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高中物理奥林比亚题库


奧林比亞題庫:單元二靜力學

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高中物理奧林比亞題庫
張鎮麟老師編輯 單元二:靜力學
1. [彈簧]: 如圖所示,原長 LO 為 100 公分的輕質彈 簧放置在一光滑的直槽內,彈簧的一端固 定在槽的 O 端,另一端連接一小球,這一 裝置可以從水平位置開始繞 O 點緩緩地 轉到鉛直位置

,設彈簧的形變總是在其彈 O 性限度內,試在下述(a)、(b)兩種情況下, 小球離開原水平面的高度 ho。 (a)在轉動過程中,發現小球距原水平面的高度變化出現 40 公分的極大。 (b)在轉動過程中,發現小球離原水平面的高度不斷增大。 【答案】 (a)37.5cm (b)100cm>ho>50cm 2. [虎克定律]: 一很輕的水平金屬絲在相距為 ? 的兩個支柱上,剛好張緊,但此時張力 可以忽略不計。金屬絲的彈力常數為 K,一個質量 m 的質點繫於金屬絲 中點,並令其下。計算讓質點開始回升前所下落之高度 h。 【答案】 Lo ho

分別求出這種裝置從原來的水平位置開始緩緩地繞 O 點轉到鉛直位置時

mg? 2 13 h=( ) K
A 14m 7m mD D 5m C 5m M E 5m

3. [力平衡]:如圖所示,AB,BC,CD 和

DE 為質量可忽略的等長細線,長度 5m mv 均為 5 公尺,A、E 端懸掛在水平天 花板上,AE=14 公尺,B、D 是質量 均為 mo=7 公斤的相同小球,質量為 M 的重物掛於 C 點,平衡時 C 點離 天花板的垂直距離為 7 公尺,則質量 M 若干? 【答案】 M=18kg 4. [彈力與張力]:如圖所示,一半徑為 R 的剛性光滑 球體靜止放置,質量為 M 的圓環狀均勻彈性繩水 平套在球體上,已知繩環原長時的半徑為 a=R/2, 套在球體上時繩環的半徑變為 b= 2a 。假設彈性 繩滿足虎克定律,求此彈性繩之彈力常數 K。 【答案】
B

b M R

K=

2 + 1 Mg ( ) 2π2 R

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5. [彈力與張力]:如圖所示,靜止的圓錐體鉛直放 置, 頂角為 α ,有一質量為 m 並分佈均勻的細 鍊條圓環水平地套在圓錐體上。忽略鍊條與錐面 之間的摩擦力,試求鍊條中的張力 T。 【答案】 α
m

T=

mg α cot 2π 2

6. [彈力與張力]:重 W 自然長度為 a 彈力常數為 k 的彈性圈放置在頂角為 2 α 的光滑垂直的正圓 錐體上,如圖所示。試求平衡時圈面離圓錐頂點 的距離 h。 【答案】
αα h

h=

cot α W ( cot α + a) 2π 2πk

7. [張力]:如圖所示,兩垂直桿 MN 與 PQ 相 距 2 公尺,一根長 2.4 公尺的繩的兩端拴 在這兩桿上,第一次令兩拴點等高,第二 次使兩拴點不等高,用一光滑的釣子把一 重 50 牛頓的物體掛在繩子上 請問那一次 , 繩子的張力較大?又繩子張力分別為若干 牛頓? 【答案】 一樣大,張力 T = 45N 8. [張力與力]:如圖所示為一平面支 架,由繩索 1、2、3 懸掛使它位於 水平平面。桿 AD、BE、與 CF 的長 度均相等,D、E、F 分別位於桿 BE、 CF 和 AD 的中點,在 F 端作用有鉛 直向下之力 P,求繩索張力 T1,T2 及
1 A F P B D 2 B 3 C N Q M P

T3 (桿重不計)。
【答案】

T1 =

4 2 1 P , T2 = P , T3 = P 7 7 7
B C A R

: 9. [張力與平衡] 均質重鍊的兩端分別接連兩 個小球 A 與 B,且 A、B 重量分別為 P 與 Q,置於半徑為 R 的光滑半圓柱面上。鍊 的單位長度重為 ? ,鍊長由圖所示的已知 角 α 確定。試求系統平衡時的位置(由垂直 於 AB 的直線 OC 與水平所成的 φ 角表示) 。 【答案】

α

ψ

tan φ =

(P + Q) cos α-2?R sin α (P - Q) sin α

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10. [張力]:三個不相同的均質小球放在光滑水平 桌面上,用一根橡皮筋把三球束縳起來。三個 小球的質量均為 m,半徑均為 R。再如圖所 示,將一個質量為 3m,半徑也為 R 的均質小 球放在原三球中間正上方,因受橡皮筋約束, 下面三小球並未分離。設系統處處無摩擦,試 求放置第四個小球後,橡皮筋張力的增加量。 【答案】 O3 O1 O4 O2

6 mg 6
y A Θ G O C C B

11. [正向抗力]:均質桿 AB,長度為 a, 一端靠在光滑鉛直牆上,另一端靠 在光滑固定的側面上,側面為柱 面,柱軸垂直 Oxy 面。如果要使桿 子在 Oxy 面內的任意位置均是平 衡位置,則側面應是什麼形狀的柱 面?

