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2013广州一模(文数)答案


2013 年广州市普通高中毕业班综合测试(一) 数学(文科)试题参考答案及评分标准
说明:1.参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几 种解法供参考,如果考生的解法与参考答案不同,可根据试题主要考查的知识点 和能力对照评分标准给以相应的分数. 2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答 未改变该题的内容和难度

,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不 得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误, 就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本大题考查基本知识和基本运算.共10小题,每小题5分,满分50分. 题号 答案 1 D 2 D 3 A 4 C 5 B 6 C 7 A 8 D 9 B 10 C

二、填空题:本大题考查基本知识和基本运算,体现选择性.共 5 小题,每小题 5 分,满 分 20 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题. 11. ?1,2? 12. 12.38 13. 8 , n ? n ? 2
2

14. ?1,

? 11? ? ? ? 6 ?

15. 4

说明:① 第13题第一个空填对给2分,第二个空填对给3分. ② 第14题的正确答案可以是: ?1,

? 11? ? ? 2k? ? (k ? Z ). ? 6 ?

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分12分) (本小题主要考查三角函数的图象与性质、诱导公式、余弦定理等知识,考查化归与转化的 数学思想方法,以及运算求解能力) (1)解:∵ f ( x ) 的最大值为 2,且 A ? 0 , ∴A?2. ∵ f ( x ) 的最小正周期为 8 , ∴T ? ?????1 分

2?

?

?8, 得? ?

?
4

.

?????3 分 ?????4 分

∴ f ( x) ? 2sin(

?

x? ). 4 4

?

(2)解法 1:∵ f (2) ? 2sin ?

? ?? ? ? ? ? ? 2cos ? 2 , 4 ?2 4?
1

?????5 分

?? ? ? f (4) ? 2sin ? ? ? ? ? ?2sin ? ? 2 , 4? 4 ?
∴ P(2, 2), Q(4, ? 2) . ∴ OP ? 6, PQ ? 2 3, OQ ? 3 2 .

?????6 分

?????7 分 ?????10 分
2 2 2

∴ cos ?POQ ?

OP ? OQ ? PQ 2 OP OQ

2

2

2

? 6 ? ? ?3 2 ? ? ? 2 3 ? ?
2 6 ?3 2

?

3 .??12 分 3
?????5 分

解法 2:∵ f (2) ? 2sin ?

? ?? ? ? ? ? ? 2cos ? 2 , 4 ?2 4?

?? ? ? f (4) ? 2sin ? ? ? ? ? ?2sin ? ? 2 , 4? 4 ?
∴ P(2, 2), Q(4, ? 2) . ∴ OP ? (2, 2), OQ ? (4, ? 2) . ∴ cos ?POQ ? cos ? OP, OQ ??

?????6 分

?????8 分 ?????10 分

OP ? OQ OP OQ

?

6 6 ?3 2

?

3 . ?????12 分 3
y

解法 3: ∵ f (2) ? 2sin ?

? ?? ? ? ? ? ? 2cos ? 2 ,?????5 分 4 ?2 4?
O

P Q1 P1 Q x

?? ? ? f (4) ? 2sin ? ? ? ? ? ?2sin ? ? 2 ,?????6 分 4? 4 ?
∴ P(2, 2), Q(4, ? 2) . ?????7 分

作 PP ? x 轴, QQ1 ? x 轴,垂足分别为 P ,Q1 , 1 1 ∴ OP ?

6, OP 2, OQ ? 3 2 , OQ1 ? 4, QQ1 ? 1 ? 2, PP 1 ?

2 . ???8 分

设 ?POP ? 1 则 sin ? ?

? ,?QOQ1 ? ? ,
3 6 1 2 2 . ,cos ? ? ,sin ? ? ,cos ? ? 3 3 3 3
?????10 分

∴ cos ?POQ ? cos

??

? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ?

3 .???12 分 3

2

17. (本小题满分12分) (本小题主要考查频率分布直方图、概率等知识,考查数据处理、推理论证、运算求解能力 和应用意识,以及或然与必然的数学思想) (1)解:样本中产量在区间 45, 50 ? ,????1 分 ? 上的果树有 a ? 5 ? 20 ? 100a (株) 样本中产量在区间 ? 50, 60 ? (株) , ? 上的果树有 ? b ? 0.02 ? ? 5 ? 20 ? 100 ? b ? 0.02 ? ?????2 分 依题意,有 100a ?

?

