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2016年高三数学(理)创新设计资料包1-1


第1讲
最新考纲

集合及其运算

1.了解集合的含义、元素与集合的属于关系;

2.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子 集;3.理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单

集合的并集与交集;4.理解在给定集合中一个子集的补集
的含义,会求给定子集的补集;5.能使用韦恩(Venn)图表 达集合的关系及运算.
基础诊断 考点突破 课堂总结

知 识 梳 理
1.元素与集合

互异性 、无序性. (1)集合中元素的三个特征:确定性、_______
属于 或_______ 不属于 关系,用符号___ (2)元素与集合的关系是_____ ∈ ? 表示. 或___ 描述法 、图示法. (3)集合的表示法:列举法、_______

基础诊断

考点突破

课堂总结

2.集合间的基本关系 表示
关系 相等 集合间的 基本关系 子集

文字语言

符号 语言

集合A与集合B中的所有元素 A=B 都相同 A中任意一个元素均为B中的 _____ A?B 元素

A中任意一个元素均为B中的 A? B _____ 真子集 元素,且B中至少有一个元 素不是A中的元素 空集

子集 ,是任何非 空集是任何集合的_____ 空集合的真子集
基础诊断 考点突破 课堂总结

3.集合的基本运算 集合的并集 图形 语言 {x|x∈A, A∩B=________ {x|x∈U, {x|x∈A, ?UA=_________ 符号 A∪B=________ 且x∈B} 或x∈B} 且x?A} ________ _______ 语言 _________ 集合的交集 集合的补集

基础诊断

考点突破

课堂总结

4. 集合的运算性质 并集的性质: B?A . A∪?=A;A∪A=A;A∪B=B∪A;A∪B=A?_______ 交集的性质: A?B . A∩?=?;A∩A=A;A∩B=B∩A;A∩B=A?_______ 补集的性质: ? ;?U(?UA)=____ U ;A∩(?UA)=____ A . A∪(?UA)=____

基础诊断

考点突破

课堂总结

诊 断 自 测
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩 PPT 展示

(1)若 A={x|y=x2},B={(x,y)|y=x2},C={y|y=x2},则 A =B=C. (2)若{x2,1}={0,1},则 x=0,1. (× ) (× )

(3)已知集合 A={x|mx=1},B={1,2},且 A?B,则实数 1 m= 1 或 m= . 2 (× )

(4)含有 n 个元素的集合的子集个数是 2n,真子集个数是 2n -1,非空真子集的个数是 2n-2. (√ )

基础诊断

考点突破

课堂总结

2.(2014· 新课标全国Ⅰ卷)已知集合A={x|x2-2x-3≥0},B ={x|-2≤x<2},则A∩B= A.[-2,-1] B.[-1,2) ( )

C.[-1,1]
解析

D.[1,2)

由不等式x2-2x-3≥0解得x≥3或x≤-1,因此集

合A={x|x≤-1或x≥3},又集合B={x|-2≤x<2},所以

A∩B={x|-2≤x≤-1},故选A.
答案 A

基础诊断

考点突破

课堂总结

3.已知集合A={(x,y)|x,y∈R,且x2+y2=1},B={(x, y)|x,y∈R,且y=x},则A∩B的元素个数为 A.0 C.2 解析 B.1 D.3 集合A表示的是圆心在原点的单位圆,集合B表示 ( )

的是直线y=x,据此画出图象,可得图象有两个交点, 即A∩B的元素个数为2.

答案

C

基础诊断

考点突破

课堂总结

4.(人教A必修1P12A10改编)已知集合A={x|3≤x<7},B= {x|2<x<10},则(?RA)∩B=________.

解析
答案

∵?RA={x|x<3或x≥7},
{x|2<x<3或7≤x<10}

∴(?RA)∩B={x|2<x<3或7≤x<10}. 5.设集合A={x|x2+2x-3>0},集合B={x|x2-2ax-1≤0, a>0}.若A∩B中恰含有一个整数,则实数a的取值范围是 ________.

基础诊断

考点突破

课堂总结

解析

A={x|x2+2x-3>0}={x|x>1或x<-3},

因为函数y=f(x)=x2-2ax-1的对称轴为x=a>0, 且f(0)=-1<0, 根据对称性可知要使A∩B中恰含有一个整数, 则这个整数为2,所以有f(2)≤0且f(3)>0,
3 ? ? ?a≥4, 3 ?4-4a-1≤0, 4 ? ? 即 所以 即 ≤a< . 4 3 ? 4 ?9-6a-1>0, ?a< . ? 3 ?3 4? 答案 ?4,3? ? ?
基础诊断 考点突破 课堂总结

考点一

集合的含义
( B.2 D.0或4
? ? b a∈R,b∈R,若?a,a,1?={a2,a+b,0},则 ? ?

【例1】 (1)若集合A={x∈R|ax2+ax+1=0}中只有一个元 素,则a= A.4 C.0
(2)已知

)

a2 016

+b2 016=________.

