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宿迁青华中学2015届高三数学周练(十九)


宿迁青华中学 2015 届高三数学周练(十九)
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. i 1.在复平面内,复数 对应的点位于第___ _____象限. 1-i 2.如果执行右图的流程图,若输入 n=6,m=4,那么输出的 p 等于______.

第 7 题图

3.上图是某高中十佳歌手比赛上某一位选手

得分的茎叶统计图, 去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的方差为______ __. 4.从 1,2,3,4,5 中随机取出三个不同的数,则其和为奇数的概率为_____

___.

x≥0, ? ? 5.已知点 P(x, y)满足条件?y≤x, ? ?2x+y+k≤0

(k 为常数), 若 z=x+3y 的最大值为 8, 则 k=______.

6.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 - =1,则数列{an}的公差是_____ ___. 3 2 7.已知一个圆锥的展开图如图所示,其中扇形的圆心角为 120°,底面圆半径为 1, 则该圆锥的体积为_______. 8. 过原点 O 作圆 x +y -6x-8y+20=0 的两条切线, 设切点分别为 P、 Q, 则线段 PQ 的长为________. 9.设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,则 S4 , S8 ? S4 , S12 ? S8 成等差数列;类比以上结论有: 设等比数列 {bn } 的前 n 项积 为 Tn ,则 T4 , . ,
2 2

S3 S2

T12 成等比数列. T8
____.

2 10.已知函数 f(x)= +xln x,则曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线方程为____

x

→ → 11.在平行四边形 ABCD 中, 已知 AB=2, AD=1, ∠BAD=60°, E 为 CD 的中点, 则AE· BD=________.

x2 y2 12.椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的右焦点为 F,直线 y=- 3x 与椭圆 C 交于 A,B 两点,且 AF⊥BF, a b 则椭圆 C 的离心率为____ ____. 2 13.已知奇函数 f(x)=5x+sin x+c,x∈(-1,1),如果 f(1-x)+f(1-x )<0,则实数 x 的取值
范围为_____ ___. .

2 1 14.设 a ? 0, b ? 1 ,若 a ? b ? 2 ,则 ? 的最小值为 a b ?1

二、解答题:本大题共 6 分,共计 90 分. 15.(14 分)已知 m=(asin x,cos x),n=(sin x,bsin x),其中 a,b,x∈R.若 f(x)=m·n 满 ? π 足 f ( ) ? 2 ,且 f(x)的导函数 f′(x)的图象关于直线 x= 对称. 12 6 (1)求 a,b 的值; (2)若关于 x 的方程 f(x)+log2k=0 在区间 [ 0,
1

? ] 上总有实数解,求实数 k 的取值范围. 2

16. (14 分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面 PAD⊥底面 ABCD,PA ⊥AD.E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点.求证: (1)PA⊥底面 ABCD; (2)BE∥平面 PAD; (3)平面 BEF⊥平面 PCD.

17. (本题满分 15 分)在淘宝网上,某店铺专卖宿迁某种特产.由以往的经验表明,不考虑其他因 素, 该特产每日的销售量 y(单位: 千克) 与销售价格 x(单位: 元/千克, 满足: 当1 ? x ? 3 1? x ? 5 )

b (a, b为常数) , ;当 3 ? x ? 5 时, y ? ?70 x ? 490 .已知当销售价格为 x ?1 2 元/千克时,每日可售出该特产 600 千克;当销售价格为 3 元/千克时,每日可售出 150 千克. (1)求 a, b 的值,并确定 y 关于 x 的函数解析式; (2)若该特产的销售成本为 1 元/千克,试确定销售价格 x 的值,使店铺每日销售该特产所获利润 f ( x) 最大( x 精确到 0.1 元/千克) .
时, y ? a( x ? 3) ?
2

2

1 y2 x2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,以椭圆 C 的上顶点 Q 2 2 a b 2 2 2 为圆心作圆 Q : x ? ( y ? 2) ? r (r ? 0) ,设圆 Q 与椭圆 C 交于点 M 与点 N 。 y S (1)求椭圆 C 的标准方程;
18.(满分 15 分)如图, 已知椭圆 C : (2)求 QM ? QN 的最小值,并求此时圆 Q 的方程; (3)设点 P 是椭圆 C 上异于 M , N 的任意一点,且直线 MP, NP 分别与 y 轴交于点 R, S , O 为坐标原点,求证: OR ? OS 为定值。
M Q R x P N

?pan+n-1,n为奇数, ? 19. (16 分)已知数列{an}满足 a1=2,前 n 项和为 Sn,an+1=? ?-an-2n,n为偶数. ?

