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遵义县第一中学2012-2013-1高三数学综合测试参考答案.(五)


即事件“ 19、

m ? n ? 1

”的概率为
7

.

???12 分

湖北省部分重点中学 2012—2013 学年度高三起点考试

遵义县第一中学 2012-2013-1 高三数学综合测试(五). 理科数学参考答案
一、选择题:ABCDB DACAB 二、填空题:11、 ? 540 12、 6 ? ?

参考答案
13、①④⑤ 14、① 17
n

② ( n ? 1) 2 ? 1 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
? DE=CE=AB=1,AE=2, (6 分)连 PE,BE 15、 3 法一:以3A 为原点16、 3 2为 OX 轴,AB 为 OY 轴,AP 为 OZ 轴建立空间直角坐标系 O,AD ? 1

A(0,0,0) ,B(0,1,0)E(2,0,0)
三、解答题:17、解: (Ⅰ) f x ) ? ,??????????2 x , 由(I)知 AB 为平面 PAE( 的法向量且 AB ? ( 0 ,1,π0 ) 设平面 PBE 的法向量为 n ? (分 y , z ) π
s in cos x ? cos s in x 4
( c o s x ? s in x ) ( s in x ? c o s x )

c o s x ? s in x
2 2

4

由 n ? BE , n ? PB , BE ? ( 2 , ? 1, 0 ), PB ? ( 0 ,1, ? 1)
π ? 2 ( s in x ? c o s x ) ? 2 s in ( x ? ) ,????????4 分 k ? 4 2 x ? ( c o s x ? s in x ) ? 2 2 ? ?y ? z ? 0 得? 解之,得 ? y ? k ( k ? 0 ) 取 n ? (1, 2 , 2 ) ??????8 分 π π ? 2 x π? y ? 0 由题意 s in ( ? x ) ? 0 ,∴ ?? x ? k π ( k ? Z) ,其定义域为 { x | x ? k π ? , k ? Z } .????6 分 z ? k 4 4 ? 4 ?π 3π 函数 f ( x ) 在 ( 2 k π ? , 2 k π ? ) k ? Z 上单调递增; 4 4 AB ? n 2 5 设所求二面角的平面角为 ? ,则 cos ? ? ?????12 分 ? , ? tan ? ? π 5 在 ( 2 k π ? , 2 k π ? π ) k ? Z 上单调递减. ????????????????8 分 3 2 AB ? n 4 4 ?

b ? abCosC BH,由(I)知 BA (Ⅱ)∵ c ? AH ? ? PE 2于 H,连 ,由已知可得:CosC=? PE ,? PE ? 平面 AHB ,∴A= 法二:作 a
2 2 2

1

?

2

3

∴ f (C ) ?

2 ? 6 ? PE ? BE ,? ? AHB 为所求二面角的平面角 ??????10 分 2 (sin A ? cos A ) ? ???????12 分 2

? 内的人数为: 2 ,? 16 ? AHB . 38 ? ? 5 ???12 分 18、解:? PAE 中, (Ⅰ)由直方图知,成绩在 ?14 , 16 由,得 AH ? 50 ? 0 .tan ? 50 ? 0 ? AB 27 (人) 在 rt AH ? PE ? AE ? PA
所以该班成绩良好的人数为 27 人. ┉┉3 分 2 1 人, 2 (Ⅱ)由直方图知,成绩在 ?13 ,14 ? x,] f ? ( 50) ? 0 . 06 ? 3-2ax+1=-2ax -x+1.2 分 20、解: (Ⅰ) f ( x ) =-ln x-ax +的人数为 x =- 设为 x 、 y 、 z ;成绩在 ?17 ,18 ? 的人数为 50 ? 0 . 08 若 m , n ? ?13 ,14 ) 时,有 xy , xz , yz 3 种情况; 若 m , n ? ?17 ,18 ? 时,有 AB , AC
, AD , BC , BD , CD

5

AH

2

x

x

? 4 人,设为

A 、 B 、C 、 D .
频率 组距 0.38 0.32

6 种情况;

若 m , n 分别在 ?13 ,14 ? 和 ?17 ,18 ? 内时, A x y z xA yA zA B xB yB zB C xC yC zC D xD yD zD
0.08 0.06 O 0.16

13

14

15

16

17

18



19题 图

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令 Δ =1-8a,当 a≥ 当 0<a<

1 时,Δ ≤0, f ? ( x ) ≤0, f ( x ) 在(0,+∞)单调递减.?4 分 8

1 2 时,Δ >0,方程 2ax -x+1=0 有两个不相等的正根 x1,x2, 8 不妨设 x1<x2,则当 x∈(0,x1)∪(x2,+∞)时, f ? ( x ) <0,当 x∈(x1,x2)时, f ? ( x ) >0, 1 这时 f ( x ) 不是单调函数.综上,a 的取值范围是[ ,+∞). ???????6 分 8 1 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,当且仅当 a∈(0, )时, f ( x ) 有极小值点 x1 和极大值点 x2, 8 1 1 1 2 2 且 x1+x2= ,x1x2= . f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) =-ln x1-ax1+x1-ln x2-ax2+x2=-(ln x1+ln x2)- (x1 2a 2a 2 1 1 1 -1)- (x2-1)+(x1+x2)=-ln(x1x2)+ (x1+x2)+1=ln(2a)+ +1.?9 分 2 2 4a 1 1 1 1 1 4a-1 令 g (a)=ln(2a)+ +1,a∈(0, ],则当 a∈(0, )时,g ?(a)= - 2= 2 <0,g (a)在(0, 4a 8 8 a 4a 4a 1 1 )单调递减,所以 g (a)>g ( )=3-2ln 2,即 f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ? 3 ? 2 ln 2 . . ?????12 分 8 8 21、 (Ⅰ)? e ?
1 2 ,? c ? 1 2 a,b ? 3 2 a
? F (?

