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抛物线的定义与标准方程


§2.3.1 抛物线的定义与标准方程

二次函数 y ? ax ? bx ? c(a ? 0)
2

a>0 y 图 象 O
b x?? 2a

a<0 y

x

O
b x?? 2a

x

实验:任给一个定点F和一条定直线l.设计适当的方法或装置画 出到F和l距离相等的点的轨迹并观察轨迹的形状.
1.取一直尺,直角三角板,细线, 2.将细线一端固定在一直角边A点,使线 长等于AC的长度. 3.将线另一端固定在定点F. 4、将三角板的另一直角边紧靠直尺边 缘,与L重合。 5.用笔靠着细线将它绷紧,使笔贴在三 角板上AC之间,然后将三角板沿直尺上 下滑动.

抛物线的定义 到定点F和定直线l (F ? l)距离相等的点P的轨迹是抛物线。
定点F叫做抛物线的焦点,定直线l叫做抛物线 的准线

y
K O

P

l
则点P的轨迹是什么?
过点F与l垂直的一条直线
F

F

x

若F ? l , 且动点P满足到定点F与定直线l的距离相等,

l

P

已知定点F,定直线L且F ? L。动点P到点F与直线L的距离相等 ( 设点F到直线L的距离为p), 求动点P的轨迹方程。

y
y
P P

y

P

K

F
图1

x

K

F
图2

x

K

O F
图3

x

L

L

L

y 2 ? 2 px ? p2

y 2 ? 2 px ? p 2

y2 ? 2 px

已知定点F与定直线l (如图3所示),过点F作直线l 的垂线,取K F的中点

p p 设p ? FK ,则点F( , 0 ),准线方程为x= 2 2 点M (x, y )为抛物线上任意一点, ME ? MF

为坐标原点, O F为x轴的正方向,建立直角坐标系。

y
E

M(x,y)

求曲线方程的一般步骤: (1)建系

K O

F( p , 0 )x
2

(2)设点
(3)列式 (4)化简

p 图3 x?? 2

l

(5)检验

y
E

P(x,y)

K O

F( p , 0 )x
2

y2=2px(p>0)

l
E

P

x2=2py(p>0)
O

E

P

K

F

y

K O

F

y

lx

l x

图形 yP
K O

l

F

Py

FO

y
F
O K K

l

K

y
O

F

(( 的 ( 1、焦点要看一 标准方程 焦点坐标 准线方程 距 ) ) 次项。 离 ) 焦垂 为 焦 p p 点足 ,0 ) y2=2px(p>0) ( 2、开口方向朝 x?? p 点 2 x 2 在与 2 到 向焦点所在的方 坐焦 准 向. 标点 线 y2= -2px(p>0) p p 轴关 的 (? ,0) x? 上于 距 2 2 x 。原 离 点 均 对 为 p p ? ? 2 x =2py(p>0) ? 0, x 称 ? y?? 2? 。 ? l 2 它 们 与 p? p l x2=-2py(p>0) ? 原 ? 0,? ? y ? 2? ? 点 x 2 2 1 , 3 p

yP
K O

y
F

P

Py

y
O
K

l
图1

x

F
O K

x

l

FO

l

x

F

l
x

图2
x2=2py(p>0)

图3
y2= -2px(p>0)

图4
x2=-2py(p>0)

y2=2px(p>0)

例1、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程 () 1 y2 ? 4x ( 2) y ? 4 x 2 ? 0

解:()方程具有形式 1 y 2 ? 2 px (p> 0)

y

? 2 p ? 4即p= 2
p ? 焦点坐标为( , 0 )即(, 10 ) 2
O

p ? 准线方程为x= - 即x ? ?1 2

p F ( , 0 )x 0 ) F(1, 2

p x x? ?? ?1 2

例1、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程 () 1 y2 ? 4x ( 2) y ? 4 x 2 ? 0

y
1 ()方程可化为x 2 ?? y 4
2

方程具有形式x ? ?2 py (p> 0)
2

1 1 即p= 4 8 p 1 ? 焦点坐标为(0, - )即(0, - ) 2 16 ? ?2 p ? ?

1p y? y? 16 2
O

x
16 2

p 1 ? 准线方程为y= 即y ? 2 16

F

1 p) F (0,(0, - )

例2、求过点A(-3,2)的抛物线的标准方程。 解:当抛物线的焦点在y轴的正半轴上时,

抛物线的标准方程为x2 ? 2 py( p ? 0)
9 4 9 抛物线的标准方程为x 2 ? y 2
2 ? (? 3 ) ? 2 p ? 2 得:p ?

抛物线过点( A ? 3, 2 )



y

A(-3,2)
O

x

当抛物线的焦点在x轴的负半轴上时,

抛物线的标准方程为y2 ? ?2 px( p ? 0)
抛物线过点( A ?3 , 2 )

2 ? 2 ? ?2 p ? (? 3 ) 得:p ? 32 4 抛物线的标准方程为y ? ? x 3 9 4 2 综上,抛物线的标准方程为x = y或y 2 ? ? x 2 3
2

例、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程,并画出其简图。
(1) y
2

( 2) x 2

1 ? ? x 4 ? ay ? 0, 其中a ? 0

解:()方程具有形式 1 y 2 ? ?2 px (p> 0)
? ?2 p ? ? 1 1 即p= 4 8

y

p 1 ? 焦点坐标为(- , 0 )即(- , 0 ) 2 16

p 1 O (, 0 ) , 0 ) F 2 F (16

x

p 1 ? 准线方程为x= 即x ? 2 16

p 1 x ? x? 2 16

例、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程, 并画出其简图。
(1) y 2 ? ? ( 2) x 2 1 x 4 ? ay ? 0, 其中a ? 0

y

2 ()方程可化为x 2 ? ay(a ? 0)

方程具有形式x 2 ? 2 py (p> 0)
? 2 p ? a即p=

p a ? 焦点坐标为(0, )即(0, ) 2 4

a 2

pa F (0,) ) F (0, 2

O

4

x p y?? a
y?? 2 4

p a ? 准线方程为y= - 即y ? ? 2 4





课本P55练习----1 P56练习-----2 补充1、求过点A(5,-6)的抛物线 的标准方程。 练习册P62---1至6



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