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2014届高考数学(文)一轮复习讲义(教师用书) 三角函数、解三角形 第六节 正弦定理和余弦定理


第六节 正弦定理和余弦定理

[备考方向要明了]

考 什 么

怎 么 考 1.以填空题的形式考查正、余弦定理在求三角形边或

掌握正弦定理、余弦定理,并能 解决一些简单的三角形度量问题.

角中的应用,如 2010 年高考 T13. 2.与平面向量、三角恒等变换等相结合出现在解

答题 中,如 2011 年高考 T15,2012 年高考 T15 等.

[归纳 知识整合] 1.正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 a b c = = =2R sin A sin B sin C 余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A b2=a2+c2-2accos_B c2=a2+b2-2abcos_C ①a=2Rsin A,b=2Rsin_B,c=2Rsin_C a b c ②sin A= ,sin B= ,sin C= 2R 2R 2R 变形形式 (其中 R 是△ABC 外接圆半径) ③a∶b∶c=sin_A∶sin_B∶sin_C ④asin B=bsin A, bsin C=csin B, asin C=csin A 定理 正弦定理 ①已知两角和任一边,求另一角和其他两条 解决三角形 的问题 ①已知三边,求各角; 边. ②已知两边和它们的夹角,求 ②已知两边和其中一边的对角, 求另一边和其 第三边和其他两个角. 他两角. [探究] 1.在三角形 ABC 中,“A>B”是“sin A>sin B”的什么条件?“A>B”是 余弦定理 b2+c2-a2 cos A= cos B= 2bc a2+c2-b2 2ac a2+b2-c2 cos C= 2ab

内容

“cos A<cos B”的什么条件?

提示:“A>B”是“sin A>sin B”的充要条件,“A>B”是“cos A<cos B”的充要条 件. 2.在△ABC 中,已知 a、b 和 A 时,解的情况 A 为锐角 A 为钝角或直角

图形

关系式 解的个数

a=bsin A 一解

bsin A<a<b 两解

a≥b 一解

a>b 一解

a≤b 无解

[探究] 2.如何利用余弦定理判定三角形的形状?(以角 A 为例) 提示:∵cos A 与 b2+c2-a2 同号, ∴当 b2+c2-a2>0 时,角 A 为锐角,若可判定其他两角也为锐角,则三角形为锐角三 角形; 当 b2+c2-a2=0 时,角 A 为直角,三角形为直角三角形; 当 b2+c2-a2<0 时,角 A 为钝角,三角形为钝角三角形. [自测 牛刀小试] 1.(教材习题改编)在△ABC 中,若 a=2,c=4,B=60° ,则 b=________. 解析:由余弦定理得 b2=a2+c2-2accos B, 即 b2=4+16-8=12,所以 b=2 3. 答案:2 3 2.(教材习题改编)在△ABC 中,a=15,b=10,A=60° ,则 cos B=________. a b 15 10 解析:∵ = ,∴ = , sin A sin B sin 60° sin B 2 3 3 ∴sin B= × = . 3 2 3 又∵a>b,A=60° , ∴B<60° , ∴cos B= 1-sin2B= 答案: 6 3 2 ,则符合条件的三角形有________个. 2 6 . 3

3.△ABC 中,a= 5,b= 3,sin B= 解析:∵asin B=

10 ,∴asin B<b= 3<a= 5, 2

∴符合条件的三角形有 2 个. 答案:2 1 4.在△ABC 中,a=3 2,b=2 3,cos C= ,则△ABC 的面积为________. 3 1 2 2 解析:∵cos C= ,∴sin C= , 3 3 1 1 2 2 ∴S△ABC= absin C= ×3 2×2 3× =4 3. 2 2 3 答案:4 3 5.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c.若 b=2asin B,则角 A 的大小为 ________. 解析:由正弦定理得 sin B=2sin Asin B,∵sin B≠0, 1 ∴sin A= ,∴A=30° 或 A=150° . 2 答案:30° 或 150°

利用正、余弦定理解三角形

[例 1] (2012· 浙江高考)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 bsin A = 3acos B. (1)求角 B 的大小; (2)若 b=3,sin C=2sin A,求 a,c 的值. [自主解答] (1)由 bsin A= 3acos B 及正弦定理 a b = ,得 sin B= 3cos B, sin A sin B π 所以 tan B= 3,所以 B= . 3 a c (2)由 sin C=2sin A 及 = ,得 c=2a. sin A sin C 由 b=3 及余弦定理 b2=a2+c2-2accos B, 得 9=a2+c2-ac. 所以 a= 3,c=2 3. ————— —————————————— 正、余弦定理的选用原则

解三角形时, 有时可用正弦定理, 也可用余弦定理, 应注意用哪一个定理更方便、 简捷. 在 解题时,还要根据所给的条件,利用正弦定理或余弦定理合理地实施边和角的相互转化.

