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新课标2012-2013学年高二下学期期末考试 数学(文)试题


2012-2013 学年度下学期期末考试

高二数学(文)试题【新课标】
第 I 卷(选择题 共 50 分) 一、选择题 1 、函数 y ? 1 ? 2x 的定义域为集合 A ,函数 y ? ln ? 2x ? 1? 的定义域为集合 B ,则

A? B ? ( )
A. ? ?

? 1 1? ,

? 2 2? ?

B. ? ?

? 1 1? , ? ? 2 2?

C. ? ??, ?

? ?

1? ? 2?
)

D. ? , ?? ?

?1 ?2

? ?

2、已知向量 a = ?1,2? , b = ? x,4? ,若 b ? 2 a ,则 x 的值为( A. 2 B.4 C. ?2

D. ?4 )

3、已知 i 为虚数单位, 若复数 z1 ? 1 ? i, z2 ? 2 ? i,则 z1 ?z2 ? ( A. 3 ? i 4、已知椭圆 B. 2 ? 2 i C. 1 ? i D. 2 ? 2 i

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1? a ? 0 ? 与双曲线 ? ? 1 有相同的焦点, 9 4 3 a2

则 a 的值为( ) A. 2 B.

10

C. 4

D. 10 )

5.按照程序框图(如右图)执行,第 3 个输出的数是( A.7 B.6 C.5 D.4

6.圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 上的点到直线 x ? y ? 2 的距离最大值 是( A. 2 ) B. 1+ 2 C.

1?

2 2

D. 1+ 2 2

? 2 x ? y ? 5, ? 7、某所学校计划招聘男教师 x 名,女教师 y 名, x 和 y 须满足约束条件 ? x ? y ? 2, ? x ? 6. ?
则该校招聘的教师人数最多是( A.6 B.8 ) C.10 D.12

8、已知 ?ABC 的面积 S ?
0 A. 30 0

a 2 ? b2 ? c2 ,则角 C 的大小为( 4
0 C. 60 0 D. 75



B . 45

9.如图是某电视台综艺节目举办的挑战主持人大赛上,七位评委为某选手打 出的分数的茎叶统计图,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平 均数和方差分别为( )

A. 84,4.8

B. 84,1.6

C. 85,4

D. 85,1.6

10.已知 f ( x)为偶函数 f (2 ? x) ? f (2 ? x),当 ? 2 ? x ? 0时, f ( x) ? 2 x , , 若 n ? N*, an ? f (n), 则 a2011 ? ( A.1 B. ) C.

1 2

1 4

D.

1 8

第 II 卷(非选择题 共 100 分) 二、填空题:(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在答题的相应位置) 11、已知 x 与 y 之间的一组数据: x 0 1 2 3 y 1 3 5 7

? 则 y 与 x 的线性回归方程为 y ? bx ? a 必过点 的坐标为
12.已知向量 a 和 b 的夹角为 60°,| a | = 3,| b | = 4,则(2a – b) ? a 等于________
? 13. 已知 x, y ? R ,且 x ? 4 y ? 1 ,则 x ? y 的最大值为 _____

14. 函数

f ( x) ? x ln x ( x ? 0) 的单调递增区间是____
?
2 , 0) , 使 f (? ) ? 2 ; ) , 使 f ( x ? ? ) ? f ( x ? ? ) 恒成立;

15.对于函数 f ( x) ? 2(sin x ? cos x) , 给出下列四个命题: ① 存在 ? ? ( ?

② 存在 ? ? (0,

?
2

③ 存在 ? ? R , 使函数 f ( x ? ? ) 的图象关于坐标原点成中心对称; ④ 函数 f(x)的图象关于直线 x ? ? ⑤ 函数 f(x)的图象向左平移

3? 对称; 4

? 就能得到 y ? ?2cos x 的图象 4

其中正确命题的序号是 . 三.解答题 16. (本小题满分 12 分) 有两个不透明的箱子, 每个箱子都装有 4 个完全相同的小球,球上分别标有数字 1、 2、3、 4.

(Ⅰ)甲从其中一个箱子中摸出一个球,乙从另一个箱子摸出一个球,谁摸出的球上标 的数字大谁就获胜(若数字相同则为平局) ,求甲获胜的概率; (Ⅱ)摸球方法与(Ⅰ)同,若规定:两人摸到的球上所标数字相同甲获胜,所标数字 不相同则乙获胜,这样规定公平吗?请说明理由。

17. (本小题满分12分) 根据市气象站对春季某一天气温变化的数据统计显示,气温变化的分布可以用曲线

y ? A sin(

?
12

| x ? ? ) ? b 拟合 0 ? x ? 24 , ( 单位为小时,y 表示气温, 单位为摄氏度, ? |? ? ,

A ? 0) ,现已知这天气温为4至12摄氏度,并得知在凌晨1时整气温最低,下午13时整气温最
高。 (1)求这条曲线的函数表达式; (2)求这一天19时整的气温。

18. (本题满分 12 分) 如图是某直三棱柱(侧棱与底面垂直)被削去上底后的 直观图与三视图的侧视图、俯视图,在直观图中, M 是 BD 的中点,侧视图是直角梯形,俯视图是等腰直角三角形,有 关数据如图所示. (Ⅰ)求出该几何体的体积。 (Ⅱ)若 N 是 BC 的中点,求证: AN // 平面 CME ; (Ⅲ)求证:平面 BDE ? 平面 BCD .

