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三角函数第3课时 任意角的三角函数(一)


Xupeisen110

高中数学

三角函数第 3 课时 任意角的三角函数(一)
教学目的: 知识目标:1.掌握任意角的三角函数的定义; 2.已知角α 终边上一点,会求角α 的各三角函数值; 3.记住三角函数的定义域、值域,诱导公式(一)。 能力目标:(1)理解并掌握任意角的三角函数的定义; (2)树立映射观点,正确理解三角函数

是以实数为自变量的函数; (3)通过对定义域,三角函数值的符号,诱导公式一的推导,提高学生分 析、探究、解决问题的能力。 德育目标: (1)使学生认识到事物之间是有联系的,三角函数就是角度(自变量) 与比值(函数值)的一种联系方式; (2)学习转化的思想,培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神; 教学重点:任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域和函数值在 各象限的符号),以及这三种函数的第一组诱导公式。公式一是本小节的另一 个重点。 教学难点:利用与单位圆有关的有向线段,将任意角α 的正弦、余弦、正切函数值分别用 他们的集合形式表示出来. 教学过程: 一、复习引入:初中锐角的三角函数是如何定义的? 在 Rt△ABC 中,设 A 对边为 a,B 对边为 b,C 对边为 c,锐角 A 的正弦、余弦、正切依 次为 s in A ?
a c , cosA ? b c , ta n A ? a b



角推广后,这样的三角函数的定义不再适用,我们必须对三角函数重新定义。 二、讲解新课: 1.三角函数定义 在直角坐标系中, 设α 是一个任意角, 终边上任意一点 P (除了原点) α 的坐标为 ( x , y ) , 它与原点的距离为 r ( r ? (1)比值 (2)比值 (3)比值 (4)比值
y r x r y x
|x| ?| y| ?
2 2

x ? y
2

2

? 0 ) ,那么

叫做α 的正弦,记作 sin ? ,即 s in ? ? 叫做α 的余弦,记作 co s ? ,即 c o s ? ? 叫做α 的正切,记作 ta n ? ,即 ta n ? ? 叫做α 的余切,记作 c o t ? ,即 c o t ? ?
1

y r x r y x

; ; ; ;

x y

x y

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高中数学

说明:①α 的始边与 x 轴的非负半轴重合,α 的终边没有表明α 一定是正角或负角,以及 α 的大小,只表明与α 的终边相同的角所在的位置; ②根据相似三角形的知识,对于确定的角α ,四个比值不以点 P ( x , y ) 在α 的终边上 的位置的改变而改变大小; ③当 ? ? 于0 , 所以 ta n ? ?
y x

?
2

? k ? ( k ? Z ) 时,α 的终边在 y 轴上,终边上任意一点的横坐标 x 都等

无意义;同理当 ? ? k ? ( k ? Z ) 时, cot ? ?
y r

x y

无意义;
x y

④除以上两种情况外,对于确定的值α ,比值



x r



y x



分别是一个确定的

实数, 正弦、余弦、正切、余切是以角为自变量,比值为函数值的函数,以上四种函数统称为 三角函数。 2.三角函数的定义域、值 函 数 定 义 域 值 域 域
y ? sin ?
R

[ ? 1,1] [ ? 1,1]
R

y ? co s ?
y ? tan ?
{? | ? ?

R

?
2

? k? , k ? Z }

注意: (1)在平面直角坐标系内研究角的问题,其顶点都在原点,始边都与 x 轴的非负半轴重合. ? (2) α 是任意角,射线 OP 是角 α 的终边,α 的各三角函数值(或是否有意义)与 ox 转 了几圈,按什么方向旋转到 OP 的位置无关. (3)sin ? 是个整体符号,不能认为是“sin”与“α ”的积.其余五个符号也是这样. (4)任意角的三角函数的定义与锐角三角函数的定义的联系与区别: 锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例,它们的基础共建立于相似(直角)三角 形的性质,“r”同为正值. 所不同的是,锐角三角函数是以边的比来定义的,任意角的三 角函数是以坐标与距离、坐标与坐标、距离与坐标的比来定义的,它也适合锐角三角函数的 定义.实质上,由锐角三角函数的定义到任意角的三角函数的定义是由特殊到一般的认识和 研究过程. (5)为了便于记忆,我们可以利用两种三角函数定义的一致性,将直角三角形置于平面直角 坐标系的第一象限,使一锐角顶点与原点重合,一直角边与 x 轴的非负半轴重合,利用我 们熟悉的锐角三角函数类比记忆.? 3.例题分析 例 1.求下列各角的四个三角函数值:
2

