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高中必修1-5错误解题分析系列-《12.2频率分布直方图、折线图与茎叶图》


12.2 频率分布直方图、折线图与茎叶图 一、知识导学 1.频率分布表:反映总体频率分布的表格. 2.一般地,编制频率分布表的步骤如下: (1)求全距,决定组数和组距,组距=

全距 ; (2) 组数

分组,通常对组内数值所在区间取左闭右开区间,最后一组取闭区间; (3)登记频数,计算 频率,列出频率分布表. 3. 频率(分布)直方图:利

用直方图反映样本的频率分布规律. 4. 一般地,作频率分布直方图的方法为: (1)把横轴分成若干段,每一线段对应一个组的 组距; (2)以此线段为底作矩形,它的高等于该组的

频率 ,这样得出一系列的矩形; 组距

(3)每个矩形的面积恰好是该组上的频率. 5. 频率折线图:如果将频率分布直方图中各相邻的矩形的上底边的中点顺次连接起,就得 到一条折线,称这条折线为本组数据的频率折线图. 6. 制作茎叶图的方法是:将所有两位数的十位数字作为“茎” ,个位数字作为“叶” ,茎相 同者共用一个茎,茎按从小到大的顺序从上向下列出,共茎的叶一般按从大到小(或从 小到大)的顺序同行列出. 二、疑难知识导析 1. 在编制频率分布表时,要选择适当的组距和起始点才可以使频率分布表更好地反映数据 的分布情况. 2. 在编制频率分布表时,如果取全距时不利于分组(如不能被组数整除) ,可适当增大全 距,如在左右两端各增加适当范围(尽量使两端增加的量相同). 3. 频率折线图的优点是它反映了数据的变化趋势,如果将样本容量取得足够大,分组的组 距取得足够小,则这条折线将趋于一条曲线,我们称这一曲线为总体分布的密度曲线. 4. 茎叶图对于分布在 0~99 的容量较小的数据比较合适,此时,茎叶图比直方图更详尽地 表示原始数据的信息. 5. 在茎叶图中,茎也可以放两位,后面位数多可以四舍五入后再制图. 三、典型例题导讲 [例 1](06 全国卷)一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了 10000 人,并根据所得数 据画了样本的频率分布直方图(如下图).为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面

? 的关系,要从这 10000 人用再用分层抽样方法抽出 100 人作进一步调查,则在 ?25003000 ,
(元)月收入段应抽出 人.

解析:由直方图可得 [2500,3000) (元)月收入段共有 10000 ? 0.0005 ? 500 ? 2500 人, 按分层抽样应抽出 2500 ?

100 ? 25 人.故答案 25 10000

点评:频率分布直方图中,关健要理解图中数据的意义,特别是图中每个小矩形的面积才是 这一组距内个体的频率. [例 2]从有甲乙两台机器生产的零件中各随机抽取 15 个进行检验,相关指标的检验结果为: 甲:534,517,528,522,513,516,527,526,520,508,533,524,518,522,512 乙:512,520,523,516,530,510,518,521,528,532,507,516,524,526,514 画出上述数据的茎叶图 错解: 甲 乙 8 0 7 87632 1 024668 8764220 2 013468 43 3 02 4 错因:对于两位数是将两位数的十位数字作为“茎” ,个位数字作为“叶” ,茎相同者共用一 个茎,茎按从小到大的顺序从上向下列出,共茎的叶一般按从大到小(或从小到大)的顺序 同行列出,对于三位数字,应该把前两位数字作为茎,最后一位数字作为叶,然后从图中观 察数据的分布情况,而不是仍考虑两位数,尽管此题的效果一样. 正解:用前两位数作为茎,茎叶图为 甲 乙 8 50 7 87632 51 024668 8764220 52 013468 43 53 02 54 从图中可以看出,甲机床生产的零件的指标分布大致对称,平均分在 520 左右,中位数 和众数都是 522,乙机床生产的零件的指标分布也大致对称,平均分也在 520 左右,中位数 和众数分别是 520 和 516,总的看,甲的指标略大一些. [例 3]在绘制频率分布直方图的第三个矩形时,矩形高度 ① 与这个矩形的宽度(组距)有关; ② 与样本容量 n 无关; ③ 与第三个分组的频数有关; ④ 与直方图的起始点无关. 以上结论中正确的共有() A.0 个 B.1 个 C. 2 个 D.3 个

错解:D. 错因:起始点与组距均影响第三组的频数,所以矩形高度与以上各因素均有关,①③正确, 正解:C. [例 4]根据中国银行的外汇牌价, 2005 年第一季度的 60 个工作日中, 欧元的现汇买入价 (100 欧元的外汇可兑换的人民币)的分组与各组频数如下: 〔1050,1060〕 〔1060,1070〕 :1, :7, 〔1070,1080〕 :20, 〔1080,1090〕 :11, 〔1090,1100〕 :13, 〔1100,1110〕 :6, 〔1110, 1120〕 :2. (1)列出欧元的现汇买入价的频率分布表; (2)估计欧元的现汇买入价在区间 1065~1105 内的频率; (3)如果欧元的现汇买入价不超过 x 的频率的估计值为 0.95,求此 x 解: (1)欧元的现汇买入价的频率分布表为: 分组 [1050,1060﹚ [1060,1070﹚ [1070,1080﹚ [1080,1090﹚ [1090,1100﹚ [1100,1110﹚ [1110,1120﹚ 合计 频数 1 7 20 11 13 6 2 60 频率 0.017 0.117 0.333 0.183 0.217 0.100 0.033 1.000

(2)欧元现汇买入价在区间 1065~1105 内的频率的估计值为

0.117 ?

