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数列求和专题含答案










数列求和
一、利用常用求和公式求和 1、等差数列求和公式:

Sn ?

n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d 2 2

2、等比数列求和公式:

(q ? 1)

? na1 ? n S n ? ? a1 (1 ? q ) a1 ? a n q ? (q ? 1) ? 1? q ? 1? q
[例 1] 已知 log3

x?

?1 2 3 n ,求 x ? x ? x ? ? ? ? ? x ? ? ? ? 的前 n 项和. log2 3 ?1 1 ? log3 x ? ? log3 2 ? x ? log2 3 2

解:由 log3

x?

由等比数列求和公式得: S n

? x ? x 2 ? x3 ? ? ? ? ? x n

=

1 1 (1 ? n ) x (1 ? x n ) 2 2 =1 - 1 = 1 2n 1? x 1? 2

二、错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法, 这种方法主要用于求数列{an· bn}的前 n 项和, 其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列. [例 3] 求和: S n

? 1 ? 3x ? 5x 2 ? 7 x 3 ? ? ? ? ? (2n ? 1) x n?1 ………………………①
n?1

解:由题可知, { (2n ? 1) x

} 的通项是等差数列 {2n - 1} 的通项与等比数列 {

x n ?1 } 的通项之积:设

xSn ? 1x ? 3x 2 ? 5x 3 ? 7 x 4 ? ? ? ? ? (2n ? 1) x n …②(设制错位)
①-②得

(1 ? x)S n ? 1 ? 2x ? 2x 2 ? 2x 3 ? 2x 4 ? ? ? ? ? 2x n?1 ? (2n ? 1) x n
(1 ? x) S n ? 1 ? 2 x ?

(错位相

减)再利用等比数列的求和公式得:

1 ? x n ?1 ? (2n ? 1) x n 1? x

。∴

Sn ?

(2n ? 1) x n?1 ? (2n ? 1) x n ? (1 ? x) (1 ? x) 2
2n 2 4 6 2n , 2 , 3 ,? ? ?, n ,? ? ? 前 n 项的和.解:由题可知,{ n }的通项是等差数列{2n}的通项与等比 2 2 2 2 2

[例 4] 求数列 数列{

1 2n

}的通项之积 1


设 Sn


?





2 4 6 2n ? 2 ? 3 ? ? ? ? ? n …………………………………① 2 2 2 2 1 2 4 6 2n S n ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ? ? n ?1 ………… ② ① 2 2 2 2 2 1 2n 1 2 2 2 2 2 2n (1 ? ) S n ? ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ? ? n ? n ?1 ? 2 ? n ?1 ? n ?1 ∴ 2 2 2 2 2 2 2 2 2
三、分组法求和







Sn ? 4 ?

n?2 2 n ?1

有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的 数列,然后分别求和,再将其合并即可. [例 7] 求数列的前 n 项和: 1 ? 1,

1 1 1 ? 4, 2 ? 7,? ? ?, n ?1 ? 3n ? 2 ,… a a a 1 1 1 解:设 S n ? (1 ? 1) ? ( ? 4) ? ( 2 ? 7) ? ? ? ? ? ( n ?1 ? 3n ? 2) a a a 1 1 1 将其每一项拆开再重新组合得 S n ? (1 ? ? 2 ? ? ? ? ? n ?1 ) ? (1 ? 4 ? 7 ? ? ? ? ? 3n ? 2)(分 a a a

组)

当 a=1

1 (3n ? 1)n (3n ? 1)n a n ? (3n ? 1)n 时, S n ? n ? = (分组求和)当 a ? 1 时, S n ? 1 2 2 2 1? a 1?



a ? a1?n (3n ? 1)n ? a ?1 2
四、裂项法求和 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解,然后重新组 合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的. 通项分解(裂项)如: (1) a n

?

1 1 1 ? ? n(n ? 1) n n ? 1

(2) an

?

(2n) 2 1 1 1 ? 1? ( ? ) (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

(3) an

?