X

【答案】 橢圓柱面,橢圓方程為 x 2 + (2y-a)2 = a2 12. [正向力]:有三個光滑的圓柱體,重量相 等,且半徑均為 r,同置於一塊曲率半徑 為 R 之光滑曲面上如圖所示。試證明下 面兩個圓柱體不致被壓而分開之條件 為: R ≤ (1 + 2 7 )r 【答案】 13. [正向力]:四個相同的球靜止在光滑的大半球形碗內,它們的中心同在一 水平面內,今以另一相同的球放在四球之上,若碗的半徑大於球的半徑 K 倍時,則四球將互相分離。求 K 值。(所有的接觸面都是光滑的) 【答案】 K = 2 13 + 1 14. [力矩平衡]:如圖所示,直徑都是 d 質量都是 m 的金屬球置於直徑為 D 的筒內,已知 2d> D>d,試證筒的質量 M 至少等於 R + + r

2(D-d)m ,圓筒才能倒扣住兩金屬球而不 D
翻倒。 【答案】

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-4B4 B5 A6 A5 B3

15. [力矩與平衡]:有 6 個完全相同的剛 性長條形薄片 AiBi(I=1,2……6),其兩 端下方各有一個小突起,薄片及突起 的重力均不計。現將此 6 個薄片架在 一水平的碗口上,使每個薄片一端的 小突起恰在碗口上,另一端小突起位 於其下方薄片的正中央,由正上方俯 視如圖所示。若將一質量為 m 的質點 放在薄片 A 6B 6 上一點,這一點與此 另一小薄片的小突起 A 1 所施的)壓力。 【答案】 mg/42
B6 A1

m A4

A2

A3 B1

B2

薄片中點的距離等於它與小突起 A 6 的距離。求薄片 A 6B 6 中點所受的(由

16. [力矩與平衡]:一均勻圓桌面由三條相互等距的桌腿在圓桌邊緣上支撐 著,桌腿重量忽略不計。某人坐在正對著一條桌腿的圓桌邊上,恰好使 圓桌以另兩條桌腿著地點連線為軸而傾倒。圓桌傾倒後他再坐到圓桌面 的最高點上,恰好又能使圓桌恢復過來。求桌面半徑與桌腿長度之比值。 【答案】 2 17. [力矩與平衡]:右圖為一半徑為 R 質量為 m1 的均勻圓球 O 與一質量為 m2 的重物 E 分別 用細繩 AD 和 ACE 懸掛於同一點 A,並處於 平衡。已知懸點 A 到球心 O 的距離為 ? ,不 考慮繩的質量和繩與球的摩擦,試求懸掛圓 球的繩 AD 與鉛直線的夾角θ之正弦值 sin θ θ。 【答案】
E O C D A

sin θ =

m2R (m1 + m2 )?

18. [力矩與正向力]:如圖所示,一質量為 m 的 均勻光滑圓棒,靜止在瓷盆中,與鉛直線成 60 o 角,棒的一端與盆底接觸,另一端露在 盆口之外,盆口外部分占捧全長的
60?

1 求盆口 6

處及盆底作用於棒的力的量值和方向。 【答案】

F1 =

3 3 37 3 3 mg , F2 = mg ; tan θ = 10 10 11

19. [力矩與正向力]:有一半球形的光滑碗,其上擱 置一長為 2? 的均勻細棒,如碗的半徑為 R,且

6 有 2R> ? > R ,求細棒平衡時與水平方向 3 的夾角 θ 為多少?
【答案】

R

Θ

cosθ =

? ? 1 ± ( )2 + 8R 8R 2

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-5A

20. [正向力與平衡]:如圖所示,一光滑半球形容器,直 徑為 a,其邊緣恰好與一光滑垂直墻壁相切。現有一 均勻直棒 AB,其 A 端靠在墻上,B 端與容器底相接 觸,當棒傾斜與水平成 60?角時棒恰好靜止。求棒的 長度。 【答案】
B

60? α

(1 +

1 )a 13

21. [抗力與平衡]:如圖所示,一根細棒,上端 A 處用 絞鍊與天花板相連,下端 B 用絞鍊與另一細棒相 連,兩棒長度相等,兩棒只限於圖示的垂直面內 運動,且不計絞鍊處的摩擦。當在 C 端加一適當 的外力(在紙面內)可使兩棒平衡在圖示位置處,即 兩棒間夾角為 90?,且 C 端正處在 A 端的正下方。
C B A

(1)不管兩棒的質量如何,此外力只可能在哪個方向的範圍內? (2)如果 AB 棒的質量 1 公斤,BC 棒的質量 2 公斤,求此外力的和方向。 【答案】 (1)在角 ACB 內向右上方 (2) F =

5 3 58 [N] ; sin θ = 2 58
y B(0,2, 3 ) C(-2,0) FA Fc O A(2,0) X

22. [合力作用點]:如圖所示,在正三角形 ABC 的三個頂點沿三邊分別作用三個共平面力。

FA = 2 牛頓,FB = 4 牛頓,FC = 8 牛頓,則
這三個力的合力的作用線與 y 軸的交點的坐 標為何?