(通过本例总结特殊角的三角函数

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值) (1) 0 ; (2) ? ;

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(3)
3? 2



解:(1)因为当 ? ? 0 时, x ? r , y ? 0 ,所以 sin 0 ? 0 , cos 0 ? 1 , tan 0 ? 0 , (2)因为当 ? ? ? 时, x ? ? r , y ? 0 ,所以
sin ? ? 0 , co s ? ? ? 1 , tan ? ? 0 ,

co t 0 不存在。

c o t ? 不存在,

(3)因为当 ? ?
s in 3? 2 ? ?1 ,

3? 2

时, x ? 0 , y ? ? r ,所以
cos 3? 2 ? 0, ta n 3? 2
1 3 ,于是

不存在,

cot

3? 2

? 0,

例 2.已知角α 的终边经过点 P ( 2 , ? 3) ,求α 的四个函数值。 解:因为 x ? 2, y ? ? 3 ,所以 r ?
s in ? ?
ta n ? ?
2 ? ( ? 3)
2 2

?

y r
y x

?

?3 13

? ?

3 13 13



cos ? ?

x r

?

2 13

?

2 13 13



? ?

3 2



cot ? ?

x y

? ?

2 3



例 3.已知角α 的终边过点 ( a , 2 a )( a ? 0 ) ,求α 的四个三角函数值。 解:因为过点 ( a , 2 a )( a ? 0 ) ,所以 r ? 当
a ? 0时 ,in ? ? s y r
ta n ? ? 2; c o t ? ? 1; ; sec ? ? 2

5 |a |,
2a 5a
5 2

x ? a, y ? 2a
cos ? ? x r ? a 5a ? 5a 5

?

2a 5 |a|

?

?

2 5 5



5 ; csc ? ?

当 a ? 0时 ,in ? ? s
cos ? ? x r ?

y r

?

2a 5 |a|

?

2a ? 5a

? ?

2 5 5


1 2 5 2

a ? 5a

? ?

5a 5



ta n ? ? 2; c o t ? ?

; .c ? ? ? 5 ; c s c ? ? ? se

4.三角函数的符号 由三角函数的定义,以及各象限内点的坐标的符号,我们可以得知: ①正弦值 ②余弦值 ③正切值
y r x r y x

对于第一、 二象限为正 y ? 0 , r ? 0 ) 对于第三、 ( , 四象限为负 y ? 0 , r ? 0 ) ( ; 对于第一、 四象限为正 x ? 0, r ? 0 ) 对于第二、 ( , 三象限为负 x ? 0, r ? 0 ) ( ; 对于第一、三象限为正( x , y 同号),对于第二、四象限为负( x , y 异号).

说明:若终边落在轴线上,则可用定义求出三角函数值。 练习: 确定下列三角函数值的符号:
3

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(1) c o s 2 5 0 ? ; (2) s in ( ?
?
4

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);

(3) ta n ( ? 6 7 2 ? ) ;

(4) ta n

1 1? 3



例 4.求证:若 sin ? ? 0 且 tan ? ? 0 ,则角 ? 是第三象限角,反之也成立。 5.诱导公式 由三角函数的定义,就可知道:终边相同的角三角函数值相同。即有: sin (? ? 2 k ? ) ? sin ? ,
co s(? ? 2 k ? ) ? co s ? ,其中 k ? Z . tan (? ? 2 k ? ) ? tan ? ,

这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为 0~2π 间角的三角函数值问题. 例 5.求下列三角函数的值:(1) c o s
cos x cos x tan x tan x
9? 4

, (2) ta n ( ?

1 1? 6

),

例 6.求函数 y ?

?

的值域 又∵tanx?0 ∴x 的终边不在 y 轴上 cosx=|cosx| tanx=|tanx| ∴y=2

解: 定义域:cosx?0 ∴x 的终边不在 x 轴上 ∴当 x 是第Ⅰ象限角时, x ? 0 , y ? 0 ????Ⅱ????, x ? 0 , y ? 0 ????ⅢⅣ???, 四、小 导公式。 五、巩固与练习 1、教材 P15 面练习;
x ? 0, y ? 0 x ? 0, y ? 0

|cosx|=?cosx |tanx|=?tanx ∴y=?2 |cosx|=?cosx |tanx|=tanx ∴y=0

结:本节课学习了以下内容:

1.任意角的三角函数的定义;2.三角函数的定义域、值域;3.三角函数的符号及诱

2、作业 P20 面习题 1.2A 组第 1、2、3(1) (3)题及 P21 面第 9 题的(1)(3) (2) 、 题。

4


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