D

M

4 2

E

C
A

N
B

直观图

侧视图

2 2
俯视图

19. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? 2 x ? 2ln x
(Ⅰ)求函数在点(1, f ?1? )处的切线方程

(Ⅱ)求函数 f ( x ) 的极值 (Ⅲ)对于曲线上的不同两点 P ( x1 , y1 ), P ( x2 , y2 ) ,如果存在曲线上的点 Q( x0 , y0 ) ,且 1 2

x1 ? x0 ? x2 ,使得曲线在点 Q 处的切线 l // PP2 ,则称 l 为弦 PP2 的陪伴切线. 1 1
已知两点 A 1, f ?1? , B e, f ? e ? ,试求弦 AB 的陪伴切线 l 的方程;

?

? ?

?

20. (本小题满分 13 分) 已知圆 C: ( x ? m)2 ? y 2 ? 5 (m ? 3) 过点 A(3,1) ,且过点 P(4,4)的直线 PF 与圆 C 相切并 和 x 轴的负半轴相交于点 F. (1)求切线 PF 的方程; (2)若抛物线 E 的焦点为 F,顶点在原点,求抛物线 E 的方程。 ??? ???? ? (3)若 Q 为抛物线 E 上的一个动点,求 AP ? AQ 的取值范围.
8

6

Q

4

P A
5 10 15

2

-15

-10

-5

F

O C
-2 -4

-6

-8

21、 (本小题共 13 分)设数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? 3an ? 2 (n ? 1, 2,?) . (Ⅰ)证明数列 ?an ? 是等比数列;ks5*u (Ⅱ)若 bn?1 ? an ? bn (n ? 1, 2,?) ,且 b1 ? ?3 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn

参考答案

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,总计 50 分, 题号 答案 1 A 2 C 3 A 4 C 5 C 6 B 7 C 8 B 9 D 10 B

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分, 11.(1.5, 4),12.

12,13.

1 , 16

14、 ( , ??) ,

1 e

15. ③④

16.解: (Ⅰ)用 ? x, y ? ( x 表示甲摸到的数字, y 表示乙摸到的数字)表示甲、乙各摸一球构 成的基本事件,则基本事件有: ?1,1? 、 ?1,2 ? 、 ?1,3? 、 ?1,4 ? 、 ? 2,1? 、 ? 2,2 ? 、 ? 2,3? 、

? 2,4 ? 、? 3,1? 、? 3,2? 、? 3,3? 、? 3,4? 、? 4,1? 、? 4,2 ? 、? 4,3? 、? 4,4 ? ,共 16 个;……
3分 设:甲获胜的的事件为 A,则事件 A 包含的基 本事件有: ? 2,1? 、 ? 3,1? 、 ? 3,2 ? 、 ? 4,1? 、 共有 则 ? 4,2 ? 、? 4,3? , 6 个; 6分 (Ⅱ) 甲获胜的的事件为 B, 设: 乙获胜的的事件为 C;事件 B 所包含的基本事件有: 1,1? 、 ?

P( A) ?

6 3 ? 16 8

……… …………………

? 2,2 ? 、 ? 3,3? 、 ? 4,4 ? ,共有 4 个;则
? P (C ) ? 1 ? P ( B ) ? 1 ? 1 3 ? 4 4

P( B ) ?

4 1 ? 16 4
…………………………10 分 …………………11 分 …………

P( B) ? P(C ) ,所以这样规定不公平.
答: (Ⅰ)甲获胜的概率为 17. (1)b=(4+12)÷2=8 A=12-8=4

3 ;(Ⅱ)这样规定不公平. 8
…………2 分 …………4 分

?
12

?1 ? ? ? ?

?
2,

???

7? 12

…………6 分

所以这条曲线的函数表达式为: y ? 4 sin( (2) x ? 19

?
12

x?

7? )?8 12

…………8 分

19? 7? y ? 4 sin( ? )?8 ? 8 12 12
所以下午 19 时整的气温为 8 摄氏度。 18. ( 本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)由题意可知:四棱锥 B ? ACDE 中, 平面 ABC ? 平面 ACDE , AB ? AC …………12

所以, AB ? 平面 ACDE 又 AC ? AB ? AE ? 2, CD ? 4 , 则四棱锥 B ? ACDE 的体积为: V ?