————————————————————————————————————— —

cos A-2cos C 2c-a 1.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 = . cos B b (1)求 sin C 的值; sin A

1 (2)若 cos B= ,△ABC 的周长为 5,求 b 的长. 4 解:(1)由正弦定理,设 则 a b c = = =k, sin A sin B sin C

2c-a 2ksin C-ksin A 2sin C-sin A = = , b ksin B sin B

cos A-2cos C 2sin C-sin A 所以 = , cos B sin B 即(cos A-2cos C)sin B=(2sin C-sin A)cos B, 化简可得 sin(A+B)=2sin(B+C). 又因为 A+B+C=π,所以 sin C=2sin A. sin C 因此 =2. sin A (2)由 sin C =2 得 c=2a. sin A

1 由余弦定理及 cos B= 得 4 1 b2=a2+c2-2accos B=a2+4a2-4a2× =4a2. 4 所以 b=2a.又 a+b+c=5,从而 a=1.因此 b=2.

利用正、余弦定理判断三角形的形状

[例 2] 在△ABC 中,若(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)· sin(A+B),试判断△ABC 的形状. [自主解答] ∵(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B), ∴b2[sin(A+B)+sin(A-B)]=a2[sin(A+B)-sin(A-B)], ∴2sin Acos B· b2=2cos Asin B· a2, 即 a2cos Asin B=b2sin Acos B.

法一:由正弦定理知 a=2Rsin A,b=2Rsin B, ∴sin2Acos Asin B=sin2Bsin Acos B, 又 sin A· sin B≠0,∴sin Acos A=sin Bcos B, ∴sin 2A=sin 2B. 在△ABC 中,0<2A<2π,0<2B<2π, π ∴2A=2B 或 2A=π-2B,∴A=B 或 A+B= . 2 ∴△ABC 为等腰或直角三角形. 法二:由正弦定理、余弦定理得: a2b b2+c2-a2 2 a2+c2-b2 =b a , 2bc 2ac

∴a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2), ∴(a2-b2)(a2+b2-c2)=0, ∴a2-b2=0 或 a2+b2-c2=0. 即 a=b 或 a2+b2=c2. ∴△ABC 为等腰或直角三角形.

若将条件改为“sin B=cos Asin C”,试判断△ABC 的形状. 解:∵sin B=cos A· sin C, b2+c2-a2 ∴b= · c,即 b2+a2=c2, 2bc ∴△ABC 为直角三角形.

————— 1.三角形形状的判断思路

——————————————

判断三角形的形状,就是利用正、余弦定理等进行代换、转化,寻求边与边或角与角之 间的数量关系,从而作出正确判断.,?1?边与边的关系主要看是否有等边,是否符合勾股定理 等; ?2?角与角的关系主要是看是否有等角,有无直角或钝角等. 2.判定三角形形状的两种常用途径,①通过正弦定理和余弦定理, 化边为角, 利用三角变 换得出三角形内角之间的关系进行判断;,②利用正弦定理、余弦定理,化角为边,通过代 数恒等变换,求出三条边之间的关系进行判断. ————————————————————————————————————— —

2.在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边,且 2asin A=(2b-c)sin B+(2c

-b)sin C. (1)求角 A 的大小; (2)若 sin B+sin C= 3,试判断△ABC 的形状. 解:(1)∵2asin A=(2b-c)sin B+(2c-b)sin C, 得 2a2=(2b-c)b+(2c-b)c,即 bc=b2+c2-a2, b2+c2-a2 1 ∴cos A= = ,∴A=60° . 2bc 2 (2)∵A+B+C=180° , ∴B+C=180° -60° =120° . 由 sin B+sin C= 3, 得 sin B+sin(120° -B)= 3, ∴sin B+sin 120° cos B-cos 120° sin B= 3. 3 3 ∴ sin B+ cos B= 3,即 sin(B+30° )=1. 2 2 又∵0° <B<120° ,30° <B+30° <150° , ∴B+30° =90° ,即 B=60° . ∴A=B=C=60° ,∴△ABC 为正三角形.