(1)若数列{bn}满足 bn=a2n+a2n+1(n≥1),试求数列{bn}前 n 项和 Tn; (2)若数列{cn}满足 cn=a2n,试判断{cn}是否为等比数列,并说明理由; 1 * (3)当 p= 时,问是否存在 n∈N ,使得(S2n+1-10)c2n=1?若存在,求出所有的 n 的值;若不存 2 在,请说明理由.

3

20. (本题满分 16 分)已知函数 f ( x) ? a x ? x 2 ? x ln a(a ? 0, a ? 1). (1)求函数 f ( x ) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程; (2)求函数 f ( x ) 单调递增区间; (3)若存在 x1 , x 2 ? [?1,1] ,使得 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? e ? 1(e 是自然对数的底数) ,求实数 a 的取值范围.

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附加题
21.已知矩阵 M= ?

?2 1 ? ? 的一个特征值是 3,求直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 在 M 作用下的新直线方程. ?1 a ?

23. (本小题满分 10 分)如图,在正四棱锥 P ? ABCD 中,已知 PA ? AB ? 求直线 BM 与平面 PAD 所成角的正弦值.

2 ,点 M 为 PA 中点,
P

M D O A 第 23 题图 B C

5

22.在平面直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C 的参数方程是 ?

? x ? cos? ( ? 是参数) ,若以 O 为极 ? y ? sin ? ? 1

点, x 轴的正半轴为极轴,取与直角坐标系中相同的单位长度,建立极坐标系,求曲线 C 的极坐标 方程.

23. (本小题满分 10 分)某商场在节日期间搞有奖促销活动,凡购买一定数额的商品,就可以摇奖 一次.摇奖办法是在摇奖机中装有大小、质地完全一样且分别标有数字 1~9 的九个小球,一次摇 奖将摇出三个小球,规定:摇出三个小球号码是“三连号” (如 1、2、3)的获一等奖,奖 1000 元 购物券;若三个小球号码“均是奇数或均是偶数”的获二等奖,奖 500 元购物券;若三个小球号码 中有一个是“8”的获三等奖,奖 200 元购物券;其他情形则获参与奖,奖 50 元购物券.所有获奖 .... 等第均以最高奖项兑现 ,且不重复兑奖 .记 X 表示一次摇奖获得的购物券金额. .......... ...... (1)求摇奖一次获得一等奖的概率; (2)求 X 的概率分布列和数学期望.

6

i 对应的点位于第二________象限. 1-i 3.如果执行右图的流程图,若输入 n=6,m=4,那么输出的 p 等于 360________. 2.在复平面内,复数

第 4 题图 第 8 题图

第 3 题图 4.右图是某高中十佳歌手比赛上某一位选手得分的茎叶统计图,去掉一个最高分和一个 80 最低分后,所剩数据的方差为 7 ________. 5.从 1,2,3,4,5 中随机取出三个不同的数,则其和为奇数的概率为
2 ________. 5

?x≥0, 6.已知点 P(x,y)满足条件?y≤x, ?2x+y+k≤0
=—6________.

(k 为常数),若 z=x+3y 的最大值为 8,则 k

S3 S2 7.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, 且满足 3 - 2 =1, 则数列{an}的公差是 2________.
8.已知一个圆锥的展开图如图所示,其中扇形的圆心角为 120° ,底面圆半径为 1,则该

2 2π 圆锥的体积为 3 ________.

