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山西省山大附中2014届高三5月模拟 数学理 Word版含答案


山西大学附中 2013—2014 学年高三第二学期 5 月下数学试题(理科)
考试时间:120 分钟 满分: 150 分 一、选择题: (本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中只有 一个选项符合题目要求) 1.已知集合 A ? {2, 0, 1, 4} ,集合 B ? {x 0 ? x ? 4, x ? R} ,集合 C ? A 可表示为 A.{2, 0,1, 4} B. {1, 2, 3, 4}
5

B .则集合 C

C.{1, 2, 4}

D. {x 0 ? x ? 4, x ? R}

2.复数 z ? ( 3 ? i )i ? i ( i 为虚数单位) ,则复数 z 的共轭复数为 A. 2 ? i B. 2 ? i C. 4 ? i D. 4 ? i 3. 设 ? , ? , ? 为平面, m, n 为直线,则 m ? ? 的一个充分条件是 A. ? ? ? ,? ? ? ? n, m ? n B. ? ? ? ? m,? ? ? , ? ? ? C. ? ? ? , ? ? ? , m ? ? D. n ? ? , n ? ? , m ? ? 4.阅读如下程序框图,如果输出 i ? 4 ,那么空白的判断框中应填人的条件是

A. S ? 10 ?
?
2 0 2

B. S ? 12 ?

C. S ? 14 ?

D. S ? 16 ?
频率 组距

x dx ? 5. ? sin 0.1 2 ? 1 ? 1 ? A. 0 B. ? C. ? D. ? 1 4 2 4 4 2 0.06 6.右图是一容量为 100 的样本的重量的频率分布直方图,则由图可估
计样本重量的中位数为 A.11 B.11.5
9

C.12
4 3 2

D.12.5
O 5 10 15 20 重量

7. ? a ? b ? c ? 的展开式中, a b c 项的系数为 A.126 B.420 C.630 D.1260 8.某几何体的三视图如图所示,其中俯视图为扇形,则该几何体的体 积为

2? 16? D. 3 9 9 2 O 为坐标原点. 9. 过抛物线 y ? 4 x 焦点 F 的直线交其于 A, B 两点, 若 | AF |? 3 ,则 ?AOB 的面积为
A. B.

2? 3

?

C.

A.

2 2

B. 2

C.

3 2 2

D. 2 2

10.由 y ? f ( x) 的图象向左平移

?
3

个单位,再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来

的 2 倍得到 y ? 2sin(3 x ? ? ) 的图象,则 f ( x ) 为

1 6

1 1 D. 2sin(6 x ? ? ) 3 3 x 11.现有四个函数:① y ? x ? sin x ;② y ? x ? cos x ;③ y ? x? | cos x | ;④ y ? x ? 2 的
A. 2sin( x ? B. 2sin(6 x ? ? ) C. 2sin( x ? ? ) 图象(部分)如下: y y y y

3 2

1 ?) 6

1 6

3 2

x x x x x X X 则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是 A.①④③② X B.①④②③ C.④①②③ D.③④②① x x X 12. 定义在 R 上的函数 f ( x) 满足: f ( x) ? f ?( x) ? 1, f (0) ? 4, 则不等式 e f ( x) ? e ? 3 o (其中 e 为自然对数的底数)的解集为 A. ? 0, ?? ? B. ? ??, 0 ?

? 3, ?? ?

C. ? ??, 0 ?

? 0, ?? ?

D. ? 3, ?? ?

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.已知向量 a ? ( x ? z , 1) , b ? (2 , y ? z ) ,且 a ? b ,若变量 x , y 满足约束条件

? x ? ?1 ? ,则 z 的最大值为 . ?y ? x ?3 x ? 2 y ? 5 ? 14.正四面体 ABCD 的棱长为 4, E 为棱 BC 的中点,过 E 作其外接球的截面,则截面
面积的最小值为______. 15.有 4 张分别标有数字 1,2,3,4 的红色卡片和 4 张分别标有数字 1,2,3,4 的蓝 色卡片,从这 8 张卡片中取出 4 张卡片排成一行,则这一行的 4 张卡片所标数字之和等 于 10 的概率为 . 16.设 O 是 ?ABC 的三边中垂线的交点, a, b, c 分别为角 A, B, C 对应的边,已知

uuu r uuu r b 2 ? 2b ? c 2 ? 0 ,则 BC ? AO 的范围是___________________.

