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2013-2014学年广东省深圳市宝安中学高二(下)期末数学试卷(理科)


2013-2014 学年广东省深圳市宝安中学高二(下) 期末数学试卷(理科)
一.选择题(每小题只有一个选项,每小题 5 分,共计 40 分) 1. (5 分)若复数 z=2﹣i,则|z|=( ) A. B. C.3 D.5 2. (5 分)下列求导运算正确的是( ) A. (x+ )′ =1+ B. (log2x)′ = C. (3 )′ =3 log3e

5 x x

D. (x cosx)′ =﹣2xsinx

2

3. (5 分)在二项式 A.﹣28 B.28 C.﹣8 D.8

的展开式中,含 x 的项的系数是(



4. (5 分)设 f(x)=

,则

f(x)dx 的值为(



A.

B.

C.

D. )

5. (5 分)已知随机变量 ξ+η=8,若 ξ~B(10,0.6) ,则 Eη,Dη 分别是( A.6 和 2.4 B.2 和 2.4 C.2 和 5.6 D.6 和 5.6
?2 2

6. (5 分) (2010?重庆三模)设随机变量 ξ﹣N(μ, ) ,且当二次方程 x ﹣2x+ξ=0 无实根时,ξ 的取值概 率为 0.5,则 μ=( ) A.1 B.0.5 C.0 D.2 7. (5 分)已知 M 是椭圆 =1 上在第一象限的点,点 A 和点 B 分别是椭圆的右顶点和上顶点,O 为

原点,求四边形 MAOB 的面积的最大值( ) A.10 B.10 C.200 D.200 8. (5 分)如图,9 名战士站成 3 行 3 列,现从这 9 名战士中随机选出 2 名战士分别担任正、副组长,要 求这 2 名战士来自不同行且不同列,共有多少种不同的选法( )

A.18 B.36 C.72 D.144 二.填空题(9-14 题,每小题 5 分,共 30 分) 9. (5 分)在极坐标系中,点 P(2,
2 9

)关于极点的对称点的极坐标是 _________ .
2 11

10. (5 分)若(x +1) (2x﹣3) =a0+a1x+a2x +…+a11x ,则 a0+a1+a2+…+a11 的值为 _________ . 11. (5 分)口袋中装有 2 个白球和 3 个黑球,则先摸出一个白球后放回,再摸出一个白球的概率是 _________ . 12. (5 分)在极坐标系中,极点到直线 ρcos(θ+ )= 的距离是 _________ .

13. (5 分)已知 a>0,b>0,则

的最小值是
2

_________ .

14. (5 分) (2013?东至县一模)若函数 f(x)=2x ﹣lnx 在其定义域内的一个子区间(k﹣1,k+1)内不 是单调函数,则实数 k 的取值范围是 _________ . 三.解答题(15-20 题,要求写出必要的解答或证明过程,共 80 分) 15. (12 分)解下列不等式: (1)|x﹣2|≤4﹣2x (2)|x+log3x|<|x|+|log3x| 16. (12 分) (2015?上饶一模)近年空气质量逐步恶化,雾霾天气现象出现增多,大气污染危害加重,大 气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病,为了解某市心肺疾病是否与性别有关,在某医院随机的对入院 50 人进行了问卷调查,得到如下的列联表. 患心肺疾病 不患心肺疾病 合计 5 男 10 女 50 合计 已知在全部 50 人中随机抽取 1 人,抽到患心肺疾病的人的概率为 , (1)请将上面的列联表补充完整; (2)是否有 99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关?说明你的理由; (3)已知在患心肺疾病的 10 位女性中,有 3 位又患有胃病,现在从患心肺疾病的 10 位女性中,选出 3 名进行其它方面的排查,记选出患胃病的女性人数为 ξ,求 ξ 的分布列、数学期望以及方差. 下面的临界值表仅供参考: 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 P(K2≥k) 0.15 K 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

