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北大附中几何部分经典题型


平行四边形
平行四边形的性质 ........1 .
一、填空题 1. 两组对边分别______的四边形叫做平行四边形. 平行四边形 ABCD 记作______。 2.平行四边形的两组对边分别______且______;平行四边形的两组对角分别 ______;两邻角______;平行四边形的对角线______;平行四边形的面积= 底边长× ______. 3.

□ABCD 中,∠B-∠A=40°,则∠D=__. 4. □ABCD 中, 若∠A∶∠B=1∶3, 那么∠A=______, ∠B=______, ∠C=______, ∠D=________. 5.如图,四边形 ABCD 是平行四边形,∠D=120°,∠CAD=32°.则∠ABC.∠CAB 第5题 的度数分别为 . 6.平行四边形周长为 50cm,两邻边之差为 5cm,各边长为 . 7.已知□ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于 O,AB=8,BC=12,△AOB 的周长为 18, 则△AOD 的周长 8.在□ABCD 中,∠A 的平分线交 DC 于 E,若∠DEA=30°,则∠B= 9.如图, □ABCD 中, CE⊥AB, 垂足为 E, 如果∠A=115°, 则∠BCE= . 10.如图,在□ABCD 中,∠B=110°,延长 AD 至 F,CD 至 E,连结 EF,则∠E+ ∠F=

第 7 题图

第 5 题图

第9题

第 10 题

二、选择题 1. 以不共线三点为三个顶点作平行四边形,一共可作平行四边形的个数是 ( ) A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个 2. 如图, E 是□ABCD 的边 AD 的中点, CE 与 BA 的延长线交于点 F, 若∠FCD=∠D,则下列结论不成立的是( ) A.AD=CF B.BF=CF C.AF=CD D.DE=EF 3. 如图,O 为平行四边形 ABCD 对角线 AC 与 BD 的交点,FE 经过 O 点,且与边 AD,BC 分别交于点 E,F,若 BF=DE,则图中全等的三角形最 多有( ) A.2 对 B.3 对 C.5 对 D.6 对 4. 如图,在□ABCD 中,AB=6,AD=9,∠BAD 的平分线交 BC 于点 E,交 DC 的延长线于点 F,BG⊥AE,垂足为 G,BG= 4 2 ,则 Δ CEF 的周长为( A.8 B.9.5 ) C.10
1

D.11.5

三、解答题 1. 如图,在□ABCD 中,BD⊥AD,求 BC,CD 及 OB 的长.

2. 如图所示,在□ABCD 中,AE⊥BC 于 E,AF⊥CD 于 F, ∠BAD=120°,BE=2,FD=3,求∠EAF 及□ABCD 的周长。

A B E C

D F

3. 如图所示,在△ABC 中,AE 平分∠BAC 交 BC 于 E,DE∥AC 交 AB 于 D,过 D 作 DF∥BC 交 AC 于 F。 求证:AD=FC

B

D A F

E C

2

4. 如图, BD 是□ABCD 的对角线, ∠ABD 的平分线 BE 交 AD 于点 E, ∠CDB 的平分线 DF 交 BC 于点 F. 求证:△ABE≌△CDF.
D C F B E A

5. 如图,O 为平行四边形对角线 AC 的中点,过 O 作一条直线分别于 AB.CD 交于点 M、N,点 E、F 在直线 MN 上,且 OE=OF 1) 请写出图中所有的全等三角形; A E 2) 求证:∠MAE=∠NCF;
M C O D N B F

3

平行四边形性质 2
一、填空题 1. 如图, 已知□ABCD 中, AB=4, BC=6, BC 边上的高 AE=2, 则 DC 边上的高 AF 的长是________. 2. 如图,P 为 □ABCD 的 CD 上的一点,S □ABCD =20cm 2 , 则 S △ APB =______cm 2 . 3. 如图,在平行四边形 ABCD 中,E 是 AD 边上的中点.若 ∠ABE=∠EBC,AB=2,则平行四边形 ABCD 的周长是 _____. 4. 在平面直角坐标系中,A(-2,5) ,B(-3,-1) ,C(1,-1) , 在坐标系中找一点 D,使以 A.B.C.D 为顶点的四边形为 平行四边形,则点 D 的坐标是_____. 5. 已知□ABCD 的周长为 28, 自顶点 A 作 AE⊥DC 于点 E, AF⊥BC 于点 F. 若 AE=3,AF=4,则 CE-CF= . 6. 如图,在□ABCD 中,AB=3,AD=4,∠ABC=60°,过 BC 的中 点 E 作 EF⊥AB,垂足为点 F,与 DC 的延长线相交于点 H,则 △DEF 的面积是 . 二、选择题 1. 已知平行四边形一边长为 10,一条对角线长为 6,则它的另一条对角线α 的 取值范围为( ) A . 4 < α < 16 B . 14 < α < 26 C . 12 < α < 20 D .以上答案都不正确 2. 以平行四边形 ABCD 的顶点 A 为原点,直线 AD 为 x 轴建立直角坐标系,已 知 B.D 点的坐标分别为(1,3) , (4,0) ,把平行四边形向上平移 2 个单位, 那么 C 点平移后相应的点的坐标是( ) A.(3,3) B.(5,3) C.(3,5) D.(5,5) 3. 如图, 在平行四边形 ABCD 中, AC. BD 为对角线, BC=6, BC 边上的高为 4,则图中阴影部分的面积为( ) A.3 B.6 C.12 D.24 4. 如图,在平行四边形 ABCD 中,过对角线 BD 上一点 P 作 EF ∥AB,GH∥AD,与各边交点分别为 E、F、G、H, 则图中面积相等的平行四边形的对数为 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 5. 如图,在□ABCD 中 EF 分别是 AD. CD 边上的点, 连接 BE 、AF,他们相交于 G,延长 BE 交 CD 的延长 线于点 H,则图中的全等三角形有 ( ) A.2 对 B.3 对 C.4 对 D.5 对 三、解答题 1.如图,在□ABCD 中,E 为 BC 边上一点,且∠AEB ? ∠ADC. (1)求证:AC=DE. (2) 若 AE 平分∠DAB, ∠EAC ? 25o, 求∠AED 的度数.
A F B E C H

D

4

2.如图所示,在□ABCD 中,P 是 AC 上任意一点,求证: S?APD=S?ABP
A P B C D

3.用三种不同的方法把□ABCD 的面积四等分,并简要说明分法.

4.在 □ABCD 中,点 A 1 , A 2 , A 3 , A 4 和 C 1 , C 2 , C 3 , C 4 分别 AB 和 CD 的五等分点,点 B 1 , B 2 和 D 1 , D 2 分别是 BC 和 DA 的三等分点,已 知四边 形 A 4 B 2 C 4 D 2 的面积 为 1 ,求平行四边形 ABCD 的面 积。

5. 我 们把能平分四边形面积的直线称为“好线” .利用下面的作图,可以 得到四边形的“好线” :如图①在四边形 ABCD 中,取对角线 BD 的中点 O , 连 接 OA . OC .显然,折线 AOC 能平分四边形 ABCD 的面积,再过 点 O 作 OE ∥ AC 交 CD 于 E , 则直线 AE 即为一条“好线” . ( 1 ) 试 说明直线 AE 是“好线”的理由; ( 2 )如图②, AE 为一条“好线” , F 为 AD 边 上 的一点,请作出经过 F 点 的“好线” , 并 对 画图作适当说明(不需要 说明理由) .

5

6.已知如图,四边形 ABCD. 情形 1:过点 A 作一条直线,将此四边形分割为面积相等的两部分; 情形 2:过 AD 边上任意一点 P 作一条直线,将此四边形分割为面积相等的 两部分。

7. 如 图是一个平行四 边形土地 ABCD ,后 来在其边缘挖了一个 小平行四 边 形 水塘 DFGH , 现 准备将其分成两块, 并使其满足: 两块地的面积相等, 分割线恰好做成水渠,便于灌溉,请你在图中画出分界线(保留作图痕 迹) ,简要说明理由 .

6

平行四边形的判定 1
一、填空题 1.平行四边形的判定方法有: 从边的条件有:①两组对边 的四边形是平行四边形; ②两组对边 的四边形是平行四边形; ③一组对边 的四边形是平行四边形. 从对角线的条件有:④两条对角线 的四边形是平行四边形. 从角的条件有:⑤两组对角 的四边形是平行四边形. 注意:一组对边平行另一组对边相等的四边形 是 平行四边形.(填“一定”或“不一定”) 2.如图,四边形 ABCD 中,当∠1=∠2,且 ∥ 时,这个四边形是平行四边形. 3.一个四边形的边长依次为 A.B.C.d,且满足 a2+b2+c2+d2=2ac+2bd,则 这个四边形为 . 二、选择题 1. 能够判定四边形 ABCD 是平行四边形的题设是( ) A.AB∥CD,AD=BC B.∠A=∠B,∠C=∠D C.AB=CD,AD=BC D.AB=AD,CB=CD 2. 四边形 ABCD 中, AD∥BC, 要判定四边形 ABCD 是平行四边形, 还应满足 ( ) A.∠A+∠C=180° B.∠B+∠D=180° C.∠A+∠B=180° D.∠A+∠D=180° 3. 四边形 ABCD 的四个角∠A∶∠B∶∠C∶∠D 满足下列哪一条件时,四边形 ABCD 是平行四边形?( ) A.1∶2∶2∶1 B.2∶1∶1∶1 C.1∶2∶3∶4 D.2∶1∶2∶1 4. 已知下列四个命题:①一组对边平行且相等的四边形;②两组对角分别相等 的四边形;③对角线相等的四边形;④对角线互相平分的四边形。其中能判 定平行四边形的命题的个数为 ( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 5. 根据下列条件,得不到平行四边形的是( ) A. AB=CD,AD=BC B.AB∥CD,AB=CD C. AB=CD,AD∥BC D.AB∥CD,AD∥BC 6. 如图所示,四边形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于点 O,下 列判断正确的是( ) A.若 AO=OC,则 ABCD 是平行四边形; B.若 AC=BD,则 ABCD 是平行四边形; C.若 AO=BO,CO=DO,则 ABCD 是平行四边形; D.若 AO=OC,BO=OD,则 ABCD 是平行四边形 7. 四边形 ABCD 中,对角线 AC.BD 相交于点 O,给出下列四组条件:①AB∥CD, AD∥BC;②AB=CD,AD=BC;③AO=CO,BO=DO;④AB∥CD,AD=BC。 F D A 其中一定能判断这个四边形是平行四边形的条件共有( ) O A.1 组 B.2 组 C.3 组 D.4 组
B E C

