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线面垂直的判定定理


教案

课题:直线与平面垂直的判定(一)
【教学目标】

知识与技能目标:通过本节课的学习,使学生理解直线与平面垂直的定义和判定定 理,并能对它们进行简单的应用; 过程与方法目标:通过对定义的总结和对判定定理的探究,不断提高学生的抽象概 括和逻辑思维能力;
【教学重点】直线与平面垂直的定义、判定定理以及它们的初步应用. 【教学难点】对直线与平面垂直的定义的理解和对判定定理的探究.

【教学过程】 一、直线与平面垂直定义的构建 1、 联系生活、 创设情境 复习了直线与平面的三种位置关系后, 思考其中旗杆与地面、 竖直的墙角线与地面、大桥的桥柱与水面之间的位置关系、大漠孤烟直属于这三种情况 中的那一种,它们还给我们留下了什么印象?从而提出问题:什么是直线与平面垂直? 引导学生观察旗杆和它在地面上影子的位置关系,使其发现:旗杆所在直线 l 与地面 所在平面 ? 内经过点 B 的直线都是垂直的.进而提出问题:那么直线 l 与平面 ? 内不经过 点 B 的直线垂直吗? 3、总结定义——形成概念 由学生总结出直线与平面垂直的定义,即如果直线 l 与平面

? 内的任意一条直线都垂直,我们就说直线 l 与平面 ? 互相垂直.引导学生用符号语言将
它表示出来.然后提出问题:如果将定义中的“任意一条直线”改成“无数条直线” ,结 论还成立吗? 设计意图: 在具体的情境中, 通过思考和操作, 体会和感知直线与平面垂直的定义, 进而提炼出线面垂直的定义。 二、直线与平面垂直判定定理的构建 1、类比猜想——提出问题 根据线面平行的判定定理进行类比,通过不断的猜想和分

析,最终提出问题:如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,那么该直线与 此平面垂直吗? 设计意图:不少老师都在本环节中进行了一些有益的尝试,但考虑到学生的认知水 平,我仍然决定采用类比猜想的方法,从学生已有的知识出发,进行分析. 2、动手试验——验证猜想 问题一、给你一本书,通过适当的摆放,你能得到与桌面垂直的直线吗
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教案

设计意图:归纳线面垂直的必要条件 问题二:过△ABC 的顶点 A 翻折纸片,得到折痕 AD,再将翻折后的纸片竖起放置在桌 面上(BD、DC 与桌面接触) . 同学们看,此时的折痕 AD 与桌面垂直吗? 又问:为什么说此时的折痕 AD 与桌面不垂直? A A D C

?
B D C

B
?

设计意图: 归纳只要直线与平面内有一条直线不垂直, 那么直线 l 就与平面 ? 不垂直. 问题三:通过试验,你能得到什么结论?在回答此问题时大部分学生都会直接给出 结论:如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直.此 时注意引导学生观察,直线 AD 还经过 BD、CD 的交点.请他们思考在增加了这个条件 后,试验的结论更准确的说应该是什么? A

l
B D C

m

?

?

A

n

又问:如果直线 l 与平面 ? 内的两条相交直线 m 、 n 都垂直,但不经过它们的交点, 那么直线 l 还与平面 ? 垂直吗? 设计意图:提高学生抽象概括的能力,同时也培养他们严谨细致的作风. 3、提炼定理——形成概念 给出线面垂直的判定定理,请学生用符号语言把这个定理

表示出来,并由此向学生指明,判定定理的实质就是通过 线线垂直来证明线面垂直,它体现了降维这种重要的数学 思想. 判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都 垂直,则该直线与此平面垂直.
2

l
m

?

A

n

教案

符号语言:

l?m

, l ? n , m ?? , n ?? , m ? n ? A
a

?l ??


b

三、初步应用——深化认识 1、例题剖析:

例 1 已知: a // b , a ? ? .求证: b ? ? .
设计意图:不仅让学生学会使用判定定理,而且要让 他们掌握分析此类问题的方法和步骤.

?

m

n

本题也可以使用直线与平面垂直的定义来证明,这可以让学生在课下完成. 另外,例 1 向我们透露了一个非常重要的信息,这里可以请学生用文字语言将例 1 表示出来——如果两条平行线中的一条直线与一个平面垂直,那么另外一条直线也与此 平面垂直.

例 2、在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中
(1) 求证:BC1 ? 面 A1B1CD (2) 求证:A C1 ? 面 A1BD 练习 1 求证在正三棱锥中,对棱互相垂直。

设计意图:利用等腰,寻找掩藏的线线垂直 练习 2 如图,PA 垂直圆 O 所在平面,AC 是圆 O 的直径,B 是圆周上一点,问三

棱锥 P-ABC 中有几个直角三角形? 设计意图:通过练习 1 和练习 2 培养学生熟练地进行线线垂直和线面垂直之间的转 化,从而使他们能够对定义和判定定理进行灵活应用. 四、总结回顾——提升认识 线面垂直的定义

线 线 垂 直

线面垂直的判定定理

线 面 垂 直

如果两条平行线中的一条直线与一个平面垂 直,那么另外一条直线也与此平面垂直.

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