三、解答题: 17. (本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 中, a1 ? 5 且 an ? 2an ?1 ? 2n ? 1 ( n ? 2 且 n ? N * ) .

? an ? 1 ? 为等差数列; n ? ? 2 ? (Ⅱ)求数列 {an } 的前 n 项和 S n .
(Ⅰ)证明:数列 ?

18. (本小题满分 12 分) 公安部最新修订的《机动车驾驶证申领和使用规定》于 2013 年 1 月 1 日起正式实施,新 规实施后,获取驾照要经过三个科目的考试,先考科目一(理论一) ,科目一过关后才能 再考科目二(桩考和路考) ,科目二过关后还要考科目三(理论二) .只有三个科目都过 关后才能拿到驾驶证.某驾校现有 100 名新学员,第一批参加考试的 20 人各科目通过的 人数情况如下表: 参考人数 20 通过科目一人数 12 通过科目二人数 4 通过科目三人数 2

请你根据表中的数据: (Ⅰ)估计该驾校这 100 名新学员有多少人一次性(不补考)获取驾驶证; (Ⅱ)第一批参加考试的 20 人中某一学员已经通过科目一的考试,求他能通过科目二却 不能通过科目三的概率; (Ⅲ)该驾校为调动教官的工作积极性,规定若所教学员每通过一个科目的考试,则学 校奖励教官 100 元.现从这 20 人中随机抽取 1 人,记 X 为学校因为该学员而奖励教官的 金额数,求 X 的数学期望. 19. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,

PA ? AD, AB / /CD, CD ? AD, AD ? CD ? 2 AB ? 2, E, F 分别为 PC, CD 的中点, DE ? EC

(Ⅰ)求证:平面 ABE⊥平面 BEF; (Ⅱ)设 PA ? a ,若平面 EBD 与平面 ABCD 所成锐二面角 ? ? [ 围.

? ?

, ] ,求 a 的取值范 4 3

20. (本小题满分 12 分)

? 2 ,其一个焦点在抛物线 C2 : y ? 2 px 的准 ? 线上,若抛物线 C2 与直线 l : x ? y ? 2 ? 0 相切.
已知椭圆 C1 的中心为原点 O ,离心率 e ? (Ⅰ)求该椭圆的标准方程; (Ⅱ)当点 Q (u , v) 在椭圆 C1 上运动时,设动点 P (?v ? u , u ? v) 的运动轨迹为 C3 .若点

uuu r uuur uuur uuu r T 满足:OT ? MN ? ?OM ? ON ,其中 M , N 是 C3 上的点,直线 OM 与 ON 的斜率之 ? 积为 ? , 试说明: 是否存在两个定点 F? , F? , 使得 TF? ? TF? 为定值?若存在, 求 F? , F? ?
的坐标;若不存在,说明理由.

21. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ( x ? 1)e
?x

( e 为自然对数的底数) 。
?x

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)设函数 ? ( x) ? xf ( x) ? tf '( x) ? e ,存在 x1 , x2 ? [0,1] ,使得成立 2? ( x1 ) ? ? ( x2 ) 成立,求实数 t 的取值范围.

请考生在第 22、23 题中任选一题作答.若多做,则按所做的第一题计分. 22. (本小题满分 10 分)选修 4—4: 坐标系与参数方程.