4 4 ? 100 ? b ? 0.02 ? ,即 a ? ? b ? 0.02 ? .①????3 分 3 3

根据频率分布直方图可知 0.02 ? b ? 0.06 ? a ? 5 ? 1 , 解①②得: a ? 0.08,b ? 0.04 .

?

?

② ????4 分 ?????6 分

(2)解:样本中产量在区间 50,55 ? ? 上的果树有 0.04 ? 5 ? 20 ? 4 株,分别记为

?

A1, A2 , A3 , A4 ,

?????? 7 分

产量在区间 55,60 ? ? 上的果树有 0.02 ? 5 ? 20 ? 2 株,分别记为 B1,B2 . ? 8 分 从这 6 株果树中随机抽取两株共有 15 种情况: A1 , A2 , A1 , A3 , A1 , A4
1 1 1 2 2 3 2 4 2 1 2 2 3 4 3

?

?

? ?

? ?

?
1

? A , B ? ,? A , B ? ,? A , A ? ,? A , A ? ,? A , B ? ,? A , B ? ,? A , A ? ,? A , B ? ,

? A , B ? , ? A , B ? ,? A , B ? ,? B , B ? .
3 2 4 1 4 2 1 2

?????10 分

其中产量在 55,60 ? ? 上的果树至少有一株共有 9 种情况: A1 , B1 , A1 , B2 ,

?

?

? ?

?

? A , B ? ,? A , B ? ,? A , B ? ,? A , B ? , ? A , B ? ,? A , B ? ,? B , B ? . ???11 分
2 1 2 2 3 1 3 2 4 1 4 2 1 2

记“从样本中产量在区间 50,60 ? ? 上的果树随机抽取两株,产量在区间 55,60 ? ? 上的 果树至少有一株被抽中”为事件 M ,则 P ? M ? ?

?

?

9 3 ? . 15 5

?????12 分

18. (本小题满分14分) (本小题主要考查空间线面位置关系、点到平面的距离等知识,考查数形结合、化归与转化 的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力) (1)证明:连接 AC , AC 与 BD 相交于点 O , 连接 MO , ∵ ABCD 是平行四边形, ∴ O 是 AC 的中点. ?????1 分

3

∵ M 为 PC 的中点, ∴ MO // AP . ∵ PA ? 平面 BMD , MO ? 平面 BMD , ∴ PA // 平面 BMD . (2)证明:∵ PD ? 平面 ABCD , AD ? 平面 ABCD , ∴ PD ? AD . (苏元高考吧:www.gaokao8.net) ?????4 分
P

?????2 分

?????3 分

? ∵ ?BAD ? ?BCD ? 60 , AB ? 2 AD , 2

∴ BD

? AB2 ? AD2 ? 2 AB ? AD ? cos 60?
? AB2 ? AD2 ? 2 AD2 ? AB2 ? AD2 .
?????5 分
A D O N

M

C

∴ AB

2

? AD ? BD .
2

2

B

∴ AD ? BD . ∵ PD

?????6 分

BD ? D , PD ? 平面 PBD , BD ? 平面 PBD ,
?????7 分

∴ AD ? 平面 PBD . ∵ PB ? 平面 PBD , ∴ AD ? PB . (3)解:取 CD 的中点 N ,连接 MN ,则 MN // PD 且 MN ? ∵ PD ? 平面 ABCD , PD ? 2 , ∴ MN ? 平面 ABCD , MN ? 1 .

?????8 分

1 PD . 2

?????9 分

CD ? AB ? PD ? 2 ,DM ? 在 Rt△ PCD 中,
∵ BC // AD , AD ? PB ,

1 1 PC ? 2 2

PD 2 ? CD 2 ?

2,

4

∴ BC ? PB . 在 Rt△ PBC 中, BM ?

1 PC ? 2

2.

在△ BMD 中, BM ? DM , O 为 BD 的中点, ∴ MO ? BD . 在 Rt△ ABD 中, BD ? AB ? sin 60? ? 2 ?

3 ? 2

3.

在 Rt△ MOB 中, MO ?

BM 2 ? OB2 ?

5 . 2
15 .????11 分 4

∴ S ΔABD ?

1 3 1 , S ΔMBD ? ? AD BD ? ? BD MO ? 2 2 2

设点 A 到平面 BMD 的距离为 h , ∵ VM ? ABD ? VA ? MBD , (苏元高考吧:www.gaokao8.net) ∴

1 1 MN S ΔABD ? h SΔMBD . 3 3 1 3 2 5 15 1 ? ?h? ?1 ? , 解得 h ? . 3 3 2 5 4

?????12 分



?????13 分

∴点 A 到平面 BMD 的距离为

2 5 . 5

?????14 分

19. (本小题满分14分) (本小题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等知识,考查分类与整合、化归与转化的 数学思想方法,以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识) (1) 解:∵当 n ? 2 时, Sn ?1 ? 4Sn ?1 ? 5Sn , ∴ S n ? 1 ? S n ? 4 S n ? S n ?1 . ∴ an ?1 ? 4an . ∵ a1 ? 2 , a2 ? 8 , ∴ a2 ? 4a1 . ?????3 分

?