7

B C ? D ; 8. 已知四边形 ABCD , 有以下四个条件: ① AB // CD ; ②A ③ BC // AD ; ④ BC ? AD .从这四个条件中任选两个,能使四边形 ABCD 成为平行四边形 的选法种数共有( ) A.6 种 B.5 种 C.4 种 D.3 种 三、解答题 1、如图所示,已知□ABCD 中,AE、CF 分别是∠DAB.∠BCD D E C 的平分线,求证:四边形 AFCE 是平行四边形。
3 4 1 2

A

F 图3

B

2、如图所示,在四边形 ABCD 中,M 是 BC 中点,AM、BD 互相平分于点 O,请判 断 AM 与 DC 的关系,并证明结论。
A D

O

B

M

C

3、已知:如图,在 □ABCD 中,点 E 在 AD 上,连接 BE , DF ∥ BE 交 BC 于点 F , AF 与 BE 交于点 M, CE 与 DF 交于点 N . 求证:四边形 MFNE 是平行四边形.

4、已知如图,在四边形 ABCD 中,AB 的延长线上截取 BE=AB,BF=BD,且 DF 平分 ∠BDC,DF 交 CE 于 M, CM=CD. 求证:四边形 ABCD 是平行四边形.

8

平行四边形判定 2
一、填空题 1. 已知如图,四边形 AEFD 和 EBCF 都是平行四边形,则四边形 ABCD 是 . 2. 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , 点 A. B. C 的坐标分别是 A ( -2 , 5 ), B ( -3 , -1 ), C( 1 , -1 ),四 边 形 ABCD 是 平 行 四 边 形 ,那 么 点 D 的坐标是 . 3. ..................................................................................................... 在平行四 边形 ABCD 中,E、F 分别是 AB.CD 边上的点,当满足 (写出一个即可)条件时,四边形 AECF 是平行四边形. 二、选择题 4. 能判定四边形是平行四边形的条件是( ) 图1 A.一组对边平行,另一组对边相等 B.一组对边相等,一组邻角相等 C.一组对边平行,一组邻角相等 D.一组对边平行,一组对角相等 5. 有两块全等的含 30 °角的三角板拼成形状不同的平行四边形,最多可 以拼成( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 6. 已知四边形 ABCD 的对角线相交于 O ,给出下列 5 个条件① AB ∥ CD ;② AD ∥ BC ;③ AB=CD ;④∠ BAD= ∠ DCB .从以上 4 个条件中任选 2 个条件为 一组,能推出四边形 ABCD 为平行四边形的有( ) A.6 组 B.5 组 C.4 组 D.3 组 7. □ABCD 的对角线的交点在坐标原点,且 AD 平行于 x 轴, 若 A 点坐标为(-1,2),则 C 点的坐标为( ). A.(1,-2) B.(2,-1) C.(1,-3) D.(2,-3) 三、解答题 8. 如图,在□ABCD 中,对角线 AC 与 BD 交于点 O,已知 点 E、F 分别为 AO、OC 的中点,求证:四边形 BFDE 是平 行四边形.

9

9.

如图所示,□ABCD 中,E、F 分别为 AD.BC 的中点,AF 与 BE 相交于 G,DF 与 CE 相交于 H,连结 EF、GH。 求证:EF、GH 互相平分。
A G B F E H C D

10. 已知,如图,在□ABCD 中,延长 DA 到点 E,延长 BC 到点

F,使得 AE=CF,连接 EF,分别交 AB,CD 于点 M,N,连 接 DM,BN.求证:四边形 BMDN 是平行四边形.

11. 如图,在□ABCD 中,E、F 分别在 DA.BC 的延长线 上,已知 AE=CF,FA 与 BE 的延长线相交于点 R,EC 与 DF 的延长线相交于点 S.求证:四边形 RESF 是平 行四边形.

10

12. 如图,已知在 □ABCD 中, E、 F 是对角线 BD 上的 两点, BE=DF ,点 G 、 H 分别在 BA 和 DC 的延长线 上,且 AG=CH ,连接 GE 、 EH、 HF 、 FG .求证:四 边形 GEHF 是平行四边形.

13. 如图,在□ABCD 中,E、F 分别在边 BA.DC 的延 长线上,已知 AE=CF,P、Q 分别是 DE 和 FB 的中点, 求证:四边形 EQFP 是平行四边形.

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三角形中位线 1
一、填空题 1. 一个三角形的中位线有 条. 2. 如图△ABC 中,D.E 分别是 AB.AC 的中点,则线段 CD 是△ ABC 的 ,线段 DE 是△ABC 3. 如图, △ABC 中, D. E、 F 分别是边 BC. CA. AB 的中点, AB=7cm, AC=5cm ,则四边形 AFDE 的周长等于 4. 在△ ABC 中,D.E 分别为 AB.AC 的中 点, 若 DE=4, AD=3, AE=2, 则△ABC 的周长为 . B 5. 如图,△ABC 中,D 是 AB 的中点,∠ABC 的平分线交 AC 于 E, BE⊥AC, 若 BC=4, 则 BD= . 6. 如图, 在□ABCD 中, AD=8, 对角线 AC, BD 相交于点 O, AE=EB, 则 OE= . 7. 如图,在四边形 ABCD 中,P 是对角线 BD 的中点,E、F 分别 是 AB 和 CD 的中点,AD=BC,∠PEF=18°,则∠PFE 的度数是 8. 如图,△ ABC 的周长为 64,E、F、G 分别为 AB.AC.BC 的中 点,A′、 B′、 C′分别为 EF、 EG、GF 的中点,△A′B′C′ 的周长为 .如果△ABC.△EFG、△A′B′C′分别 为第 1 个、第 2 个、第 3 个三角形,按照上述方法继续作 三角形,那么第 n 个三角形的周长是 二、解答题 1. 已知:如图,在△ABC 中,CF 平分∠ACB,CA=CD,AE=EB. 1 求证:EF= BD. 2

A

F

E

D

C

F D

C

P

B A E

2. 已知:在四边形 ABCD 中,AB=CD,E、F、G 分别是 BD.AC.BC 的中点。 求证:⊿EFG 是等腰三角形。 D
A E F

B

G

C

12

3. 如图,点 E,F,G,H 分别是 CD,BC,AB,DA 的中点。 求证:四边形 EFGH 是平行四边形。
D E A C F H G B

4. 如图,△ABC 中,BM 平分∠ABC,AM⊥BM,垂足为 M,点 N 为 AC 的中点,设 AB=10,BC=6,求 MN 的长度.

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三角形的中位线 2
1.如图,同底边 BC 的△ABC 与△DBC 中,E、F、G、H 分别是 AB.AC.DB.DC 的中点,求证:EH 与 FG 互相平分。
A D

E G

F H

B

C

2.在四边形 ABCD 中, AB=CD, P、 Q 分别是 AD. BC 中点, M、 N 分别是对角线 AC. BD 的中点,求证:PQ?MN。

A

P

D M

N

B

Q

C

3.如图,AD 是△ABC 的中线,E 是 AD 的中点,F 是 BE 延长线与 AC 的交点。 1 A 求证:AF= FC 2
F E

B

D

C

14

4.如图,△ABC 中,D 为 AC 的中点,E、F 为 AB 的三等分点,CF 交 BD 于 G. 求证:BG=GD.

5.已知:如图,在□ABCD 中,E 是 CD 的中点,F 是 AE 的中点,FC 与 BE 交于 G. 求证:GF=GC.

15

6.如图,四边形 ABCD 中,对角线 AC 和 BD 相交于点 O,AC=BD,M、P、N 分别是 边 AB.BC.CD 的中点,Q 是 MN 的中点, A (1)求证:PQ⊥MN; D (2)判定△OEF 的形状. O
M E

Q

F N

B

P

C

7.如图,AD 是△ABC 的外角平分线,CD⊥AD 于 D,E 是 BC 的中点. 1 求证:(1)DE∥AB; (2) DE ? ? AB ? AC ? . 2

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特殊四边形 1-矩形 1
一、填空题 1.(1)矩形的定义:__________________的平行四边形叫做矩形. (2)矩形的性质:矩形是一个特殊的平行四边形,它除了具有四边形和平行四边 形所有的性质, 矩形的四个角______; 矩形的对角线______; 矩形是轴对称图形, 它的对称轴是____________. 2.已知:如图 1,矩形 ABCD 中,AC,BD 交于点 O,AE⊥BD 于 E, AB=2cm, BD=4cm,则 AC 长为____BE 长为____, ∠ADB 度数为____∠BAD 度数_____。 3.矩形两条对角线的交角是 60°,一条对角线与较短边的和是 15,则对角线长 ___。 4.若矩形一个内角的平分线, 把另一边分为 4cm,5cm 两部分,则这个矩形周长是 ___ 5.若矩形的各外角平分线围成一个四边形,那么这个四边形 是 ;矩形各内角的平分线所围成的四边形是 。 6.如图,矩形 ABCD 中,MN∥AD,PQ∥AB,则 S1 与 S2 的大小关系 是______。 7.如图,矩形 ABCD 中,AB=2,BC=3,对角线 AC 的垂直 平分线分别交 AD, BC 于点 E、 F, 连结 CE, 则 CE 的长______. 8.已知:如图,O 为坐标原点,四边形 OABC 为矩形,A(10, 0) ,C(0,4) ,点 D 是 OA 的中点,点 P 在 BC 上运动,当△ ODP 是腰长为 5 的等腰三角形时,则 P 点的坐标为 ____________. 考点:矩形的性质;坐标与图形性质;等腰三角形的性质。 二、选择题 1.若矩形对角线相交所成钝角为 120° ,短边长 3.6cm,则对角线的长为( ) A.3.6cm B.7.2cm C.1.8cm D.14.4cm 2.矩形邻边之比 3∶4,对角线长为 10cm,则周长为( ) A.14cm B.28cm C.20cm D.22cm 3.矩形 ABCD 中,E、F、M 为 AB.BC.CD 边上的点,且 AB=6, BC=7,AE=3,DM=2,EF⊥FM,则 EM 的长为( ) A.5 B. 5 2 C.6 D. 6 2 4.如图,点 P 是矩形 ABCD 的边 AD 的一个动点,矩形的两条 边 AB.BC 的长分别为 3 和 4,那么点 P 到矩形的两条对角线 AC 和 BD 的距离之和是( )
A D O E B C

A.

