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抛物线及其标准性质


抛物线及其标准方程
l
y
M

F O

x

复习提问:
到一个定点F的距离和它到一条定直线l 的距离的比 是常数e的动点M 的轨迹.(直线 l 不经过点F) (1)当0<e <1时,点M的轨迹是什么? 是椭圆 (2)当e>1时,点M的轨迹是什么?
l M F ·

F

是双曲线
l M

·
e>1

0<e <1

思考?
当e=1时,即|MF|=|MH| ,点M的轨迹是什么?
l
M H

.

F

一、抛物线定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经 过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 即:当|MF|=|MH|时,点M的轨迹 是抛物线
l

H

M

其中

定点F叫做抛物线的焦点 定直线 l 叫做抛物线的准线

· · F

想一想? 定义中当直线l经过定点
F,则点M的轨迹是什么? 经过点F且垂直于l 的直线
F

l

·

感受生活中抛物线的例子

感受生活中抛物线图形的例子

如何求点M的轨迹方程?
求曲线方程 的基本步骤 是怎样的?
M

H

想 一 想 ?

F ·
l

回顾求曲线方程一般步骤:
(1)建立适当的坐标系,设动点坐标为(x,y) ; (2)由限制条件,列出几何等式:P={M|p(M)}; (3)代换: (x,y)代入p(M); (4)化简:化方程f(x,y)=0为最简式

如图,设定点F到定直线l 的距离为p(p>0), 如何建立 坐标系,求出点M的轨迹方程最简洁? l M y y H l l M H H M x F x K O F O F

· ·

· ·

· ·

(1)

设M(x,y)
2

(2)
2

(1)由|MF|=|MH| ,得

( x ? p ) ? y ?| x | 即得y2=2px-p2
(x ? P 2 ) ? y ?| x ?
2 2

(2)由|MF|=|MH| ,得

P 2

| 即得y2=2px

二、标准方程
把方程 y2 = 2px(p>0) 叫做抛物线的标准方程
K

l
O

y

.F

x

p p 其中 焦点 F( 2 ,0),准线方程l:x = 2

而p 的几何意义是: 焦点到准线的距离

注:抛 物 线 不 是 双 曲 线 的 一 支
一条抛物线,由于它在坐标平面内的位置不同,方 程也不同,所以抛物线的标准方程还有其它形式

四种抛物线的标准方程对比
图形 标准方程 焦点坐标
y
2

准线方程
x?? p 2

? 2 px
? 0?

?p
2

? p ? ,0 ? ? ? 2 ? ? p ? ? ? ,0 ? ? 2 ?
p ? ? ? 0, ? 2 ? ?

y ? ? 2 px

? p ? 0?
x ? 2 py
2

x ?
y??

p 2
p 2

?p
2

? 0?

x ? ? 2 py

? p ? 0?

p? ? ? 0,? ? 2 ? ?

y ?

p 2

感悟归结:
1、焦点在一次项字母对应的坐标轴上. 2、一次项的系数的符号决定了抛物线的 开口方向. 3、焦点坐标的非零坐标是一次项系数的
1 4

.

例1、写出下列抛物线的标准方程、焦点坐 标和准线方程: (1) 6y+5x2=0 ; (2)y=6ax2(a≠0)
解:(1) x2 = ?
6 5

? y ,焦点坐标为( 0,
3 10
1

3 10

),

准线方程是y=
(2)x2
1

准线方程是y= ? 24 a

= 6 a y , 焦点坐标为( 0 ,24 a ),
1

感悟 :求抛线的焦点坐标和准线方程要先化成
抛物线的标准方程

例2、已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2)
求它的标准方程
分析:因为焦点坐标是(0,-2),所 以抛物线开口方向是y轴的负方向,它 的方程形式为x2= -2py.

解: 因为焦点在y的负半轴上,所以设所
求的标准方程为x2= -2py 由题意得
P 2 ? 2 ,即p=4

∴所求的标准方程为x2= -8y

待定系数法 求抛物线标 准方程

变式:
y2=-8x (1)焦点是F(-2,0),它的标准方程_______. x2=8y (2)准线方程是y = -2,它的标准方程_______. (3)焦点到准线的距离是4,它的标准方程_____. x2=±8y 、y2=±8x

(1)

(2)

例3、一隧道内设双行线公路,其截面由 一矩形和一抛物线构成。为保证安全,要 求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部 的竖直方向上的高度之差至少有0.5m,若 行车道总宽为|AB|=6(m),则车辆通过隧 道的限制高度为_______(精确到0.1m)
y

4m

2m A 8m B x

例4、焦半径公式:M是抛物线y2 = 2px(P >0)上一点,若点M 的横坐标为X0,则 点M到焦点的距离是 p

X0 +

————————————

— 2
y

O F

. .
M

x

引申:有关焦点弦的结论:

已知:AB是抛物线 y2=2px(p>0) 过焦点F的弦A(x1,y1),
B(x2,y2),设A,B在准线上的射影分别为A1,B1, 求证:
(1) y1 y2 ? ? p , x1 x2 ?
2

p

2

4

( 2) AB ? x1 ? x2 ? p

( 3) 以AB为直径的圆与准线相切
( 4) 1 AF ? 1 BF

为定值
2p sin ?
2

( 5 )若直线 AB 的倾斜角为 ? ,则 | AB |?

例5、试在抛物线 y2=4x 上求一点A,使A 到点B( 3 ,2)与到焦点的距离之和最小
A(1,2)

变式1、求抛物线 y2=6x 上的点到直线 4x+3y+46=0的距离的最小值,并求取得 最小值时的抛物线上点的坐标
P(9,-24);d=2

变式2、设P为圆(x-3)2+y2=1上的动点,Q 为抛物线y2=x上的动点,求|PQ|的最小值
11 2 ?1

小结
1、理解抛物线的定义,标准方程类型. 2、会求不同类型抛物线的焦点坐标、准线方程 3、掌握用待定系数法求抛物线标准方程 4、注重数形结合和分类讨论的解题方法.


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