与三角形面积有关的问题

[例 3] (2012· 山东高考)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 sin B(tan A+tan C)=tan Atan C. (1)求证:a,b,c 成等比数列; (2)若 a=1,c=2,求△ABC 的面积 S. [自主解答] (1)证明:在△ABC 中,由于 sin B(tan A+tan C)=tan Atan C, sin A sin C ? sin A sin C 所以 sin B? , ?cos A+cos C?=cos A· cos C 因此 sin B(sin Acos C+cos Asin C)=sin Asin C, 所以 sin Bsin(A+C)=sin Asin C. 又 A+B+C=π, 所以 sin(A+C)=sin B,因此 sin2B=sin Asin C. 由正弦定理得 b2=ac, 即 a,b,c 成等比数列. (2)因为 a=1,c=2,所以 b= 2,

a2+c2-b2 12+22-2 3 由余弦定理得 cos B= = = , 2ac 2×1×2 4 因为 0<B<π,所以 sin B= 1-cos2B= 7 , 4

1 1 7 7 故△ABC 的面积 S= acsin B= ×1×2× = . 2 2 4 4 ————— —————————————— 三角形面积公式的应用原则 1 1 1 (1)对于面积公式 S= absin C= acsin B= bcsin A,一般是已知哪一个角就使用哪一个 2 2 2 公式. (2)与面积有关的问题,一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化. ————————————————————————————————————— —

3.(2012· 新课标全国卷)已知 a,b,c 分别为△ABC 三个内角 A,B,C 的对边,acos C + 3asin C-b-c=0. (1)求 A; (2)若 a=2,△ABC 的面积为 3,求 b,c. 解:(1)由 acos C+ 3asin C-b-c=0 及正弦定理得 sin Acos C+ 3sin Asin C-sin B-sin C=0. 因为 B=π-A-C,所以 3sin Asin C-cos Asin C-sin C=0. π? 1 由于 sin C≠0,所以 sin? ?A-6?=2. π 又 0<A<π,故 A= . 3 1 (2)△ABC 的面积 S= bcsin A= 3,故 bc=4. 2 而 a2=b2+c2-2bccos A,故 b2+c2=8. 解得 b=c=2.

? 1 条规律——三角形中的边角关系 在三角形中, 大角对大边, 大边对大角; 大角的正弦值也较大, 正弦值较大的角也较大, 即在△ABC 中,A>B?a>b?sin A>sin B. ? 2 个原则——选用正弦定理或余弦定理的原则

在解有关三角形的题目时,要有意识地考虑用哪个定理更适合,或是两个定理都要用, 要抓住能够利用某个定理的信息.一般地,如果式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑 用余弦定理;如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理;以上特 征都不明显时,则要考虑两个定理都有可能用到. ? 2 种途径——判断三角形形状的途径 根据所给条件确定三角形的形状,主要有两种途径: (1)化边为角;(2)化角为边,并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换. ? 2 个防范——解三角形应注意的问题 (1)在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角,进而求出 其他的边和角时,有时可能出现一解、两解或无解,所以要进行分类讨论. (2)在判断三角形形状时,等式两边一般不要约去公因式,应移项提取公因式,以免漏 解.

答题模板——利用正、余弦定理解三角形 [典例] (2012· 江西高考)(本小题满分 12 分)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a, π π π +C?-csin? +B?=a. b,c.已知 A= ,bsin? 4 ? ? ?4 ? 4 π (1)求证:B-C= ;(2)若 a= 2,求△ABC 的面积. 2