1 ? x ? 1 ? t, ? ? 2 (t 为参数), 曲线 C : ? x ? cos ? , 已知直线 ? : ? 1 ? ? y ? sin ? , ? y ? 3 t. ? 2 ? (Ⅰ)设 ? 与 C1 相交于 A, B 两点,求 | AB | ;
(Ⅱ)若把曲线 C1 上各点的横坐标压缩为原来的

( ? 为参数).

3 1 倍,纵坐标压缩为原来的 倍,得到 2 2 曲线 C2 ,设点 P 是曲线 C2 上的一个动点,求它到直线 ? 的距离的最小值.

23. (本小题满分 10 分)选修 4 – 5:不等式选讲 设函数 f ( x) ?| 2 x ? 1| ? | x ? 2 | (Ⅰ)求不等式 f ( x) ? 3 的解集; (Ⅱ)若关于 x 的不等式 f ( x) ? t ? 3t 在 [0,1] 上无解,求实数 t 的取值范围.
2

山西大学附中

山西大学附中 2013—2014 学年高三第二学期 5 月下数学试题(理科)答案
一、选择题: 二、填空题: 三、解答题: CADAB 13.3 CDDCB 14. 4?
n

BA 15.

9 35

16. [?

1 , 2) 4

a ? 2an ?1 ? 2 ? 1 ( n ? 2 且 n ? N* ) 17.解: (Ⅰ ) ∵ a1 ? 5 且 n .
∴设

bn ?

an ? 1 5 ?1 b1 ? ?2 n 2 ,则: 2

bn ?1 ? bn ?
…4 分

an ?1 ? 1 an ? 1 1 1 ? n ? n ?1 ? ? n ?1 ? 2n ?1 ? 1? ? 1? ? an?1 ? 2an ? ? 1? ? n ?1 ? ? ? ? ?1 2 2 2 2 , ……

? an ? 1 ? ? n ? 由上可知,数列 ? 2 ? 为首项是 2 、公差是 1 的等差数列.
(Ⅱ )由(Ⅰ )知, ∴ 即 令 则

…………5 分

an ? 1 a1 ? 1 ? ? ? n ? 1? ? 1 ,即: an ? ? n ? 1? ? 2n ? 1 . ……7 分 n 2 2 1 2 n S n ? ? 2 ? 2 ? 1? ? ? 3 ? 2 ? 1? ? ? ? n ? 2n ?1 ? 1? ? ? ?? n ? 1? ? 2 ? 1? ?

Sn ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ?
1 2

? n?2

n ?1

? ? n ? 1? ? 2 ? n
n



Tn ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ?
1 2

? n?2

n ?1
n

? ? n ? 1? ? 2

. ① ②
n ?1

n

2Tn ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ?
2 3
1

? n ? 2 ? ? n ? 1? ? 2
2 3 n


n ?1

②-①,得 ∴

Tn ? ?2 ? 2 ? ? 2 ? 2 ?


? 2 ? ? ? n ? 1? ? 2



…………9 分

S n ? n ? 2n ?1 ? n ? n ? ? 2n ?1 ? 1?

? n ? 2n ?1 .
…………12 分

18.解: (Ⅰ)由表中数据可知一次性(不补考)获取驾驶证的频率为 估计这 100 名新学员中有 100×

1 , 10

1 =10 人; .................................................................... 3 分 10 2 ? 1 ....... 6 分 (Ⅱ)设―通过科目一、二、三‖分别为事件 A,B,C,则 P=P(B C |A)= 12 6
(Ⅲ)设这个学员一次性过关的科目数为 Y,则 Y 的分布列为
Y P 0 1 2 3

2 5

2 5

1 10

1 10

............................ 8 分

1 +3× 1 = 9 .................................................................................. 10 分 10 10 10 9 而 X=100Y,所以 EX=100EY=100× =90 ..................................................................... 12 分 10
EY=0× +1× +2× 19. 解: (Ⅰ)? AB // CD, CD ? AD, AD ? CD ? 2 AB ? 2 ,F 分别为 CD 的中点, · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 ? ABFD 为矩形, AB ? BF ? DE ? EC ,? DC ? EF ,又 AB // CD,? AB ? EF ? BF ? EF ? E ,? AE ? 面 BEF , AE ? 面 ABE , ? 平面 ABE ⊥平面 BEF · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 (Ⅱ) ? DE ? EC ,? DC ? EF ,又 PD // EF ,