1070 ? 1065 1105 ? 1100 ? 0.333 ? 0.183 ? 0.217 ? 0.100 ? ? 0.84 1070 ? 1060 1110 ? 1100 x ? 1100 ? 0.95,? x ? 1108 .3 即欧 1110 ? 1100

(3) 因为 0.017+0.117+0.333+0.183+0.217=0.867 0.95, 〈 0.017+……+0.217+0.100=0.967〉 0.95, 所以 x 在[1100,1110]内,且满足 0.867+0.100 ? 元现汇买入价不超过 1108.3 的频率的估计为 0.95 [例 5]初一年级某班期中考试的数学成绩统计如下:
分数段 人数

100 2

90—99 6

80--89 12

70--79 21

60--69 7

0--59 2

如果 80 分以上(包括 80 分)定为成绩优秀,60 分以上(包括 60 分)定为成绩及格. 那么, 在这个班级的这次成绩统计中, 成绩不及格的频率是多少?成绩及格的频率是多少? 成绩优秀的频率是多少? 解:被统计的对象(参加这次考试的本班学生)共有 2+6+12+21+7+2=50 个.60 分以上 的有 48 个,80 分以上的有 20 个,所以成绩不及格的频率是
48 20 ? 0.96 ,成绩优秀的频率是 ? 0 .4 50 50 2 ? 0.04 ,成绩及格的频率是 50

.

说明 要计算一组数据中某个对象的频率,要先计算数据的总的个数,再计算符合这个 对象要求的数据的个数.某个对象可以是一个确定的数据,也可以是在某一范围内数据的总 数.

[例 6]在英语单词 frequency 和英语词组 relative frequency 中,频数最大的各是哪个字母?它 们的频数和频率各是多少? 解:在 frequency 和英语词组 relative frequency 中,频数最大的字母都是 e,在单词 frequency 中,e 的频数是 2,频率是 2 ;在词组 relative frequency 中,e 的频数是 4,频率是
9 4 17

.

点评:在两组数据中,同一个对象的频数相等,但频率不一定相等,频数大,不一定频率大. 在同一组数据中,某两个对象的频数相等,频率也相等;频数大,频率也大. 一、 典型习题导练

1. (06 年重庆卷)为了了解某地区高三学生的身体发育情况,抽查了该地区 100 名年龄为

17 .5 ? 18 岁的男生体重 kg ,得到频率分布直方图如下:

根据上图可得这 100 名学生中体重在 [56.5,64.5] 的学生人数是( A. 20 B.30 C.40 D. 50

).

2. 一个容量为 800 的样本,某组的频率为 6.25%,则这一组的频数是 3. 某校随机抽取了 20 名学生,测量得到的视力数据如下:4.7,4.2,5.0,4.1,4.0,4.9, 5.1,4.5,4.8,5.2,5.0,4.0,4.5,4.8,4.7,4.8,4.6,4.9,5.3,4.0 (1) 列出频率分布表(共分 5 组) (2) 估计该校学生的近视率(视力低于 4.9) 4. 用一个容量为 200 的样本制作频率分布直方图时,共分 13 组,组距为 6,起始点为 10, 第 4 组的频数为 25,则直方图中第 4 个小矩形的宽和高分别是多少? 5. 200 名学生某次考试的成绩的分组及各组频率如下表: 分组 频数

?0,40?
2

?40,60?
11

?60,70?
30

?70,80?
52

?80,90?
85

?90,100?
20

则及格率,优秀率( ? 85 )的估计分别是 6.某地随机检查了 140 名成年男性红细胞( 10 / L) ,数据的分组及频率如下表: 分组 频数 2 6 11 25 32 27 频率 分组 频数 17 13 4 2 1 140 频率
12

?3.8,4.0? ?4.0,4.2? ?4.2,4.4? ?4.4,4.6?
?4.6,4.8?

?5.0,5.2? ?5.2,5.4? ?5.4,5.6? ?5.6,5.8?
?5.8,6.0?
合计

?4.8,5.0?

(1)完成上面的频率分布表 (2)根据上面的图表,估计成年男性红细胞数在正常值(4.0~5.5)内的百分比 7.名著《简爱》的中英文版本中,第一节部分内容每句句子所含单词(字)数如下:英文 句子所含单词数 10,52,56,40,79,9,23,11,10,21,30,31;中文句子所含字数 11, 79,7,20,63,33,45,36,87,9,11,37,17,18,71,75,51. (1)作出这些数据的茎叶图; (2)比较茎叶图,你能得到什么结论?


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