9. 过原点 O 作圆 x2+y2-6x-8y+20=0 的两条切线,设切点分别为 P、Q,则线段 PQ 的
长为 4________.

7

2 10.已知函数 f(x)= x +xln x,则曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线方程为 x+y-3=0________. → → 11.在平行四边形 ABCD 中, 已知 AB=2, AD=1, ∠BAD=60° , E 为 CD 的中点, 则AE· BD
3 = ? ________. 2

x2 y2 12.椭圆 C: 直线 y=- 3x 与椭圆 C 交于 A, B 两点, a2+b2=1(a>b>0)的右焦点为 F, 且 AF⊥BF,则椭圆 C 的离心率为 3 ?1 ________. 13.已知奇函数 f(x)=5x+sin x+c,x∈(-1,1),如果 f(1-x)+f(1-x2)<0,则实数 x 的
1 ? ? 25 ? ? 取值范围为 ? ?1, ? ? ? ? ,9? ________. 3? ? 3 ? ?

14.________.
15.解 (1)f(x)=m·n=asin x+bsin xcos x. ?π ? 由 f? ?=2,得 a+ 3b=8. ?6?
2



π ?π ? ∵f′(x)=asin 2x+bcos 2x,且 f′(x)的图象关于直线 x= 对称,∴f′(0)=f′? ?, 12 ?6? ∴b= 3 1 a+ b,即 b= 3a. 2 2 ②

由①②得,a=2,b=2 3. (2)由(1)得 f(x)=1-cos 2x+ 3sin 2x π? ? =2sin?2x- ?+1. 6? ? π π 5π ? π? ∵x∈?0, ?,∴- ≤2x- ≤ , 2 6 6 6 ? ? π 1 ? ? ∴- ≤sin ?2x- ?≤1, 6? 2 ? π? ? ∴0≤2sin?2x- ?+1≤3,即 f(x)∈[0,3]. 6? ? ? π? ? π? 又 f(x)+log2k=0 在?0, ?上有解,即 f(x)=-log2k 在?0, ?上有解, 2? 2? ? ? 1 ?1 ? ∴-3≤log2k≤0,解得 ≤k≤1,即 k∈? ,1?. 8 ?8 ?

16.证明 (1)因为平面 PAD∩平面 ABCD=AD. 又平面 PAD⊥平面 ABCD,且 PA⊥AD. 所以 PA⊥底面 ABCD. (2)因为 AB∥CD,CD=2AB,E 为 CD 的中点, 所以 AB∥DE,且 AB=DE.
8

所以 ABED 为平行四边形.所以 BE∥AD. 又因为 BE?平面 PAD,AD? 平面 PAD, 所以 BE∥平面 PAD. (3)因为 AB⊥AD,且四边形 ABED 为平行四边形. 所以 BE⊥CD,AD⊥CD. 由(1)知 PA⊥底面 ABCD,所以 PA⊥CD. 所以 CD⊥平面 PAD,从而 CD⊥PD. 又 E,F 分别是 CD 和 CP 的中点, 所以 EF∥PD,故 CD⊥EF. 由 EF,BE 在平面 BEF 内,且 EF∩BE=E, ∴CD⊥平面 BEF.又 CD? 平面 PCD 所以平面 BEF⊥平面 PCD.

17. 解: (1)由题意:x=2 时 y=600,∴a+b=600, 又∵x=3 时 y=150,∴b=300 300 ? 2 ,1 ? x ? 3 ?300( x ? 3) ? x ?1 ∴y 关于 x 的函数解析式为: y ? ? ? ?? 70x ? 490,3 ? x ? 5 ?300( x ? 3) 2 ( x ? 1) ? 300,1 ? x ? 3 (2)由题意: f ( x) ? y( x ? 1) ? ? , ?(?70x ? 490)(x ? 1),3 ? x ? 5 当 1 ? x ? 3 , f ( x) ? 300( x ? 3)2 ( x ?1) ? 300 ? 300( x3 ? 7 x 2 ? 15x ? 8) , f ?( x) ? 300(3x 2 ?14x ? 15) ? (3x ? 5)(x ? 3)

