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【2016年高考数学】(辽宁版)2016届高三数学【理】上学期第一次月考试题(含答案)


第一次月考数学理 试题【辽宁版】
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的. ) 1. 设集合 M ? {x | x ? A. M ? N

k 1 k 1 ? , k ? Z }, N ? {x | x ? ? , k ? Z } 则 2 2 4 2

/>C. M ? N D. M ? N ? ?

B. M ? N

2. 给出下列四个命题: ①命题 p : ?x ? R, sin x ? 1 ,则 ?p : ?x ? R, sin x ? 1 . ②当 a ? 1 时,不等式 x ? 4 ? x ? 3 ? a 的解集为非空. ③当 x ? 1 时,有 ln x ?

1 ? 2. ln x

④设复数 z 满足(1-i)z=2 i,则 z=1-i 其中真命题的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 ) D. ? 3 )

3. 已知 ? ? ?0, ? ? , cos(? ? A.

3 3

2 ,则 tan 2? ? ( 3 2 3 3 B. ? 3 或 ? C. ? 3 3 )??

?

4. 已知等差数列 ?an ? 中, a2 ? 6 , a5 ? 15 ,若 bn ? a2n ,则数列 ?bn ? 的前 5 项和等于( A.30 B.45 C.90 D.186 )

? ? ? ? ? ? ? 5. 已知两个单位向量 a 与 b 的夹角为 ,则 a ? ? b 与 ? a ? b 互相垂直的充要条件是( 3 1 1 A. ? ? ?1 或 ? ? 1 B. ? ? ? 或 ? ? 2 2
C. ? ? ?

3 3 或? ? 2 2

D. ? 为任意实数

6.已知某几何体的三视图如图所示,则该 几何体的表面积等于( A. ) C. 64 ? 32 2 ) D. 88 ? 8 2

160 3
a

B.160

7.下面几个命题中,假命题是(
b

A.“若 a ? b ,则 2 ? 2 ? 1 ”的否命题; B.“ ?a ? (0, ? ?) ,函数 y ? a x 在定义域内单调递增”的否定;

C.“ ? 是函数 y ? sin x 的一个周期”或“ 2? 是函数 y ? sin 2 x 的一个周期” ; D.“ x 2 ? y 2 ? 0 ”是“ xy ? 0 ”的必要条件. 8.下列函数中在区间 (1,?? ) 上为增函数,且其图像为轴对称图形的是(
2 A. y ? ? x ? 2 x ? 1



B. y ? cos x

C. y ? lg | x ? 1 |

3 2 D. y ? x ? 3x ? 3x

9. 如图,等边三角形 ABC 的中线 AF 与中位线 DE 相交于 G ,已知 ?A?ED 是△ ADE 绕 DE 旋转 过程中的一个图形,下列命题中,错误的是( A.动点 A? 在平面 ABC 上的射影在线段 AF 上 B.恒有平面 A?GF ⊥平面 BCDE C.三棱锥 A? ? EFD 的体积有最大值 D.异面直线 A?E 与 BD 不可能垂直 10. △ ABC 中,角 A,B,C 的对边为 a,b,c ,向量 m ? ( 3, ?1),n ? (cos A, sin A) , 若 m ? n ,且 a cos B ? b cos A ? c sin C ,则角 A, B 的大小分别为( A. , ) )

π π 2π π π π π π , B. C. , D. , 3 6 3 6 6 3 3 3 1 n? 11.设 a n ? sin , S n ? a1 ? a2 ? ? ? an ,在 S1 , S 2 ,?, S100 中,正数的个数是( n 25
A.25 B.50 C.75 D.100



? 1 ? x ? 1, x ? ?0,2? ? 12.函数 f ( x) ? ? 1 ,则下列说法中正确命题的个数是( ) f ( x ? 2), x ? ?2,?? ? ? ?2
① 函数 y ? f ( x) ? ln(x ? 1) 有 3 个零点; ② 若 x ? 0 时,函数 f ( x) ?

3 k 恒成立,则实数 k 的取值范围是 [ , ? ?) ; 2 x

③ 函数 f ( x) 的极大值中一定存在最小值; ④ f ( x) ? 2 k f ( x ? 2k ) , ( k ? N ) ,对于一切 x ?[0, ? ?) 恒成立. A.1 B.2 C.3 第 II 卷 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分) 13.等比数列 ?an ?满足 a1 , a5 是方程 x ? 82 x ? 81 ? 0 的两个根,且 a1 ? a5 ,则 a3 ?
2

D.4

.