【答案】 3 3 23. [力矩與平衡]:如圖所示,兩完全相同的木板, 長度均為 ? ,質量均為 m,彼此以光滑鉸鏈相 接,並通過光滑鉸鏈與鉛直牆相連,為使兩木板 均呈水平狀態達到平衡 試問應在何處施力?最 , 小的作用力是多少? 【答案】 3
1 A 2

?

?

2

mg

24. [剛體平衡]:輕質橫桿 OB,其 O 端用鉸鏈固定 A 在牆上,B 點用輕繩掛緊,使桿處於水平狀態。 在 B 點掛重為 W 的物體,如圖所示,AB 與 OB 的夾角為 θ 。在把重物的懸點向 O 端移動的過 程中,求牆對桿的作用力的最小量值。 【答案】 Wcos θ
O 0 B

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-6B O θ A C

25. [抗力與平衡]:如圖所示,薄均質三角板,三 邊長 AB、BC、AC 分別為 2R、 3R 、R, 將此板板面垂直地放在光滑的 半徑為 R 的鉛 、 直圓環中,在靜止時,三角板的斜邊 AB 與水 平的夾角 θ 為多大? 【答案】 θ = 30o 26. [力矩與平衡]:如圖所示,代表某一鉛直平 面,在此面內有兩根均勻細桿 AB 和 BC,質 量相同 ,長度分別為 ? 1 , ? 2 它們共同接觸水 A 平地面,端點記為 B,各自的另一端 A 和 C 分別靠在相對的兩堵垂直牆上。已知牆面間 距離為 ? ,且 ? >?1 , ? >?2 , ?1 ≠?2 , ?1 +?2 >?, 大? 【答案】 φ1=φ2= cos-1
ι

C ι1 ψ1 ι2 ψ2 B

且系統處處無摩擦,試求兩桿平衡時它們與水平地面傾斜角 φ1、φ2 各多

? ?1 + ? 2

27. [抗力與平衡]:如圖所示,一 輕質木板 EF 長為 L,E 端用 鉸鍊固定在鉛直牆面上,另 一端用水平輕繩 FD 拉住。 木板上依次放著(2n+1)個圓 柱體,半徑均為 R,每個圓 柱體重量均為 W,木板與牆 E 2 1 D n+1 2n+1 F

的夾角為 α ,一切摩擦都可略去,求 FD 繩上的張力 T。 【答案】

T=

2n + 1 1 1 WR( 2 + + 2n tan α ) 2 L sin α sin α ? cos α

28. [抗力與平衡]:一空心圓環形圓管沿一條直 徑截成兩部分,一半豎立在鉛垂平面內, 如圖所示,管口連線在一水平線上,向管 內入與管壁相切的小鋼珠,左、右側第一 個鋼珠都與圓管截面相切。已知單個鋼珠 向力量值 Nk。假設系統中處處無摩擦。 【答案】
1 2 k K+1 2n 2n-1

重 W,共 2n 個,求從左邊起第 k 個和第 k+1 個綱珠之間的相互作用正

Nk =

sin(kπ / 2n ) w sin(π / 2n )

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-7L
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

29. [重力與平衡]:用 20 塊質量均勻分布 相同光滑積木塊 在光滑水平面上一塊 , 疊一塊地搭成單孔橋 已知每一稱木塊 。 的長度為 L,橫截面是邊長為 h(h=L/4) 的正方形。要求此橋具有最大的跨度 (即橋孔底寬) 。如右示意圖,計算跨 度 K 與橋孔高度 H 的比值。 【答案】 K/H=1.258 30. [力矩與平衡]:如圖所示,物體 A、B 及滾 輪 C 質量均為 M。滾輪 C 由固定在一起的 兩個同心圓盤組成,半徑分別為 2r 和 r 各 接觸面靜摩擦係數均為 ? ,求維持系統平 衡時, ? 最小值為多少? 【答案】 1/3 31. [力矩與平衡]:一個半徑為 r 的均勻球,球重 W,靠在鉛直牆邊,球跟牆面和水平地面間 的靜摩擦係數均為 ? ,現在球上加一鉛直向 下的力 F,如圖所示。為了使球作逆時針方 向轉動 則力 F 之作用線與球心 O 之水平距 , 離為何?(以 F,W,? ,r 表之) 【答案】 (F + W )? (1 + ? )r
C

h=

L 4

H

K

r 2r

B

A

F

S O

(1 + ? 2 )F

32. [摩擦與平衡]:如圖所示,質量 M1 之物體 P 與質量為 M2 之物體 Q 以細繩連接跨過 一光滑小滑輪,放置於與水平成 45?角之 兩傾斜面上,呈靜力平衡,設物體與斜面 之摩擦係數為 0.5。問:
P M1

O

Q M2 45?

