BC垂直于地面,灯杆BA 的长为2米,灯杆与灯柱BC成120°角,锥形灯罩折轴线AD 与灯杆AB垂直,且灯罩轴线AD正好通过道路路面的中心线 (D在中心线上),已知C与点D之间的距离为12米,求灯柱BC 的高.(结果保留根号)

>> 解题示范——规范步骤,该得的分,一分不丢! 解:设灯柱BC的长为h米,过点A作AH⊥CD于点H,过点B做 BE⊥AH于点E, ∴四边形BCHE为矩形. ∵∠ABC=120°, ∴∠ABE=30°. 又∵∠BAD=∠BCD=90°, ∴∠ADC=60°. 在Rt△AEB中, AE=AB·sin30°=1,BE=AB·cos30°= 3 . ∴CH= 3 . 又CD=12, ∴DH=12- 3 . [4分]

在Rt△AHD中, tan∠ADH= AH =
HD h+1 12- 3

= 3,

[8分]

解得,h=12 3-4(米). ∴灯柱BC的高为(12 3 -4)米. 探究提高

[10分]

当有些图形不是直角三角形时,可适当添加辅助线,把它

们分割成直角三角形,把实际问题中的数量关系归结为直角
三角形中各元素之间的关系.

知能迁移3

如图,小明想测量塔BC的高度.他在楼底A处测得塔

顶B的仰角为60°;爬到楼顶D处测得大楼AD的高度为18米, 同时测得塔顶B的仰角为30°,求塔BC的高度. 解:如图,∵∠BAC=60°,

∠BDE=30°,
在Rt△ABC中,∠ABC=30°, 在Rt△BDE中,∠DBE=60°,

∴∠DAB=30°,∠DBA=30°.
∴∠DAB=∠DBA,DA=DB=18, ∴BE=9.

∴塔BC的高度BC=BE+EC=9+18=27(米).

题型四

几何图形设计

【例 4】 (2011· 衢州)△ABC是一张等腰直角三角形纸板,∠C= Rt∠,AC=BC=2. (1)要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形,有甲、乙两 种剪法(如图1),比较甲、乙两种剪法,哪种剪法所得的正方 形面积更大?请说明理由.

(2)图1中甲种剪法称为第1次剪取,记所得的正方形面积为S1;按 照甲种剪法,在余下的△ADE和△BDF中,分别剪取正方形,得

到两个相同的正方形,称为第2次剪取,并记这两个正方形面积和
为S2(如图2),则S2=______;再在余下的四个三角形中,用同样 的方法分别剪取正方形,得到四个相同的正方形,称为第3次剪取,

并记这四个正方形的面积和为S3(如图3);继续操作下去…,则第
10次剪取时,S10=________. (3)求第10次剪取后,余下的所有小三角形的面积和.

解:(1)解法一:如图甲,由题意得AE=DE=EC,
即EC=1,S正方形CFDE=1. 如图乙,设MN=x,则由题意, 得AM=MQ=PN=NB=MN=x, ∴3x=2 2,解得x=
?

2 2 . 3 9

? ? ∴S正方形PNMQ= ?2 2? 2= 8 .

又∵1> 8 ,
9

3 ?

∴甲种剪法所得的正方形的面积更大.

说明:图甲可另解,由题意得点D、E、F分别为AB、AC、
BC的中点,S正方形CFDE= 1S△ABC=1.
2

解法二:如图甲,由题意得AE=DE=EC,即EC=1.

如图乙,设MN=x,
则由题意得AM=MQ=QP=PN=NB=MN=x, ∴3x=2 2 ,解得x=2 2 ,
3

又∵1> 2 2 ,即EC>MN.
∴甲种剪法所得的正方形的面积更大.
1 (2)S2= ;S10= 19 . 2
2 3

1 (3)解法一:探索规律可知:Sn= n-1 .

2 ? ? 剩余三角形的面积和为:2- ?S1+S2+?+S10? ? ? ? 1 1 1 1? =2- ?1+ + +?+ 9? = 9 . 2 4 2 ? 2 ?

解法二:由题意可知, 第一次剪取后剩余三角形面积和为2-S1=1=S1, 第二次剪取后剩余三角形面积和为S1-S2=1- 1= 1=S2, 第三次剪取后剩余三角形面积和为S2-S3= 1 - 1= 1=S3, 2 4 4 … 第十次剪取后剩余三角形面积和为S9-S10=S10= 19 . 探究提高 根据题意,画出符合题意的各种图形,再逐一用相应的几何知 识解答.
2

2

2

知能迁移4

在一服装厂里有大量形状为等腰三角形的边角布料

(如图).现找出其中的一种,测得∠C=90°,AC=BC=4,今 要从这种三角形中剪出一种扇形,做成不同形状的玩具,使扇 形的边缘半径恰好都在△ABC的边上,且扇形与△ABC的其他 边相切.请设计出所有可能符合题意的方案示意图,并求出扇 形的半径(只要求画出图形,并直接写出扇形半径).

解:

半径为2

半径为4

半径为4

2

半径为4

2 -4

易错警示
27. 证明三角形相似缺乏条理 试题 如图,DE∥AB,EF∥BC,AF=5 cm,FB=3 cm,CD= 2 cm,求BD的长. 学生答案展示
AF AE = . AB AC 又∵DE∥AB,∴△CDE∽△CBA,∴ CD=CE , CB CA CD AF ∴ = . BC AB ∵AF=5,FB=3,CD=2,

∵EF∥BC,∴△AFE∽△ABC. ∴

6 5 16 ∴ 2 = ,∴BC= . ∴BD= . BC 8 5 5

剖析

CD 在 AF = AE, = CE 中,∵ AE≠ CE ,∴ CD AF ≠ ,这 AB AC CB CA AC AC BC AB 是思路不清产生的错误.由于所求线段不是三角形的边长,无

法直接确定相似三角形,同时已知线段与所求线段无直接关联, 这就需要改造条件,由DE∥AB,EF∥BC,可以得到四边形 FBDE是平行四边形,这样BF=DE,EF=BD,通过证相似能 顺利求解.

正解

∵EF∥BC,DE∥AB,

∴四边形FBDE是平行四边形. ∴BF=DE,EF=BD. 又∵EF∥BC, ∴∠AFE=∠B,∠AEF=∠C. ∵DE∥AB,∴∠EDC=∠B.

∴∠AEF=∠EDC. ∴△AFE∽△EDC.
∴ AF = EF ,即 5 =EF .
DC ∴EF=10. 3 ED 3 2

即BD=EF= 10 (cm).
3

批阅笔记

用相似形知识解题时,易出现对应关系混乱、定理应用错
误的现象,要加强识图能力、联想能力、综合应用能力的训 练,找准相似中对应角和对应边,排除交叉图形的干扰,以

免造成错觉.

思想方法 感悟提高
方法与技巧

1.几何应用性问题的解题策略是:将实际问题几何化(从实
际问题中抽象出基本几何图形). 2.解题时需要画出图形,在图形中标出已知线段长和角的 度数等. 3.注意几何与代数的联系,及数学思想方法的综合运用.

失误与防范
1.由于某些几何题目的约束较弱(条件趋一般)或图形位置的 变化,常常使同一问题具有多种形态,因而有必要考察全面(所

有不同情况),才能把握问题的实质,此种情况下应当进行适当
分类,就每一种情形研究讨论结论的正确性. 2.几何求值问题,当未知数不能直接求出时,一般需设出

未知数(x),继而建立方程,用解方程的方法去求结果,这是解
题中常见的具有导向作用的一种思想.

完成考点跟踪训练 39


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