?

?????1 分 ?????2 分

5

∴数列 an 是以 a1 ? 2 为首项,公比为 4 的等比数列. ∴ an ? 2 ? 4n ?1 ? 22n ?1 . (2) 解:由(1)得:log2 an ? log2 22n ?1 ? 2n ? 1, ∴ Tn ? log2 a1 ? log2 a2 ? ?????4 分 ?????5 分

? ?

? log2 an
?????6 分

?1? 3?

? ? 2n ? 1?

?

n ?1 ? 2n ? 1? 2

?????7 分

? n2 .
(3)解: ?1 ?

?????8 分

? ?

1 ?? 1? 1 ? ?? ?? T2 ? ? T3 ? ? ?

? 1? ?? 1 ? ? ? Tn ? ? ?

? 1 ?? 1? ? ?1 ? 2 ? ?1 ? 2 ? ? 2 ?? 3 ? ?
?

? 1? ? ?1 ? 2 ? n ? ?
? n2 ? 1 n2

?????9 分

22 ? 1 32 ? 1 42 ? 1 ? ? ? 22 32 42

?

1? 3? 2 ? 4 ?3?5? 2 ?3 ?4 ?
2 2 2

? ? n ? 1? ? n ? 1? ? n2

?????10 分

?

n ?1 . 2n

?????11 分



n ? 1 1010 4 ? ,解得: n ? 287 . 2013 7 2n

?????13 分

故满足条件的最大正整数 n 的值为 287 . ?????14 分 20. (本小题满分14分) (本小题主要考查椭圆、抛物线、曲线的切线等基础知识,考查数形结合、函数与方程、化 归与转化的数学思想方法,以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识) (1) 解法 1:设椭圆 C1 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 ? a ? b ? 0? , a 2 b2

? 22 32 ?a 2 ? 16, ? ? ? ? 1, 依题意: ? a 2 b2 解得: ? 2 ? ?b ? 12. ?a 2 ? b2 ? 4. ?
6

?????2 分

∴ 椭圆 C1 的方程为

x2 y 2 ? ? 1. 16 12 x2 y 2 ? ? 1 ? a ? b ? 0? , a 2 b2

?????3 分

解法 2:设椭圆 C1 的方程为

a ? 4, 根据椭圆的定义得 2a ? AF 1 ? AF 2 ? 8 ,即
∵ c ? 2 , ∴ b ? a ? c ? 12 .
2 2 2

?????1 分 ?????2 分

∴ 椭圆 C1 的方程为 (2)解法 1:设点 B ( x1 ,

x2 y 2 ? ? 1. 16 12

?????3 分

1 2 1 2 1 2 x1 ) , C ( x 2 , x 2 ) ,则 BC ? ( x 2 ? x1 , ( x 2 ? x12 )) , 4 4 4 1 BA ? (2 ? x1 ,3 ? x12 ) , 4

∵ A, B, C 三点共线, (苏元高考吧:www.gaokao8.net) ∴ BC // BA . ∴ x2 ? x1 ? 3 ? ?????4 分

?

?

? ?

1 2? 1 2 x1 ? ? x ? x12 4 ? 4 2

?

? ?2 ? x ? ,
1

化简得:2 (x1 ? x2 ) ? x1x2 ? 12 . 由 x2 ? 4 y ,即 y ?



?????5 分

1 1 2 x ,得 y? ? x . 4 2
1 2 x1 x1 ? ( x ? x1 ) , 4 2

?????6 分

∴抛物线 C2 在点 B 处的切线 l1 的方程为 y ?

即y?

x1 1 x ? x12 . 2 4



?????7 分

同理, 抛物线 C2 在点 C 处的切线 l2 的方程为 y ?

x2 1 2 x ? x2 . 2 4

③ ?????8 分

设点 P( x, y) ,由②③得: 而 x1 ? x 2 ,则 x ?

x1 x 1 1 2 x ? x12 ? 2 x ? x2 , 2 4 2 4
?????9 分

1 ( x1 ? x 2 ) . 2

7

代入②得 y ?