2 5

2 5

AB // CD,? AB ? PD · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 又 AB ? PD ,所以 AB ? 面 PAD , AB ? PA 建系 AB 为 x 轴, AD 为 y 轴, AP 为 z 轴, 则 B (1,0,0), D (0,2,0) P (0,0, a ) , a C (2,2,0) , E (1,1, ) 2 · · · · · · · · · 9分 平面 BCD 法向量 n1 ? (0, 0,1) ,平面 EBD 法向量 n 2 ? (2a, a,?2) ·

1 2 ?[ , ] ,可得 a ? [ 2 5 , 2 15 ] . · · · · · · · · · · · · · 12 分 2 2 5 5 5a ? 4 2 ? ? y ? 2 px 20.解: (I)由 ? ? y 2 ? 2 py ? 2 2 p ? 0 , ? ?x - y ? 2 ? 0
?

cos ? ?

2
2

抛物线 C2 : y 2 ? 2 px 与直线 l : x - y ? 2 ? 0 相切,

?? ? 4 p 2 ? 8 2 p ? 0 ? p ? 2 2 …2 分
? 抛物线 C2 的方程为: y 2 ? 4 2 x ,其准线方程为: x ? ? 2 ,

? c 2 , ?e? ? , ? a ? 2, b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2 , ? a 2 x2 y2 ? ?1 故椭圆的标准方程为 ……4 分 4 2 (II)设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) , P ( x?, y?) , T ( x, y )
离心率 e ?

1 ? u ? (2 y? ? x?) ? ? ? x ? 2v ? u ? 3 ?? 则? ? y? ? u ? v ? v ? 1 ( x? ? y?) ? 3 ? 动点 P (?v ? u , u ? v) 的运动轨迹

当点 Q (u , v) 在椭圆 C1 上运动时,

u 2 v2 1 1 C3 ? ? ? 1 ? [ (2 y? ? x?)]2 ? 2[ ( x? ? y?)]2 ? 4 ? x? 2 ? 2 y? 2 ? 12 4 2 3 3

? C3 的轨迹方程为: x 2 ? 2 y 2 ? 12 ………………………………………………………6
分 由 OT ? MN ? ?OM ? ON 得

uuu r

uuur

uuur

uuu r

( x, y ) ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 ) ? 2( x1 , y1 ) ? ( x2 , y2 ) ? ( x1 ? 2 x2 , y1 ? 2 y2 ), x ? x1 ? 2 x2 , y ? y1 ? 2 y2 . 设 kOM , kON 分别为直线 OM , ON 的斜率,由题设条件知

kOM ? kON ?


y1 y2 1 ? ? , 因此 x1 x2 ? 2 y1 y2 ? 0, …………………………………………8 x1 x2 2
2 2 2 2

因为点 M , N 在椭圆 x 2 ? 2 y 2 ? 12 上,所以 x1 ? 2 y1 ? 12, x2 ? 2 y2 ? 12 , 故 x ? 2 y ? ( x1 ? 4 x2 ? 4 x1 x2 ) ? 2( y1 ? 4 y2 ? 4 y1 y2 )
2 2 2 2 2 2

2 2 ? ( x12 ? 2 y12 ) ? 4( x2 ? 2 y2 ) ? 4( x1 x2 ? 2 y1 y2 ) ? 60 ? 4( x1 x2 ? 2 y1 y2 ).

