当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

2015年全国高中数学联合竞赛加试解答(B卷)


2015 年全国高中数学联合竞赛加试(B 卷) 参考答案及评分标准
说明: 1. 评阅试卷时,请严格按照本评分标准的评分档次给分. 2. 如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可 参考本评分标准适当划分档次评分, 10 分为一个档次,不要增加其他中间档次. 一、 (本题满分 40 分)证明:对任意三个不全相等的非负实数 a, b, c ,有

r />
(a ? bc) 2 + (b ? ca ) 2 + (c ? ab) 2 1 ≥ , (a ? b) 2 + (b ? c) 2 + (c ? a ) 2 2
并确定等号成立的充分必要条件. 解:当 a, b, c 不全相等时,原不等式等价于
2(a ? bc) 2 + 2(b ? ca ) 2 + 2(c ? ab) 2 ≥ (a ? b) 2 + (b ? c) 2 + (c ? a ) 2 .

上式可化简为
2a 2b 2 + 2b 2c 2 + 2c 2 a 2 ? 12abc ≥ ?2ab ? 2bc ? 2ca ,


a 2b 2 + b 2c 2 + c 2 a 2 + ab + bc + ca ≥ 6abc .



考虑到 a 2b 2 , b 2c 2 , c 2 a 2 , ab, bc, ca ≥ 0 ,故由平均不等式得,

a 2b 2 + b 2c 2 + c 2 a 2 + ab + bc + ca ≥ 6 6 a 2b 2 ? b 2c 2 ? c 2 a 2 ? ab ? bc ? ca = 6abc ,
因此原不等式成立. 下面考虑等号成立的充分必要条件.



…………………20 分

2 2 2 注意到②中等号成立的充分必要条件是 a 2b= b 2c= c 2 a= ab = bc = ca .

= bc = ca ,显然 a= b= c ,与条件矛盾! 若 abc ≠ 0 ,则 ab = bc = ca = 0 , 但 a, b, c 不 全 为 0 , 不 妨 设 a ≠ 0 , 则 若 abc = 0 , 则 ab b= c= 0 .类似可得其余两种情况,即 a, b, c 中恰有一个非零.这时原不等式中
等式确实成立. 因此,原不等式等号成立当且仅当 a, b, c 中有两个是 0,另一个为正数. …………………40 分

1

AB = AC , 二、 (本题满分 40 分) 如图, 在等腰 ?ABC 中,
I 为其内心, D 为 ?ABC 内一点,使得 I , B, C , D 四点共

A

圆.过点 C 作 BD 的平行线,与 AD 的延长线交于点 E . 2 求证: CD = BD ? CE . 证明:连接 BI , CI .设 I , B, C , D 四点在圆 O 上,延长 DE 交圆 O 于 F ,连接 FB, FC . 180° ? ∠BDC = ∠BFC . 因为 BD∥CE , 所以 ∠DCE = 又 由于 ∠CDE = ∠CDF = ∠CBF , 所以 ?BFC ∽ ?DCE ,从而 DC BF . = CE FC

I

D C

B

E



…………………10 分 再证明 AB, AC 与圆 O 相切. 1 1 事实上,因为 ∠ABI =∠ABC =∠ACB = ∠ICB ,所以 2 2 AB 与圆 O 相切.同理 AC 与圆 O 相切. …………………20 分 因 此 有 ?ABD ∽ ?AFB , ?ACD ∽ ?AFC , 故 BD AB AC DC ,即 = = = BF AF AF CF BF BD . ② = B FC DC …………………30 分 DC BD 2 ,即 CD 结合①、②,得 = BD ? CE . = CE DC …………………40 分 使得
a | bc ? 1, b | ac + 1, c | ab + 1 .

A

I

D C

O

E

F

三、 (本题满分 50 分) 证明: 存在无穷多个正整数组 (a, b, c) (a, b, c > 2015) ,

c ab + 1 的特殊情况,此时 c | ab + 1 成立. 证明:考虑=
由 a | bc ? 1 知, a | b(ab + 1) ? 1 ,故
a | b ?1 .

……………10 分 ① ②

由 b | ac + 1 知, b | a (ab + 1) + 1 ,故
b | a +1.

为满足①、②,取 a = k, b = k + 1(k ∈ N* ) ,此时 c = ab + 1 = k 2 + k + 1 . …………………40 分 当正整数 k > 2015 时, (a, b, c ) (k , k + 1, k 2 + k + 1) 均符合条件,因此满足条 = 件的正整数组 (a, b, c) 有无穷多个.
2

…………………50 分

四、 (本题满分 50 分)给定正整数 m, n (2 ? m ? n) .设 a1 , a2 , ?, am 是 1, 2, ?, n 中任取 m 个互不相同的数构成的一个排列.如果存在 k ? {1, 2, ?, m} 使得 ak ? k 为 奇数,或者存在整数 k , l (1 ? k ? l ? m) ,使得 ak ? al ,则称 a1 , a2 , ?, am 是一个“好 排列” .试确定所有好排列的个数. 解: 首先注意, “存在 k ? {1, 2, ?, m} 使得 ak ? k 为奇数”是指存在一个数与它 所在的位置序号的奇偶性不同; “存在整数 k , l (1 ? k ? l ? m) ,使得 ak ? al ”意味 着排列中存在逆序,换言之,此排列不具有单调递增性. 将不是好排列的排列称为“坏排列” ,下面先求坏排列的个数,再用所有排 列数减去坏排列数.注意坏排列同时满足: (1)奇数位必填奇数,偶数位必填偶 数; (2)单调递增. ………………10 分
?n ? m? ? 中任取 m ?? 2 ??