17. (14 分)某软件公司研发了多款软件,其中 A,B,C 三种软件供高中生使用,经某高中使用一学年后, 该公司调查了这个学校同一年级四个班的使用情况,从各班抽取的样本人数如下表: 班级 一 二 三 四 3 2 3 4 人数 (1)从这 12 人中随机抽取 2 人,求这 2 人恰好来自同一个班级的概率; (2)从这 12 人中,指定甲、乙、丙 3 人为代表,已知他们每人选择一款软件,其中选 A,B 两款软件的 概率都是 ,且他们选择 A,B,C 任一款软件都是相互独立的.设这 3 名学生中选择软件 C 的人数为 ξ, 求 ξ 的分布列和数学期望. 18. (14 分)已知(ax+2b) 的展开式中 x 与 x 的系数之比为 4:3,其中 a>0,b≠0. (1)求展开式中系数最大的项; (2)令 F(a,b)= ,求 F(a,b)的最小值.
6 3 4

19. (14 分)房间里有 n 盏电灯,分别由 n 个开关控制,至少开 1 盏灯用以照明,共有 an 种不同的照明方 * 法(其中 n∈N ) (1)当 n=5 时,求 a5; (2)求 an;

(3)求证:

+

+…+

<1.

20. (14 分)已知函数 f(x)=alnx+

﹣(1+a)x

(1)当 a=﹣ 时,求函数 f(x)的单调区间; (2)若 f(x)≥0 对定义域内的任意 x 都成立,求实数 a 的取值范围; (3)证明:对于任意的正整数 m,n,不等式 立. + +…+ > 恒成

2013-2014 学年广东省深圳市宝安中学高二(下) 期末数学试卷(理科)
参考答案与试题解析
一.选择题(每小题只有一个选项,每小题 5 分,共计 40 分) 1. (5 分)若复数 z=2﹣i,则|z|=( ) A. B. C .3 考点: 复数求模. 专题: 计算题. 分析: 直接利用复数模的公式计算. 解答: 解:由 z=2﹣i,得
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D.5



故答案为 . 点评: 本题考查了复数的模,是基础的运算题. 2. (5 分)下列求导运算正确的是( ) A.(x+ )′ B. =1+ (log2x)′ =

C.(3 )′ =3 log3e

x

x

D.(x cosx)′ =﹣2xsinx

2

考点: 专题: 分析: 解答:

导数的运算. 导数的概念及应用. 由导数的运算法则逐个选项验证可得.
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解:选项 A, (x+ )′ =1﹣ 选项 B, (log2x)′ =
x x

,故错误;

,故正确;

选项 C, (3 )′ =3 ln3,故错误; 2 2 选项 D, (x cosx)′ =2xcosx﹣x sinx,故错误. 故选:B 点评: 本题考查导数的运算,属基础题.

3. (5 分)在二项式 A.﹣28

的展开式中,含 x 的项的系数是( B.28 C.﹣8

5

) D.8

考点: 二项式系数的性质. 专题: 计算题. 5 分析: 在二项展开式的通项公式中,令 x 的幂指数等于 5,求出 r 的值,即可求得含 x 的项的系数. 解答: 8﹣r 解:二项式 的展开式中,通项公式为 Tr+1= ?x ?(﹣1)
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r

?

=

?





=5,解得 r=2,故含 x 的项的系数是

5

=28,

故选 B. 点评: 本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,求展开式中某项的系数,属于中档题.

4. (5 分)设 f(x)= A. B.

,则

f(x)dx 的值为( C.

) D.

考点: 分段函数的应用. 专题: 导数的综合应用. 分析: 把积分 分成两个部分,
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,找出其相对应的函数带入可求定积分的值. f(x)dx

解答: 解: = = x =
3 2

f(x)dx= x dx+

f(x)dx+

(2﹣x)dx
2

+(2x﹣ x )

点评: 分段函数的定积分关键是要找到与定义域相对应的函数,然后分别对函数进行积分. 5. (5 分)已知随机变量 ξ+η=8,若 ξ~B(10,0.6) ,则 Eη,Dη 分别是( A.6 和 2.4 B.2 和 2.4 C.2 和 5.6 ) D.6 和 5.6