1 2

a, 0) , 取

A (0,

3 2

a)

3 ? k AF ? 2

a ?0 1 2 ? a) 3
? k AB ? ?

3 3

? l AB : y ? ?

3 3

x?

3 2

a

0 ? (?

令y ? 0

? x ?

3 2

a

? B(

3 2

a, 0)

?

圆心 (

1 2

a, 0)

半径 r ? a

? 圆心到直线 x ?

3 y ? 3 ? 0 的距离 d

1 d ? 2

a ?3 ? a 2
2 2

?a ? 2

?b ?

3

? 椭圆方程为

x

?

y

?1

??????6 分

4

3

? ny ? x ? 1 ? 2 2 2 (Ⅱ)设直线 MN:ny=x+1,联立 ? x 2 , ( 3 n ? 4 ) y ? 6 ny ? 9 ? 0 , y ? ?1 ? 3 ? 4

设 M ( x 1 , y 1 ) ,N ( x 2 , y 2 ) ,T ( x 0 , y 0 ) , y 1 ? y 2 ?
? y 0 ? ? y1 ? y 2 ? ? ? ? ? ? ? O M ? O N ? O T ? 0 , ? x 0 ? ? x1 ? x 2

6n 3n
2

? 4

, y1 y 2 ? ?

9 3n
2

? 4

? 4 (3 n

64
2

? 4)

2

?

36 n 3(3 n
2

2 2

? 4)

? 1 ,解得,n=0.

即 MN 的斜率不存在时,T(2,0) 。当 MN 的斜率为 0 时,T 不存在。??????13 分 22、证明: (Ⅰ)①当 n=2 时, a 2 ? 2 ,不等式成立。 ②假设当 n=k(k ? 2)时不等式成立,即 a k ? 2 , 那么 a k ? 1 ? (1 ?
1 k
2

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? k

)a k ?

1 2
k

? a k ? 2 。即当 n=k+1 时不等式成立。

19.解:⑴设乙答题所得分数为 X,则 X 的可能取值为-15,0,15,30;
P ( X ? ?15) ? C5 C 10 P ( X ? 15) ? C 5C 5 C 10
3 1 2 3 3

?

1 12

, P ( X ? 0) ?

C 5C 5 C 10
3 3

2

1

?

5 12

, .

?

5 12

, P ( X ? 30) ?

C5 C 10
3

?

1 12

乙得分的分布列如下: X -15 P
EX ? 1 12 3 ? (?15) ? 5 12 2 3

0
5 12
5 12 81 125 ? 15 ? 1 12 ? 30 ?

15
5 12
15 2 5 12 1 12 44 125 1 2 ?

30
1 12

1 12
?0?



⑵由已知甲、乙至少答对 2 题才能入选,记甲入选为事件 A,乙入选为事件 B. 则 P ( A) ? C 3 ( ) ( ) ? ( ) ?
2 2 3

, P(B) ?

?

?


1 2 103 125 .

5

5

5

P ? 1? P(A ?B) ? 1?

?

故甲乙两人至少有一人入选的概率 21.解:⑴∵AD // BC,BC=
1 2

AD,Q 为 AD 的中点,∴四边形 BCDQ 为平行四边形,∴CD // BQ.

∵∠ADC=90°,∴∠AQB=90° 即 QB⊥AD.又∵平面 PAD⊥平面 ABCD 且平面 PAD∩平面 ABCD=AD, ∴BQ⊥平面 PAD.∵BQ ? 平面 PQB,∴平面 PQB⊥平面 PAD. 另证:AD // BC,BC=
1 2

AD,Q 为 AD 的中点, ∴ 四边形 BCDQ 为平行四边形,∴ z P

CD // BQ .

∵ ∠ADC=90° ∴∠AQB=90°. ∵ PA=PD, ∴PQ⊥AD. ∵ PQ∩BQ=Q,∴AD⊥平面 PBQ. ∵ AD ? 平面 PAD,∴平面 PQB⊥平面 PAD. ⑵∵PA=PD,Q 为 AD 的中点, ∴PQ⊥AD. ∵平面 PAD⊥平面 ABCD,且平面 PAD∩平面 ABCD=AD, ∴PQ⊥平面 ABCD. 如图,以 Q 为原点建立空间直角坐标系.则平面 BQC
? 的法向量为 n ? ( 0 , 0 , 1)

M D Q C N B y



Q ( 0 , 0 , 0 ) , P ( 0 , 0 , 3 ) , B ( 0 , 3 , 0 ) , C ( ? 1, 3 , 0 ) . ???? ? ???? ? 设 M ( x , y , z ) ,则 P M ? ( x , y , z ? 3 ) , M C ? ( ? 1 ? x , 3 ? y , ? z ) , ???? ? ???? ? ∵ PM ? tM C ,

A x

? x ? t(?1 ? x) ? ∴ ? y ? t( 3 ? y) , ? ? z ? 3 ? t ( ? z)

t ? x ? ? ? 1? t ? 3t ? ∴ ?y ? 1? t ? ? 3 ?z ? 1? t ?

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在平面 MBQ 中, Q B ? ( 0 , 3 , 0 ) , Q M ? ( ? ∴ 平面 MBQ 法向量为 m ? ( 3 , 0 , t ) .
?

??? ?

???? ?

t

??

1? t 1? t 1? t

,

3t

,

3

),

? n ∵二面角 M-BQ-C 为 30°, c o s 3 0 ? ? n

?? ?m ?? ? m

t 3? 0?t
2

?

3 2

,∴ t ? 3 .

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