12 5

B.

6 5

C.

24 5

D.不确定

5.如图,四边形 ABCD 和四边形 AEFC 是两个矩形,点 B 在 EF 边上,若矩形 ABCD 和矩形 AEFC 的面积分别是 S1、S2 的 大小关系是( ) A.S1>S2 B. S1=S2 C. S1<S2 D. 3S1=2S2
17

A E O F

D

B

C

三、解答题 1. 如图,矩形 ABCD 中,AC 与 BD 交于 O 点,BE⊥AC 于 E,CF⊥BD 于 F.求证: BE=CF.

2. 如图,E、F 分别是矩形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 上的点,且 AE=DF. 求证:BE=CF.

3. 如图,在矩形 ABCD 中,对角线 AC.BD 交于点 O,BE 平分∠ABC 交 AC 于点 E, 0 交 AD 于点 F,且∠DBF=15 ,求证:OF=EF。

4. 如图所示.矩形 ABCD 中,F 在 CB 延长线上,且 BF=BC,E 为 AF 中点, CF=CA.求证:BE⊥DE.

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5. 如图所示,在矩形 ABCD 中, AB ? 12,AC =20 ,两条 对角线相交于点 O .以 OB 、 OC 为邻边作第 1 个平行 四边形 OBB1C ,对角线相交于点 A1 ,再以 A1B1 、 AC 1 为 邻边作第 2 个平行四边形 A1B1C1C , 对角线相交于点 O1 ; 再以 O1B1 、 O1C1 为邻边作第 3 个平行四边形

A O B
A1 B1 O1 A2 B2

D

C
C1 C2

O1B1B2C1 ??依次类推.
(1)求矩形 ABCD 的面积; (2)求第 1 个平行四边形 OBB1C 、第 2 个平行四边形 A1B1C1C 和第 6 个平行四 边形的面积.

6. 如图,在矩形 ABCD 中,DC=2BC,在 DC 上取一点 E, 使 EB=AB,连结 EA,求∠DAE

7.如图, 在矩形 ABCD 中, 对角线相交于点 O, OF⊥AD, AE⊥BD, OF=1, BE: DE=1:3, 求 BD。 F A D

O E B C

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8.已知矩形 ABCD 和点 P,当点 P 在 BC 上任一位置(如图(1)所示)时,易 证得结论:PA2+PC2=PB2+PD2,请你探究:当点 P 分别在图(2) 、图(3)中的 2 2 2 2 位置时,PA 、PB 、PC 和 PD 又有怎样的数量关系请你写出对上述两种情况的 探究结论,并利用图(2)证明你的结论. 答:对图(2)的探究结论_________; 对图(3)的探究结论为 ; 证明:如图(2)

9.如图,已知 Rt△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC,P 是 BC 延长线上一点,PE⊥ AB 交 BA 延长线于 E,PF⊥AC 交 AC 延长线于 F,D 为 BC 中点,连接 DE, DF.求证:DE=DF.

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10.阅读以下短文,然后解决下列问题: 如果一个三角形和一个矩形满足条件:三角形的一边与矩形的一边重合,且三角 形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上,则称这样的矩形为三角形的“友好矩 形”,如图①所示,矩形 ABEF 即为△ABC 的“友好矩形”,显然,当△ABC 是钝 角三角形时,其“友好矩形”只有一个. (1)仿照以上叙述,说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”; (2)如图②,若△ABC 为直角三角形,且∠C=90°,在图②中画出△ABC 的所 有“友好矩形”,并比较这些矩形面积的大小; (3) 若△ABC 是锐角三角形, 且 BC>AC>AB, 在图③中画出△ABC 的所有“友 好矩形”,指出其中周长最小的矩形并加以证明.

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特殊的平行四边形 2——矩形 2
一、选择题 1. 直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成的两个三角形的关系是 ( ) A.形状相同 B. 周长相等 C.面积相等 D.全等 2. 若直角三角形斜边上的中线等于最短的直角边长, 那么它的最小内角为 ( ) A.10° B.20° C.30° D.60° 3. 如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=900,AB=10,CD 是 AB 边上的 中线,则 CD 的长是( ) A.20 B.10 C.5 D.
5 2

4. 阅读下列两个命题: 命题甲:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半; 命题乙:如果一个三 角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形. 对于命题 甲和乙,有下列说法:①甲是真命题,乙是假命题;②甲和乙不是互逆命题;③ 甲和乙是互逆命题;④甲和乙都是真命题.其中正确的有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 5. 已知直角三角形的周长为 14,斜边上的中线长为 3.则直角三角形的面积为 ( ) A.5 B.6 C.7 D.8 6. 直角三角形的面积为 S,斜边上的中线长为 d,则这个三角形周长为( )

二、填空题 7. 如果一个直角三角形斜边上的中线与斜边上的高所夹的锐角为 34°, 那么这 个直角三角形的较小的内角是_____度。 8. 已知 Rt△ABC 中, ∠BAC=90?, AD 是上的中线,AB=12,AC=5, 那么 AD=_______。 9. 等腰直角三角形斜边上的中线长为 4cm,则其面积为_________________。 10. 一个直角三角形三边的长为连续整数, 则这个三角形斜边 的中线长为______。 11. 如图, O 是矩形 ABCD 的对角线 AC 的中点, M 是 AD 的中点, 若 AB=5,AD=12,则四边形 ABOM 的周长为_________ 三、解答题 1.已知:∠ABC=∠ADC=90 度,E 是 AC 中点。 求证: (1)ED=EB ; (2)图中有哪些等腰三角形?

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2.如图,已知点 E 是矩形 ABCD 外一点,AE⊥CE,BE⊥DE, 求证:EB2+ED2=EA2+EC2。

3.过矩形 ABCD 对对角线 AC 的中点 O 作 EF⊥AC 分别交 AB.DC 于 E、F,点 G 为 AE 的中点,若∠AOG=30o。求证:3OG=DC

4.如图,四边形 ABCD 中,∠DAB=∠DCB=90o,点 M、N 分别是 BD.AC 的中点。MN、 AC 的位置关系如何?证明你的猜想。

23

5.已知:△ABD 和△ACE 都是直角三角形,且∠ABD=∠ACE=90°。如图甲,连结 DE,设 M 为 DE 的中点。 (1)求证:MB=MC; (2)设∠BAD=∠CAE,固定△ABD,让 Rt△ACE 绕顶点 A 在平面内旋转到图乙的 位置,试问:MB=MC 是否还能成立?并证明其结论。

24

6.已知:在△ABC 中,∠ABC=90 ?, 点 E 在直线 AB 上, ED 与直线 AC 垂直, 垂 足为 D,且点 M 为 EC 中点, 连接 BM, DM. (1)如图 1,若点 E 在线段 AB 上,探究线段 BM 与 DM 及∠BMD 与∠BCD 所满 足的数量关系, 并直接写出你得到的结论; (2)如图 2,若点 E 在 BA 延长线上,你在(1)中得到的结论是否发生变化? 写出你的猜想并加以证明; (3)若点 E 在 AB 延长线上,请你根据条件画出相应的图形,并直接写出线 段 BM 与 DM 及∠BMD 与∠BCD 所满足的数量关系.

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特殊的平行四边 3——矩形 4
一、填空题 1. 矩形的判定:一个角是直角的______是矩形;对角线 ______的平行四边形是矩形;有______个角是直角的四边形是矩形. 2. 我们把依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形.若 一个四边形 ABCD 的中点四边形是一个矩形,则四边形 ABCD 可以 是 . ABCD 3. 在四边形 中,对角线 AC 与 BD 互相平分,交点为 O .在不添加任何 辅助线的前提下,要使四边形 ABCD 成为矩形,还需添加一个条件,这个条 件可以是 . 二、选择题 1. 已知下列命题中: (1)矩形是轴对称图形,且有两条对称轴; (2)两条对角线相等的四边形是矩形; (3)有两个角相等的平行四边形是 矩形; (4) 两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形. 其中正确的有 ( )
A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个

2. 四边形 ABCD 的对角线互相平分,要使它成为矩形,那么需要添加的条件是 ( ) AB ? CD A. B. AD ? BC C. AB ? BC D. AC ? BD 3. 如已知:线段AB,BC, ∠ABC = 90°. 求作: 矩形ABCD. 以下是甲、乙两同学的 作业: 对于两人的作业,下列 说法正确的是 A.两人都对 B.两人都不对 C.甲对,乙不对 D.甲不对,乙对 三、解答题 1. 如图,在等边 ABC 中,点 D 是 AC 的中点,F 是 BC 的中 点,以 BD 为边作等边 BDE,求证:四边形 AEBF 为矩形。

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2. 如图,在△ABC 中,点 O 是 AC 边上的一个动点,过点 O 作直线 MN∥BC,设 MN 交∠BCA 的角平分线于点 E,交∠BCA 的外角平分线于点 F. (1)求证:EO=FO; (2)当点 O 运动到何处时,四边形 AECF 是矩形?并证明你的结论.

3. 如图,EB=EC,EA=ED,AD=BC, ∠AEB=∠DEC, 求证:四边 形 ABCD 是矩形.

