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1.1集合的概念


第一章 集合与函数概念 1.1 集合的含义及其表示
教学目的: (1)初步理解集合的概念,知道常用数集及其记法; (2)初步了解“属于”关系的意义; (3)初步了解有限集、无限集、空集的意义; 教学重点:集合的含义与表示方法; 教学难点:运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法,正确表示一些简单的集合。 教学过程: 一、问题引入: 我家有爸爸、妈妈和我; 我来自燕山

中学; 省溧中高一(1)班; 我国的直辖市。 分析、归纳上述各个实例的共同特征,归纳出集合的含义。 二、建构数学: 1.集合的概念:一般地,一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合( set) 。集合常 用大写的拉丁字母来表示,如集合 A、集合 B?? 集合中的每一个对象称为该集合的元素(element),简称元。集合的元素常用小写的拉丁字母来 表示。如 a、b、c、p、q?? 指出下列对象是否构成集合,如果是,指出该集合的元素。 (1)我国的直辖市; (2)省溧中高一(1)班全体学生; (3)较大的数 (4)young 中的字母; (5)大于 100 的数; (6)小于 0 的正数。 2.关于集合的元素的特征 (1)确定性:设 A 是一个给定的集合,x 是某一个具体对象,则或者是 A 的元素,或者不 是 A 的元素,两种情况必有一种且只有一种成立。 (2)互异性:一个给定集合中的元素,指属于这个集合的互不相同的个体(对象) ,因此, 同一集合中不应重复出现同一元素。 (3)无序性:一般不考虑元素之间的顺序,但在表示数列之类的特殊集合时,通常按照习 惯的由小到大的数轴顺序书写。 3.集合元素与集合的关系用“属于”和“不属于”表示; (1)如果 a 是集合 A 的元素,就说 a 属于 A ,记作 a ∈ A (2)如果 a 不是集合 A 的元素,就说 a 不属于 A ,记作 a ? A ( “∈”的开口方向,不能把 a ∈A 颠倒过来写 ) 4.有限集、无限集和空集的概念:
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5.常用数集的记法: (1)非负整数集(自然数集) :全体非负整数的集合 记作 N, N ? ?0,1,2, ??
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(2)正整数集:非负整数集内排除 0 的集 记作 N*或 N+
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N* ?? 1,2,3, ??

(3)整数集:全体整数的集合 记作 Z , Z ? ?0, ? 1, ? 2, ??
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(4)有理数集:全体有理数的集合 记作 Q ,
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? Q ? ?整数与分数
(5)实数集:全体实数的集合 记作 R
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R ?? 数轴上所有点所对应的 数?
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注: (1)自然数集与非负整数集是相同的,也就是说,自然数集包括数 0 (2)非负整数集内排除 0 的集 记作 N*或 N+ Q、Z、R 等其它数集内排除 0 的集,也是这 样表示,例如,整数集内排除 0 的集,表示成 Z* 6.集合的表示方法:集合的表示方法,常用的有列举法和描述法
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(1)列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内。如:{1,2,3,4,5},{x2, 3x+2,5y3-x,x2+y2},?;各元素之间用逗号分开。 (2) 描述法: 把集合中的所有元素都具有的性质 (满足的条件) 表示出来, 写成 {x | p( x)} 的形式。 (3)韦恩(Venn)图示意 7.两个集合相等:如果两个集合所含的元素完全相同,则称这两个集合相等。

三、数学运用: 1.例题: 例 1.用列举法和描述法表示方程 x ? 2 x ? 3 ? 0 的解集。
2

答案:列举法: {?1,3} 描述法: {x | x ? x ? 2x ? 3, x ? R}
2

例 2.下列各式中错误的是 (1){奇数}= {x | x ? 2k ?1, k ? Z}





(2) {x | x ? N *,| x |? 5} ? {1, 2,3, 4}

(3) {( x, y) | ? 答案: (4)

?x ? y ? 1 } ? {(2, ?1), (?1, 2)} ? xy ? ?2

(4) ?3 ? N

?3

例 3.求不等式 2 x ? 3 ? 5 的解集

答案: {x | x ? 4, x ? R} 例 4.求方程 2 x ? x ? 1 ? 0 的所有实数解的集合。
2

答案: ? 例 5.已知 M ? {2, a, b}, N ? {2a, 2, b2} ,且 M ? N ,求 a , b 的值 答案: a ? 0, b ? 1 或 a ?

1 1 ,b ? 4 2

2 例 6.已知集合 A ? x ax ? 2 x ? 1 ? 0, x ? R ,若集合 A 中至多有一个元素,求实数 a 的

?

?

取值范围. 【思路分析】本题主要考查元素与集合之间的关系,以及集合的表示法.由描述法可知集合 A 是关于 x 的方程 ax ? 2 x ? 1 ? 0 的实数解集,首先考虑方程是不是一元二次方程.
2

1 ,则 a ? 0 符合题意; 2 2 当 a ? 0 时,则关于 x 的方程 ax ? 2 x ? 1 ? 0 是一元二次方程,由于集合 A 中至多有一个元素, 2 则一元二次方程 ax ? 2 x ? 1 ? 0 有两个相等的实数根或没有实数根,所以△= 4 ? 4a ? 0 ,解得 a ? ?1 . 综上所得,实数 a 的取值范围是 ?a a ? 0或a ? ?1? .
解:当 a ? 0 时,方程只有一个根 ? 答案: a a ? 0或a ? ?1

?

?