5 5900 时有最大值 。 3 9 当 3 ? x ? 5 时, f ( x) ? (?70x ? 490)(x ? 1)
∴x? ∴ x ? 4 时有最大值 630 ∵630<

5900 9 5 5900 ∴当 x ? 时 f ( x) 有最大值 3 9
即当销售价格为 1.7 元的值,使店铺所获利润最大。

y2 x2 ? ?1 4 3 (2) M ( x1 , y1 ) , N (? x1 , y1 ) , Q(0,2) , QM ? ( x1 , y1 ? 2),QN ? (?x1 , y1 ? 2) 7 2 7 8 9 2 ? QM ? QN ? ? x1 ? ( y1 ? 2) 2 ? y1 ? 4 y1 ? 1 ? ( y1 ? ) 2 ? 4 4 7 7 9 8 99 36 135 3 11 2 ? y1 ? 时,最小值是 ? , x1 ? ? ? ? ,r ? 7 7 49 49 49 7 135 ? Q : x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 49 y ? y1 (3) P( x0 , y0 ) , MP : y ? y 0 ? 0 ( x ? x0 ) x0 ? x1
18. 解: (1)
9

令 x ? 0, y ?

y 0 x1 ? x0 y1 y x ? x0 y1 ? y 0 x1 ? x0 y1 , R(0, 0 1 ) ,同理, S (0, ), x0 ? x1 x0 ? x1 x0 ? x1
2 x0 y1 ? x1 y 0 2 2 2

? OR ? OS ?
? OR ? OS ?

x0 ? x1
2

2

2
2

,又

y0 x y x ? 0 ? 1, 1 ? 1 ? 1 4 3 4 3

2

2

2

2

2 x0 y1 ? x1 y 0

2

x0 ? x1

2

2

=4

19.解 (1)根据题意得 bn=a2n+a2n+1=-4n, 2 ∴{bn}成等差数列,故 Tn=-2n -2n. 1 1 (2)当 p= 时,数列{cn}成等比数列;当 p≠ 时,数列{cn}不为等比数列. 2 2 理由如下:∵cn+1=a2n+2=pa2n+1+2n =p(-a2n-4n)+2n=-pcn-4pn+2n, cn+1 2n 1-2p 1 1 ∴ =-p+ ,故当 p= 时,数列{cn}是首项为 1,公比为- 等比数列; cn cn 2 2 1 当 p≠ 时,数列{cn}不成等比数列. 2 1 ? 1?n-1 (3)当 p= 时,由(2)知 cn=?- ? , 2 ? 2? ? 1?2n-1 ?1?2n-1 ∴c2n=?- ? =-? ? . 2 ? ? ?2? 2 又 S2n+1=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+?+(a2n+a2n+1)=a1+b1+b2+?+bn=-2n -2n+2. 2 n 则由(S2n+1-10)c2n=1,得 4n +4n+16=4 , x 2 记 f(x)=4 -4x -4x-16(x≥2), x 则 g(x)=f′(x)=4 ln 4-8x-4, 2 x ∴g′(x)=(ln 4) 4 -8>0(x≥2), ∴g(x)在[2,+∞)上单调递增, ∴g(x)≥g(2)=f′(2)>0,即 f′(x)>0,且 f(1)≠0, ∴仅存在唯一的 n=3,使得(S2n+1-10)c2n=1 成立. 20.⑴因为函数 f ( x) ? a x + x2 ? x ln a(a ? 0, a ? 1) , 所以 f ?( x) ? a x ln a + 2 x ? ln a , f ?(0) ? 0 ,????????????????2 分 又因为 f (0) ? 1 ,所以函数 f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程为 y ? 1 . ????4 分 ⑵由⑴, f ?( x) ? a x ln a + 2 x ? ln a ? 2 x + (a x ? 1)ln a . 因为当 a ? 0, a ? 1 时,总有 f ?( x) 在 R 上是增函数, ????????????8 分 又 f ?(0) ? 0 ,所以不等式 f ?( x) ? 0 的解集为 (0, +?) , 故函数 f ( x) 的单调增区间为 (0, +?) .??????????????????10 分 ⑶因为存在 x1 , x2 ?[?1,1] ,使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ≥ e ? 1 成立, 而当 x ? [?1,1] 时, f ( x1 ) ? f ( x2 ) ≤ f ( x)max ? f ( x)min , 所以只要 f ( x)max ? f ( x)min ≥ e ? 1 即可.?????????????????12 分 又因为 x , f ?( x) , f ( x) 的变化情况如下表所示:

x
f ?( x)