4. 如图,在矩形 ABCD 中,AB=24cm,BC=8cm,点 P 从 A 开始沿折线 A﹣B﹣C﹣D 以 4cm/s 的速度移动, 点 Q 从 C 开始沿 CD 边以 2cm/s 的速度移动, 如果点 P、 Q 分别从 A.C 同时出发,当其中一点到达 D 时,另一点也随之停止运动,设 运动时间为 t(s) .当 t 为何值时,四边形 QPBC 为矩形?

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特殊的平行四边形 4——菱形 1
一、填空题: 1.菱形的定义:__________________的平行四边形叫做菱形. 2. 菱形的性质: 菱形是特殊的平行四边形, 它具有四边形和平行四边形的______: 还有:菱形的四条边______;菱形的对角线______,并且每一条对角线平分 ______;菱形的面积等于______________,它的对称轴是 ________________. 3.若菱形 ABCD 的周长为 12cm,相邻两角的比为 5:1,那么菱 形对边间的距离为 4.若菱形的周长为 16 cm,一个内角为 60°,则菱形的 面积为______cm2。 5.已知菱形 ABCD 的边长为 6,∠A=60°,如果点 P 是 菱形内一点,且 PB=PD=2 ,那么 AP 的长为____. 6.如图, 在菱形 ABCD 中, 对角线 BD. AC 交于 O 点, AE⊥BC, 且 AE=0B, 则∠CAE= 。 7.如图,P 是菱形 ABCD 对角线 BD 上一点,PE⊥AB 于点 E,PE=4cm, 则点 P 到 BC 的距离是_____cm. 8. 如图, 已知菱形 ABCD 的一个内角 ?BAD ? 80? , 对角线 AC. BD 相交于点 O,点 E 在 AB 上,且 BE ? BO ,则 ?EOA = 度. 9.已知菱形 ABCD 的两条对角线分别为 6 和 8,M、N 分别是边 BC. CD 的中点, P 是对角线 BD 上一点, 则 PM+PN 的最小值= . 二.选择题 1.如图,将一个长为 10cm,宽为 8cm 的矩形纸片对折 两次后,沿所得矩形两邻边中点的连线(虚线)剪下, A 再打开,得到的菱形的面积为( )

D C B

A. 10cm2

B. 20cm2

C. 40cm2

D. 80cm2

2.已知菱形的边长和一条对角线的长均为 2 cm ,则菱形的面积为(



A. 3cm 2

B. 4cm2 C.

3 cm2 D. 2 3 cm2

3. 菱形具有而平行四边形不具有的特征为( ) A.对边平行且相等 B.对角线互相垂直且平分一组对角 C.对角线互相平分 D.是中心对称图形 4.矩形具有而菱形不具有的性质是( ) A.两组对边分别平行 B.对角线相等 C.对角线互相平分 D.两组对角分别相等 5.如图,在菱形 ABCD 中,AB=5,对角线 AC=6.若过点 A 作 AE⊥BC,垂足为 E,则 AE 的长为( ) A.4 B. C. D.5

28

6.如图,菱形 ABCD 的对角线 AC=4cm,把它沿着对角线 AC 方向平移 1cm 得到菱形 EFGH, 则图中阴影部分图形的 面积与四边形 EMCN 的面积之比为( ) A.4:3 B.3:2 C.14:9 D.17:9 7.如图,在菱形 ABCD 中,∠A=110°,E,F 分别是边 AB 和 BC 的中点, EP⊥CD 于点 P,则∠FPC=( ) A.35° B.45° C.50° D.55° 三.解答题 1.如图,四边形 ABCD 是菱形,对角线 AC=8 cm , BD=6cm, DH⊥AB 于 H,求:DH 的长

2.如图,菱形 ABCD 的对角线 AC.BD 相交于点 O,AE∥BD,BE∥AC,AE、BE 相交 于点 E ,求证:OAEB 是矩形。

3.已知:如图,菱形 ABCD 的周长为 16cm,∠ABC=60°,对角线 AC 和 BD 相交 于点 O,求 AC 和 BD 的长.

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4.如图,在菱形 ABCD 中,∠A=60°, AB =4,O 为对角线 BD 的中点,过 O 点作 OE⊥AB,垂足为 E. (1) 求∠ABD 的度数; (2)求线段 BE 的长.
D

C

O

60?
A E B

5.如图,四边形 ABCD 是菱形,对角线 AC.BD 相交于点 O,DH⊥AB 于 H,连接 OH, 求证:∠DHO=∠DCO.

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特殊的平行四边形 5——菱形的性质 2
一、填空题 1. 如图,如果把这个图形看作是由一个菱形旋转得到的图形,那么 这个菱形共需要旋转________ 2. 如图,菱形 ABCD 的对角线交于平面直角坐标系的原点,顶 点 A 坐标为 (-2, 3) , 现将菱形绕点 O 顺时针方向旋转 180° 后,A 点坐标变为________. 3. 如图, 菱形 ABCD 和菱形 AEFG 开始时互相重合, 现将菱形 AEFG 绕点 A 顺时针旋转,设旋转角∠BAE=α (0°<α <360°), 则当α =______时,菱形的顶点 F 会落在菱形的对角线 AC 和 BD 所在的直线上. 4. 如图,将两张长为 8,宽为 2 的矩形纸条交叉,使重叠部分 是一个菱形, 容易知道当两张纸条垂直时,菱形的周长有最小 值 8,那么菱形周长的最大值是____. 5. 如图, 边长为 1 的菱形 ABCD 中, ∠DAB=60°. 连结对角线 AC, 以 AC 为边作第二个菱形 ACEF,使∠FAC=60°.连结 AE,再 以 AE 为边作第三个菱形 AEGH 使∠HAE=60°?按此规律所作 的第 n 个菱形的边长是 .

二、选择题 1. 万花筒的一个图案如图所示,图中所有小三角形均是全等三角形,其中把菱 形 ABCD 以 A 为中心旋转多少度后可得图中另一阴影的菱形 ( ) A.顺时针旋转 60° B.顺时针旋转 120° C.逆时针旋转 60° D.逆时针旋转 120° 2. 如图,菱形 ABCD 中,∠B=60°,AB=2 ㎝,E、F 分别是 BC.CD 的中点, 连结 AE、EF、AF,则△AEF 的周长为( ) A. 2 3 ㎝ B. 3 3 ㎝ C. 4 3 ㎝ D.3 ㎝ 3. 如图,菱形 OABC 的顶点 O 在坐标系原点,顶点 A 在 x 轴上,∠B=120°,OA=2,将菱形 OABC 绕原点 O 顺时针 旋转 105°至 OA′B′C′的位置,则点 B′的坐标为 ( )
A.(? 2, 2 )

B.( 2 ,? 2 ) C.(2,-2) D.( 3,? 3)

31

4. 如图四边形 ABCD 是菱形,且∠ABC=60,△ABE 是等边三角形,M 为对角线 BD (不含 B 点)上任意一点,将 BM 绕点 B 逆时针旋转 60°得到 BN,连接 EN、 AM、CM,则下列五个结论中正确的是( ) ①若菱形 ABCD 的边长为 1,则 AM+CM 的最小值 1; ②△AMB≌△ENB; ③S 四边形 AMBE=S 四边形 ADCM; ④连接 AN,则 AN⊥BE; ⑤当 AM+BM+CM 的最小值为 2 3 时,菱形 ABCD 的边长为 2. A.①②③ B.②④⑤ C.①②⑤ D.②③⑤ 三、解答题 1. 如图,菱形 ABCD 的对角线 AC.BD 相交于点 O,AO=2BO=4,将菱形 ABCD 逆时 针旋转 90°得到菱形 A′B′C′D′,求两个菱形重合部分的面积.

2. 如图,菱形 ABCD 的边 CD 在菱形 ECGF 的边 CE 上,且 D 是 CE 中点.连接 BE, DF. (1)观察猜想 BE 与 DF 之间的大小关系,并证明你的结论. (2) 图中是否存在旋转能够互相重合的两个三角形?若存在,请说明旋转过程; 若不存在,请说明理由.

32

3. 用两个全等的等边△ABC 和△ADC,在平面上拼成菱形 ABCD,把一个含 60° 角的三角尺与这个菱形重合,使三角尺有两边分别在 AB.AC 上,将三角尺 绕点 A 按逆时针方向旋转 (1)如图 1,当三角尺的两边与 BC.CD 分别相交于点 E、F 时,观察或测量 BE,CF 的长度,你能得出什么结论?证明你的结论. (2) 如图 2, 当三角尺的两边与 BC. CD 的延长线分别交于 E、 F 时, 你在 (1) 中的结论还成立吗?请说明理由.

4. 如图,四边形 ABCD 是菱形,对角线 AC.BD 相交于点 O,点 F 是对角线 BD 上一点. (1) 如图 1, 求证: AF=CF. (2)如图 2,若△CDF 绕 着点 F 旋转到△AEF,点 E 在 CF 延长线上,连接 BE, 求证:△ABE 是等边三角 形.

33

5. 已知:如图①,△ABC 是等边三角形,四边形 BDEF 是菱形,其中 DF=DB,连 接 AF、CD. (1)观察图形,猜想 AF 与 CD 之间有怎样的数量关系?直接写出结论,不 必证明; (2) 将菱形 BDEF 绕点 B 按顺时针方向旋转,使菱形 BDEF 的一边落在等边 △ABC 内部,在图②中画出一个变换后的图形,并对照已知图形标记字母, 请问: (1)中的结论是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理 由; (3)在上述旋转过程中,AF、CD 所夹锐角的度数是否发生变化?若不变, 请你求出它的度数,并说明你的理由;若改变,请说明它的度数是如何变化 的.

