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【高考聚焦】2014届高三数学(理)一轮复习对点训练 第43讲 数学归纳法 Word版含解析]


第43讲 数学归纳法

1.用数学归纳法证明不等式 2n>n2(其中 n∈N*,n≥n0)时,初始值 n0=( C ) A.1 B.3 C.5 D.6 解析:易知 n=1,2,3,4 时,不等式均不成立,但当 n=5 时成立,因此初值 n0=5. n4+n2 2.(2012· 新课标提分专家高考 2 月预测)用数学归纳法证明 1+2+3+?+n2= ,

2 则当 n=k+1 时左边应在 n=k 的基础上加上( D ) A.k2+1 B.(k+1)2 ?k+1?4+?k+1?2 C. 2 2 D.(k +1)+(k2+2)+(k2+3)+?+(k+1)2 解析:当 n=k 时,左边=1+2+3+?+k2,当 n=k+1 时,左边=1+2+3+?+k2 2 +(k +1)+?十(k+1)2,所以当 n=k+1 时,左边应在 n=k 的基础上加上(k2+1)+(k2+2) +(k2+3)+?+(k+1)2,故选 D. 3.用数学归纳法证明:1+3+5+?+(2n-1)=n2 中,首先当 n=1 时,左边=1,右 边=1,命题成立;假设当 n=k(k≥1,k∈N*)时,命题成立;当 n=k+1 时,1+3+5+? ?k+1??1+2k+1? +(2k+1)= =(k+1)2,命题成立,得到 n∈N*命题成立,则以下说法正确 2 的是( C ) A.验证 n=1 错误 B.假设错误 C.从 n=k 到 n=k+1 推理错误 D.以上都不对 解析:由数学归纳法第二步中没有用到归纳假设,推理错误. 4.(2012· 山东省聊城市五校上期期末联考)某个命题与正整数有关,若当 n=k(k∈N*) 时该命题成立,那么可推得当 n=k+1 时该命题也成立,现已知当 n=4 时该命题不成立, 那么可推得( D ) A.当 n=5 时,该命题不成立 B.当 n=5 时,该命题成立 C.当 n=3 时,该命题成立 D.当 n=3 时,该命题不成立 解析:由题意可知,P(n)对 n=3 不成立(否则 n=4 也成立),同理可推得 P(n)对 n=3, n=2,n=1 也不成立,故选 D. 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 5.观察下列不等式:1> ,1+ + >1,1+ + +?+ > ,1+ + +?+ >2,1+ + 2 2 3 2 3 7 2 2 3 15 2 1 1 5 1 1 1 n * +?+ > ,?,由此猜测第 n 个不等式为 1+ + +?+ n > (n∈N ) . 3 31 2 2 3 2 -1 2 2 3 4 5 解析:3=2 -1,7=2 -1,15=2 -1,31=2 -1, 1 1 1 n 可猜测:1+ + +?+ n > . 2 3 2 -1 2 6.用数学归纳法证明“n3+5n 能被 6 整除”的过程中,当 n=k+1 时,对式子(k+1)3 +5(k+1)应变形为 (k3+5k)+3k(k+1)+6 . 解析:由数学归纳法的两个步骤和配凑法得知. 1 1 1 1 7.(2012· 山东省青州市上期期中)已知 f(n)= + + +?+ 2, 则 f(n)中共有 n2 n n+1 n+2 n 1 1 1 -n+1 项,且当 n=2 时,f(2)= + + . 2 3 4

解析: f(n)的表达式的分母是由 n 开始, 一直到 n2 结束, 因此 f(n)的项数有 n2-n+1 项, 1 1 1 且当 n=2 时,其分母就是由 2 开始,4 结束,即 f(2)= + + . 2 3 4 n+1 8.(改编)在数列{an}中,a1=1,an+1=can+c (2n+1)(n∈N*),其中实数 c≠0.求{an} 的通项公式. 解析:由 a1=1,a2=ca1+c2· 3=3c2+c=(22-1)c2+c, a3=ca2+c3· 5=8c3+c2=(32-1)c3+c2, 4 a4=ca3+c · 7=15c4+c3=(42-1)c4+c3, - 猜测 an=(n2-1)cn+cn 1,n∈N*. 下面用数学归纳法证明:当 n=1 时,等式成立; - 假设当 n=k(k≥1,k∈N*)时,等式成立,即 ak=(k2-1)ck+ck 1, 则当 n=k+1 时, + ak+1=cak+ck 1(2k+1) - + =c[(k2-1)ck+ck 1]+ck 1(2k+1) 2 k+1 k =(k +2k)c +c + =[(k+1)2-1]ck 1+ck. - 综上,an=(n2-1)cn+cn 1 对任何 n∈N*都成立. + 9.(2013· 江苏省苏州市调研)设 f(n)=nn 1,g(n)=(n+1)n,n∈N*. (1)当 n=1,2,3,4 时,比较 f(n)与 g(n)的大小; (2)根据(1)的结果猜测一个一般性结论,并加以证明. 解析:(1)f(1)<g(1),f(2)<g(2),f(3)>g(3),f(4)>g(4). + (2)猜想:当 n≥3,n∈N*时,有 nn 1>(n+1)n, 证明:①当 n=3,猜想成立, ②假设当 n=k(k≥3,k∈N*)时猜想成立, + kk 1 + 即 kk 1>(k+1)k, >1, ?k+1?k k+1 k 因为(k+1)2>k(k+2), > , k+2 k+1 + + ?k+1?k 2 k+1 k ?k+1?2 kk 1 k k 所以 = ( ) · >( ) · k = >1, + ?k+2?k 1 k+2 k+2 k+1 ?k+1?k + 由①②知,对一切 n≥3,n∈N*时,nn 1>(n+1)n 都成立.


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