(??,0)

0 0
10

(0, +?)

?

+

f ( x)

减函数

极小值

增函数

所以 f ( x) 在 [ ?1, 0] 上是减函数,在 [0,1] 上是增函数,所以当 x ? [?1,1] 时, f ? x ? 的最小值

f ? x ?min ? f ? 0? ? 1 , f ? x ? 的最大值 f ? x ?max 为 f ? ?1? 和 f ?1? 中的最大值.

1 ? 2ln a , a 1 1 2 1 令 g (a) ? a ? ? 2ln a(a ? 0) ,因为 g ?(a) ? 1 + 2 ? ? (1 ? )2 ? 0 , a a a a 1 所以 g (a) ? a ? ? 2ln a 在 a ? ? 0, ?? ? 上是增函数. a 而 g (1) ? 0 ,故当 a ?1 时, g ? a ? ? 0 ,即 f (1) ? f (?1) ;
因为 f (1) ? f (?1) ? (a + 1 ? ln a) ? ( + 1 + ln a) ? a ? 当 0 ? a ? 1 时, g ? a ? ? 0 ,即 f (1) ? f (?1) .???????????????14 分 所以,当 a ?1 时, f (1) ? f (0) ≥ e ? 1 ,即 a ? ln a ≥e ?1 ,函数 y ? a ? ln a 在 a ? (1, ??) 上是增 函数, 解得 a ≥ e ;当 0 ? a ? 1 时, f (?1) ? f (0) ≥ e ? 1 ,即

1 a

1 1 ?l n a≥ e ? 1 ,函数 y ? ? ln a 在 a a

1 a ? (0,1) 上是减函数,解得 0 ? a ≤ . e 1 综上可知,所求 a 的取值范围为 a ? (0, ] [e, +?) .????????????16 分 e

?2 1 ? ? 的一个特征值是 3, ?1 a ? ? ? 2 ?1 ? (? ? 2)(? ? a) ? 1 ? 0 , 设 f (? ) ? ?1 ? ? a
21.因为矩阵 M= ?

?2 1 ? ? ,??????????5 分 ?1 2 ? 设直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 上任一点 ? x, y ? 在 M 作用下对应点为 ?x ?, y ?? ,
则 (3 ? 2)(3 ? a) ? 1 ? 0 ,解得 a ? 2 ,所以 M ? ?

?2 x ? y ? x ? ?2 1 ? ? x ? ? x ? ? , ? ? ? ,整理得 ? ? ? ? ?x ? 2 y ? y? ?1 2? ? y ? ? y ?? 2 1 ? x ? x? ? y ? ? ? 3 3 即? ,代人 x ? 2 y ? 3 ? 0 ,整理得 4 x ? ? 5 y ? ? 9 ? 0 , ? y ? 2 y ? ? 1 x? ? 3 3 ? 故所求直线方程为: 4 x ? 5 y ? 9 ? 0 .??????????????????10 分
则有 ?

11

? y ? sin ? ? 1 22.由 ? 消去 ? ,得 x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1 , ? x ? cos ? 曲线 C 是以 (0,1) 为圆心,半径等于 1 的圆. ???????????????5 分

π 所以在极坐标系下,曲线 C 是以 (1, ) 为圆心,半径等于 1 的圆. 2 所以曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 2sin ? . ???????????????10 分

23.(1)记“摇奖一次获得一等奖”为事件 A, 连号的可能情况有:123,234,345,456,567,678,789 共 7 种情况.

12

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