2.练习: (1)请学生各举一例有限集、无限集、空集。 (2)用列举法表示下列集合: ① {x | x 是 15 的正约数} ② {( x, y) | x ?{1, 2}, y ?{1, 2}} ④ {x | x ? (?1)n , n ? N}

③ {( x, y) | x ? y ? 2, x ? 2 y ? 4}

*⑤ {( x, y) | 3x ? 2 y ? 16, x ? N , y ? N} 答案: ① {1,3,5,15} ② {(1,1),(1, 2),(2,1),(2, 2)} ③ {( , ? )} ④ {?1,1} ⑤ {(2,5),(4, 2)} (3)用描述法表示下列集合: ① {1, 4,7,10,13} ; ② {?2, ?4, ?6, ?8, ?10}

8 3

2 3

答案:① {x | x ? 1 ? 3k , k ? 1, 2,3, 4} ② {x | x ? ?2k , k ? 1, 2,3, 4,5} 四、课堂练习 1. 下列说法正确的是 A. ?1, 2? , ?2,1? 是两个集合 C. ? x ? Q | B. ?(0, 2)? 中有两个元素
2 D. x ? Q | 且x ? x ? 2 ? 0 是空集

(

)

? ?

6 ? ? N ? 是有限集 x ?

?

?

2.将集合 ?x | ?3 ? x ? 3且x ? N? 用列举法表示正确的是 A. ??3, ?2, ?1,0,1, 2,3? C. ?0,1,2,3? B. ??2, ?1,0,1, 2? D. ?1, 2,3?

(

)

3.给出下列4个关系式: 3 ? R,0.3 ? Q,0 ? N ? ,0 ??0? 其中正确的个数是( A.1个 4.方程组 ? B.2个 C.3个 D.4个

)

?x ? y ? 2 的解集用列举法表示为____________. x ? y ? 5 ?

2 5.已知集合A= 0,1, x ? x 则 x 在实数范围内不能取哪些值___________.

?

?

6 .( 创 新 题 ) 已 知 集 合 S ? ?a, b, c? 中 的 三 个 元 素 是 ?ABC 的 三 边 长 , 那 么 ?ABC 一 定 不 是 ( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形

五、回顾小结: 1.集合的有关概念 2.集合的表示方法 3.常用数集的记法 六、课外作业:

一、选择题 1.下列元素与集合的关系中正确的是( A. ) C.|-3|?N* D.-3.2?Q

1 ?N 2

B.2?{x?R|x≥ 3 }

2.给出下列四个命题: (1)很小的实数可以构成集合; (2)集合{y|y=x -1}与集合{(x,y)|y=x -1}是同一个集合; (3)1,
2 2

3 6 1 , , ? ,0.5 这些数字组成的集合有 5 个元素; 2 4 2

(4)集合{(x,y)|xy≤0,x,y?R}是指第二象限或第四象限内的点的集合. 以上命题中,正确命题的个数是( A.0 B.1 C.2 D.3 ) )

3.下列集合中表示同一集合的是( A.M={(3,2)},N={(2,3)} B.M={3,2},N={(2,3)} C.M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1} D.M={1,2},N={2,1}

4.已知 x?N,则方程 x ? x ? 2 ? 0 的解集为(
2

) C. {x|x=1} ) D.9 D.?

A.{x|x=-2}

B. {x|x=1 或 x=-2}

5.已知集合 M={m?N|8-m?N},则集合 M 中元素个数是( A.6 二、填空题 6.用符号“?”或“?”填空: 0_______N, 5 ______N, 16 ______N. B.7 C.8

7.用列举法表示 A={y|y=x2+1,-2≤x≤2,x?Z}为_______________. 8.用描述法表示集合“方程 x2-2x+3=0 的解集”为_____________.

9.集合{x|x>3}与集合{t|t>3}是否表示同一集合?________ 10.已知集合 P={x|2<x<a,x?N},已知集合 P 中恰有 3 个元素,则整数 a=_________. 三、解答题 11.已知集合 A={0,1,2},集合 B={x|x=ab,a?A,b?A}. (1)用列举法写出集合 B; (2)判断集合 B 的元素和集合 A 的关系.

12.已知集合{1,a,b}与{-1,-b,1}是同一集合,求实数 a、b 的值.

2 2 2 13.(探究题)下面三个集合:① x | y ? x ? 2 ,② y | y ? x ? 2 ,③ ( x, y ) | y ? x ? 2

?

?

?

? ?

?

(1)它们是不是相同的集合? (2)试用文字语言叙述各集合的含义.

第一章集合与函数的概念 1.1.1 集合的含义与表示 【课堂练习】 1.D 2. C 3.B 4. ?? , ? ? ?

?? 7 ?? 2

3 ?? 2 ??

5. x ? 0,1,

1? 5 2

6.D

【课后作业】 选择题 1-5 BADCC 填空题 6. ? ? ? 7.

?2,4,5?

8.

?x | x

2

? 2 x ? 3 ? 0?

9.是 10. 6

解答题 11. B ? {0,1,2,4} 集合 A 中的元素都在集合 B 中。 12.(1)若 a ? ?1, b ? ?b ? 0 (2)若 a ? ?b, b ? ?1则a ? 1(不合题意,舍去) 13.(1)不是 (2)集合①是指自变量 x 的取值范围,是全体实数; 集合②是指函数值 y 的取值范围,与集合 ? y | y ? ?2? 相等 集合③是抛物线 y ? x ? 2 上的点所构成的集合。
2

综上 a ? ?1, b ? 0

四、完成练习册 P1


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