(a)若將此系統以順時鐘方向慢慢旋轉,旋轉 θ 角時物體開始滑動, 則 tan θ 為若干? (b)若將此系統以逆時鐘方向慢慢旋轉,旋轉 θ 角時物體開始滑動, 則 tan θ 為若干? 【答案】

θ (a) tan =

3M1- 2 M M1 +3M2
3M 2-M 1 3M 1 + M 2

(b) tan θ =

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33. [摩擦與平衡]:兩個質量相等的物體,用細 繩通過滑輪加以連結,一個放在水平面上, 為一個放在斜面上,而物體與接觸面之摩擦 係數均為 ? ,水平面與斜面間之夾角為 Φ, 要使兩物系統開始運動,角度 Φ有一最大值 試求此 Φ角之餘弦 cos Φ的值為多少? 【答案】 φ

? 2-1 cos Φ=1 或 cos Φ = 2 ? +1
A O C

34. [摩擦與夾具]:如圖所示,用夾具夾一半 徑為 R 的球體,夾具每個臂與球面之間 的摩擦係數均為 ? ,為了能夠夾住球體, 試問夾具的臂長 L 至少應為多少?設重 力的影響可忽略。 【答案】 L ≥ R/ ? 35. [摩擦與平衡]:三個半徑、質量均相同的圓柱 體如圖的方式堆放在地面,互相接觸。已知圓 柱體之間的摩擦係數為 ? 1, 圓柱體與地面之間 的摩擦係數為 ? 2 ,試求使三圓柱體達到平衡 所需之 ? 1 、 ? 2 的最小值。 【答案】

B

?1 ≥

1 1  ; ? 2 ≥ 2+ 3 3(2 + 3 )

36. [摩擦力與力矩]:如圖所示,將重為 W 的均勻木桿的一端用光滑鉸鏈連 接於牆上 B 點,另一端放在光滑半 球面上 A 點,A 點到水平地面的高 度為 h,半球體的球半徑 R。且 R=2h,當該物體靜止時,木桿恰呈 水平,則半球體底面與粗糙水平地 面的摩擦力為何。 【答案】 3 W / 2向右 37. [摩擦與力矩]:長為 a,高為 h,重為 W 的均 勻長方體放在水平桌面上,開始時長方體右側 面與桌面的邊緣切齊,如圖所示。現從左側面 中心加水平力推長方體,使其沿桌面等速滑 動,設長方體跟桌面間摩擦係數為 ? ,那麼從 開始至長方體欲下翻,此水平力 F 之量值為 (1),長方體移動之距離為(2)。 【答案】 (1) ? W (2) (a-? h) / 2 F
R h A B

a h

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-9d x A B

38. [摩擦與平衡]:如圖所示,均勻木板夾在兩 根平行的木棍 A、B 之間,A、B 的間距為 d,木板與水平面之夾角為 θ ,木板與木棍 之間的摩擦係數為 ? 。試求木板靜止時, 其重心 C 與木棍 A 之的距離 X 應滿足的條 件。 【答案】

θ

C

d 當 tanθ ≥? ?x ≥ (tanθ -? ) 2? 當 tanθ < ? ?x ≥0

39. [摩擦與張力]:有一半徑為 R 的圓柱體水平 地橫架在空中,有質量 m1 與 m2(m1=2m2) 的兩個小木塊,用長為
m2 Θ2 Θ1 R m1

π R 的細線相聯,成 2

為一個系統,木塊的大小可以忽略,它與圓 柱表面的靜摩擦係數 ? < 1 細線無質量柔軟 , 且不可伸長,系統橫跨在圓柱上,m1 在右 邊,細線貼在圓柱面上,與圓柱表面無摩擦,橫截面如圖所示。現在使 圓柱繞水平並垂直於紙面通過圓心的軸,沿順時針方向極緩慢地旋轉, 直至某一位置時,圓柱上系統將要開始滑,落由此位置開始,再極緩慢 沿逆時針方向轉動圓柱體。轉過多大角度後,系統開始從左邊滑落?(角 度可用反三角函數表示) 【答案】 用? θ 表示圓柱體轉過的角度,則

1 時 ? θ = tan-1 4 / 3 2 1 2? + 1 ? +2 ? < 時? θ = tan-1 + tan-1 -90o - 2 2-? 1 2? 1 2? + 1 1 ? > 時? θ = tan-1 + tan-1 ? -sin-1 2 2-? 2 1+ ? 2 ?=
40. [摩擦力與提起]:半徑為 r,質量為 m 的三個 相同的球放在水平桌面上,兩兩相互接觸。用 一個高為 1.5r 的圓柱形圓筒(上、下均無底)將 此三球套在筒內,圓筒的內半徑取適當值,使 得各球間以及球與筒壁之間均保持無形變接 觸。現取一質量也為 m,半徑為 R 的第四個 球,放在三球的上方正中,設四個球的表面、圓筒的內壁表面均由相同 物質做成,其相互之間的最大靜摩擦系數均為 3 15 (約等於 0.775),問 R 取何值時,用手輕輕鉛直向上提起圓筒即能將四個球一起提起來? 【答案】 2 3
r O1 r O