? y ? x?7 14.不等式组 ? ? y ? ? x ? 11 表示的平面区域为 D ,若对数函数 y ? loga x(a ? 0且a ? 1) 上存在区 ? y ? ?2 x ? 14 ?
域 D 上的点,则实数 a 的取值范围是__________. 15. 空间中一点 P 出发的三条射线 PA, PB, PC ,两两所成的角为 60 ? ,在射线 PA, PB, PC 上分别

? 3 , 则 三 棱 锥 P ? MNQ 的 外 接 球 表 面 积 是 取 点 M , N , Q , 使 P M ? 1, P N? 2 , P Q
______________. 16.关于函数 f ( x) ? lg
x2 ? 1 ( x ? 0) ,有下列命题: | x|

①其图象关于 y 轴对称;②当 x>0 时,f(x)是增函数;当 x<0 时,f(x)是减函数; ③f(x)的最小值是 lg2;④f(x)在区间(-1,0) 、 (2,+∞)上是增函数; ⑤f(x)无最大值,也无最小值. 其中所有正确结论的序号是 三、解答题 17. (本小题满分 12 分) 函数 f .

? x? ?

? ? ? ? 3 a? b? , a ? ( 3 cos ? x,sin ? x), b ? (cos ? x, ? cos ? x) , 其 中 ? ? 0 , 点 2
?

? x1,0? , ? x2 ,0? 是函数 f ? x ? 图像上相邻的两个对称中心,且 x1 ? x2
(1)求函数 f ? x ? 的表达式;

?
2

(2)若函数 f ? x ? 图像向右平移 m ? m ? 0? 个单位后所对应的函数图像是偶函数图像, 求 m 的最小值. 18. (本小题满分 12 分)在某校组织的一次篮球定点投篮训练中,规定每人最多投 3 次;在 A 处每 投进一球得 3 分,在 B 处每投进一球得 2 分;如果前两次得分之和超过 3 分即停止投篮,否则投第 三次,某同学在 A 处的命中率 q 为 0.25,在 B 处的命中率为 q,该同学选择先在 A 处投一球,以后 都在 B 处投,用 ? 表示该同学投篮训练结束后所得的总分,其分布列为

?
p

0 0.03

2 P1

3 P2

4 P3

5 P4

(1) 求 q 的值; (2) 求随机变量 ? 的数学期望 E ? ; (3) 试比较该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分与选择上述方式投篮得分超过 3 分的概率的大 小。 B1 N C1 19. (本小题满分 12 分) 如图,在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AA1 ? 平面 ABC , AB ? BC , 且 AB ? BC ? 2 ,点 N 为 B1C1 的中点,点 P 在棱 AC 1 1 的运动 (1)试问点 P 在何处时, AB ∥平面 PNC ,并证明你的结论; (2)在(1)的条件下,且 AA 1 ? AB ,直线 B1C 与平面 BCP 的成角

P

A1

B A

10 的正弦值为 ,求二面角 A ? BP ? C 的大小. 10

C

20 (本小题满分 12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a>b≥1) 的离心率 a 2 b2

e?

3 3 的距离最大值为 4,过点 M ,且椭圆 C 上一点 N 到点 ( Q 0,) 的直线交椭圆 C 于点 A、B. (3,0) 2

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程;
??? ? ??? ? ??? ? (Ⅱ)设 P 为椭圆上一点,且满足 OA ? OB ? tOP (O 为坐标原点) ,当 AB < 3 时,求实数的取值

范围. 21.(本小题满分 12 分)
1? a , (a ? R). x (1)若 a ? 1 ,求函数 f ( x ) 的极值; (2)设函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ,求函数 h( x ) 的单调区间;

已知函数 f ( x) ? x ? a ln x , g ( x) ? ?

(3)若在 ?1,e? ( e ? 2.718... )上存在一点 x0 ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立,求 a 的取值范围. 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.答时用 2B 铅 笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. (本小题满分 10 分) 22.选修 4—1;几何证明选讲. 如图,已知 PE 切⊙ O 于点 E,割线 PBA 交⊙ O 于

A、B 两点,∠APE 的平分线和 AE、BE 分别交于点 C、D.
求证:(Ⅰ) CE

? DE ;

(Ⅱ)

CA PE ? . CE PB

23.选修 4—4;坐标系与参数方程. 在直角坐标系中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线

? ? x ? ?2 ? C : p sin ? ? 2a cos? (a ? 0) 过点 P(-2,-4)的直线 l : ? ? ? y ? ?4 ? ? ? M,N 两点 (Ⅰ)求曲线 C 和直线的普通方程; (Ⅱ)若|PM|,|MN|,|PN |成等比数列,求实数 a 的值
2

2 t, 2 (t 为参数)与曲线 C 相交于点 2 t 2

24.选修 4—5;不等式选讲. 已知函数 f ( x) ?| 2 x ? a | ? | x ? 1| . (Ⅰ)当 a = 3 时,求不等式 f ( x) ? 2 的解集; (Ⅱ)若 f ( x) ? 5 ? x 对 ?x ? R 恒成立,求实数 a 的取值范围. 参考答案 B A C C A 13----16 题 17 题 C D CD A 9 D B

?0,1? ? ?1,3?
1 ? 12

10?