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特殊的平行四边形 6—— 菱形 3
一、选择题 1. 下列命题中正确的是( ) A.对角线相等的四边形是菱形 B.对角线互相垂直的四边形是菱形 C.对角线相等的平行四边形是菱形 D. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 2.已知四边形 ABCD 的对角线互相平分,要使它成为菱形,还需要添加一个条件, 这个条件是( ) A.AB=CD B.AB=BC C.AD=BC D.AC=BD 3.如图,顺次连接四边形 ABCD 各中点得四边形 EFGH,要使 四边形 EFGH 为菱形,应添加的条件是( ) A.AB∥DC B.AB=DC C.AC⊥BD D.AC=BD 4.如图, 在四边形 ABCD 中, E、 F、 G、 H 分别是 AB. BD. CD. AC 的中点,要使四边形 EFGH 是菱形,则四边形 ABCD 只需要满 足一个条件,是( ) A. AB∥CD B.四边形 ABCD 是菱形 C.对角线 AC=BD D.AD=BC 5.如图,在△ABC 中,点 E、D.F 分别在边 AB.BC.CA 上, 且 DE∥CA,DF∥BA.下列四个判断中,不正确的是( ) A.四边形 AEDF 是平行四边形 B.如果∠BAC=90°,那么四边形 AEDF 是矩形 C.如果 AD 平分∠BAC,那么四边形 AEDF 是矩形 D.如果 AD⊥BC 且 AB=AC,那么四边形 AEDF 是菱形 6.如图,在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形.甲、 乙两人的作法如下: 甲:连接 AC,作 AC 的垂直平分线 MN 分别交 AD,AC,BC 于 M,O,N,连接 AN, CM,则四边形 ANCM 是菱形. 乙:分别作∠A,∠B 的平分线 AE,BF,分别交 BC,AD 于 E,F,连接 EF,则四 边形 ABEF 是菱形. 根据两人的作法可判断( )

A.甲正确,乙错误 B.乙正确,甲错误 C.甲、乙均正确 D.甲、乙均错误 二、填空题: 1. 一组邻边相等的______是菱形; 四条 边______的四边形是菱形;对角线______的平行四边形 是菱形. 2. 如图,在 ABC 中, AD⊥BC 于点 D,E、F 分别是 AB.AC 边的中点,连结 DE、 EF、FD,当Δ ABC 满足条件 时,四边形 AEDF 是菱形(填写一个你认为恰当 的条件即可) 。

35

3.如图,在△ABC 中,点 D 是 BC 的中点,点 E,F 分别在线段 AD 及其延长线上,且 DE=DF.给出下列条件: ①BE⊥EC;②BF∥CE;③AB=AC;从中选择一个条件使四边形 BECF 是菱形,你认为这个条件是________(只填写序号). 4.如图,四边形 ABCD 是平行四边形.点 M,N 分别在 AB,AD 上,且 AM=AN,BM=DN,MG∥AD,NF∥AB.点 F,G 分别在 BC, CD 上,MG 与 NF 相交于点 E,则图中的菱形共有________个. 5.矩形 ABCD 中,AD=32 厘米,AB=24 厘米,点 P 是线段 AD 上一动点,O 为 BD 的中点,PO 的延长线交 BC 于 Q.若 P 从点 A 出发,以 1 厘米/秒的速度向 D 运动(不与 D 重合).设点 P 运动时间为 t 秒, 则 t= ________秒时, 点 P 和 Q 与点 A. B. C. D 中的两个点为顶点的四边形是菱形. 三、解答题 1、两个完全相同的矩形纸片 ABCD 、 BFDE 如图放置, AB ? BF . 求证:四边形 BNDM 为菱形.

2.如图,在□ABCD 中,E,F 分别为边 AB,CD 的中点,连结 DE,BF,BD. (1)求证:△ADE≌△CBF. (2)若 AD⊥BD,则四边形 BFDE 是什么特殊四边形?请证明你的结论.

3.如图,在四边形 ABCD 中,AD∥BC,AM⊥BC,垂足为 M,AN⊥DC,垂足为 N, 若∠BAD=∠BCD,AM=AN. 求证:四边形 ABCD 是菱形

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4.如图,在四边形 ABCD 中,∠ABC=∠ADC=900,M 是 AC 的中点,MN⊥BD,BN∥MD, BN 与 MN 交于点 N,MN 交 BD 于点 N,MN 交 BD 于点 O,求证:四边形 BNDM 是菱形。

5. 如图,四边形 ABCD 是矩形,∠ EDC=∠ CAB ,∠ DEC=90 °. ( 1 )求证: AC ∥ DE ; ( 2)过点 B 作 BF ⊥ AC 于点 F ,连接 EF ,试判别四边形 BCEF 的形状,并说 明理由.

6. 如图, D 是等腰 RtABC 的直角边上的一点, AD 的垂直平分线 EF 分别交 AC. AD. AB 于 E、O、F 三点,且 BC=2。 (1)当 CD= 2 时,求 AE 的长; (2)当 CD=2( 2 -1) 时,证明:四边形 AEDF 是菱形。

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7.如图,平行四边形 ABCD 中,AB⊥AC,AB=1,BC= 5 .对角线 AC.BD 相交于点 O,将直线 AC 绕点 O 顺时针旋转,分别交 BC.AD 于点 E、F.在旋转过程中, 四边形 BEDF 可能是菱形吗?如果不能,请说明理由;如果能,说明理由并 求出此时 AC 绕点 O 顺时针旋转的最小度数.

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特殊的平行四边形 7——正方形 1
一.填空题 1. 正方形的定义:有一组邻边______并且有一个角是______的平行四边形叫做 正方形,因此正方形既是一个特殊的有一组邻边相等的______,又是一个特 殊的有一个角是直角的______. 2. 正方形的性质:正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质, 正方形的四个角都______;四条边都______且__________________;正方形 的两条对角线______,并且互相______,每条对角线平分______对角.它有 ______条对称轴. 3. 已知一正方形的对角线长为 2cm,则它的边长为_______。 4. 如图,E 是正方形 ABCD 的对角线 BD 上一点,且 BE=BC,则∠ACE = ° 5. 如图, 四边形 ABCD 是正方形, 延长 CD 到 E, 使 CE=CB, 则∠DBE= °.

第 4 题图

第 5 题图

第 6 题图

第 7 题图

第 8 题图

6. 如图,等边△EDC 在正方形 ABCD 内,连结 EA.EB,则∠AEB= °;∠ ACE= °. 7. 如图,在正方形 ABCD 中,边长为 2 的等边三角形 AEF 的顶点 E、F 分别在 BC 和 CD 上, 下列结论: ①CE=CF; ②∠AEB=75°; ③BE+DF=EF; ④S 正方形 ABCD=2+ . 其 中正确的序号是 (把你认为正确的都填上) . 8. 如图,在平面直角坐标系中,边长为 1 的正方形 OA1B1C 的对角线 A1C 和 OB1 交于点 M1;以 M1A1 为对角线作第二个正方形 A2A1B2M1,对角线 A1M1 和 A2B2 交于 点 M2;以 M2A1 为对角线作第三个正方形 A3A1B3M2,对角线 A1M2 和 A3B3 交于点 M3; ?, 依此类推, 这样作的第 n 个正方形对角线交点 Mn 的坐标为_________. 9. 如图,点 P 是正方形 ABCD 的对角线 BD 上一点,PE⊥BC 于点 E, PF⊥CD 于点 F,连接 EF 给出下列五个结论:①AP=EF;②AP⊥EF; ③△APD 一定是等腰三角形;④∠PFE=∠BAP;⑤PD= EC.其中 正确结论的序号是________. 二.选择题 1. 正方形的边和对角线构成的等腰直角三角形共有( ) A D A.4 个 B.6 个 C.8 个 D.10 个 E 2. 如图,在正方形 ABCD 中,∠DAE=25°,AE 交对角线 BD 于 E 点,那么∠BEC 等于( ) B C A.45° B.60° C.70° D.75°

39

3. 如图所示,将一张正方形纸片对折两次,然后在上面打 3 个洞,则纸片展开 后是 ( )

4.

5.

( 6.

A. B. . D. A. B. CC . D . 顶点为 A(6,6) ,B(﹣4,3) ,C(﹣1,﹣7) ,D(9,﹣4)的正方形在第 一象限的面积是( ) A.25 B.36 C.49 D.30 如图, 正方形 ABCD 中, 点 E 在 BC 的延长线上, AE 平分∠DAC, 则下列结论: (1)∠E=22.5°; (2) ∠AFC=112.5°; (3) ∠ACE=135°; (4)AC=CE; (5) AD∶CE=1∶ 2. 其中正确的有 ) A.5 个 B.4 个 C.3 个 D.2 个 如图,正方形 ABCD 的边长为 8,M 在 DC 上,且 DM=2,N 是 AC 上一动点,则 DN+MN 的最小值为( )

A.8

B.8 2

C.2 17

D.10

7. 如图,将一张正方形纸片剪成四个小正方形,得到 4 个小正 方形,称为第一次操作;然后,将其中的一个正方形再剪成 四个小正方形,共得到 7 个小正方形,称为第二次操作;再 将其中的一个正方形再剪成四个小正方形,共得到 10 个小 正方形,称为第三次操作;...,根据以上操作,若要得到 第7题 2011 个小正方形,则需要操作的次数是( ) A.669 B.670 C.671 D. 672 8. 正方形 ABCD 、正方形 BEFG 和正方形 RKPF 的位置如图 所示,点 G 在线段 DK 上,正方形 BEFG 的边长为 4,则 ?DEK 的面积为( ) A.10 B.12 C.14 D.16 三.解答题 1. 如图,已知边长为 1 的正方形 ABCD,E 为 AD 中点,P 为 CE 的中点, 求 S△BPD.

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2. 如图, 以正方形 ABCD 的对角线 BD 为边作正三角形 BDE,过 E 作 EF⊥AD,交 DA

的延长线于 F, (1) 求∠AEF=_____; (2) 若正三角形 BDE 的周长是 12,求正方形面积.

3. 如图,在边长为 4 的正方形 ABCD 中,点 P 在 AB 上从 A 向 B 运动,连接 DP 交 AC 于点 Q. (1)试证明:无论点 P 运动到 AB 上何处时,都有△ADQ≌△ABQ; (2)当点 P 在 AB 上运动到什么位置时,△ADQ 面积是正方形 ABCD 面积的 ; (3)若点 P 从点 A 运动到点 B,再继续在 BC 上运动到点 C,在整个运动过程中, 当点 P 运动到什么位置时,△ADQ 恰为等腰三角形.