1 x1 x 2 , 4

?????10 分

则 2 x ? x1 ? x2 , 4 y ? x1 x2 代入 ① 得 4 x ? 4 y ? 12 ,即点 P 的轨迹方程为

y ? x ? 3.

?????11 分

P 在椭圆 C1 上,而点 P 又在直线 y ? x ? 3 上, 若 PF 1 ? PF 2 ? AF 1 ? AF 2 ,则点
?????12 分 ∵直线 y ? x ? 3 经过椭圆 C1 内一点 (3, 0) , ∴直线 y ? x ? 3 与椭圆 C1 交于两点. ?????13 分 ?????14 分

P 有两个. ∴满足条件 PF 1 ? PF 2 ? AF 1 ? AF 2 的点
解法 2:设点 B( x1 , y1 ) , C ( x2 , y 2 ) , P( x0 , y0 ) , 由 x2 ? 4 y ,即 y ?

1 1 2 x ,得 y? ? x . 4 2 x1 ( x ? x1 ) , 2

?????4 分

∴抛物线 C2 在点 B 处的切线 l1 的方程为 y ? y1 ?

即y?

x1 1 x ? y1 ? x12 . 2 2

?????5 分

∵ y1 ?

x 1 2 x1 , ∴ y ? 1 x ? y1 . 4 2
∴ y0 ?

∵点 P( x0 , y0 ) 在切线 l1 上,

x1 x0 ? y1 . 2



?????6 分

同理, y 0 ?

x2 x0 ? y 2 . ② 2

?????7 分

综合①、②得,点 B( x1 , y1 ), C ( x2 , y 2 ) 的坐标都满足方程 y 0 ? ∵经过 B( x1 , y1 ), C ( x2 , y 2 ) 两点的直线是唯一的, ∴直线 L 的方程为 y 0 ?

x x0 ? y . 2

??8 分

x x0 ? y , 2
∴ y0 ? x0 ? 3 .

?????9 分 ?????10 分 ?????11 分
8

∵点 A(2,3) 在直线 L 上, ∴点 P 的轨迹方程为 y ? x ? 3 .

P 在椭圆 C1 上,又在直线 y ? x ? 3 上,?12 分 若 PF 1 ? PF 2 ? AF 1 ? AF 2 ,则点
∵直线 y ? x ? 3 经过椭圆 C1 内一点 (3, 0) , ∴直线 y ? x ? 3 与椭圆 C1 交于两点. ?????13 分 ?????14分

P 有两个. ∴满足条件 PF 1 ? PF 2 ? AF 1 ? AF 2 的点

解法3:显然直线 L 的斜率存在,设直线 L 的方程为 y ? k x ? 2 ? 3 ,

?

?

由?

? ? y ? k ? x ? 2 ? ? 3, ? ? x ? 4 y,
2

消去 y ,得 x ? 4kx ? 8k ? 12 ? 0 .
2

?????4分

设 B x1 , y1 ,C x2 , y2 ,则 x1 ? x2 ? 4k, x1x2 ? 8k ? 12 . 由 x2 ? 4 y ,即 y ?

?

?

?

?

?????5分

1 1 2 x ,得 y? ? x . 4 2 x1 ( x ? x1 ) , 2

?????6 分

∴抛物线 C2 在点 B 处的切线 l1 的方程为 y ? y1 ?

即y?

x1 1 x ? y1 ? x12 . 2 2

?????7 分

∵ y1 ?

x 1 1 2 x1 , ∴ y ? 1 x ? x12 . 4 2 4 x2 1 2 x ? x2 . 2 4
?????8 分

同理,得抛物线 C2 在点 C 处的切线 l2 的方程为 y ?

? x y ? 1 x? ? ? 2 由? ? y ? x2 x ? ? ? 2

? x ? x2 1 2 x1 , x ? 1 ? 2k , ? ? 2 4 解得 ? 1 2 ? y ? x1 x2 ? 2k ? 3. x2 , ? ? 4 4

∴ P 2k , 2k ? 3 . ∵ PF 1 ? PF 2 ? AF 1 ? AF 2 , ∴点 P 在椭圆 C1 :

?

?

?????10 分

x2 y2 ? ? 1 上. 16 12
2

?????11 分

? 2k ? ∴
16

2

?

? 2k

? 3? 12

? 1.
9

化简得 7k ? 12k ? 3 ? 0 .(*)
2
2 由 Δ ? 12 ? 4 ? 7 ? ?3 ? 228 ? 0 ,

?????12 分 ?????13 分

? ?

