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高中数学新教材一例题的探讨


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2007  NO.10 Science and Technology Consulting Herald

科 教 平 台

高中数学新教材一例题的探讨
张小团 1   余士勇 2 (宁波大学  浙江宁波    3 1 5 2 1 1 ) 摘  要: 文章通过对人教版普通高中课程标准实验教科书中

一个例题的探讨,给出科学合理的解题思路。作为一名教育工作者为新教 材的完善作出一点绵薄之力。 关键词:教育工作者  新教材  解题思路  探讨 中图分类号: G 6 3 0 文献标识码: A 文章编号:1673-0534(2007)04(a)-0228-02

1例题分析
在人教版高中数学新教材必修 4 第 44 页 出现了这样一个例题: 例 5 :求函数 调递增区间。 新教材中的解题思路如下: 解:令 调递增区间是 由 。 由 可知 。 由于 ,所以 既函数 。 , 。函数 。 得 的单 的单

。所以函数 的单调递增区间是 。



调递增。可解得 所以函数

, 因为

, , 。

为什么新教材中原来的解题思路值得商 榷?因为一般高一的学生会误以为解这类题 目可以按照教材中的解题方法,但事实上此 类题目教材中的解题方法不合适。现分析如 下。

的单调递增区间是 变形(ii): 求函数 ,



单调递增区间。 分析: 按照新教材的解题思路会出现 ,也不能解出该题的单调递增区 间 。

2 变形
变形(i): 求函数 , ,的 函数 区间即为函数 因为

单调递增区间。 按照新教材的解题思路我们容易得出: , 由于 ,得出 k 不存在,这样

, 所以 在 , 的单调递减

的单调递增区间是

的解题思路不能解出该函数的递增区间。 所以 此方法具有一定的局限性。 同时出现这样的结 果学生也会草率的得出函数 在上 是单调递减函数。而事实上此函 数在 存在着单调递增区间。按照 笔者提出的解题思路可做以下分析: 解法一:令 单调递增区间是 由 。函数 。 , 得 。 当 时, 时, 时 ,且 ; , ; 的

的单调递增区间。 解法一: 令 是 得 当 时, ;当 ,且 因为 时, , 所以 ; 当 , 函数 。由 。 时, ; 由于 。 和 所以函数 , 的单调递增 。 , ,函数 , 因为 的单调递减区 , , 的单调递减区间

笔者认为此题的解题思路出现在新教材 中值得商榷,可以采用以下两种解题思路。 解法一:令 的单调递增区间是 由 。 当 当 当 由于 即函数 递增区间是 解法二:令 的单调递增区间是 因为 既 以 k 取 0 。可得当 数 ,所以 。所 时, 时, 时, ,且 , 。 。函数 。 所以 ; ; 。 的单调 ; 。函数 。 , 得

, 当 当 由于

, , 所以。因为 区间是 解法二: , 。 。函数 。 ,所以 。所以 k 取 0 。 时函数 单 递减。 函数的单调区间是 ;同理当 的 的 令 间是 所以 当k=-1, 时函数

所以函数 单调递增区间是 解法二: 令 单调递增区间是 因为 ,函 既 当

,所以 k 取 k=-1、0; 时, 即 单调 ;所以 时

当单调递增。可解得

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,函数的单调区间是 ;综上所述,函数 , 的单调递 增区间是 。

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3 解释
“按照新教材的解题思路我们容易得出: , 由于 , 所以得出 k 不存在。 ”

为什么 k 不存在的情况下函数 上还存在递增区间?其实 此时 k 不存在只表明不存在这样 k 的, 使得 。但事实上只 要 即可

说明函数在 存在递增区间。所以 笔者认为新教材中的解题思路值得商榷。存 在一定的局限性。作为一本教材,里面的每个 例题解题思路都应该科学、 合适。 这样才能对 学生起正确的引导作用。 对形如 或 (其中 均为非零常数)的函数的单调 区间,一般用换元法求解,但要注意 和 A 的符合。若 < 0 , 应先利用诱导公式将的系 数化为正数,然后再换元处理。

4 高考链接
(2004.天津卷)函数 为增函数的区间是(   C   ) A   B   C   D 

(2006.福建卷)已知函数 在区间 上的最小值是 - 2 ,则

的最小值等于(   B   ) A      B      C 2    D 3

5 结语
首先应该肯定的是新教材的出台是成功 的。 《普通高中数学课程标准》中明确提出 了自己的指导思想,集中体现在课程理念 上 : ⑴ 构 建 共 同 的 基 础 ,提 供 发 展 平 台 ; ⑵提供多样课程,适应个性选择;⑶倡导积 极主动,勇于探索的学习方式;⑷注重提高 学生的数学思维能力;⑸发展学生的应用意 识;⑹与时俱进认识“双基” ⑺强调本 ; (上接 227 页) 颜色”?恰当的翻译是: 她知道自己和红色 很相配。Then, what's your color?这些 语言让我们有耳目一新的感觉,加之引人入胜 的故事情节, 很受学生的喜欢。 5) 第二课堂的运用 为丰富校园生活,提高学生听、 读、 说、 演 的综合实践能力,我校的英语协会定期举办英 文朗诵、英语演讲、表演英语短剧、开办英语