41

特殊的平行四边形 8——正方形 2
一、填空题 1. 正方形的判定: (1)____________________________________的平行四边形是正方形; (2)____________________________________的矩形是正方形; (3)____________________________________的菱形是正方形; 2. 已知四边形两对角线:①互相垂直;②相等;③互相平分。具备条件____可 得平行四边形;具备条件_______可得矩形;具备条件_______ 可得是菱形; 具备条件________可得正方形。 (填序号) 3. 如图,在一个正方形被分成三十六个面积均为 1 的小正方形, 点 A 与点 B 在两个格点上.在格点上存在点 C,使△ABC 的面积 为 2,则这样的点 C 有 个. F A D 4. 已知,如图正方形 ABCD 的对角线交于点 G,边长为 8,E、F E 分别是 CD.AD 上的两点且∠DEG+∠DFG=180°,则 S 四边形 G DEGF=______. C B 5. ABCD 是边长为 1 的正方形,△BPC 是等边三角形,则△BPD 的 面积为______. 二、选择题 1. 下列说法中错误的是( ) A.对角线相等的菱形是正方形 B.有一组邻边相等的矩形是正方形 C.四条边都相等的四边形是正方法 D.有一个角为直角的菱形是正方形 2. 一个围棋盘由 18×18 个边长为 1 的正方形小方格组成,一块边长为 1.5 的 正方形卡片放在棋盘上, 被这块卡片覆盖了一部分或全部的小方格共有 n 个, 则 n 的最大值是( ) A.4 B.6 C.10 D.12 3. 在平面直角坐标系中,称横、纵坐标均为整数的点为整点,如 下图所示的正方形内(包括边界)整点的个数是( ) A.13 B.21 C.17 D.25 4. 在同一平面上,正方形 ABCD 的四个顶点到直线 l 的距离只取四个值,其中 一个值是另一个值的 3 倍,这样的直线 l 可以有( ) A.4 条 B.8 条 C.12 条 D.16 条 5. 如图,正方形 ABCD 的边长为 1,E 为 AD 中点,P 为 CE 中点, F 为 BP 中点,则 F 到 BD 的距离等于( ) A. B. C. D.

9、搬进新居后,小杰自己动手用彩塑纸做了一个如图所示的正方 形的挂式小饰品 ABCD, 彩线 BD. AN、 CM 将正方形 ABCD 分成六部分, 其中 M 是 AB 的中点,N 是 BC 的中点,AN 与 CM 交于 O 点.已知正 方形 ABCD 的面积为 576cm2,则被分隔开的△CON 的面积为( ) 2 2 2 A.96cm B.48cm C.24cm D.以上都不对

42

10、如图,正方形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于 O 点,在 BD 上截 取 BE=BC,连接 CE,点 P 是 CE 上任意一点,PM⊥BD 于 M,PN⊥BC 于 N,若正方形 ABCD 的边长为 1,则 PM+PN=( ) A.1 B. C. D.1+

三、解答题 1. 已知:如图,点 E 是正方形 ABCD 的边 CD 上一点,点 F 是 CB 的延长线上一 点,且 EA⊥AF.求证:DE=BF.

2. 已知在Δ ABC 中, (1) 如图(1) ,分别以 AC.AB 为边向三角形内作四边形 ABDE、AGFC 都是 正方形,判断 BG、EC 的关系并说明理由; (2) 如图(2) ,分别以 AC.AB 为边向三角形外作四边形 ABDE、AGFC 都是 正方形, (1)中的结果是否成立。
E C A F G B D

43

3. 如图 1,在正方形 ABCD 中,E、F 分别是边 AD.DC 上的点,且 AF⊥BE. (1)求证:AF=BE; (2)如图 2,在正方形 ABCD 中,M、N、P、Q 分别是边 AB.BC.CD.DA 上的点, 且 MP⊥NQ.MP 与 NQ 是否相等?并说明理由.

4. (1)在正方形 ABCD 中,∠1=∠2.求证: OF ?

1 BE 2

D 1 2 O F C E

A

B

1 (2)在正方形 ABCD 中,∠1=∠2.AE⊥DF,求证: OG ? CE 2
D 12 G H E O C F B A

44

5. 如图,在正方形 ABCD 中,F 是对角线 AC 上任一点,BF⊥EF,求证:BF=EF

6. 已知:如图,在正方形 ABCD 中,M,N 分别是 BC,CD 上的点。 (1)若∠MAN=45°,求证:MB+ND=MN 。 A (2)若 MB+ND=MN,求证:∠MAN=45°。

D N

B

M

C

45

7. 如图①所示,已知 A.B 为直线 l 上两点,点 C 为直线 l 上方一动点,连接 AC.BC,分别以 AC.BC 为边向△ABC 外作正方形 CADF 和正方形 CBEG,过点 D 作 DD1⊥l 于点 D1,过点 E 作 EE1⊥l 于点 E1.

(1)如图②,当点 E 恰好在直线 l 上时(此时 E1 与 E 重合) ,试说明 DD1=AB; (2)在图①中,当 D.E 两点都在直线 l 的上方时,试探求三条线段 DD1、EE1、 AB 之间的数量关系,并说明理由; (3)如图③,当点 E 在直线 l 的下方时,请直接写出三条线段 DD1、EE1、AB 之 间的数量关系. (不需要证明)

46

特殊的平行四边形 9——正方形 3
一、填空题 1. 如图 1, 已知正方形 ABCD 的边长为 3,E 为 CD 边上一点, DE ? 1 . 以点 A 为 中心,把△ ADE 顺时针旋转 90 ? ,得△ ABE? ,连接 EE? ,则 EE? 的长等 于 . 2. 如图 2,正方形 ABCD 中,已知点 E、F 分别在 BC,CD 上, (1)若 AE=BF,∠BAE=20°, 则∠ABF=________°; (2)若 AE⊥BF,BE=3cm,DF=5cm,则 S 正方形 ABCD=_____. 3. 如图 3,三个边长均为 2 的正方形重叠在一起,O1、O2 是其中两个正方形的 中心,则阴影部分的面积是 .
A D E
F
O1

A

D
O2

E'

B

C

B

E

C

图1 图2 图3 图4 4. 边长为 1 的正方形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转 30°得到正方形 AB′C′D′,两 图叠成一个“蝶形风筝” (如图 4) ,则这个风筝的面积是 . 二、选择题 1. 如图, △ABC 是一个等腰直角三角形, DEFG 是其内接正方形, H 是正方形的对角线交点;那么,由图中的线段所构成的三 角形中相互全等的三角形的对数为( ) A.12 B.13 C.26 D.30 2. 如图,正方形 ABCD 内有两条相交线段 MN、EF,M、N、E、F 分别 在边 AB.CD.AD.BC 上.小明认为:若 MN = EF,则 MN⊥EF; 小亮认为: 若 MN⊥EF,则 MN = EF.你认为 ( ) A.仅小明对 B.仅小亮对 C.两人都对 D.两人都不对 3. 如图,在正方形 ABCD 中,AB=4,E 为 CD 上一动点,AE 交 BD 于 F, 过 F 作 FH⊥AE 于 H, 过 H 作 GH⊥BD 于 G, 下列有四个结论: ①AF=FH, ②∠HAE=45°,③BD=2FG,④△CEH 的周长为定值,其中正确的 结论有( ) A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.①②③④ 4. 如图,将边长为 8 ㎝的正方形 ABCD 折叠,使点 D 落在 BC 边的 中点 E 处,点 A 落在 F 处,折痕为 MN,则线段 CN 的长是( ) A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm 5. 如图,正方形 ABCD 的面积为 16,△ABE 是等边三角形,点 E 在正方形 ABCD 内,在对角线 BD 上有一点 P,使 PC+PE 的和最 小,则这个最小值为( ) A.4 B.2 C.2 D.2
47

6. 已知:如图,在正方形 ABCD 外取一点 E ,连接 AE ,BE , DE .过点 A 作 AE A 的垂线交 ED 于点 P . 若 AE ? AP ?1, PB ? 5 .下列 D 结论: P E ①△ APD ≌△ AEB ;②点 B 到直线 AE 的距离为 2 ;
③ EB ? ED ;④ S?APD ? S?APB ? 1 ? 6 ;
B C

⑤ S正方形ABCD ? 4 ? 6 .

其中正确结论的序号是( A.①③④ B.①②⑤

) C.③④⑤ D.①③⑤

三、解答题 1. 如图,已知 E、F、G、H 分别是正方形 ABCD 四条边上的点, 且 AE=BF=CG=DH。求证:四边形 EFGH 为正方形。

2. 如图,分别以△ABC 的三边为边在 BC 的同侧作三个等边三角形,即△ABD, △BCE,△ACF.请回答下列问题: (1)说明四边形 ADEF 是什么四边形? (2)当△ABC 满足什么条件时,四边形 ADEF 是矩形? (3)当△ABC 满足什么条件时,四边形 ADEF 是菱形? (4)当△ABC 满足什么条件时,四边形 ADEF 是正方形? (5)当△ABC 满足什么条件时,以 A,D,E,F 为顶点的四边形不存在? (第(2) (3) (5)题不必说明理由)

48

3.两个长为 2cm,宽为 1cm 的长方形,摆放在直线 l 上(如图①) ,CE=2cm,将 长方形 ABCD 绕着点 C 顺时针旋转α 角, 将长方形 EFGH 绕着点 E 逆时针旋转相同 的角度. (1)当旋转到顶点 D.H 重合时,连接 AG(如图②) ,求点 D 到 AG 的距离; (2)当α =45°时(如图③) ,求证:四边形 MHND 为正方形.

4.如图正方形 ABCD 中,E 为 AD 边上的中点,过 A 作 AF⊥BE,交 CD 边于 F,M 是 AD 边上一点且有 BM=DM+CD. ⑴求证:点 F 是 CD 边的中点; ⑵求证:∠MBC=2∠ABE.