[快速规范审题] 第(1)问 1.审条件,挖解题信息 π π ? ?π ? 观察条件:A= ,bsin? ?4+C?-csin?4+B?=a 4 π 数式中既有边 ? ?π ? ― ― ― ― ― ― ― →sin Bsin? 又有角,应统一 ?4+C?-sin Csin?4+B?=sin A. 2.审结论,明确解题方向 观察所求结论:求证: π 应求角B-C的 B-C= ― ― ― ― ― ― ― ― →sin(B-C)=1 或 cos(B-C)=0. 2 某一个三角函数值 3.建联系,找解题突破口 π ? ?π ? 考虑到所求的结论只含有 B,C,因此应消掉 sin B· sin? ?4+C?-sin Csin?4+B?=sin A 中

π ? 4 的角 A ???? ? sin Bsin? ?4+C?- π 2 利用两角和与差的 ? sin Csin? ― ― ― ― ― ― ― →sin(B-C)=1 三角函数公式 ?4+B?= 2 ― 3π π 要求角的值,还应 ― ― ― ― ― ― ― ― →由 0<B,C< ,解得 B-C= . 确定角的取值范围 4 2 第(2)问 1.审条件,挖解题信息 π π 可求B,C的值 5π π 观察条件:a= 2,A= ,B-C= ― ― ― ― ― ― →B= ,C= . 4 2 8 8 2.审结论,明确解题方向 观察所求结论: 求△ABC 的面积― ― ― ― ― →由 及其夹角 3.建联系,找解题突破口 1 利用面积 △ABC 的边角都具备― ― ― ― →S= bcsin A= 公式求结论 2 2sin 5π π π π 1 sin = 2cos sin = . 8 8 8 8 2
应具有两边

借助A=

?

a b c 5π π = = , 得 b=2sin , c=2sin . sin A sin B sin C 8 8

[准确规范答题] π ? ?π ? (1)证明:由 bsin? ?4+C?-csin?4+B?=a,应用正弦定理, π 2 ? 2 ? ? ?π ? 得 sin Bsin? ?4+C?-sin Csin?4+B?=sin A,sin B? 2 sin C+ 2 cos C?-sin C·

? 2sin B+ 2cos B?= 2,?(4 分) 2 ?2 ? 2
整理得 sin Bcos C-cos Bsin C=1, 即 sin(B-C)=1, 3 π 由于 0<B,C< π,从而 B-C= .?(6 分) 4 2 3π 5π π (2)B+C=π-A= ,因此 B= ,C= .?(8 分) 4 8 8 易忽视角B-C的 范围,直接由sin?B -C?=1,求得结论.

π asin B 5π asin C π 由 a= 2,A= ,得 b= =2sin ,c= =2sin ,?(10 分) 4 sin A 8 sin A 8 1 所以△ABC 的面积 S= bcsin A= 2 2sin 5π π π π 1 sin = 2cos sin = .?(12 分) 8 8 8 8 2 [答题模板速成] 解决解三角形问题一般可用以下几步解答

第一步 边角互化 利用正弦定理或余弦定理实现边角互化;(本题为边化角) ? 第二步 三角变换 三角变换、化简、消元,从而向已知角(或边)转化 ? 第三步 由值求角 代入求值 ? 第四步 反思回顾 查看关键点,易错点,如本题中公式应用是否正确

一、填空题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.在△ABC 中,A=45° ,B=60° ,a=10,则 b=________. a b asin B 10sin 60° 解析:由 = 得,b= = =5 6. sin A sin B sin A sin 45° 答案:5 6 2. (2013· 南通模拟)在△ABC 中, 已知 a=7, b=4 3, c= 13, 则最小的内角为________. a2+b2-c2 3 解析:大边对大角,小边对小角,所以边 c 所对的角最小,cos C= = ,又 2ab 2 因为 C∈(0,π),所以最小角 C=30° . 答案:30° 3. (2013· 昆山期中)在△ABC 中, 已知 sin A=2sin Bcos C, 则该三角形的形状为________. a2+b2-c2 a2+b2-c2 sin A a a 解析:由正弦定理及余弦定理,得 = ,cos C= ,所以 =2· , sin B b 2ab b 2ab 整理得 b2=c2,因为 b>0,c>0,所以 b=c.因此,△ABC 为等腰三角形. 答案:等腰三角形 4.已知△ABC 中,AB=1,BC=2,则角 C 的取值范围是________. 解析:依题意 c=1,a=2,由正弦定理知 c a c 1 1 = ,即 sin C= sin A= sin A≤ , sin C sin A a 2 2