下面来求坏排列的个数. 设 P 是坏排列全体,Q 是在 1, 2, ?, ? 项组成的单调递增数列的全体. 对于 P 中的任意一个排列 a1 , a2 , ?, am ,定义
? a1 ? 1 a2 ? 2 a ? m? ? f (a1 , a2 , ? , am ) ? ? , , ?, m ? ? ?. ? ? 2 2 2 ?

因 为 ak ≤ n, k ≤ m , 故 由 条 件 ( 1 ) 可 知 , 所 有 的

ak + k 均属于集合 2

? ? n + m ?? ? ak + k ? ?1, 2, ? , ? ? .再由条件(2)可知, ? ? (k = 1, 2,? , m) 单调递增.故如 ? ? 2 ?? ? 2 ? ?
上定义的 f 给出了 P → Q 的一个映射.显然 f 是一个单射. ……………30 分

下面证明 f 是一个满射.事实上,对于 Q 中任一个数列 b1 , b2 , ?, bm ,令
ak = 2bk ? k (k =1, 2,? , m) .因为整数 bk +1 > bk ,故 bk +1 ≥ bk + 1 ,从而

ak +1 ?= ak 2(bk +1 ? bk ) ? 1 ≥ 1(1 ≤ k ≤ m ? 1) ,

故 a1 , a2 , ?, am 单调递增.
?n + m? 又 a1 ≥ 1 ,而 am ≤ 2 ? ? m ≤ n ,及 ak + k = 2bk 为偶数,故 a1 , a2 , ?, am 为 ? 2 ? ?

P 中的一个排列.显然 f (a1 , a2 , ?, am ) ? ?b1 , b2 , ?, bm ? ,故 f 是一个满射.

3

综上可见, f 是 P → Q 的一个一一映射,故 P = Q . 又 Q 中的所有数列与集合 ? ?1, 2, ? , ?
m Q ? C ?? m n ? m ? ,从而 P ? C ? n ? m ? . ? ? ?
?? 2 ?? ?? 2 ??

…………40 分

? ? ? ? ?

? ?n ? m?? ?? ? 的所有 m 元子集一一对应,故 ?? 2 ?? ? ? ?

最后,我们用总的排列数 P m n ?
n! ? C ?? m n?m ? . ? (n ? m)! ?? 2 ??

n! 扣除坏排列的数目,得所有的排列的 (n ? m)!

个数为

…………………50 分

4


相关文章:
2016年全国高中数学联赛试题与解答(B卷)(一试、二试(加...
2016年全国高中数学联赛试题与解答(B卷)(一试、二试(加试)_学科竞赛_高中教育...2015年全国高中数学联赛... 18页 3下载券 2013年全国高中数学联赛... 1页...
2015年全国高中数学联赛参考答案(B卷word版)
2015年全国高中数学联赛参考答案(B卷word版)_学科竞赛_高中教育_教育专区。2015...[ ,1) .20 分 2 加试 1: (本题满分 40 分)证明:对任意三个不全相等...
2014年全国高中数学联合竞赛加试(A卷)解答_图文
2014年全国高中数学联合竞赛加试(A卷)解答_学科竞赛_高中教育_教育专区。 文档贡献者 zx0631传奇 贡献于2015-11-21 相关文档推荐 暂无相关推荐文档 ...
2015年全国高中数学联赛(A卷word版本)
2015年全国高中数学联赛(A卷word版本)_学科竞赛_...解答题 9: (本题满分 16 分)若实数 a, b, c...(加试) 1: (本题满分 40 分)设 a1 , a2 ,?...
2015年全国高中数学联赛一试、加试(A卷)_图文
2015年全国高中数学联赛一试、加试(A卷)_学科竞赛_高中教育_教育专区。 文档贡献者 我往旁边 贡献于2016-12-09 1/2 相关文档推荐 ...
2015年全国高中数学联赛试卷解析
2015 年全国高中数学联合竞赛(A 卷) 参考答案及...设 a , b 为不相等的实数,若二次函数 f ( x...综上,联赛加试题一的加强命题获证. 2. (本题...
2015年全国高中数学联赛试题(B)卷(扫描版,解析版)
2015年全国高中数学联赛试题(B)卷(扫描版,解析版)_学科竞赛_高中教育_教育专区。2015 年高中数学联赛试题(B)卷 2015 年高中数学联赛试题(B)卷 ...
2015年全国高中数学联赛试题
2015 年全国高中数学联合竞赛加试试题( A 卷)一、 (本题满分 40 分)设 a1...ABC ? 2?FCB .(解题时请将图画在答卷纸上) A F K B E P O D C ?...
全国高中数学联合竞赛试题及解答加试
//www.zgjhjy.com 1999 年全国高中数学联合竞赛试题及解答 加试 一、(满分 50...这时, |az1+bz2+cz3|=|z1||a+b±ci| = . ; . 类似地,如果 z2=z3,...
2015年全国高中数学联合竞赛的通知 (1)
2015 年全国高中数学联合竞赛的通知各设区市教研室...3.“决赛加试”命题范围与中国数学奥林匹克(冬令营)...由县(市、 区)教研室组考,市教研室派员送卷、...
更多相关标签:
全国高中数学联合竞赛 | 高中数学联合竞赛 | 台湾物理竞赛试题解答 | 国际版高中加试题目 | 全国初中数学联合竞赛 | 全国数学联合竞赛 | 初中数学联合竞赛 | 2014初中数学联合竞赛 |