49

5.如图,正方形 ABCD 中,M 是 AB 的中点,E 是 AB 延长线上一点,MN ? DM,且交 ①请直接写出 DM 与 MN 的数量关系是:_______. ②若将上述条件中的“M 为 AB 的中点,改为 M 为 AB 边上任意一点”,其余条件不 变, ①中得到的 DM 与 MN 的数量关系还成立吗? 若成立, 请给予证明, 若不成立, 请说明理由.
D C

? CBE 的平分线于 N.

D

C

N A M ① B E

N A M ② B E

6.如图,在正方形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 相交于点 O,AF 平分∠BAC,交 BD 于点 F. (1)求证: ;

(2)点 A1、点 C1 分别同时从 A.C 两点出发,以相同的速度运动相同的时间后 同时停止,如图,A1F1 平分∠BA1C1,交 BD 于点 F1,过点 F1 作 F1E⊥A1C1,垂足为 E, 请猜想 EF1,AB 与 三者之间的数量关系,并证明你的猜想; _________ .

(3)在(2)的条件下,当 A1E1=6,C1E1=4 时,则 BD 的长为

50

平行四边形复习 1
一、填空题 1. 如图 1, 在□ABCD 中, DB=DC, ∠C=70°, AE⊥BD 交 BD 于 E, 则∠DAE=_______ 度. 2. 如图 2,已知 O 是□ABCD 的对角线交点,AC=38mm,BD=24mm,AD=14mm,那么 △OBC 的周长等于__________. 3. 如图 3,BD 是□ABCD 的对角线,点 E、F 在 BD 上,要使四边形 AECF 是平行 四边形, 还需要增加的一个条件是__________(填上你认为正确的一个即可, 不必考虑所有可能情况). 4. 如图 4,把一张平行四边形纸片 ABCD 沿 BD 对折,使 C 点落在 E 处. BE 与 AD 相交于点 O,若∠DBC=15°,则∠BOD=___________.
D E

E
C

D

C O

A E F C

D

A

O

D

A

图1

B

A

图2

B

B 图3

B

图4

C

5. 矩形 ABCD 中, M 是 BC 的中点, 且 MA⊥MD, 若矩形的周长为 48cm, 则矩形 ABCD 的面积为_______cm?. C 6. 如图 6,在长方形 ABCD 中,AB=3,BC=2,E 为 BC 的中点, D F 在 AB 上, 且 BF=2AF, 则四边形 AFEC 的面积为__________. E 7. 如图 7,点 D.E、F 分别是△ABC 的边 AB.BC.AC 的中点, B F 图6 连结 DE、EF,要使四边形 ADEF 为正方形,还需增加条件: A ___________. 8. 如图 8,已知正方形纸片 ABCD,M、N 分别是 AD.BC 的中 A 点,把 BC 边向上翻折,使点 C 恰好落在 MN 上的 P 点处, BQ 为折痕,则∠PBQ=______度. F D 9. 如图 9,在 Rt△ABC 中,∠B=90°,D.E 分别是边 AB.AC 的中点,DE=4, AC=10, 则 AB=__________. 10.如图 12(1) ,矩形纸片 ABCD 中,AB=6cm,AD=9cm.现按 B E 图7 C 以下步奏折叠:①将∠BAD 对折,使 AB 落在 AD 上,得折 痕 AF;②将△AFB 沿 BF 折叠,AF 与 CD 交于点 G. 则 CG 的长等于____________cm.
A M P Q B N 图8 C
D B E

D

A

A

D

A

B

D

B

D G

A

B
图9 C

图12(1) C

F 图12(2)

F

C

C 图12(3 )

二、选择题 1. 如图 13,□ABCD 的周长为 16cm,AC.BD 相交于点 O,OE ⊥AC 交 AD 于 E,则△DCE 的周长为 ( ) A. 4cm B. 6cm C. 8cm D.10cm

A O 图13

E

D

B
51

C

2. 已知一个凸四边形 ABCD 的四条边的边长顺次是 A. B. C. d, 且 a?+ab-ac-bc=0, b?+bc-bd-cd=0,那么四边形 ABCD 是 ( ) A.平行四边形 B.菱形 C.矩形 D.正方形 3. 如果菱形的边长是 a, 一个内角是 60°, 那么菱形较短的对角线长等于( )
1 A. a 2

B.a

C.

3 a 2

D. 3 a

4. 下列四个命题中,假命题是 ( ) A.两条对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 B.菱形的一条对角线平分一组对角 C.顺次连结四边形的各边中点所得的四边形是平行四边形 D. 对角线互相垂直的四边形是菱形 5. 矩形具有而菱形不具有的性质是 ( ) A.两组对边分别平行 B.对角线相等 C.对角线互相平分 D.两组对角分别相等 三、解答题 1.如图所示,在□ABCD 中,BD 是对角线,AE、CF 分别是∠BAD.∠BCD 的平分 线.求证:四边形 AECF 是平行四边形.
A F E B C D

2.如图,在□ABCD 的纸片中,AC⊥AB,AC 与 BD 相较于 O,将△ABC 沿对角线 AC 翻折 180°,得到△AB′C. (1)求证:以 A.C.D.B′为顶点的四边形是矩形; (2)若四边形 ABCD 的面积 S=12cm?. 求翻转后纸片重叠 A 部分的面积,即 S△ACE。
O B C

D

52

3.如图所示,四边形 ABCD 中,∠ADC=90°,AC=BC,E、F 分别是 AC.AB 的中 点,且∠DEA∠ACB=45°,BG⊥AE 于 G. (1) 求证:四边形 ADGF 是菱形; (2) 若 AC=BC=10cm,求四边形 ADGF 的面积.

4.如图所示,AB=CD,AN=ND,BM=CM, 求证:∠1=∠2.

5.已知:□ABCD 的对角线交于点 O,点 P 是直线 BD 上任意一点(异于 B.O、D 三点),过 P 点作平行于 AC 的直线,交直线 AD 于 E,交直线 AB 于 F. (1)若点 P 在线段 BD 上(如图所示).试说明:AC=PE+PF. (2)若点 P 在 BD 或 DB 的延长线上,试探究 AC.PE、PF 满足的等量关系式.(只写 出结论,不作证明)

53

6.如图,ABCD 是矩形纸片,翻折∠B.∠D,使 BC.AD 恰好落在 AC 上、设 F、H 分别是 B.D 落在 AC 上的两点,E、G 分别是折痕 CE、AG 与 AB.CD 的交点、 (1)试说明:四边形 AECG 是平行四边形; D G (2)若 AB=4cm,BC=3cm,求线段 EF 的长、
F A H E

C

B

7.如图,在平行四边形 ABCD 中,AD=4 cm,∠A=60°,BD⊥AD. 一动点 P 从 A 出发,以每秒 1 cm 的速度沿 A→B→C 的路线匀速运动,过点 P 作直线 PM,使 PM ⊥AD . (1) 当点 P 运动 2 秒时,设直线 PM 与 AD 相交于点 E,求△APE 的面积; (2) 当点 P 运动 2 秒时,另一动点 Q 也从 A 出发沿 A→B→C 的路线运动,且在 AB 上以每秒 1 cm 的速度匀速运动,在 BC 上以每秒 2 cm 的速度匀速运动. 过 Q 作直线 QN,使 QN∥PM. 设点 Q 运动的时间为 t 秒(0≤t≤10),直线 PM 与 QN 截 平行四边形 ABCD 所得图形的面积为 S cm2 . ① 求 S 关于 t 的函数关系式; ② 求 S 的最大值.

54

8.如图 1, P 为 Rt△ABC 所在平面内任意一点(不在直线 AC 上),∠ACB = 90°, M 为 AB 边中点.操作:以 PA.PC 为邻边作平行四边形 PADC,连续 PM 并延长到点 E,使 ME = PM,连结 DE.探究: ⑴请猜想与线段 DE 有关的三个结论; ⑵请你利用图 2,图 3 选择不同位置的点 P 按上述方法操作; ⑶经历⑵之后,如果你认为你写的结论是正确的,请加以证明;如果你认为你写 的结论是错误的,请用图 2 或图 3 加以说明;(注意:错误的结论,只要你用反 例给予说明) ⑷若将“Rt△ABC”改为“任意△ABC” ,其他条件不变,利用图 4 操作,并写出 与线段 DE 有关的结论(直接写答案) .

55

平行四边形 复习 2
一、填空题 1. 若菱形的两条对角线分别为 2 和 3,则此菱形的面积 是 . 2. 如图,在?ABCD 中,对角线 AC 与 BD 相交于点 O,过点 O 作 EF⊥AC 交 BC 于点 E,交 AD 于点 F,连接 AE、CF.则四 边形 AECF 是_______ 3. 矩形 ABCD 的对角线相交于 O,AE 平分∠BAD 交 BC 于 E, ∠CAE=15°,则∠BOE=________° 4. 如图,将菱形纸片 ABCD 折迭,使点 A 恰好落在菱形的对 称中心 O 处,折痕为 EF。若菱形 ABCD 的边长为 2 cm, ?A=120?,则 EF= cm。 5. 如图,在平行四边形 ABCD 中,AB=4,∠BAD 的平分线与 BC 的延长线交于点 E, 与 DC 交于点 F, 且点 F 为边 DC 的中点,DG⊥AE,垂足为 G,若 DG=1,则 AE 的边长为 __ 6. 如图, ABCD 是面积为 a?的任意四边形, 顺次连结各边 中点得到四边形 A 1 B 1 C 1 D 1 ,再顺次连结 A 1 B 1 C 1 D 1 各 边中点得到四边形 A 2 B 2 C 2 D 2 , 重复同样的方法直到得 到四边形 A n B n C n D n ,则四边形 A n B n C n D n 的面积为 _____ ___. 7. 如图,在△ABC 中,∠ABC=90°,BD 为 AC 的中线, 过点 C 作 CE⊥BD 于点 E,过点 A 作 BD 的平行线,交 CE 的延长线于点 F, 在 AF 的延长线上截取 FG=BD, 连 接 BG、DF.若 AG=13,CF=6,则四边形 BDFG 的周长 为 . 8. 如图,如果以正方形 ABCD 的对角线 AC 为边做第二个 正方形 ACEF,再以对角线 AE 为边作第三个正方形 AEGH, 如此下去, ??已知正方形 ABCD 的面积 S1 为 1, 按上述方法所作的正方形面积依次为 S 2 S 3 ,?, S n ( n 为正整数) , 那么第 8 个正方形的面积 S8 = 第 n 个正方形的面积 S n = 9. 如图,矩形 ABCD 的面积为 20cm2,对角线交于点 O;以 AB.AO 为邻边做平行四边形 AOC1B,对角线交于点 O1; 以 AB.AO1 为邻边做平行四边形 AO1C2B;?;依此类推, 则平行四边形 AO4C5B 的面积为
56
J G F D A