考点: 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 根据变量 ξ~B(10,0.6)可以根据公式做出这组变量的均值与方差,随机变量 ξ+η=8,知道变量 η 也符合 二项分布,故可得结论. 解答: 解:∵ ξ~B(10,0.6) , ∴ Eξ=10×0.6=6,Dξ=10×0.6×0.4=2.4, ∵ ξ+η=8, ∴ Eη=E(8﹣ξ)=2,Dη=D(8﹣ξ)=2.4 故选 B. 点评: 本题考查变量的极值与方差,均值反映数据的平均水平,而方差反映数据的波动大小,属于基础题.
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6. (5 分) (2010?重庆三模)设随机变量 ξ﹣N(μ, ) ,且当二次方程 x ﹣2x+ξ=0 无实根时,ξ 的取值概率为 0.5, 则 μ=( ) A .1 B.0.5 C .0 D.2 考点: 专题: 分析: 解答: 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义;连续型随机变量. 计算题.
2

?2

2

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根据题中条件:“x ﹣2x+ξ=0 无实根”得△ <0,再结合正态分布的图象规律即可求得 μ 的值. 2 解:∵ x ﹣2x+ξ=0 无实根, 2 ∴ 得△ <0. (﹣2) ﹣4ξ<0, ∴ ξ>1,

结合正态分布的图象, 它在 x>μ 时的概率为 ,故 μ=1. 故选 A.

点评: 本题主要考查正态分布的规律,正态分布涉及到连续型随机变量的分布密度,是概率统计中最重要的一种 分布,也是自然界最常见的一种分布.

7. (5 分)已知 M 是椭圆

=1 上在第一象限的点,点 A 和点 B 分别是椭圆的右顶点和上顶点,O 为原点,求 ) C.200 D.200

四边形 MAOB 的面积的最大值( A.10 B.10

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: M(5cosθ,4sinθ) (θ∈(0, ) ) ,根据四边形 OAMB 面积化为两个三角形△ AOM、△ BOM 面积之和,结
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合辅助角公式,即可求出四边形 OAMB 的面积的最大值. 解答: 解:设 M(5cosθ,4sinθ) (θ∈(0, ) ) .

因为四边形 OAMB 面积化为两个三角形△ AOM、△ BOM 面积之和, 所以 S= ×5×4sinθ+ ×4×5cosθ=10cosθ+10sinθ=10 所以 θ= 时,四边形 OAMB 面积最大为 10 . sin(θ+ )

故选:B. 点评: 本题考查四边形 OAMB 的面积的最大值的计算,考查三角函数知识,正确运用椭圆的参数方程是关键. 8. (5 分)如图,9 名战士站成 3 行 3 列,现从这 9 名战士中随机选出 2 名战士分别担任正、副组长,要求这 2 名 战士来自不同行且不同列,共有多少种不同的选法( )

A.18

B.36

C.72

D.144

考点: 计数原理的应用. 专题: 排列组合. 分析: 本题是一个计数原理的应用,从 3 列中选择 2;从某一列中任选一人有 3 种结果;从另一列中选一个与首先
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选的那一个人不同行的人有 2 种结果;选择的两人均可以为正、副组长,相乘得到结果. 解答: 解:由题意知本题是一个计数原理的应用, 2 从 3 列中选择 2 列 C3 =3; 从某一列中任选一人有 3 种结果; 从另一列中选一个与首先选的那一个人不同行的人有 2 种结果; 而选择的两人均可以为正、副组长 根据分步计数原理知共有 3×3×2×2=36. 故选:B. 点评: 本题主要考查分步计数原理的应用,本题解题的关键是在选择时做到不重不漏,本题是一个易错题. 二.填空题(9-14 题,每小题 5 分,共 30 分) 9. (5 分)在极坐标系中,点 P(2, )关于极点的对称点的极坐标是 .

考点: 专题: 分析: 解答:

简单曲线的极坐标方程. 选作题;坐标系和参数方程. 由点 M(ρ,θ)关于极点的对称点到极点的距离等于 ρ,极角为 2kπ+π+θ,从而求得对称点的极坐标. 解:由点的极坐标的意义可得,点 M(ρ,θ)关于极点的对称点到极点的距离等于 ρ,极角为 2kπ+π+θ,
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故 P(2, 故答案为:

)关于极点的对称点的极坐标是 .



