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【导与练】(新课标)2016届高三数学一轮复习 第2篇 第2节 函数的单调性与最值课时训练 理


【导与练】(新课标)2016 届高三数学一轮复习 第 2 篇 第 2 节 函 数的单调性与最值课时训练 理

【选题明细表】 知识点、方法 函数单调性的判定与证明 求函数的最值或用最值求参数 比较函数值的大小、解函数不等式 利用函数的单调性求参数的取值或范围 一、选择题 1.(2014 高考北京卷)下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( A ) (A)y= (C)y=2
-x

题号 1、3、6、15 4、8、13、14、16 2、5、9 7、10、11、12、15

(B)y=(x-1)

2

(D)y=log0.5(x+1) 是(0,+∞)上的增函数;y=(x-1) 在(0,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增
x 2

解析:显然 y=
-x

函数;y=2 即 y=( ) 在 x∈R 上是减函数;y=log0.5(x+1)在(0,+∞)上是减函数.故选 A. 2.(2014 太原模拟)已知函数 f(x)为 R 上的减函数,则满足 f(|x|)<f(1)的实数 x 的取值范围 是( D ) (B)(0,1) (D)(-∞,-1)∪(1,+∞)

(A)(-1,1) (C)(-1,0)∪(0,1)

解析:因为 f(x)为 R 上的减函数,且 f(|x|)<f(1),所以|x|>1,所以 x<-1 或 x>1. 3.(2014 高考天津卷)函数 f(x)=lo (x -4)的单调递增区间为(
2

D )

(A)(0,+∞) (B)(-∞,0) (C)(2,+∞) (D)(-∞,-2) 解析:函数 y=f(x)的定义域为(-∞,-2)∪(2,+∞),

1

因为函数 y=f(x)是由 y=lo t 与 t=g(x)=x -4 复合而成,又 y=lo t 在(0,+∞)上单调递

2

减,g(x)在(-∞,-2)上单调递减, 所以函数 y=f(x)在(-∞,-2)上单调递增. 4.定义新运算 “*” :当 a≥b 时,a*b=a;当 a<b 时,a*b=b ,则函数 f(x)=(1*x)x-(2*x),x∈[-2,2] 的最大值等于( C ) (A)-1 (B)1 (C)6 (D)12
3 2

解析:由已知得当-2≤x≤1 时,f(x)=x-2;当 1<x≤2 时,f(x)=x -2. ∵f(x)=x-2,f(x)=x -2 在定义域内都为增函数. ∴f(x)的最大值为 f(2)=2 -2=6. 5.(2015 南阳调研)已知奇函数 f(x)对任意的正实数 x1,x2(x1≠x2)恒有 (x1-x2)(f(x1)-f(x2))>0,则一定正确的是( C ) (A)f(4)>f(-6) (B)f(-4)<f(-6)
3 3

(C)f(-4)>f(-6) (D)f(4)<f(-6) 解析:由(x1-x2)(f(x1)-f(x2))>0 知 f(x)在(0,+∞)上递增,所以 f(4)<f(6)?f(-4)>f(-6). 6.已知函数 f(x)=x -2ax+a 在区间(-∞,1)上有最小值,则函数 g(x)= 定( D )
2

在区间(1,+∞)上一

(A)有最小值 (B)有最大值 (C)是减函数 (D)是增函数 解析:由题意知 a<1,∴g(x)= =x+ -2a,

当 a<0 时,g(x)在(1,+∞)上是增函数, 当 a>0 时,g(x)在[ ,+∞)上是增函数,

故在(1,+∞)上为增函数, ∴g(x)在(1,+∞)上一定是增函数. 7.(2014 成都模拟)已知函数 f(x)= ( C ) 若 f(2-a )>f(a),则实数 a 的取值范围是
2

2

(A)(-∞,-1)∪(2,+∞) (C)(-2,1) 解析:f(x)=

(B)(-1,2) (D)(-∞,-2)∪(1,+∞)

由 f(x)的图象可知 f(x)在(-∞,+∞)上是单调增函数,由 f(2-a )>f(a)得 2-a >a,即 a +a-2<0, 解得-2<a<1.
2

2

2

二、填空题 8.函数 f(x)= 在区间[a,b]上的最大值是 1,最小值是 ,则 a+b= .

解析:易知 f(x)在[a,b]上为减函数, ∴ 即

∴ 答案:6

∴a+b=6.