基础诊断

考点突破

课堂总结

解析

(1)由 ax2+ax+1=0 只有一个实数解,可得当 a=0 时,

方程无实数解;当 a≠0 时,则 Δ=a2-4a=0,解得 a=4(a=0 不合题意舍去). b (2)由已知得 =0 及 a≠0,所以 b=0,于是 a2=1,即 a=1 或 a a=-1,又根据集合中元素的互异性可知 a=1 应舍去,因此 a =-1,故 a2 016+b2 016=1.

答案

(1)A

(2)1

基础诊断

考点突破

课堂总结

规律方法

(1)用描述法表示集合,首先要搞清楚集合中代表

元素的含义,再看元素的限制条件,明白集合的类型,是数 集、点集还是其他类型集合.(2)集合中元素的三个特性中的 互异性对解题的影响较大,特别是含有字母的集合,在求出 字母的值后,要注意检验集合中的元素是否满足互异性.

基础诊断

考点突破

课堂总结

【训练1】 (1)已知集合A={0,1,2},则集合B={x-
y|x∈A,y∈A}中元素的个数是 A.1 B.3 ( )

C.5
________. 解析 为5.

D.9

(2)已知集合A={m+2,2m2+m},若3∈A,则m的值为 (1)∵x-y={-2,-1,0,1,2},∴其元素个数

基础诊断

考点突破

课堂总结

3 (2)由题意得 m+2=3 或 2m +m=3,则 m=1 或 m=- ,当 2
2

m=1 时,m+2=3 且 2m2+m=3,根据集合中元素的互异性 3 1 可知不满足题意;当 m=- 时,m+2= ,而 2m2+m=3, 2 2 3 故 m=- . 2

答案

3 (1)C (2)- 2

基础诊断

考点突破

课堂总结

考点二

集合间的基本关系

【例2】 (1)已知集合A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1<x<2m- 1},若B?A,则实数m的取值范围为__________.

(2)设U=R,集合A={x|x2+3x+2=0},B={x|x2+(m+
1)x+m=0},若(?UA)∩B=?,则m=__________. 解析 (1)当B=?时,有m+1≥2m-1,则m≤2.

当B≠?时,若B?A,如图.

?m+1≥-2, ? 则?2m-1≤7, ?m+1<2m-1, ?
基础诊断 考点突破 课堂总结

解得2<m≤4.
综上,m的取值范围是(-∞,4]. (2)A={-2,-1},由(?UA)∩B=?,得B?A, ∵方程x2+(m+1)x+m=0的判别式Δ=(m+1)2-4m=(m- 1)2≥0,∴B≠?.∴B={-1}或B={-2}或B={-1,-2}.

①若B={-1},则m=1;
②若B={-2},则应有-(m+1)=(-2)+(-2)=-4,且m =(-2)· (-2)=4,这两式不能同时成立, ∴B≠{-2};

基础诊断

考点突破

课堂总结

深度思考

①你会用这些结论吗?

A∪B=A?B?A, A∩B=A?A?B,

(?UA)∩B=??
B?A; ②你考虑到空集了吗? ③若B={-1,-2},则应有-(m+1)=(-1)+(-2)=-3, 且m=(-1)· (-2)=2,由这两式得m=2.

经检验知m=1和m=2符合条件.∴m=1或2.
答案 (1)(-∞,4] (2)1或2
基础诊断 考点突破 课堂总结

规律方法

(1)空集是任何集合的子集,在涉及集合关系

时,必须优先考虑空集的情况,否则会造成漏解.(2)已知 两个集合间的关系求参数时,关键是将条件转化为元素或区 间端点间的关系,进而转化为参数所满足的关系.常用数 轴、Venn图来直观解决这类问题.

基础诊断

考点突破

课堂总结

【训练2】 (1)已知集合A={x|y=ln(x+3)},B={x|x≥2},则 下列结论正确的是 A.A=B B.A∩B=? C.A?B ( D.B?A )

(2)已知集合A={x|log2x≤2},B={x|x<a},若A?B,则 实数a的取值范围是__________. 解析 B?A. (1)A={x|x>-3},B={x|x≥2},结合数轴可得:

(2)由log2x≤2,得0<x≤4,
即A={x|0<x≤4}, 而B={x|x<a}, 由于A?B,如图所示,则a>4. 答案 (1)D (2)(4,+∞)
基础诊断 考点突破 课堂总结

考点三

集合的基本运算
( )

【例3】 (1)(2014· 四川卷)已知集合A={x|x2-x-2≤0},集 合B为整数集,则A∩B=

A.{-1,0,1,2}
C.{0,1}

B.{-2,-1,0,1}
D.{-1,0}

(2)(2015· 开封模拟) 设集合U=R,A= {x|2x(x-2)<1},B={x|y=ln(1-x)},则 图中阴影部分表示的集合为( )

A.{x|x≥1}
C.{x|0<x≤1}

B.{x|1≤x<2}
D.{x|x≤1}

基础诊断

考点突破

课堂总结

解析

(1)因为A={x|x2-x-2≤0}={x|-1≤x≤2},

B=Z,所以A∩B={-1,0,1,2}.
(2)易知A={x|2x(x-2)<1}={x|x(x-2)<0}={x|0<x<2}, B={x|y=ln(1-x)}={x|1-x>0}={x|x<1}, 则?UB={x|x≥1}, 阴影部分表示的集合为A∩(?UB)={x|1≤x<2}.