A O

B

E

I

E C B

H



10. 如图, 正方形纸片 ABCD 的边长为 1, M、 N 分别是 AD. BC 边上的点,将纸片的一角沿过点 B 的直线折叠,使 A 落 在 MN 上,落点记为 A′,折痕交 AD 于点 E,若 M、N 分 别是 AD.BC 边的中点,则 A′N= ; 若 M、 N 分别 是 AD.BC 边的上距 DC 最近的 n 等分点( n ? 2 ,且 n 为 整数) ,则 A′N= (用含有 n 的式子表示) 二、选择题 1. 在?ABCD 中,下列结论一定正确的是( ) A.AC⊥BD B.∠A+∠B=180° C.AB=AD D.∠A≠∠C 2. 四边形 ABCD 中,对角线 AC.BD 相交于点 O,下列条 件不能判定这个四边形是平行四边形的是( ) A.AB∥DC,AD∥BCB.AB=DC,AD=BC C.AO=CO,BO=DO D.AB∥DC,AD=BC

A

E

M A'

D

C B N

A

E D'

D

3. 如图 2,把一个长方形纸片沿 EF 折叠后,点 D.C 分别落在 D′、C′的位置,若∠EFB=65°,则∠AED′等于( ) A.50° B.55° C.60° D.65° 4. 如图 3,矩形纸片 ABCD 中,AB=6,E 为 AD 边上一点,将纸 片沿 BE 折叠后,点 A 落在 CD 边上的 F 点, 若∠CBF=∠EBF,则 BC 边的长为 ( ) A. 3 B. 2 3 C. 3 3 D. 3 +1

B

65°F 图2 C'

C

A E D F 图3

B

C

A E H D F G C 图5 B

5. 小明爸爸的风筝厂准备购进甲、乙两种规格相同但颜色不同 的布料生产一批形状如图 4 所示的风筝,点 E、F、G、H 分别 是四边形 ABCD 的各边的中点,其中阴影部分用甲布料,其余 部分用乙布料(裁剪两种布料时,均不计余料).若生产这批 风筝需要甲布料 30 匹,那么需要乙布料 ( ) A.15 匹 B.20 匹 C.30 匹 D.60 匹

6. 如图,D 是△ABC 内一点,BD⊥CD,AD=6,BD=4,CD=3,E、F、G、 H 分别是 AB. AC. CD. BD 的中点, 则四边形 EFGH 的周长是 ( ) A. 7 B.9 C.10 D.11
A F D

7. 如图,将一个边长分别为 4、8 的长方形纸片 ABCD 折 叠,使 C 点与 A 点重合,则折痕 EF 的长是( ) A. 3 B. 2 3 C. 5 D. 2 5

B E

C

57

8. 如图,点 D 是△ABC 的边 AB 的延长线上一点,点 F 是边 BC 上的一个动点(不与点 B 重合).以 BD.BF 为邻边作 平行四边形 BDEF, 又 AP BE (点 P、 E 在直线 AB 的同侧) , 如果 BD ? AB ,那么△PBC 的面积与△ABC 面积之比为 ( A. )
1 3 1 3 B. C. D. 4 5 5 4 三、解答题 1. 如图所示, 在□ABCD 中, ∠A=60°, E、 F 分别是 AB. CD 的中点, AB=2AD.
1 4



证:BD= 3 EF.

2. 如图,平行四边形ABCD中,∠DAB=60°,点E、F分别在CD.AB的延长线上, 且AE=AD,CF=CB。 (1)试说明:四边形 AFCE 是平行四边形. (2)若去掉已知条件的“∠DAB=60°,上述的结论还成立吗?若成立,请写出证 明过程;若不成立,请说明理由.

3. 已知:如图,在矩形 ABCD 中,点 E、F 在 BC 边上,且 BE=CF,AF、DE 交于 点 M.求证:AM=DM

58

4. 把一个等腰直角三角形 ABC 沿斜边上的高线 CD(裁剪线) A 剪一刀,从这个三角形中裁下一部分,与剩下部分能拼成 一个平行四边形 A′BCD(见右图) D 以下探究过程有画图要求的工具不限,不必写画法和证明. 探究一: (1) 想一想——判断四边形 A′BCD 是平行四边形的依据是 B C ________________; (2) 做一做——按上述的裁剪方法, 请你拼一个与图 1-7-6 位置或形状不同的 平行四边形,并在下图中画出示意图. 探究二: 在等腰直角三角形 ABC 中, 请你找出其他的裁剪线,把分割成的两部分拼出不同 类型的特殊四边形. (1) 试一试——你能拼得所有不同类型的特殊四边形有_______________;它 们的裁剪线分别是_____________. (2) 画一画——请在上图中画出一个你拼得的特殊四边形的示意图.

A'

5. 已知:如图,正方形 ABCD 中,点 E、M、N 分别在 AB.BC.AD 边上,CE=MN,∠MCE=35°,求∠ANM 的度数.

59

6. 如图,点 E 在线段 AB 上,△AED.△EBC 都是等边三角形,M、N、P、Q 分别 是 CD.DA.AB.BC 的中点. 求证:四边形 MNPQ 是菱形.

7. 如图 7,在矩形 ABCD 中,AB=12 厘米,BC=6 厘米,点 P 沿 AB 边从点 A 开始 向点 B 以 2 厘米/秒的速度移动; 点 Q 沿 DA 边从点 D 开始向点 A 以 1 厘米/秒的 速度移动. 如果 P、Q 同时出发,用 t(秒)表示移动的时间(0≤t≤6) ,那么: (1)当 t 为何值时,△QAP 为等腰直角三角形? (2)求四边形 QAPC 的面积;提出一个与计算结果有关的结论.

60

8. 阅读下面短文: 如图(1) ,△ABC 是直角三角形,∠C=90°,现将△ABC 补成矩形,使△ABC 的 两个顶点为矩形一边的两个端点,第三个顶点落在矩形这一边的对边上,那么符 合要求的矩形可以画出两个:矩形 ABCD 和矩形 AEFB[如图(2) ]. 解答问题: (1) 设图(2)中矩形 ACBD 和矩形 AEFB 的面积分别为 S 1 、S 2 ,则 S 1 ____S 2 (填“>” , “=”或“<” ) ; (2) 如图(3), △ABC 是钝角三角形,按短文中的要求把它补成矩形,那 么符合要求的矩形可以画_______个,利用图(3)把它画出来; (3) 如图(4) ,△ABC 是锐角三角形且三边满足 BC>AC>AB,按短文中的要 求把它补成矩形,那么符合要求的矩形可以画_______个,利用图(4) 把它画出来; (4) 在(3)中所画出的矩形中,哪一个的周长最小?为什么?
A A E C (1) B C (2) F B C (3) A A B B (4) C

61

9. 阅读下面材料: 小明遇到这样一个问题:如图 1,在边长为 a (a ? 2) 的正方形 ABCD 各边上分 别截取 AE=BF=CG=DH=1, 当∠AFQ=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°时, 求正方形 MNPQ 的面积。

图1 图2 图3 小明发现:分别延长 QE,MF,NG,PH,交 FA,GB,HC,ED 的延长线于点 R, S,T,W,可得△RQF,△SMG,△TNH,△WPE 是四个全等的等腰直角三角形 (如图 2) 请回答: (1) 若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形 (无缝隙, 不重叠) , 则这个新的正方形的边长为__________; (2)求正方形 MNPQ 的面积。 参考小明思考问题的方法,解决问题:

62

10. 如图 3,在等边△ABC 各边上分别截取 AD=BE=CF,再分别过点 D,E,F 作 BC, AC,AB 的垂线,得到等边△RPQ,若 S ?RPQ ?
3 ,则 AD 的长为__________。 3

如图①,四边形 ABCD 是正方形, 点 G 是 BC 上任意一点,DE⊥AG 于点 E, BF⊥AG 于点 F. (1) 求证:DE-BF = EF. (2) 当点 G 为 BC 边中点时, 试探究线段 EF 与 GF 之间的数量关系, 并说明理 由.

(3) 若点 G 为 CB 延长线上一点,其余条件不变.请你在 图②中画出图形,写出此时 DE、BF、EF 之间的数量关系 (不需要证明) .

63

11. 如图,矩形 ABCD 的对角线交于点 O , AE ⊥ BD , CF ⊥ BD,垂足分别为 E , F ,连接 AF , CE . ( 1 )求证:四边形 AECF 是平行四边形; ( 2 )若∠ BAD 的平分线与 FC 的延长线交于点 G ,则△ ACG 是等腰三角 形吗?并说明理由.

64

12. 已知正方形 ABCD 中, O 为其几何中心,E、F 分别为 BC.CD

A

D

上一点,且 FC+CE=AB (1)如图 1,试判断△EOF 的形状并证明你的结论; (2)若 P 为△EFC 的内心,如图 2 线段 CP、CB.EF 之间存在 一个等量关系式,请写出并证明你的结论; (3)如图 3,当∠EOF 绕 O 点逆时针旋转一个角度,使 E、F 分别在 CD.BC 的延长线上,点 P 是△EFC 的旁心(两条外角 平分线的交点) ,判断(1) 、 (2)中的结论是否分别成立?若 不成立,写出相应的结论并证明。

O

F

B

E 图 1

C

A

D

O

F P B E 图 2 C
F

A D

O

B

C P 图 3

E

65


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