16.①③④

cos( 2 x ?

?
6

)

18. 解 : ( 1 )设该同学在 A 处投中为事件 A, 在 B 处投中为事件 B, 则事件 A,B 相互独立 , 且

P(A)=0.25, P( A) ? 0.75 , P(B)= q, P(B) ? 1 ? q2 . 根据分布列知: ? =0 时 P( ABB) ? P( A)P(B)P(B) ? 0.75(1 ? q2 ) =0.03,所以 1 ? q2 ? 0.2 , q=0.2.
2

(2)当 ? =2 时, P1= P( ABB ? ABB) ? P( ABB) ? P( ABB)

? P( A) P( B) P( B) ? P( A) P( B) P( B) =0.75 q ( 1 ? q2 )×2=1.5 q ( 1 ? q2 )=0.24
当 ? =3 时, P2 = P( ABB) ? P( A)P(B)P(B) ? 0.25(1 ? q2 ) =0.01,
2

当 ? =4 时, P3= P( ABB) ? P( A)P(B)P(B) ? 0.75q2 =0.48,
2

当 ? =5 时, P4= P( ABB ? AB) ? P( ABB) ? P( AB)

? P( A)P(B)P(B) ? P( A)P(B) ? 0.25q2 (1 ? q2 ) ? 0.25q2 =0.24
所以随机变量 ? 的分布列为

?
p

0 0.03

2 0.24

3 0.01

4 0.48

5 0.24

随机变量 ? 的数学期望 E? ? 0 ? 0.03 ? 2 ? 0.24 ? 3? 0.01 ? 4 ? 0.48 ? 5 ? 0.24 ? 3.63 (3)该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分的概率为 P( BBB ? BBB ? BB)

? P( BBB) ? P( BBB) ? P( BB) ? 2(1 ? q2 )q22 ? q22 ? 0.896 ;
该同学选择(1)中方式投篮得分超过 3 分的概率为 0.48+0.24=0.72. 由此看来该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分的概率大.
? 19.(1)略(2)中点 (2) 120

20.解析: (Ⅰ)∵ e ?
2

c 2 a 2 ? b2 3 ? ? , ∴ a2 ? 4b2 , a2 a2 4

(1 分)

则椭圆方程为 设 N ( x, y), 则

x2 y 2 ? 2 ? 1, 即 x2 ? 4 y 2 ? 4b2 . 2 4b b

NQ ? ( x ? 0)2 ? ( y ? 3)2 ? 4b 2 ? 4 y 2 ? ( y ? 3) 2
? ?3 y 2 ? 6 y ? 4b 2 ? 9 ? ?3( y ? 1) 2 ? 4b 2 ? 12

当 y ? ?1 时, NQ 有最大值为 4b2 ? 12 ? 4, 解得 b2 ? 1, ∴ a 2 ? 4 ,椭圆方程是

x2 ? y2 ? 1 4

(4 分)

(Ⅱ)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), P( x, y), AB 方程为 y ? k ( x ? 3),

? y ? k ( x ? 3), ? 由 ? x2 2 ? ? y ? 1, ?4

整理得 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 24k 2 x ? 36k 2 ? 4 ? 0 .

2 由 ? ? 24k 2 k 4 ?16(9k 2 ?1)(1 ? 4k 2 )>0 ,得 k < .

1 5

x1 ? x2 ?

24k 2 36k 2 ? 4 , x ? x ? . 1 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

(6 分)

∴ OA ? OB ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ? t ( x, y),

??? ? ??? ?

则 x ? ( x1 ? x2 ) ?

1 t

24k 2 , t (1 ? 4k 2 )

1 1 ?6k y ? ( y1 ? y2 ) ? ? k ( x1 ? x2 ) ? 6k ? ? . t t t (1 ? 4k 2 )
由点 P 在椭圆上,得 又由 AB ? 1 ? k
2
2

(24k 2 )2 144k 2 ? ? 4, 化简得 36k 2 ? t 2 (1 ? 4k 2 ) ① (8 分) 2 2 2 2 2 2 t (1 ? 4k ) t (1 ? 4k )

2 x1 ? x2 < 3, 即 (1 ? k 2 ) ? ?( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ? ? <3, 将 x1 ? x2 , x1 x2 代入得

? 242 k 4 4(36k 2 ? 4) ? (1 ? k ) ? ? <3, 2 2 1 ? 4k 2 ? ? (1 ? 4k ) ?
2 2 则 8k ? 1>0, k > ,

化简,得 (8k ?1)(16k ? 13)>0,
2 2

1 8

2 ∴ <k < ②

1 8

1 5

(10 分)

由①,得 t ?
2

36k 2 9 ? 9? , 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2
2

联立②,解得 3<t <4, ∴ ?2<t<? 3 或 3<t<2. 21. 解: (Ⅰ) f ( x) 的定义域为 (0, ??) , 当 a ? 1 时, f ( x) ? x ? ln x , f ?( x) ? 1 ?