(

3

-1)r ≤R ≤(

32 3 33

1)r

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- 10 m O

41. [摩擦力與轉動]:一均質圓柱體的重量 W,放在開口為 90?的 V 形槽中,如圖所 示,欲在此槽中轉動此圓柱體,最小需作 用一力偶矩 m,設圓柱體直徑為 D,試求 此圓柱體與 V 形槽間的摩擦係數。 【答案】

D ± D2-4 ?= 2

: 、 42. [捧子靠在牆角] 重 W 的均勻棒 AB 與牆壁 地面之摩擦係數分別為 ? 1 , ? 2 。將 AB 置於 牆地之間而與地面成 θ 角時,木棒 AB 恰欲 開始下滑,求 θ 角為何? 【答案】

tan =

1 ? 1? 2 - 2? 2
b B A

43. [摩擦力與轉動]:如圖 A、B 是兩個帶柄(a 和 b)的完全相同的長方形物體,C 是一長方 體,C 的質量為 m,它們疊放在一起,並放 在傾斜角為 θ 的斜面上。A、B 與斜面間以及 與 C 之皆有摩擦,C 與 A 或 B 及斜面之間 的靜摩擦係數均為 ? 0 ,設它們原來都處於靜 止狀態。 (1)若一手握住 a,使 A 不動,另一手握住 b,逐漸用力將 B 沿傾斜角為 a
Θ C

θ 的斜面上拉,當力增大到能使 B 剛剛開始上移時,C 動不動?若動,
如何動? (2)此時 A 與 C 之間的摩擦力多大? (3)若握住 b 使 B 不動 握住 a 逐漸用力將 A 沿傾斜角為 θ 的斜面往下拉 , , 當 A 開始移動時,C 動不動?若動,如何動? 【答案】 (1)靜止不動。 (2) mg ( ? o (cos θ-sin θ )) (3)C 與 A 一起沿斜面向下移動。 44. [摩擦與斜面]:如圖所示,底下有兩個很短 的支腳的木板放在斜面上,下面和上面兩個 支撐腳與斜面的摩擦係數分別為 ? 1和? 2, 問 斜面與水平面的夾角 α 的最小值等於多少時 木板開始沿斜面滑下?已知物體質量分布對 【答案】
a h a

1 2

稱,重心到斜面的距離為 h,兩腳之間的寬度為 a。

? +?2 h tan α = ( 1 )/(1 - (? 1-? 2 )) 2 a

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45. [摩擦與碗面]:如圖所示,一均勻直棒傾斜 地放置在粗糙的半球形碗內,若由球心到直 棒兩端所張的圓心角為 2 α ,而且棒與球碗 表與間靜摩擦係數為 ? = tan β ,求水直棒與 水平面間的傾斜角 【答案】 A O 2α
Θ

B

tanθ =

1 tan(α + β ) tan(α -β ) 2

46. [摩擦力與平衡]:如圖所示,在傾 斜角為 α 和 β 的兩個斜面之間放 有均質桿 AB。設 α + β =
A Θ B

π ,桿 2 與兩斜面間的摩擦係數均為 ? ,求

β O

α

平衡時桿 AB 與斜面 OA 的來角 θ 【答案】 (1)當 α>2 tan-1 ? ? α + 2 tan-1 ∈ ? ≥ θ ≥ α-2 tan-1 ? (2)當 α ≤ 2 tan -1 ? ? α + 2 tan ? ≥ θ ≥ 0 47. [最大拉力]:一長度為 L,質量為 m 的木 桿垂直豎立在水平地面上,桿的頂端被 一條固定在地面上的繩索拉住,繩與桿 之間的夾角為 θ ,如右圖所示。已知木 桿與地面之的靜摩擦係數為 ? 2 ,回答下 各題: (a)在距地面高 h 處,以一水平力 F,在 木桿與繩子所構成的鉛垂面內,向右拉 木桿,則欲使木桿維持不滑倒之 F 力的最大值 Fmax 可為多少?(討論在不 同 h 處之最大拉力 Fmax 。)
h F Θ

4 L, 已知繩可維持 5 1000N 之張力而不致於斷裂,試求當施用最大拉力 Fmax 時,地面作用於
(b)設 m=50.0kg, ? s = 0.30 , θ = 30 o   h = , 木桿的正向力。 【答案】

( )當 h < a
L

tan θ ?Fmax = ? S + tan θ

? s mg L ?( ) ? sh L -h 1? (L-h) tan θ

h tan θ L ≥ ? Fmax = Tmax sin θ , 其中Tmax 為最大張力 L u + tan θ h (b) Fmax = 625N ; N = 1356N 當

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48. [推動與否]:如圖所示,質量為 M 的圓柱 體位於可動的平板車和傾斜角為 α 的斜 面之間,圓柱體與小車間的摩擦係數為 O

? 1 ,與斜面之間的摩擦係數為 ? 2 。要使
小車向左等速運動,必須對小車施加多 大的水平推力?(地面與小車之間的摩擦不計) 【答案】 sin α (1)若 (2)若

