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广东省深圳三中2014-2015学年高一上学期期中数学试卷 Word版含解析


2014-2015 学年广东省深圳三中高一(上)期中数学试卷
一、填空题(6 小题,每题 5 分,共 30 分) 1. (5 分)函数 y= 的定义域是.

2. (5 分)如图所示,U 是全集,A、B 是 U 的子集,则阴影部分所表示的集合是

3. (5 分)若幂函数的图象经过点(
x

,3)

,则该函数的解析式为.

4. (5 分)函数 f(x)=e +x﹣2 的零点所在的一个区间是.

5. (5 分)设函数 f(x)=

,则满足 f(x)= 的 x 值为.

6. (5 分)设 a=log

3,b=( ) ,c=3

3

,则 a,b,c 从小到大的顺序是.

二、解答题(10 道题,共 120 分,解答题应写出必要的解题步骤) 2 7. (10 分)设集合 P={x|x ﹣x﹣6<0},Q={x|x﹣a≥0} (1)若 P?Q,求实数 a 的取值范围; (2)若 P∩Q=?,求实数 a 的取值范围; (3)若 P∩Q={x|0≤x<3},求实数 a 的值. 8. (10 分)已知 a>0 且 a≠1,求满足 loga <1 的 a 的取值范围.

9. (10 分)求实数 a 的值计算:0.064

﹣(﹣ ) +16

0

+0.25



10. (12 分)计算:lg5(lg8+lg1000)+(lg2

) +lg +lg0.06.

2

11. (12 分)设 f(x)是定义在 R 上奇函数,且当 x>0 时,f(x)=2 ﹣3,求函数 f(x)的 解析式. 12. (12 分)设函数 f(x)=|x ﹣4x﹣5|,g(x)=k (1)画出函数 f(x)的图象. (2)若函数 f(x)与 g(x)有 3 个交点,求 k 的值. 13. (12 分)已知 f(x)是定义在(﹣2,2)的奇函数,在(﹣2,2)上单调递增,且 f(2+a) +f(1﹣2a)>0,求实数 a 的取值范围. 14. (14 分)设 f(x)为二次函数,且 f(1)=1,f(x+1)﹣f(x)=﹣4x+1. (1)求 f(x)的解析式; (2)设 g(x)=f(x)﹣x﹣a,若函数 g(x)在实数 R 上没有零点,求 a 的取值范围. 15. (14 分)某种商品在最近 40 天内没见的销售价格 P 元与时间 t 天的函数关系式是: 该商品的销售量 Q 件与 t 天的函数关系式是:Q= ﹣t+40, (0<t≤40,t∈N )求最近 40 天内这种商品的销售金额的最大值,并指出取得该最大 值是第几天?
+ 2

x

16. (14 分)已知定义域为 R 的函数 f(x)=

是奇函数.

(Ⅰ)求 b 的值; (Ⅱ)判断函数 f(x)的单调性; 2 2 (Ⅲ)若对任意的 t∈R,不等式 f(t ﹣2t)+f(2t ﹣k)<0 恒成立,求 k 的取值范围.

2014-2015 学年广东省深圳三中高一(上)期中数学试卷
参考答案与试题解析

一、填空题(6 小题,每题 5 分,共 30 分) 1. (5 分)函数 y= 的定义域是[1,+∞) .

考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数成立的条件即可求函数的定义域. 解答: 解:要使函数有意义,则 x﹣1≥0,解得 x≥1, 故函数的定义域为[1,+∞) , 故答案为:[1,+∞) ;

点评: 本题主要考查函数的定义域求解,要求熟练掌握常见函数成立的条件,比较基础. 2. (5 分)如图所示,U 是全集,A、B 是 U 的子集,则阴影部分所表示的集合是 B∩(CUA) 或 CA∪BA 或 CB(A∩B)等

考点: Venn 图表达集合的关系及运算. 专题: 计算题. 分析: 阴影部分所表示的为在集合 B 中但不在集合 A 中的元素构成的部分,即在 B 中且在 A 的补集中. 解答: 解:阴影部分所表示的为在集合 B 中但不在集合 A 中的元素构成的,不在集合 A 中 即在 A 的补集中, 故阴影部分所表示的集合可表示为 B∩(CUA) , 但此题答案不唯一,也可表示为 CA∪BA 或 CB(A∩B)等 故答案为:B∩(CUA)或 CA∪BA 或 CB(A∩B)等 点评: 本题考查集合的表示、集合的运算,属基本知识的考查,难度不大.
3

3. (5 分)若幂函数的图象经过点(

,3) ,则该函数的解析式为 f(x)=x .