点评: 本题主要考查在极坐标系中,求点的极坐标的方法,属于基础题. 10. (5 分)若(x +1) (2x﹣3) =a0+a1x+a2x +…+a11x ,则 a0+a1+a2+…+a11 的值为 ﹣2 . 考点: 专题: 分析: 解答: 二项式系数的性质. 二项式定理.
2 9 2 11

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在所给的等式中,令 x=1 可得 a0+a1+a2+…+a11 的值. 2 9 2 11 解:在(x +1) (2x﹣3) =a0+a1x+a2x +…+a11x 中, 令 x=1 可得 a0+a1+a2+…+a11=﹣2, 故答案为:﹣2. 点评: 本题主要考查二项式定理的应用,是给变量赋值的问题,关键是根据要求的结果,选择合适的数值代入, 属于基题.

11. (5 分)口袋中装有 2 个白球和 3 个黑球,则先摸出一个白球后放回,再摸出一个白球的概率是



考点: 专题: 分析: 解答:

二项式系数的性质. 概率与统计. 再次摸球时,口袋中仍然装有 2 个白球和 3 个黑球,利用古典概型及其概率计算公式计算求得结果. 解:再次摸球时,口袋中仍然装有 2 个白球和 3 个黑球,
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故再摸出一个白球的概率是 故答案为: .



点评: 本题主要考查古典概型及其概率计算公式的应用,属于基础题.

12. (5 分)在极坐标系中,极点到直线 ρcos(θ+

)= 的距离是



考点: 简单曲线的极坐标方程. 专题: 选作题;坐标系和参数方程. 分析: 先将原极坐标方程化成直角坐标方程,再利用直角坐标方程点到直线的距离进行求解即可. 解答: 解:将原极坐标方程 ρcos(θ+ )= 化为:直角坐标方程为: x﹣y﹣1=0,
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原点到该直线的距离是:d= ∴ 所求的距离是: . 故答案为: .

= .

点评: 本题考查点的极坐标和直角坐标的互化,利用直角坐标与极坐标间的关系,即利用 ρcosθ=x,ρsinθ=y, ρ =x +y ,进行代换即得. 13. (5 分)已知 a>0,b>0,则 4 . 考点: 基本不等式在最值问题中的应用. 专题: 计算题. 分析: 先利用基本不等式求得 + ≥2 ,进而利用 2
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2

2

2

的最小值是

+2

≥4,两次利用基本不等式求得答案.

解答:

解: + ≥2 ∵ 2 ∴ +2

(当且仅当 a=b 时成立) ≥4(当 a=b=1 时成立) 的最小值是 4.

故答案为:4 点评: 本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用.考查了学生分析问题的能力和基本的运算能力. 14. (5 分) (2013?东至县一模)若函数 f(x)=2x ﹣lnx 在其定义域内的一个子区间(k﹣1,k+1)内不是单调函 数,则实数 k 的取值范围是 [1, ) .
2

考点: 利用导数研究函数的单调性. 分析: 先对函数进行求导,根据导函数大于 0 时原函数单调递增,导函数小于 0 时原函数单调递减得解. 解答: 解:因为 f(x)定义域为(0,+∞) ,
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又 f'(x)=4x﹣ ,由 f'(x)=0,得 x= .

据题意,

,解得 1≤k<

故答案为:[1, ) 点评: 本题主要考查函数的单调性与导函数的关系.属基础题.

三.解答题(15-20 题,要求写出必要的解答或证明过程,共 80 分) 15. (12 分)解下列不等式: (1)|x﹣2|≤4﹣2x (2)|x+log3x|<|x|+|log3x| 考点: 绝对值不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: (1)原不等式化为 2x﹣4≤x﹣2≤4﹣2x,由此求得它的解集.
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(2)由条件利用绝对值不等式的性质可知 x?log3x<0,且 x>0,即 log3x<0,由此求得不等式的解集. 解答: 解: (1)原不等式化为 2x﹣4≤x﹣2≤4﹣2x,求得它的解集为{x|x≤2}. (2) .由绝对值不等式的性质可知 x?log3x<0,且 x>0. ∴ log3x<0,即 0<x<1,即不等式的解集为{x|0<x<1}. 点评: 本题主要考查绝对值不等式的解法,体现了等价转化的数学思想,属于基础题. 16. (12 分) (2015?上饶一模)近年空气质量逐步恶化,雾霾天气现象出现增多,大气污染危害加重,大气污染可 引起心悸、呼吸困难等心肺疾病,为了解某市心肺疾病是否与性别有关,在某医院随机的对入院 50 人进行了问卷 调查,得到如下的列联表. 患心肺疾病 不患心肺疾病 合计 5 男 10 女 50 合计 已知在全部 50 人中随机抽取 1 人,抽到患心肺疾病的人的概率为 , (1)请将上面的列联表补充完整; (2)是否有 99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关?说明你的理由; (3)已知在患心肺疾病的 10 位女性中,有 3 位又患有胃病,现在从患心肺疾病的 10 位女性中,选出 3 名进行其 它方面的排查,记选出患胃病的女性人数为 ξ,求 ξ 的分布列、数学期望以及方差. 下面的临界值表仅供参考: 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 P(K2≥k) 0.15 K 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