质,注意适度变化;⑻体现数学的文化价 值;⑼注重信息技术与数学课程的整合;⑽ 建 立 合 理 、科 学 的 评 价 体 系 。 人教版普通高中课程标准实验教科书的 出版坚持了我国数学教育的优良传统,在这 前提下做到认真处理好继承、借鉴、发展、 创新之间的关系,体现基础性、时代性、典 型性和可接受性,是一套符合学生终身发展 需要的,体现社会发展及科学进步的,具有 广泛适应性的高质量高中数学教科书。同时 新教材更加注重信息技术的应用。信息技术 是一种强有力的认知工具,在新教材中体现 了对如何发挥信息技术的力量,帮助学生理 解数学本质上进行了尝试。在“人教网”上 还专门提供了信息技术支持系统。 但新课程的实施、新教材的使用,带给 我们的是压力与挑战。在教学实践中,面对 焕然一新的教科书,我们有喜悦,也有困 惑、质疑。因此,应该树立“用教材教, 而不是教教材”的观念,弄清楚教材编写的 理念与意图,积极面对困难和挑战,寻找对 策,探索实现高中数学课程目标的有效途径。 笔者认为, 要用好手中的新教材, 做好以下几 点是有益的:1)教师要转变观念, 要有终身学 习的意识。 在课程改革中, 教师是新课程实施 的直接参与者;在整个教育过程中, 教师是最 了解学生知识、能力、兴趣的人。因此,要实 现课程的目标, 教师是关键, 教师对新课程的 理解与参与是推进课程改革的前提。我们只 有不断学习新的教育理论与数学专业知识, 提高自身的素质,才能适应不断向前发展变 化的课程改革,为教育改革做出应有的贡献。 2)信息技术的合理运用。 信息技术的运用一定 要适当,不要为了用而用,是需要才用。3)帮 助学生打好基础, 发展能力。 4)教师要加强对 学生学习的引导。 新课程在结构、 内容、 实施、 评价等方面都发生了新的变化,这些对学生 的学习提出了新的要求,从而引发学生学习 方式的变革。 一套好的教材,只能在教学实践中反复 改进提高才能完成。所以作为我们这些教育 工作者和广大同学在试用人教版新教材的过 程中应多多提出宝贵的意见,为我国的数学 课程建设共同贡献力量。人教版教育出版社 中学数学室副主任章建跃同志说: “数学教 育的改革并非一朝一夕的事情,对改革中可 能遇到的问题与困难我们应当有充分的思想

准备。我们恳切希望试验区的广大数学教育 工作者、学生以及家长在使用教材的过程中 提出改进的意见,共同建设新教材,以此不 断提高教材质量。 ”数学课程改革是一个动 态的持续发展过程,我们数学教师应顺应时 代发展的趋势,加强数学教学过程中的对象 意识、情景意识、目的意识及评判意识,转 变教育观念、提高素质修养,本 着 以 人 为 本、注重个性发展的教育新思路,面向全体 学生,通过恰当的教育模式和方法,培养学 生的创造性思维与综合实践能力,为社会培 养出具有创新精神和实践能力的复合型人 才,为我们中华民族的伟大复兴作出新的贡 献。万事开头难,既然我们已经开始了新课 程理念下的数学教学探索,我们就应该相信 自己,只要努力就一定会获得数学教育的成 功 。

参考文献
[1] 刘绍学.普通高中课程标准实验教科书必 修[M]. [2] 李治国,张崇盟,赵宝冬.新课程理念下高 中数学课堂教学的实践与思考[M].人民教 育出版社,2006,02.

故事会等活动。通过参加这些实践活动, 学 生不仅大大提高了阅读量, 而且重视语音、 语调和语感的培养, 自觉养成了晨读的好习 惯。一些内向的同学还通过活动, 克服了害 羞、胆怯的消极心理, 大胆展示自我, 学习的 主动性和积极性在兴趣中得以提升。

1990. [2]文秋芳.英语学习策略论.上海外语教育出 版社,1995.

参考文献
[ 1 ] 胡春洞. 英语教学法. 高等教育出版社,

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