π 5π 解得 0<C≤ 或, ≤C<π, 6 6 又 c<a,所以 C<A, π 故 0<C≤ . 6 π 答案:0<C≤ 6 5.(2012· 广东高考)在△ABC 中,若∠A=60° ,∠B=45° ,BC=3 2,则 AC=________. BC AC 3 2 AC 3 2 2 解析:由正弦定理得: = ,即 = ,所以 AC= × =2 3. sin A sin B sin 60° sin 45° 2 3 2 答案:2 3 6.在△ABC 中,已知 a=18,b=20,A=150° ,这个三角形解的情况是________. 解析:∵b>a,∴B>A,而 A=150° ,B 为钝角不可能, ∴无解. 答案:无解 7.在△ABC 中,AC= 7,BC=2,B=60° ,则 BC 边上的高等于________. 解析:由余弦定理得:( 7)2=22+AB2-2×2AB· cos 60° ,即 AB2-2AB-3=0,得 AB 3 3 =3,故 BC 边上的高是 ABsin 60° = . 2 3 3 答案: 2 3 8.(2012· 重庆高考)设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 cos A= ,cos 5 5 B= ,b=3,则 c=________. 13 4 12 解析:由题意知 sin A= ,sin B= ,则 5 13 56 sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos AsinB= , 65 bsin C 14 所以 c= = . sin B 5 14 答案: 5 9.在△ABC 中,D 为边 BC 的中点,AB=2,AC=1,∠BAD=30° ,则 AD 的长度为 ________. 解析: 延长 AD 到 M, 使得 DM=AD, 连结 BM、 MC, 则四边形 ABMC 是平行四边形. 在 △ ABM 中,由余弦定理得 BM2 = AB2 + AM2 - 2AB· AM· cos ∠ BAM ,即 12 = 22 + AM2 -

2· 2· AM· cos 30° ,解得 AM= 3,所以 AD= 答案: 3 2

3 . 2

10. (2013· 无锡模拟)已知△ABC 中, B=45° , AC=4, 则△ABC 面积的最大值为________. 解析:法一:

AC 4 如图,设△ABC 的外接圆为圆 O,其直径 2R= = =4 2.取 AC 的中点 sin∠ABC sin 45° M,则 OM=Rcos 45° =2,则 AC=4.过点 B 作 BH⊥AC 于 H,要使△ABC 的面积最大,当 且仅当 BH 最大. 而 BH≤BO+OM, 所以 BH≤R+ 2 1 R=2 2+2, 所以(S△ABC)max= AC· BHmax 2 2

1 = ×4×(2+2 2)=4+4 2,即当且仅当 BA=BC 时取等号. 2 法二:

1 如图,同上易知,△ABC 的外接圆的直径 2R=4 2.S△ABC= AB· BC· sin∠ABC=2R2sin 2 ∠BAC· sin∠ABC· sin∠ACB=8 2 sin ∠BAC· sin ∠ACB=4 2 2? ?cos?135° .当 A=C=67.5° 时,(S△ABC)max=4+4 2. -2∠ACB?+ 2? ? 答案: 4+4 2 二、解答题(本大题共 4 小题,共 60 分) 11.(满分 14 分)(2013· 苏州模拟)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c. (1) 若(a+b+c)(b+c-a)=3bc,求 A 的值; (2) 若 c=10,A=45° ,C=30° ,求 b 的值. 解:(1) 由已知得(b+c)2-a2=3bc,即 a2=b2+c2-bc. 1 由余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A,得 cos A= . 2

π 由于 0<A<π,所以 A= . 3 (2)由于 A+B+C=180° ,所以 B=180° -45° -30° =105° . 由正弦定理 b c = ,得 sin B sin C

6+ 2 c 10 b= · sin B= · sin 105° =20× =5( 6+ 2). sin C sin 30° 4 12.(满分 14 分)(2011· 江苏高考)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c. π? (1)若 sin? ?A+6?=2cos A,求 A 的值; 1 (2)若 cos A= ,b=3c,求 sin C 的值. 3 π π 解:(1)由题知 sin Acos +cos Asin =2cos A. 6 6 从而 sin A= 3cos A,所以 cos A≠0,tan A= 3. π 因为 0<A<π,所以 A= . 3 1 (2)由 cos A= ,b=3c 及 a2=b2+c2-2bccos A, 3 得 a2=b2-c2,即 b2=a2+c2. π 故△ABC 是直角三角形,且 B= . 2 1 所以 sin C=cos A= . 3

AC =3 BA · 13.(满分 16 分)(2012· 江苏高考)在△ABC 中,已知 AB · BC
(1)求证:tan B=3tan A; (2)若 cos C= 5 ,求 A 的值. 5

? ??? ? ???