考点: 幂函数的概念、解析式、定义域、值域. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 设幂函数的解析式为 f(x)=x ,把点( 解答: 解:设幂函数的解析式为 f(x)=x , 因为图象经过点(
3 α α

,3)代入求出 α 的值即可.

,3) ,所以 3=

,解得 α=3,

所以 f(x)=x , 3 故答案为:f(x)=x . 点评: 本题考查幂函数的解析式的求法:待定系数法,属于基础题. 4. (5 分)函数 f(x)=e +x﹣2 的零点所在的一个区间是(0,1) . 考点: 函数零点的判定定理. 专题: 计算题;函数的性质及应用. x 分析: 易知函数 f(x)=e +x﹣2 是增函数且连续,从而判断. x 解答: 解:易知函数 f(x)=e +x﹣2 是增函数且连续, 且 f(0)=1+0﹣2<0, f(1)=2+1﹣2>0; 故答案为: (0,1) . 点评: 本题考查了函数的单调性及函数的零点的应用,属于基础题.
x

5. (5 分)设函数 f(x)=

,则满足 f(x)= 的 x 值为



考点: 对数的运算性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用分段函数的性质求解. 解答: 解:∵函数 f(x)= ,满足 f(x)= ,

∴当 x≤1 时,

,解得 x=2,不成立; .

当 x>1 时,log41x= ,解得 x= 故答案为: .

点评: 本题考查方程的解法,是基础题,解题时要认真审题,注意分段函数的性质的合理 运用.

6. (5 分)设 a=log

3,b=( ) ,c=3

3

,则 a,b,c 从小到大的顺序是 a<b<c.

考点: 专题: 分析: 解答:

对数值大小的比较. 函数的性质及应用. 根据指数函数与对数函数的图象与性质,利用特殊值 0、1,即可比较它们的大小. 解:∵a=log 3< 1=0,
3

b=( ) >0,且 b= c=3 >3 =1,
0



=1,

∴a<b<c; 即 a、b、c 从小到大的顺序是 a<b<c. 故答案为:a<b<c. 点评: 本题考查了指数函数与对数函数的图象与性质的应用问题,是基础题目. 二、解答题(10 道题,共 120 分,解答题应写出必要的解题步骤) 2 7. (10 分)设集合 P={x|x ﹣x﹣6<0},Q={x|x﹣a≥0} (1)若 P?Q,求实数 a 的取值范围; (2)若 P∩Q=?,求实数 a 的取值范围; (3)若 P∩Q={x|0≤x<3},求实数 a 的值.

考点: 集合的包含关系判断及应用. 专题: 集合. 分析: (1)先将集合 P 化简,然后,根据 P?Q 确定实数 a 的取值范围; (2)根据 P∩Q=?,结合数轴进行分析,确定字母 a 的取值情况; (3)因为 P∩Q={x|0≤x<3},所以 得到 a=0,得到实数 a 的值. 解答: 解: (1)由集合 P 得: P={x|﹣2<x<3}, Q={x|x≥a}, ∵P?Q,∴a≤﹣2, 实数 a 的取值范围(﹣∞,﹣2]; (2)∵P∩Q=?, ∴a≥3, ∴实数 a 的取值范围[3,+∞) ; (3)∵P∩Q={x|0≤x<3}, ∴a=0, ∴实数 a 的值为 0. 点评: 本题重点考查集合与集合之间的关系,属于中档题,解决此类问题时,需要分清集 合的元素,和集合之间的关系.

8. (10 分)已知 a>0 且 a≠1,求满足 loga <1 的 a 的取值范围.

考点: 指、对数不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 把 1 化为 logaa,然后对 a 分类求解 a 的范围. 解答: 解:∵ 当 0<a<1 时, 当 a>1 时, ,∴ ,∴a>1. . ,∴ ; .