(12 分)

x
f ?( x ) f ( x)

(0,1)


1 0 极小

1 x ?1 ? , x x (1, ??)
+

所以 f ( x) 在 x ? 1 处取得极小值 1.

(Ⅱ) h( x) ? x ?

1? a ? a ln x , x

1 ? a a x2 ? ax ? (1 ? a) ( x ? 1)[ x ? (1 ? a)] ? ? ? x2 x x2 x2 ①当 a ? 1 ? 0 时,即 a ? ?1 时,在 (0,1 ? a) 上 h?( x) ? 0 ,在 (1 ? a, ??) 上 h?( x) ? 0 , 所以 h( x) 在 (0,1 ? a) 上单调递减,在 (1 ? a, ??) 上单调递增; ②当 1 ? a ? 0 ,即 a ? ?1 时,在 (0, ??) 上 h?( x) ? 0 , 所以,函数 h( x) 在 (0, ??) 上单调递增. h?( x) ? 1 ?
(III)在 ?1,e? 上存在一点 x0 ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立,即 在 ?1,e? 上存在一点 x0 ,使得 h( x0 ) ? 0 ,即 函数 h( x) ? x ? 由(Ⅱ)可知
1? a ? a ln x 在 ?1,e? 上的最小值小于零. x

①即 1 ? a ? e ,即 a ? e ? 1 时, h( x) 在 ?1,e? 上单调递减, 所以 h( x) 的最小值为 h(e) ,由 h(e) ? e ? 因为

e2 ? 1 1? a , ? a ? 0 可得 a ? e e ?1

e2 ? 1 e2 ? 1 ; ? e ? 1 ,所以 a ? e ?1 e ?1 ②当 1 ? a ? 1 ,即 a ? 0 时, h( x) 在 ?1, e? 上单调递增,
所以 h( x) 最小值为 h(1) ,由 h(1) ? 1 ? 1 ? a ? 0 可得 a ? ?2 ; ③当 1 ? 1 ? a ? e ,即 0 ? a ? e ? 1 时, 可得 h( x) 最小值为 h(1 ? a) , 因为 0 ? ln(1 ? a) ? 1 ,所以, 0 ? a ln(1 ? a) ? a 故 h(1 ? a) ? 2 ? a ? a ln(1 ? a) ? 2 此时, h(1 ? a) ? 0 不成立. 综上讨论可得所求 a 的范围是: a ?

e2 ? 1 或 a ? ?2 . e ?1

22. (Ⅰ)证明:? PE 切⊙ O 于点 E ,??A ? ?BEP ? PC 平分??A ? ?CPA ? ?BEP ? ?DPE ? ?ECD ? ?A ? ?CPA , ?EDC ? ?BEP ? ?DPE ,
??ECD ? ?EDC ,? EC ? ED

(Ⅱ)证明:? ?PDB ? ?EDC , ?EDC ? ?ECD , ?PDB ? ?PCE
??BPD ? ?EPC ,??PBD ∽ ?PEC ,?

PE PC ? PB PD

同理 ?PDE ∽ ?PCA ,?

PC CA ? PD DE PE CA CA PE ? ? ? DE ? CE , ? ? PB DE CE PB

23.

24.解:(Ⅰ) a ? 3 时,即求解 2x ? 3 ? x ?1 ? 2

3 时, 2 x ? 3 ? x ? 1 ? 2 ? x ? 2 2 3 ②当 1 ? x ? 时, 3 ? 2 x ? x ? 1 ? 2 ? 2 ? x ? 2 ? x ? 0 2 2 ③当 x ? 1 时, 3 ? 2 x ? 1 ? x ? 2 ? 3 x ? 2 ? x ? 3
①当 x ?

? 2 ? ? 综上,解集为 ? x x ? 或x ? 2? ? 5? 3 ? ?
(Ⅱ)即 2x ? a ? 5 ? x ? x ?1 恒成立 令 g ( x) ? 5 ? x ? x ? 1 ? ?

y
4

?6 ? 2 x, x ? 1 则函数图象为 ? 4, x ? 1

a ? ? 3 ,? a ? 6 ?10? 2

o

3

a 2

x


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