α

F

1 + cos α

>?2 ? F = 0

sin α ≤? 2 ? F = ∞ 1 + cos α sin α ?F=∞ 1 + cos α

(3)若 ? 1 ≥ (4)若 ?1 <

? (1 + cosx ) sin α ? F = ?1 Mg /(1- 1 ) 1 + cos α sin α
2 P

49. [打鉚釘]:用一力 P=400N 迫使圓錐形鉚 釘進入在固定物體上的相配合的錐孔之 中 。 如 果 拔 掉 鉚 釘 則 需 要 用 力

P' = 300N 。試計算鉚釘與孔之間的摩擦
係數。(提示:在鉚釘運動之前與錐形鉚釘 表面垂直的正向力保持不變。) 【答案】 ? = 7 tan1o 50. [破冰船]:破冰船是靠本身的重量壓碎周 圍的冰塊,同時應把碎冰塊擠向船底, 如困碎冰塊仍擠在冰原與船幫之間,船 幫由於受到巨大的側壓力而可能解體,
碎 冰 塊

P



冰原 船體

為此,如圖所示,船幫與鉛垂面之間必 須有一傾斜角 θ ,設船與冰塊之的靜摩

擦係數為 ? ,問為使碎冰塊能擠向船底, θ 角應滿足什麼條件? 【答案】 tan θ > ? 51. [斜面上拉動]:重 W 的物體放在傾斜角 為 α 的斜面上,物體與斜面間的摩擦係 數為 ? ,今在物體上用力為 P、P 可與斜 面成任意角,如圖所示。求拉動物件沿 【答案】 tanθ = ? , Pmin = WSin(α + θ ) 斜面上升所力 P 的最小值及對應的 θ 角。
P

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- 13 F

52. [越過圓捧體]:半徑為 r 和 R 的兩個圓柱, 置於同一水平粗糙的平面上,如圖所示, 在大圓柱上繞上細繩,在繩端作用一水平 向右的力,求大圓柱有可能翻過小圓柱的 條件。已知所有接觸面的靜摩擦係數為 ? 。 【答案】
R O1

r O2

?s ≥

r R

: 53. [在斜面上數動] 重 5kgw 的小方塊 P 放在傾斜 θ 角的粗糙斜面上,斜面的 AD 邊平行於 BC 邊,今施一平 BC 邊的水平力 F 於 P 上 F 由 0 逐漸增 , 大,P 與斜面間靜摩擦係數為 0.6。 當 P 剛開始要動起來時,F 的量值為何? 又 P 前進的方向與 AB 邊的交角為何? 【答案】 1.483kgw,33?34’

A

D P F

Θ B C

54. [在斜面上移動]:重為 1kN 的物體放在傾斜 角為 30?的斜面上,接觸面之間的摩擦係數
30?

1 為 (摩擦角 φ = 18.4O ) 今有一與斜面平行 。 3
並與最大傾斜線成 30?角的力 P 作用於物 體上,使物體在斜面上保持靜止,如圖所 示。求 P 值的範圍。 【答案】 288.7N ≤P ≤577 .4N 55. [剛體平衡]:有一長為 L,重為 W o 的均勻桿 AB、A 端在垂直的粗糙牆壁上,桿端與牆面 間的靜摩擦係數為 ? ; B 端用一強度足夠而 不可伸長的繩懸掛,繩的另一端固定在牆壁 C 點。木桿呈水平狀態,繩與桿的夾角為 θ , 如圖所示則(1)求桿能保持平衡時 ? 與 θ 應
A P C

P

30?

Θ
B

滿足的條件(2)桿保持平衡時,桿上有一點 P 存在,若在 A 點與 P 點間 任一點懸掛一重物,則當重物的重力 W 足夠大,總可以破壞平衡;而在 P 點與 B 點之任一點懸掛任意重力的重物,都不能使平衡破懷,求出這 一 P 點與 A 點的距離。 【答案】 (1) ? ≥ tan θ (2) AP = L /(1 + ? cot θ )

奧林比亞題庫:單元二靜力學

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(雪撬)在水平雪地上運送一根質量為 m,長為 ? 56. [雪撬]:用兩個〝爬犁〞 的均勻橫樑,橫樑保持水平,簡化示意如圖,每個爬犁的上端 A 與被運 送的橫樑端頭固連,下端 B 與雪地接觸,假設接觸面積很小,一水平牽 引力 F 作用於前爬犁,作用點到雪地的距離用 h 表示,已知前爬犁與地 間的動摩擦係數 ? 1 ,後爬犁與雪地間的 動摩擦係數為 ? 2 ,問要在前後兩爬犁都 與雪地接觸的條件下,使橫樑雪地等速 向前移動 h 應滿足什麼條件?水平牽引 , 力 F 應多大?設爬犁的質量可忽略不 計。 【答案】
A B k2

ι
A

m
k1 B h

F

h≤

1 1 ? ?(? 1 + ? 2 ) ? ; F= ? ?mg 2? 1 2 ? ?-(? 1-? 2 )h ?