综上 a 的取值范围是

点评: 本题考查了对数不等式的解法,考查了对数函数的性质,体现了分类讨论的数学思 想方法,是基础题.

9. (10 分)求实数 a 的值计算:0.064

﹣(﹣ ) +16

0

+0.25



考点: 有理数指数幂的化简求值. 专题: 计算题. 分析: 将底数写成幂的形式,然后利用幂的乘方运算进行计算.

解答: 解: (1) =(0.4) ﹣1+2 +0.5…(6 分) =2.5﹣1+8+0.5…(8 分) =10…(10 分) 点评: 本题考查了分数指数幂的运算,经过观察,底数可以写成幂的形式,再利用幂的乘 方运算.
2
﹣1

3

10. (12 分)计算:lg5(lg8+lg1000)+(lg2

) +lg +lg0.06.

考点: 对数的运算性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用对数的运算法则、lg2+lg5=1 即可得出. 解答: 解:原式=3lg5lg2+3lg5+3lg 2+ =3lg2(lg5+lg2)+3lg5+lg0.01 =3lg2+3lg5﹣2 =3﹣2 =1. 点评: 本题考查了对数的运算法则、lg2+lg5=1,属于基础题. 11. (12 分)设 f(x)是定义在 R 上奇函数,且当 x>0 时,f(x)=2 ﹣3,求函数 f(x)的 解析式. 考点: 专题: 分析: 解答: 函数解析式的求解及常用方法. 计算题;函数的性质及应用. 由函数的奇偶性在对称区间上求解析式,再对称即可. 解:当 x<0 时,﹣x>0,
﹣x

2

x

f(﹣x)=2 ﹣3, 又∵f(x)是定义在 R 上奇函数, ∴f(﹣x)=﹣f(x) , ∴﹣f(x)=2 ﹣3, ∴f(x)=﹣2 +3=
﹣x ﹣x







点评: 本题考查了函数解析式的求法,属于基础题. 12. (12 分)设函数 f(x)=|x ﹣4x﹣5|,g(x)=k (1)画出函数 f(x)的图象.
2

(2)若函数 f(x)与 g(x)有 3 个交点,求 k 的值. 考点: 函数图象的作法;函数的零点与方程根的关系. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)由于函数 f(x)的解析式画出函数 f(x)的图象如如所示: 2 (2)∵函数 f(x)与 g(x)有 3 个交点,可得 g(x)的图象经过 y=﹣(x ﹣4x﹣5)的最高 点(2,9) ,从而求得 k 的值. 解答: 解: (1)根据函数 f(x)=|x ﹣4x﹣5|=|(x﹣5) (x+1)|, 画出函数 f(x)的图象如如所示: (2)∵函数 f(x)与 g(x)有 3 个交点, 2 ∴由(1)的图可知此时 g(x)的图象经过 y=﹣(x ﹣4x﹣5)的最高点(2,9) , 可得 k=f(2)= =9.
2

点评: 本题主要考查函数的图象的作法,两个函数的图象的交点个数判断,体现了转化、 数形结合的数学思想,属于基础题. 13. (12 分)已知 f(x)是定义在(﹣2,2)的奇函数,在(﹣2,2)上单调递增,且 f(2+a) +f(1﹣2a)>0,求实数 a 的取值范围. 考点: 奇偶性与单调性的综合. 专题: 计算题;函数的性质及应用;不等式的解法及应用.

分析: 运用奇函数和增函数的定义,f(2+a)+f(1﹣2a)>0 即为

,分

别解出,再求交集即可. 解答: 解:∵f(2+a)+f(1﹣2a)>0, ∴f(2+a)>﹣f(1﹣2a)

由于 f(x)为奇函数, ∴f(2+a)>f(2a﹣1) 由于 f(x)在(﹣2,2)上单调递增



,即有



∴ ∴ .