可得方程(*)有两个不等的实数根. ∴满足条件的点 P 有两个. ?????14 分 21. (本小题满分14分) (本小题主要考查三次函数、一元二次不等式、一元二次方程、函数的零点、数列求和等基 础知识,考查数形结合、函数与方程、分类与整合、化归与转化的数学思想方法,以及抽象 概括能力、推理论证能力、运算求解能力、创新意识)

x 2 x3 ? ? kx, (1)解:∵ y ? f 2 ( x) ? kx ? 1 ? x ? 2 3
∴ y? ? ?1 ? x ? x 2 ? k ? ?( x 2 ? x ? k ? 1) . 方程 x ? x ? k ? 1 ? 0 的判别式 Δ ? ?1
2

?????1 分

?????2 分
2

? ?

? 4 ? k ? 1? ? ?3 ? 4k .

当k ? ?

3 时, Δ ? 0 , y? ? ?( x 2 ? x ? k ? 1) ? 0 , 4
?????3 分

故函数 y ? f 2 ( x) ?kx 在 R 上单调递减; 当k ? ?

3 1? 2 时,方程 x ? x ? k ? 1 ? 0 的两个实根为 x1 ? 4

?3 ? 4k , 2

x2 ?

1?

?3 ? 4k . 2

?????4 分

则 x ? ??, x1 时,y? ? 0 ;x ? x1 , x2 时,y? ? 0 ;x ? x2 ,?? 时,y? ? 0 ; 故函数 y ? f 2 ( x) ?kx 的单调递减区间为 ??, x1 和 x2 , ?? , 单调递增区间为 x1 , x2 .

?

?

?

?

?

?

?

? ?

?

?

?

?????5 分

* (2)解:存在 t ? 1 ,对于任意 n ?N ,关于 x 的方程 f n ( x) ? 0 在区间 ? ?t ,t ? 1? ? 上有唯

一实数解,理由如下: 当 n ? 1 时, f1 ( x) ? 1 ? x ,令 f1 ( x) ? 1 ? x ? 0 ,解得 x ? 1 , ∴关于 x 的方程 f1 ( x) ? 0 有唯一实数解 x ? 1 . 当 n ? 2 时,由 f n ( x) ? 1 ? x ?
2 得 f n? ( x) ? ?1 ? x ? x ?

?????6 分

x 2 x3 ? ? 2 3

?

x 2 n ?1 , 2n ? 1
?????7 分

? x 2 n ?3 ? x 2 n ? 2 .
10

若 x ? ?1 ,则 f n? ( x) ? f n? (?1) ? ?(2n ? 1) ? 0 , 若 x ? 0 ,则 f n? ( x) ? ?1 ? 0 , 若 x ? ?1 且 x ? 0 时,则 f n? ( x) ? ? 当 x ? ?1 时, x ? 1 ? 0, x
2 n ?1

?????8 分

x 2 n ?1 ? 1 , x ?1

?????9 分

? 1 ? 0, f n? ( x) ? 0 , ? 1 ? 0, f n? ( x) ? 0 ,
?????10 分

当 x ? ?1 时, x ? 1 ? 0, x

2 n ?1

∴ f n? ( x ) ? 0 ,故 f n ( x) 在 (??, ??) 上单调递减. ∵ f n (1) ? (1 ? 1) ? ( ? ) ? ( ? ) ?

1 2

1 3

1 4

1 5

?(

1 1 ? ) ? 0 , ???11 分 2n ? 2 2 n ? 1

f n (2) ? (1 ? 2) ? (

22 23 24 25 ? )?( ? )? 2 3 4 5
?(

?(

22 n ? 2 22 n?1 ? ) 2n ? 2 2n ? 1

1 2 1 2 ? ?1 ? ( ? )22 ? ( ? )24 ? 2 3 4 5

1 2 ? )22 n ? 2 2n ? 2 2n ? 1

? ?1 ?

1 2 3 4 2 ? 2 ? 2?3 4?5

?

2n ? 3 22 n?2 ? 0 . ????12 分 (2n ? 2)(2n ? 1)
?????13 分

∴方程 f n ( x) ? 0 在 ?1,2? 上有唯一实数解. 当 x ? ??,1 时,f n x

?

?

? ?

? ? ? f n ?1? ? 0 ; 当 x ? ? 2,
*

? 时,f ? x ?
n

? fn ? 2? ? 0 .

综上所述,对于任意 n ?N ,关于 x 的方程 f n ( x) ? 0 在区间 ? ?1,2 ? ? 上有唯一实数解. ∴t ? 1. ?????14 分

11


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