57. [斜面上任意平衡]:如圖所示,一彈性輕繩固在一 粗糙斜面上,一端繫有一重 P 的物體 A,置物斜面 上,問物體能在斜面的哪一部分區域內靜止?繩的 彈力與形變關係服從虎克定律,設繩原長 L,彈力 常數為 k,斜面傾斜角為 α ,最大靜摩擦係數為 ? 。 【答案】
O P α

方程式: k 2 ( x 2 + y 2-L) 2 + 2k ( x 2 + y 2-L)Psinα ×

y x 2 + y2

+ P 2 (sin 2 α -? 2 cos 2 α ) ≤ 0

58. [摩擦力與轉動]有一木板可繞其下端的水平軸轉 動,轉軸位於一鉛直牆面上,如圖所示,開始時木 板與牆面的夾角為 15?,在夾角中放一正圓柱形木 棍,截面半徑為 r,在木板外側加一力 F 使其保持平 衡,在木棍端面上畫一垂直向上的箭頭,已知木棍 與牆面之間和木棍與木板之間的靜摩擦係數分別為

? 1 = 1.00 ,? 2 = 1/ 3 ≈ 0.577,若極緩慢地減小
所加的力 F,使夾角慢慢張開,木棍下落,問當夾角張到 60?時,木棍 端面上的箭頭指向什麼方向?附三角函數表。 7.5? 0.131 0.991 15? 0.259 0.966 30? 0.500 0.866 60? 0.866 0.500

Θ SinΘ CosΘ

【答案】 箭頭最後指向為由正上方沿順時針轉過 135?角之方向

奧林比亞題庫:單元二靜力學

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59. [液體壓力]:石頭材質的水庫底上有一棱長為 a=2 公尺的立方體,其材料密度是水密度的 7 倍。想用一裝置把立方體從水庫底提上來,該裝 置採用吸盤原理如圖所示,即把一邊長為 a 的正 方形吸盤緊扣在立方體的上表面,抽走吸盤內的 空氣直至壓力 P=0。能不能借這個裝置把立方體拉到水面?如果不能,在 什麼水深立方體脫離吸盤?已知大氣壓力 Po=105 帕;g=10 公尺/秒 2。 【答案】 H<2 公尺 60. [液體壓力]:如圖所示,杯中盛有密度均勻的混合 液體,其密度為 ρ ,經過一段時間後變為密度為 ρ 1 和 ρ 2 (ρ 2 > ρ 1 ) 的兩層均勻液體。設其總體積不 變,則杯內底面所受的液體的壓力是否有變化?若 有變,化如何變化?試証明你的結論。 【答案】 壓力增加 61. [氣體與壓力]:有一個用伸縮性極小且不漏氣的布料製作的氣球(布的質 量可忽略不計),直徑為 d=2.0 公尺,球內充有壓力 Po=1.005×105 帕的 氣體,該布料所能承受的最大不被撕破力為 8.5×103 牛頓/公尺(即對於一 塊展平的一公尺寬的布料,沿布面而垂直於布料寬度方向所施加的力超 過 8.5×103 牛頓時,布料將被撕破),開始時,氣球被置於地面上,該處 的大氣壓力為 Pao=1.000×105 帕,溫度 To=293K,假設空氣的壓力和溫 度均隨高度而線性地變化,壓力變化為 α p=-9.0 帕/公尺,溫度的變化 為 α T=-3.0×10-3k/m,問該氣球上升到多高度時將破裂?假設氣球上升 很緩慢,可認為氣球內溫度隨時與周圍空氣的溫度保持一致,在考慮氣 球破裂時,可忽略氣球周圍各處和底部之間空氣壓力的差別。 【答案】 H>2.1×103m 62. [平衡態]:一邊長為 a 的均質立方體,放在一半徑為 R 的球面上如圖,R 應滿足什麼條件才能使其成為 平衡? 【答案】 R>a/2 63. [平衡態]:質量 m 長 b 的均勻細棒用一根不可伸長的繩拴在彈力常數為 k 的彈簧上。繩繞過一固定於 P 點的光滑小滑輪,棒可無摩擦地繞 A 自 由轉動,如圖,-π < θ < π ,當 C=0 時,彈簧為 自然長度。假定 b<a,重力作用鉛直向下,求系 統處於靜態平衡時的 θ 值 在各種情況下討論平衡 , 是穩定平衡,不穩定平衡,還是隨遇平衡(注意: PA 線與 g 平行)。 【答案】 (1)ka=1/2mg,隨遇平衡 (2)ka<1/2mg ? = π 為穩定平衡, θ = 0 為不穩定平衡 θ
A m k P a Θ c b R