………………………2 分

1 1 (4 ? 2) ? 2 S ACDE ? AB ? ? ? 2 ? 4 …………4 分 3 3 2

(Ⅱ)连接 MN ,则 MN // CD, AE // CD,

1 CD ,所以四边形 ANME 为平 行四边形,? AN // EM …………6 分 2 ? AN ? 平面 CME , EM ? 平面 CME , 所以, AN // 平面 CME ; ……………8 分 (Ⅲ)? AC ? AB , N 是 BC 的中点, AN ? BC 又平 面 ABC ? 平面 BCD ? AN ? 平面 BCD ……………………10 分 由(Ⅱ)知: AN // EM ? EM ? 平面 BCD 又 EM ? 平面 BDE 所以,平面 BDE ? 平面 BCD . ………………………12 分
又 MN ? AE ? 19.解: (I)y=2…………………………………(4 分) (Ⅱ) f '( x ) ? 2 ?

2 , x ? 0. f '( x) ? 0, 得 x ? 1 . x 当 x 变化时, f '( x) 与 f ( x ) 变化情况如下表:

x

? 0,1?

1 0

?1, ???
+

f '( x) f ( x) 单调递减 ? 当 x=1 时, f ( x) 取得极小值 f (1) ? 2 .

极小值 单调递增 没有极大值. ……………………(9 分)

(Ⅲ) 设切点 Q( x0 , y0 ) ,则切线 l 的斜率为 f '( x0 ) ? 2 ? 弦 AB 的斜率为 k AB ?

f ? e ? ? f ?1? 2 ? e ? 1? ? 2 ?1 ? 0 ? 2 ? ? 2? . …(10 分) e ?1 e ?1 e ?1 2 2 由已知得, l / / AB ,则 2 ? =2? ,解得 x0 ? e ? 1 ,…………(12 分) e ?1 x0 2e ? 4 x ? 2 ? 2 ln ? e ? 1? .……(13 分) 所以,弦 AB 的伴随切线 l 的方程为: y ? e ?1

2 , x0 ? ?1, e ? . x0

20. 解: (1)点 A 代入圆 C 方程,得 (3 ? m)2 ? 1 ? 5 . ∵m<3,∴m=1.圆 C: ( x ? 1)2 ? y 2 ? 5 . 设直线 PF 的 斜率为 k,则 PF: y ? k ( x ? 4) ? 4 , 即 kx ? y ? 4k ? 4 ? 0 .∵ 直线 PF 与 圆 C 相切, ∴
| k ? 0 ? 4k ? 4 | k2 ?1 ? 5 .解得

k?

11 1 , 或k ? . 2 2

当 k=
1 2

11 36 时,直线 PF 与 x 轴的交点横坐标为 ,不合题意,舍去. 2 11

当 k= 时,直线 PF 与 x 轴的交点横坐标为-4,∴符合题意, ∴直线 PF 的方程为 y= x+2
1 2

…………6 分

(2)设抛物线标准方程为 y2=-2px, ∵F(-4,0), ∴p=8, ∴抛物线标准方程 为 y2=-16x …………8 分 (3) AP ? (1, 3) ,设 Q(x,y) A ? ( ? ,3 )1 ,Q x y ? ∵y2=-16x, ∴ AP ? AQ ? x ? 3 y ? 6 ? ?
??? ???? ?
??? ??? ? ?

??? ?

??? ?

, AP ? AQ ? ( x ? 3) ? 3( y ? 1) ? x ? 3 y ? 6 .

??? ???? ?

1 2 1 y ? 3 y ? 6 ? ? ( y ? 24)2 ? 30 . 16 16

∴ AP ? AQ ? x ? 3y ? 6 的取值范围是(-∞,30].…………13 分
21. (本小题共 13 分 (Ⅰ)证:因为

Sn ? 3an ? 2 (n ? 1, 2,?) ,
? ) Sn?1 ? 3an?1 ? 2 (n ? 2 , 3 , ,

所以当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 3an ? 3an?1 ,整理得 an ? 由 Sn ? 3an ? 2 ,令 n ? 1 ,得 a1 ? 3a1 ? 2 ,解得 a1 ? 1 . 所以 ?an ? 是首项为 1 ,公比是

3 an ?1 . 2

3 的等比数列. ks5*u…………6 分 2

(Ⅱ)解:由 bn?1 ? an ? bn (n ? 1, 2,?) ,得 bn?1 ? bn ? an (n ? 1, 2,?) . 所以

b2 ? b1 ? a1 , b3 ? b2 ? a2 , ?? bn ? bn ?1 ? an ?1 ,
?3? 1? ? ? ?2? 从而 bn ? b1 ? [a1 ? a2 ? ? ? an ?1 ] ? ?3 ? 3 1? 2
Tn ? 2[1 ?
n ?1

?3? ? 2? ? ?2?

n ?1

?5.

3 3 2 3 3 ? ( ) ? ...... ? ( ) n ?1 ] ? 5n ? 4 ? ( ) n ? 5n ? 4 .…………13 分 2 2 2 2


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