? ??? ? ???

AC =3 BA · BC ,所以 AB· 解:(1)因为 AB · AC· cos A=3BA· BC· cos B,即 AC· cos A=
AC BC 3BC· cos B,由正弦定理知 = , sin B sin A 从而 sin Bcos A=3sin Acos B, 又因为 0<A+B<π,所以 cos A>0,cos B>0, 所以 tan B=3tan A. (2)因为 cos C= 5 ,0<C<π, 5

? ??? ? ???

? ??? ? ???

2 5 所以 sin C= 1-cos2C= , 5 从而 tan C=2,于是 tan[π-(A+B)]=2,

即 tan(A+B)=-2, tan A+tan B 4tan A 亦即 =-2.由(1)得 =-2, 1-tan Atan B 1-3tan2A 1 解得 tan A=1 或- , 3 π 因为 cos A>0,故 tan A=1,所以 A= . 4 14.(满分 16 分)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c,且 acos B-bcos 1 A= c. 2 tan A (1) 求 的值; tan B (2) 求 tan(A-B)的最大值,并判断当 tan(A-B)取得最大值时△ABC 的形状. 1 解:(1) 由 acos B-bcos A= c 可得, 2 2sin Acos B-2sin Bcos A=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B, tan A 故 sin Acos B=3sin Bcos A,所以 =3. tan B (2) 设 tan B=t,则 tan A=3t 且 t>0, 3t-t 2t 2 3 则 tan(A-B)= ≤ , 2= 2= 1 3 1+3t 1+3t 3t+ t 1 3 当且仅当 3t= ,即 t= 时取等号. t 3 所以 tan (A-B)的最大值为 3 π π π , 此时 B= , A= , 故 C= , 所以△ABC 为直角三角形. 3 6 3 2

1.若△ABC 的内角 A、B、C 所对的边 a、b、c 满足(a+b)2-c2=4,且 C=60° ,则 ab 的值为________. 解析:由(a+b)2-c2=4, 得 a2+b2-c2+2ab=4.① 由余弦定理得 a2+b2-c2=2abcos C=2abcos 60° =ab,② 4 将②代入①得 ab+2ab=4,即 ab= . 3 4 答案: 3

2.若△ABC 的内角 A,B,C 满足 6sin A=4sin B=3sin C,则 cos B=________. 解析:依题意,结合正弦定理得 6a=4b=3c,设 3c=12k(k>0),则有 a=2k,b=3k, c=4k,由余弦定理得 a2+c2-b2 ?2k?2+?4k?2-?3k?2 11 cos B= = = . 2ac 16 2×2k×4k 11 答案: 16 3.在△ABC 中,sin2A≤sin2B+sin2C-sin B· sin C,则 A 的取值范围是________. 解析: 由已知及正弦定理, 有 a2≤b2+c2-bc.而由余弦定理可知, a2=b2+c2-2bccos A, 1 于是 b2+c2-2bccos A≤b2+c2-bc,可得 cos A≥ .注意到在△ABC 中,0<A<π,故 A∈ 2

?0,π?. ? 3?
π? 答案:? ?0,3? A 4.已知 A、B、C 为△ABC 的三个内角,其所对的边分别为 a、b、c,且 2cos2 +cos A 2 =0. (1)求角 A 的值; (2)若 a=2 3,b+c=4,求△ABC 的面积. A 解:(1)由 2cos2 +cos A=0,得 1+cos A+cos A=0, 2 1 2π 即 cos A=- ,∵0<A<π,∴A= . 2 3 2π (2)由余弦定理得,a2=b2+c2-2bccos A,A= , 3 则 a2=(b+c)2-bc,又 a=2 3,b+c=4, 1 有 12=42-bc,则 bc=4,故 S△ABC= bcsin A= 3. 2


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