点评: 本题考查函数的奇偶性和单调性的运用:解不等式,注意定义域的运用,考查运算 能力,属于中档题和易错题. 14. (14 分)设 f(x)为二次函数,且 f(1)=1,f(x+1)﹣f(x)=﹣4x+1. (1)求 f(x)的解析式; (2)设 g(x)=f(x)﹣x﹣a,若函数 g(x)在实数 R 上没有零点,求 a 的取值范围. 考点: 抽象函数及其应用;函数的零点. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)用待定系数法,设出 f(x)的解析式,f(x+1)﹣f(x)=﹣4x+1 中,求出系 数即可. 2 (2)可求得 g(x)=﹣2x +2x﹣a,g(x)在实数 R 上没有零点,?△ =4﹣8a<0,从而可求 得 a 的取值范围 解答: 解: (1)设 f(x)=ax +bx+c(a≠0) 则 f(x+1)﹣f(x)=2ax+a+b 所以 2ax+a+b=1﹣4x 对一切 x∈R 成立.故 所以 ,
2

又因为 f(1)=1,所以 a+b+c=1,所以 c=0. 2 故 f(x)=﹣2x +3x 2 (2)g(x)=f(x)﹣x﹣a=﹣2x +2x﹣a, 函数 g(x)在实数 R 上没有零点,则函数图象与 x 轴没有交点 故△ =4﹣8a<0, 解之得 点评: 本题考查求解函数解析式及一元二次方程的根的分布与系数的关系,着重考查待定 系数法,考查二次函数零点,属于中档题. 15. (14 分)某种商品在最近 40 天内没见的销售价格 P 元与时间 t 天的函数关系式是: 该商品的销售量 Q 件与 t 天的函数关系式是:Q=

﹣t+40, (0<t≤40,t∈N )求最近 40 天内这种商品的销售金额的最大值,并指出取得该最大 值是第几天? 考点: 函数模型的选择与应用;函数最值的应用. 专题: 应用题. 分析: 应充分考虑自变量的范围不同销售的价格表达形式不同,分情况讨论日销售金额 y 关于时间 t 的函数关系,再根据分段函数不同段上的表达式,分别求最大值,最终取较大者分 析即可获得问题解答. 2 2 解答: 解:当 0<t<30,t∈N+时,y=(t+30) (﹣t+40)=﹣t +10t+1200=﹣(t﹣5) +1225. ∴t=5 时,ymax=1225 2 2 当 30≤t≤40,t∈N+时,y=(﹣t+120) (﹣t+40)=t ﹣160t+4800=(t﹣80) ﹣1600, 2 而 y=(t﹣80) ﹣1600,在 t∈[30,40]时,函数递减. ∴t=30 时,ymax=900 ∵1225<900 ∴最近 40 天内,第 5 天达到最大值,最大值为 1225 元. 点评: 本题考查的是分段函数应用类问题.在解答的过程当中充分体现了分类讨论的思想、 二次函数求最值的方法以及问题转化的能力.

+

16. (14 分)已知定义域为 R 的函数 f(x)=

是奇函数.

(Ⅰ)求 b 的值; (Ⅱ)判断函数 f(x)的单调性; 2 2 (Ⅲ)若对任意的 t∈R,不等式 f(t ﹣2t)+f(2t ﹣k)<0 恒成立,求 k 的取值范围. 考点: 函数恒成立问题;函数单调性的判断与证明. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)利用奇函数的性质 f(0)=0 求 b 的值. (2)利用定义证明,即取值、作差、变形判断符号、下结论. (3)结合(1) , (2)的性质进行化简,最终解一个关于 t 的不等式. 解答: 解: (Ⅰ)因为 f(x)是奇函数,所以 f(0)=0, 即 ,所以 b=1,所以 .

(Ⅱ)由(Ⅰ)知



设 x1<x2,则
x



因为函数 y=2 在 R 上是增函数,且 x1<x2,所以 又



,所以 f(x1)﹣f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2) ,

所以函数 f(x)在 R 上为减函数. (3)因为 f(x)为奇函数,所以不等式 f(t ﹣2t)+f(2t ﹣k)<0 可化为 2 2 2 f(t ﹣2t)<﹣f(2t ﹣k)=f(k﹣2t ) , 2 2 因为 f(x)为减函数,由上式得:t ﹣2t>k﹣2t ,即对一切 t∈R,有: 2 3t ﹣2t﹣k>0. 从而△ =4+12k<0,解得 k .
2 2

点评: 本题综合考查了函数的单调性、奇偶性的定义,以及不等式的恒成立问题的处理方 法,一般要转化为函数的最值求解.


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