考点: 独立性检验. 专题: 概率与统计. 分析: (1)根据在全部 50 人中随机抽取 1 人抽到患心肺疾病的概率为 ,可得患心肺疾病的人数,即可得到列联
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表; 2 (2)利用公式求得 K ,与临界值比较,即可得到结论. (3)在患心肺疾病的 10 位女性中,有 3 位又患有胃病,记选出患胃病的女性人数为 ξ,则 ξ 服从超几何分 布,即可得到 ξ 的分布列、数学期望以及方差. 解答: 解: (1)根据在全部 50 人中随机抽取 1 人抽到患心肺疾病生的概率为 ,可得患心肺疾病的为 30 人,故可

得 列联表补充如下 患心肺疾病 20 10 30
2

男 女 合计

不患心肺疾病 5 15 20

合计 25 25 50 ,即 K =
2

(2)因为 K =
2

=



所以 K ≈8.333 2 又 P(k ≥7.879)=0.005=0.5%, 所以,我们有 99.5%的把握认为是否患心肺疾病是与性别有关系的. (3)现在从患心肺疾病的 10 位女性中,选出 3 名进行胃病的排查, 记选出患胃病的女性人数为 ξ,则 ξ=0,1,2,3. 故 P(ξ=0)= 则 ξ 的分布列: ξ 0 1 P 则 Eξ=1× Dξ= +2× +3×
2

=

,P(ξ=1)=

=

,P(ξ=2)=

=

,P(ξ=3)=



2

3

=0.9, ×(1﹣0.9) +
2

×(0﹣0.9) +

×(2﹣0.9) +

2

×(3﹣0.9) =0.49

2

点评: 本题考查独立性检验知识,考查学生的计算能力,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题. 17. (14 分)某软件公司研发了多款软件,其中 A,B,C 三种软件供高中生使用,经某高中使用一学年后,该公司 调查了这个学校同一年级四个班的使用情况,从各班抽取的样本人数如下表: 班级 一 二 三 四 3 2 3 4 人数 (1)从这 12 人中随机抽取 2 人,求这 2 人恰好来自同一个班级的概率; (2)从这 12 人中,指定甲、乙、丙 3 人为代表,已知他们每人选择一款软件,其中选 A,B 两款软件的概率都是 ,且他们选择 A,B,C 任一款软件都是相互独立的.设这 3 名学生中选择软件 C 的人数为 ξ,求 ξ 的分布列和数 学期望. 考点: 离散型随机变量的期望与方差;古典概型及其概率计算公式. 专题: 概率与统计. 分析: (1)利用互斥事件的概率公式能求出从这 12 人中随机抽取 2 人,求这 2 人恰好来自同一个班级的概率.
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(2)每个人选软件 C 的概率均为 ,由题意知 ξ=0,1,2,3,分别求出相应的概率,由此能求出 ξ 的分布 列和数学期望. 解答: 解: (1)设“从这 12 人中随机抽取 2 人,求这 2 人恰好来自同一个班级”为事件 M, 则 (4 分)

(2)由题意知 ξ=0,1,2,3,每个人选软件 C 的概率均为 , , , , , (10 分) ∴ ξ 的分布列如下: ξ 0 P

1

2

3

. (14 分) 点评: 本题考查概率的求法,考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法,解题时要认真审题,是中档题. 18. (14 分)已知(ax+2b) 的展开式中 x 与 x 的系数之比为 4:3,其中 a>0,b≠0. (1)求展开式中系数最大的项; (2)令 F(a,b)= ,求 F(a,b)的最小值.
6 3 4

考点: 二项式定理的应用. 专题: 计算题;二项式定理. 分析: (1)确定 a=2b,展开式中二项式系数最大即为系数最大的项;
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(2)求出 F(a,b)= 解答: 解:设通项为 从而得到:a=2b.