9.(2014 贵阳模拟)f(x)在(0,+∞)上为减函数,则 A=f(a -a+1),B=f( )的大小关系 为 .
2

2

解析:因为 a -a+1=

+ ≥ ,

又 f(x)在(0,+∞)上为减函数, 所以 f(a -a+1)≤f( ),即 A≤B. 答案:A≤B 10.(2014 杭州模拟)若函数 f(x)=|2x+a|的单调递增区间是[3,+∞),则 a= 解析:
3
2

.

作出函数 f(x)=|2x+a|=

的大致图象,根据图象可得函数的单调递增区间为

[- ,+∞),即- =3,a=-6.

答案:-6 11.设函数 f(x)= 在区间(-2,+∞)上是增函数,那么 a 的取值范围是 .

解析:f(x)=

=a-

,

∵函数 f(x)在区间(-2,+∞)上是增函数. ∴ 答案:[1,+∞) 12.(2014 衡水模拟)已知函数 f(x)= 的取值范围为 .
x 2 1

?

? a≥1.

若 f(x)在(0,+∞)上单调递增,则实数 a

解析:因为 f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以 y=a -a(x>1)递增,且 1 + a-2≤a -a, 由 y=a -a 递增,得 a>1①, 由 1 + a-2≤a -a,得 a≤2②,综合①②得 1<a≤2. 答案:(1,2] 13.如果函数 f(x)对任意的实数 x,都有 f(1+x)=f(-x),且当 x≥ 时,f(x)=log2(3x-1),那么 函数 f(x)在[-2,0]上的最大值与最小值之和为 .
2 1 x

解析:根据 f(1+x)=f(-x),可知函数 f(x)的图象关于直线 x= 对称.

4

又函数 f(x)在[ ,+∞)上单调递增,故 f(x)在(-∞, ]上单调递减, 则函数 f(x)在[-2,0]上的最大值与最小值之和为 f(-2)+f(0)=f(1+2)+f(1+0)=f(3)+f(1)=log28+log22=4. 答案:4 14.若函数 g(x)=log3(ax +2x-1)有最大值 1,则实数 a 的值为
2 2

.

解析:令 h(x)=ax +2x-1,由于 y=log3x 在(0,+∞)上是递增函数,所以要使函数 g(x)有最大值 1,应使 h(x)=ax +2x-1 有最大值 3,因此有
2

解得 a=- .

答案:三、解答题 15.(2014 重庆模拟)已知 f(x)= (x≠a).

(1)若 a=-2,试证:f(x)在(-∞,-2)上单调递增. (2)若 a>0 且 f(x)在(1,+∞)上单调递减,求 a 的取值范围. 解:(1)任设 x1<x2<-2, 则 f(x1)-f(x2)= -

=

.

因为(x1+2)(x2+2)>0,x1-x2<0, 所以 f(x1)<f(x2),所以 f(x)在(-∞,-2)上单调递增. (2)任设 1<x1<x2,则 f(x1)-f(x2)= = .

因为 a>0,x2-x1>0, 所以要使 f(x1)-f(x2)>0,只需(x1-a)(x2-a)>0 恒成立,所以 a≤1. 综上所述知 a 的取值范围是(0,1].

5

16.已知函数 f(x)=lg(x+ -2),其中 a 是大于 0 的常数. (1)求函数 f(x)的定义域; (2)当 a∈(1,4)时,求函数 f(x)在[2,+∞)上的最小值; (3)若对任意 x∈[2,+∞)恒有 f(x)>0,试确定 a 的取值范围. 解:(1)由 x+ -2>0,得
2

>0,

a>1 时,x -2x+a>0 恒成立,定义域为(0,+∞), a=1 时,定义域为{x|x>0 且 x≠1},

0<a<1 时,定义域为{x|0<x<1-

或 x>1+

}.

(2)设 g(x)=x+ -2,当 a∈(1,4),x∈[2,+∞)时,

g′(x)=1- =

>0 恒成立,

∴g(x)=x+ -2 在[2,+∞)上是增函数.

∴f(x)=lg(x+ -2)在[2,+∞)上是增函数.

∴f(x)=lg(x+ -2)在[2,+∞)上的最小值为

f(2)=lg . (3)对任意 x∈[2,+∞)恒有 f(x)>0, 即 x+ -2>1 对 x∈[2,+∞)恒成立. ∴a>3x-x , 而 h(x)=3x-x =-(x- ) + 在 x∈[2,+∞)上是减函数, ∴h(x)max=h(2)=2.
6
2 2 2

∴a>2.

7


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