ρ

ρ1
ρ2

θ (3)ka>1/2mg ? = π 為不穩定平衡, θ = 0 為穩定平衡
64. [木塊在液面]:(1)正截面為正方形的長方體均質木料放在水中,若其長

奧林比亞題庫:單元二靜力學

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邊始終平行於水面,試討論:木料浮在水上(即部分在水面下方,部分在 水面上方)平衡的條件? (2)密度為 ρ 的液體中浮有一立方體形均質木塊,該木塊的邊長為 2a,密 度為 ρ /2。若木塊在平衡位置附近繞木塊中心軸作一微小偏轉,試討論 木塊將如何運動,忽略水和空氣的阻力。 【答案】 65. [平衡態]:如圖所示,浮子由兩個半徑為 R 的球冠相合而成,質量為 m1,中心厚度為

h(< 2R ) ,長為 L 質量為 m2 的均勻細桿從
浮子中心垂直插入,下端恰好到達下球冠表 ι 面,細桿的鉛垂位置顯然是一個平衡位置, R 試分析平衡的穩定性。 【答案】 66. [木棒入水之平衡]:用一根細線鉛直懸掛一根 長為 ? 的均勻細木桿,置於水桶內水面上方, 如圖所示。當水桶緩慢上提時,細木桿逐漸浸 入水中。當木桿浸入水中超過一定深度 ?' 時, 木桿開始出現傾斜現象。?' 求已知木桿密度為 h

ι

ρ ,水的密度為 ρ 0
【答案】

?' = ?(1- 1-ρ / ρ 0 )
真空

67. [液體壓力]:在一個大而密封、 盛水的容器的底部倒扣著一只 質量為 m 的碗。碗的外形是圓 z 柱形的,其半徑高均為 R(圓柱 形的底面平行於水面)。碗的內 表面是半球形的,其半徑也為 R。容器內的水面與容器頂壁之

R

水銀

接抽水機

間的空間處於真空狀態,如圖所示。在碗內注滿水銀。然後緩緩地從容 器中抽水。試問:(1)當容器中水的高度為多大時,碗才開始脫離容器的 底部,這時水銀開始從碗邊流出。(2)當容器內的水全部抽完,且不計水 蒸氣壓時,試求出碗內水銀的高度的數值。設水的密度 ρ w 和水銀密度

ρ Hg, 已知。球冠體積公式為π H2 (R- ) ,其中 H 為球冠的高度。
【答案】 (1) h1 = R (

H 3

ρ Hg m + 1)- 2 3ρ w πR ρ w
)
1 3

(2) h2 = (

3m

πρ Hg

奧林比亞題庫:單元二靜力學

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68. [表面張力]:在水平放置的乾淨的平玻璃板上倒一 些水銀,由於重力和表面張力的影響,水銀近似 呈圓餅形狀(側面向外凸),過圓餅軸線的垂直截面 如圖所示,為了計算方便水銀和玻璃的接觸角可 按 180?計算,已知水銀的密度 ρ = 13 . 6 × 10 3 公斤/公尺 3,水銀的表 面張力 T=0.49 牛頓/公尺,當圓餅的半徑很大時,試估算其厚度 h 的 數值大約是多少?(取 1 位有效數字即可) 【答案】 3×10-3m 或 4×10-3m 約 : 69. [平細現象] 在三根兩端開口的相同毛細管中分別滴上三滴水後均將它們 垂直放置。若這三根毛細管中分別形成長為(1)2 公分;(2)4 公分;(3)2.98 公分的水柱,而毛細管的內直徑均為 1 公釐。試問在上述三種情況中, 水柱的上 下液面是向液體內部凹的還是向外凸的?設毛細管能完全潤濕 、 水,水的表面張力 T=0.073 牛頓/公尺。 【答案】 上端液面為凹形; (1)下端凹向液體 (2)下端液面凸向外 (3)下端液面水平 70. [重心位置]:一薄壁圓柱型燒杯,半徑為 r,質量為 m,重心位於中心線 上,離杯底的距離為 H,今將水慢慢注入杯中,問燒杯連同杯內的水共 同重心最低時水面離杯底的距離等於多少? 【答案】 h

h=

-m + m 2 + 2πr 2 ρmH ρπr 2

71. [表面張力]:兩個肥皂泡相接觸,將會融合。 在其融合前,常有一個中間階段,在兩肥皂泡 之產生一層薄膜,如圖,已知兩肥皂泡的曲率 半徑分別為 r1 和 r2,求兩者之間的那層薄膜的 曲率半徑。 【答案】 r1r2 r1 r2

r1-r2
72. [表面能]:在 10 平方公里的湖面上,下了場 10 公釐的雨,已知雨滴的 半徑 r=1.0 公釐,水的表面張力為 7.3×10-2 牛頓/公尺,求雨滴釋放的 能量。 【答案】 2.19X107 焦耳

奧林比亞題庫:單元二靜力學

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73. [系統穩定性]:兩條質量均為m的相同的均勻細桿 AB、BC 在 B 端相連,桿 AB 的上端 A 與天花板上的 固定點相連,桿 BC 的下端 C 與水平地面相觸,A 點 和 B 點的連接都是光滑的,地面是粗糙的,A 點到地 面的距離為桿長的 2 倍,整個系統可在鉛直平面內 自由轉動。θ 1和θ 2 分別為兩桿與鉛直線的夾角,如圖 所示: (1) 試討論在什麼條件下,無論桿與地面間的動摩擦係數多麼大,這 兩桿組成的系統都不可能達到平衡。要求利用計算機數值計算法 找出處於這種情況時 θ 1 的取值範圍。 (2) 討論該系統處在各種平衡位置時摩擦力 f 的量值 (用 θ 1和θ 2 表示) 和方向。 【答案】


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