,利用基本不等式求 F(a,b)的最小值.

,则依题意: (4 分)
6 6 6

(1)展开式(ax+2b) =a (x+1) 的二项式系数最大即为系数最大.即

(8 分)

(2) 由 a=2b, 得到:

当且仅当

,即 b=2 时,取等号,所以 F(a,b)的最小值为 6. (14 分)

点评: 本题考查二项式定理的应用,考查学生的计算能力,属于中档题. 19. (14 分)房间里有 n 盏电灯,分别由 n 个开关控制,至少开 1 盏灯用以照明,共有 an 种不同的照明方法(其中 * n∈N ) (1)当 n=5 时,求 a5; (2)求 an; (3)求证: + +…+ <1.

考点: 二项式定理的应用.

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专题: 综合题;二项式定理. 分析: (1)a5 表示房间里有 5 个开关控制,至少开 1 盏灯用以照明的照明方法; (2)利用间接法,可求 an; (3)利用放缩法,结合等比数列的求和公式可得结论. 解答: (1)解: ; (2 分) (2)解: ; (6 分)

(3)证明:因为



所以 点评: 本题考查二项式定理的应用,考查等比数列的求和公式,正确运用组合知识是关键.

(14 分)

20. (14 分)已知函数 f(x)=alnx+

﹣(1+a)x

(1)当 a=﹣ 时,求函数 f(x)的单调区间; (2)若 f(x)≥0 对定义域内的任意 x 都成立,求实数 a 的取值范围; (3)证明:对于任意的正整数 m,n,不等式 + +…+ > 恒成立.

考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1)先求出导函数,解不等式即可求出单调区间, (2)先求出导函数,再分情况① 当 a≤0 时② 当 0<a<1 时 ③ 当 a=1 时④ 当 a>1 时进行讨论,
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(3)当

时,

(当且仅当时 x=1 等号成立)则 lnx≤x ﹣x,当 x>1 分别令 x=m+1,m+2,…,m+n,从而证得结论.

2

时,此不等式可以化为 解答:

解: (1) .当

时,

则 从而得到:若 0<x<1,则 f′ (x)<0;若 x>1,则 f′ (x)>0; 故 f(x)的单调递减区间为(0,1) ,单调递增区间(1,+∞) ; (2). ① 当 a≤0 时,若 0<x<1,则 f′ (x)<0;若 x>1,则 f′ (x)>0; 故 f(x)的单调递减区间为(0,1) ,单调递增区间(1,+∞) ; ② 当 0<a<1 时,f′ (x) ,f(x)的变化如下表: x a 1 (0,a) (a,1) + 0 0 f′ (x) ﹣

(1,+∞) +

f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 故 f(x)的单调递减区间为(a,1) ,单调递增区间(0,a) , (1,+∞) ; ③ 当 a=1 时,

单调递增

;故 f(x)的单调递增区间(0,+∞) ;

④ 当 a>1 时,f′ (x) ,f(x)的变化如下表: x 1 (0,1) (1,a) + 0 f′ (x) ﹣ f(x) 单调递增 极大值 单调递减 由于

a 0 极小值

(a,+∞) + 单调递增

,显然当 a>0 时,f(1)<0,则不合题意; ,即 ;

当 a≤0 时,f(x)在区间(0,+∞)上的最小值是 故实数 a 的取值范围是 (3) .当
2

. (当且仅当时 x=1 等号成立)

时,

则 lnx≤x ﹣x,当 x>1 时,此不等式可以化为 分别令 x=m+1,m+2,…,m+n,则

所以



点评: 本题考察了函数的单调性,导数的应用,不等式的证明,渗透了分类讨论思想,是一道综合题.

参与本试卷答题和审题的老师有:sxs123;lincy;caoqz;779241471;刘长柏;lily2011;whgcn;zhwsd;wsj1012; szjzl;zlzhan;1619495736(排名不分先后)
菁优网 2015 年 3 月 6 日


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