答案

(1)A

(2)B
(1)一般来讲,集合中的元素若是离散的,则用

规律方法

Venn图表示;集合中的元素若是连续的实数,则用数轴表

示,此时要注意端点的情况.(2)运算过程中要注意集合间
的特殊关系的使用,灵活使用这些关系,会使运算简化.
基础诊断 考点突破 课堂总结

【训练3】 (1)(2014· 浙江卷)设全集U={x∈N|x≥2},集合A ={x∈N|x2≥5},则?UA= A.? C.{5} B.{2} D.{2,5} ( ) ( )

(2)设集合M={x|-1≤x<2},N={y|y<a},若M∩N≠?, 则实数a的取值范围一定是 A.[-1,2) B.(-∞,2]

C.[-1,+∞)

D.(-1,+∞)

基础诊断

考点突破

课堂总结

解析

(1) 因为 A = {x∈N|x≤ - 5 或 x≥ 5} ,所以 ?UA =

{x∈N|2≤x< 5},故?UA={2}. (2)借助数轴可知 a>-1,故选 D.

答案

(1)B

(2)D

基础诊断

考点突破

课堂总结

微型专题

集合背景下的新定义问题

以集合为背景的新定义问题,集合只是一种表述形 式,实质上考查的是考生接受新信息、理解新情境、解决新 问题的数学能力.解决此类问题,要从以下两点入手: (1)正确理解创新定义.分析新定义的表述意义,把新 定义所表达的数学本质弄清楚,进而转化成熟知的数学情 境,并能够应用到具体的解题之中,这是解决问题的基础.

(2)合理利用集合性质.运用集合的性质(如元素的性
质、集合的运算性质等)是破解新定义型集合问题的关 键.在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用 集合性质的一些因素,但关键之处还是合理利用集合的运算 与性质.
基础诊断 考点突破 课堂总结

【例 4】 (2014· 青岛质检)设集合
? ? ? 1 ?x?n- ≤x≤n?,且 3 ? ? ?

? ? 3? M=?x?m≤x≤m+4?,N= ? ? ?

M,N 都是集合{0|0≤x≤1}的子集,如

果把 b-a 叫作集合{x|a≤x≤b}的“长度”,那么集合 M∩ N 的“长度”的最小值是 1 A. 3 2 B. 3 1 C. 12 5 D. 12 ( )

点拨

先理解集合的“长度”,然后求M∩N的“长度”的最

小值.

基础诊断

考点突破

课堂总结

解析

1 m ≥ 0, ? ? ? 1 ?n-3≥0, 1 由已知,可得? 即 0≤m≤ ;? 即 3 4 3 m+ ≤1, ? ? n ≤ 1 , 4 ? ?
? 3? M=?0,4?,N ? ?

≤n≤1,取 m 的最小值 0,n 的最大值 1,可得
?2 ? =?3,1?.所以 ? ?

? ? ?2 3? 3? ?2 M∩N=?0,4?∩?3,1?=?3,4?.此时集合 ? ? ? ? ? ?

M∩ N

3 2 1 的“长度”的最小值为 - = .故选 C. 4 3 12

答案

C

点评

本题的难点是理解集合的“长度”,解题时紧扣新定义

与基础知识之间的相互联系,把此类问题转化成熟悉的问题 进行求解.
基础诊断 考点突破 课堂总结

[思想方法] 1.在解题时经常用到集合元素的互异性,一方面利用集合 元素的互异性能顺利找到解题的切入点;另一方面,在 解答完毕时,注意检验集合的元素是否满足互异性以确 保答案正确.

2.求集合的子集(真子集)个数问题,需要注意的是:首
先,过好转化关,即把图形语言转化为符号语言;其 次,当集合的元素个数较少时,常利用枚举法解决,枚 举法不失为求集合的子集(真子集)个数的好方法,使用时 应做到不重不漏.
基础诊断 考点突破 课堂总结

3.对于集合的运算,常借助数轴、Venn图,这是数形结合 思想的又一体现. [易错防范]

1.集合问题解题中要认清集合中元素的属性(是数集、点集
还是其他类型集合),要对集合进行化简.

基础诊断

考点突破

课堂总结

2.空集不含任何元素,但它是存在的,在利用 A?B 解题时, 若不明确集合 A 是否为空集时应对集合 A 的情况进行分类 讨论. 如例 2(1)“错解
? ?m+1≥-2, 1: 由? 解得-3≤m≤4; ? ?2m-1≤7,

?m+1<2m-1, ? 错解 2:由?m+1≥-2, 解得 2<m≤4,错因都是对集 ?2m-1≤7, ? 合 B={x|m+1<x<2m-1}”认识不清.

3.Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算 的常用方法,其中运用数轴图示法要特别注意端点是实 心还是空心.
基础诊断 考点突破 课堂总结


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