所以 x 2 ? 2 y 2 ? 60 ,从而可知: T 点是椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上的点, 60 30

? 存在两个定点 F? , F? ,且为椭圆


x2 y 2 ? ? 1 的两个焦点,使得 TF? ? TF? 为定值,其 60 30
…………………………………………………12

坐标为 F1 (? 30, 0), F2 ( 30, 0) .

x ……………………….2 分 ex ∴ 当 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,当 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 。 ∴ f ( x) 在 (??, 0) 上单调递增,在 (0, ? ?) 上单调递减。……………………….4 分 (Ⅱ )假设存在 x1 , x2 ? [0, 1] ,使得 2? ( x1 ) ? ? ( x2 ) 成立,则 2[? ( x)]min ? [? ( x)]max 。
21.解: (Ⅰ )∵ 函数的定义域为 R, f ?( x) ? ?

x 2 ? (1 ? t ) x ? 1 ex ? x 2 ? (1 ? t ) x ? t ( x ? t )( x ? 1) ? ?? ∴? ( x) ? ………………………6 分 x e ex ① 当 t ? 1 时, ? ?( x) ? 0 , ? ( x) 在 [0, 1] 上单调递减,∴2? (1) ? ? (0) ,即 e t ? 3 ? ? 1 …….8 分 2 ② 当 t ? 0 时, ? ?( x) ? 0 , ? ( x) 在 [0, 1] 上单调递增,∴2? (0) ? ? (1) ,即 t ? 3 ? 2e ? 0 …….10 分 ③ 当 0 ? t ? 1 时,在 x ? ?0, t ? , ? ?( x) ? 0 , ? ( x) 在 [0, t ] 上单调递减 在 x ? ?t ,1? , ? ?( x) ? 0 , ? ( x) 在 [t , 1] 上单调递增 t ?1 3?t 所以 2? (t ) ? max{? (0), ? (1)} ,即 2 t ? max{1, } —— (*) e e
∵? ( x) ? xf ( x) ? tf ?( x) ? e
?x

?

由(Ⅰ )知, g (t ) ? 2 而

2 3?t 3 ? ? ,所以不等式 (*) 无解 e e e

t ?1 4 t ?1 在 [0,1] 上单调递减故 ? 2 t ? 2 , t e e e

e (3 ? , ??) ,使得命题成立. ………………………12 分 2 2 2 22.解. (Ⅰ) ? 的普通方程为 y ? 3 ( x ? 1), C1 的普通方程为 x ? y ? 1.
综上所述,存在 t ? (??,3 ? 2e)

? 1 3 ? y ? 3 ( x ? 1), 解得 ? 与 C1 的交点为 A(1,0) , B ( ,? ) ,则 | AB |? 1 . ? 2 2 2 2 ? x ? y ? 1 , ? 1 ? x ? cos ? , ? 1 3 ? 2 (Ⅱ) C2 的参数方程为 ? sin ? ) , (? 为参数).故点 P 的坐标是 ( cos ? , 2 2 ? y ? 3 sin ? . ? 2 ? 从而点 P 到直线 ? 的距离是 3 3 | cos ? ? sin ? ? 3 | 3 ? 2 d? 2 ? [ 2 sin(? ? ) ? 2] , 2 4 4 6 ? 由此当 sin(? ? ) ? ?1 时, d 取得最小值,且最小值为 ( 2 ? 1) . 4 4 1 ? x? ? x ? 3, 2 ? 1 ? 23.解: (Ⅰ) f ( x) ? ??3 x ? 1, ?2 ? x ? ,所以原不等式转化为 2 ? x ? ?2 ? 3 ? x, ? ? ? 1 1 ? ? x ? ?2 ? x? ??2 ? x ? 所以原不等式的解集为 2 或? 2或? ? 3? x ? 3 ? ?x ? 3 ? 3 ? ? ?3 x ? 1 ? 3 ? 4? ? ? ??, ? ? ? 6, ?? ? ………………….6 分 3? ? (Ⅱ)只要 f ( x) max ? t 2 ? 3t ,…….8 分
联立方程组 由(Ⅰ)知 f ( x) max ? ?1 ? t 2 ? 3t 解得 t ? 分

3? 5 3? 5 或t ? ……………………….10 2 2


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