1 1 1 1 ? [ ? ] n(n ? 1)(n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2)

(4) a n

?

n ? 2 1 2(n ? 1) ? n 1 1 1 1 ? n ? ? n ? ? , 则S n ? 1 ? n ?1 n n(n ? 1) 2 n(n ? 1) 2 n?2 (n ? 1)2 (n ? 1)2 n
1 , 1 2? 3 ,? ? ?, 1 n ? n ?1 ,? ? ? 的前 n 项和.

[例 9]

求数列

1? 2

2


解:设 a n


? 1 n ? n ?1 1 2? 3 ? n ? 1 ? n ,则 1 n ? n ?1





Sn ?

1 1? 2

?

? ??? ?

( 2 ? 1) ? ( 3 ? 2 ) ? ? ? ? ? ( n ? 1 ? n )



n ? 1 ?1
[例 10] 在数列{an}中, an

?

1 2 n 2 ? ? ??? ? ,又 bn ? n ?1 n ?1 n ?1 a n ? a n ?1

,求数列{bn}的前 n 项的

和. 解: ∵

an ?

1 2 n n ? ? ??? ? ? n ?1 n ?1 n ?1 2



bn ?

2 1 1 ? 8( ? ) ? 数列{bn} n n ?1 n n ? 1 ? 2 2
1 ) n ?1


的前 n 项和:

1 1 1 1 1 1 1 S n ? 8[(1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ? ? ( ? )] 2 2 3 3 4 n n ?1
[例 14] 在各项均为正数的等比数列中,若 a5 a6 解:设 S n

= 8(1 ?

8n n ?1

? 9, 求 log3 a1 ? log3 a2 ? ? ? ? ? log3 a10 的值。

? log3 a1 ? log3 a2 ? ? ? ? ? log3 a10

由 等 比 数 列 的 性 质

m ? n ? p ? q ? aman ? a p aq
得:

和 对 数 的 运 算 性 质

loga M ? loga N ? loga M ? N

S n ? (log3 a1 ? log3 a10 ) ? (log3 a2 ? log3 a9 ) ? ? ? ? ? (log3 a5 ? log3 a6 ) (log3 a1 ? a10 ) ? (log3 a2 ? a9 ) ? ? ? ? ? (log3 a5 ? a6 ) = log3 9 ? log3 9 ? ? ? ? ? log3 9 =10
五、利用数列的通项求和



先根据数列的结构及特征进行分析, 找出数列的通项及其特征, 然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列 的前 n 项和,是一个重要的方法. [例 15]

?? ?1 ? 求 1 ? 11? 111? ? ? ? ? 111 ?? ? ?1 之和.解:由于 111 ?? ? ? ?
n个1
k个1

1 1 ? 999 ?? ?? ? 9 ? (10k ? 1) ? ? ? 9 9 k个1



1 ? 11? 111? ? ? ? ? 111 ?? ? ?1 = ? ?
n个1

1 1 1 1 1 (10 ? 1) ? (10 2 ? 1) ? (10 3 ? 1) ? ? ? ? ? (10 n ? 1) 9 9 9 9

3





1 1 1 (10 ? 102 ? 103 ? ? ? ? ? 10n ) ? (1 ? 1? ?1 ?? ??? ? 1) ? ? ? 9 9 ?? n个1





1 10(10n ? 1) n ? ? 9 10 ? 1 9


1 (10 n ?1 ? 10 ? 9n) 81

数列求和练习
1、 (东莞市2015届高三)数列 的前n项和为 成等比数列. ,数列 是

首项为a1,公差不为零的等差数列,且 (1)求 (2)求数列 (3)求证: 的值; 的通项公式;

4









2(惠州市 2015 届高三)已知递增等差数列 ?an ? 中的 a2 , a5 是函数

f ( x) ? x2 ? 7 x ? 10 的两个零点.数列 ?bn ? 满足,点 (bn , Sn ) 在直线
y ? ? x ? 1 上,其中 Sn 是数列 ?bn ? 的前 n 项和.
(1)求数列 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式; (2)令 cn ? an ? bn ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn .

3、已知等比数列 ?an ?学科网的前 n 项和为 Sn , an ? 0 ,
a1 ? 2 3 1 1 ,且 ? , , 成等差数列. 3 a2 a3 a4

?1? 求数列 ?an ? 的通项公式; ? 2 ? 设数列 ?bn ? 满足 bn ? log3 ?1? Sn?1 ? ? 1 ,求适合方程
b1b2 ? b2b3 ? ??? ? bnbn ?1 ? 25 的正整数 n 的值. 51

5









4、 (要用放缩法)已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若

4Sn ? ? 2n ?1? an?1 ?1( n ? N* ),且 a1 ? 1 .
(Ⅰ) 求证:数列 ?an ? 为等差数列; (Ⅱ) 设 bn ?

1 an Sn

,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,证明: Tn ?

3 * ( n ? N ). 2

6



深 数列求和练习答案





1、 (东莞市2015届高三)数列

的前n项和为 成等比数列.

,数列



首项为a1,公差不为零的等差数列,且 (1)求 (2)求数列 (3)求证: 解: (1)∵ Sn ? 2an ? 2 , 的值; 的通项公式;

∴当 n ? 1 时, a1 ? 2a1 ? 2 ,解得 a1 ? 2 ;当 n ? 2 时, S2 ? a1 ? a2 ? 2a2 ? 2 ,解得 a2 ? 4 ; 当 n ? 3 时, S3 ? a1 ? a2 ? a3 ? 2a3 ? 2 ,解得 a3 ? 8 . …………3 分

(2)当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? (2an ? 2) ? (2an?1 ? 2) ? 2an ? 2an?1 , ……5 分 得 an ? 2an?1 又 a1 ? S1 ? 2a1 ? 2 , a1 ? 2 , ∴数列{ an }是以 2 为首项,公比为 2 的等比数列, 所以数列{ an }的通项公式为 an ? 2n . ………………7 分

成 等 比 数 列 , 得 ( 2? 2 ,) b1 ? a1 ? 2 , 设 公 差 为 d , 则 由 b1 , b 3, b 1 1 d 2) ? ? 2 ( ?2 d1 0 解得 d ? 0 (舍去)或 d ? 3 , (3)令 Tn ? 所以数列 {bn } 的通项公式为 bn ? 3n ? 1 .

b1 b2 b3 ? ? ? a1 a2 a3
?

?

2 5 8 bn ? 1? 2? 3? an 2 2 2

?

3n ? 1 , 2n

3n ? 1 , ………………11 分 2n ?1 3 3 3 3n ? 1 两式式相减得 Tn ? 2 ? 1 ? 2 ? ? n ?1 ? , 2 2 2 2n 2Tn ? 2 ? 5 8 ? ? 21 22

7









3n ? 5 ? 0 ,故 Tn ? 5 . 2n

3 1 (1 ? n?1 ) 3n ? 1 3n ? 5 2 ∴ Tn ? 2 ? 2 ? n ? 5? n , 1 2 2 1? 2

2(惠州市 2015 届高三)已知递增等差数列 ?an ? 中的 a2 , a5 是函数

f ( x) ? x2 ? 7 x ? 10 的两个零点.数列 ?bn ? 满足,点 (bn , Sn ) 在直线
y ? ? x ? 1 上,其中 Sn 是数列 ?bn ? 的前 n 项和.
(1)求数列 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式; (2)令 cn ? an ? bn ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn . 【解析】 (1)因为 a2 , a5 是函数 f ( x) ? x2 ? 7 x ? 10 的两个零点,则

?a2 ? a5 ? 7 ?a2 ? 2 ?a2 ? 5 ,解得: ? 或? .………………………………………………..2 分 ? a ? 2 a ? 5 ?a2 ? a5 ? 10 ? 5 ? 5
又等差数列 {an } 递增,则 ?

?a2 ? 2 ,所以 an ? n, n ? N * …………………………….4 分 ?a5 ? 5

因为点 在直线 y ? ? x ? 1 上,则 Sn ? ?bn ? 1。 (bn , Sn)

1 .………………………………………………….5 分 2 1 当 n ? 2 时, bn ? Sn ? Sn ?1 ? (?bn ? 1) ? (?bn ?1 ? 1) ,即 bn ? bn ?1 .………………..…6 分 2 1 1 1 n * 所以数列 {bn} 为首项为 ,公比为 的等比数列,即 bn ? ( ) , n ? N .…………….…7 分 2 2 2 1 n * (2)由(1)知: an ? n, n ? N * 且 bn ? ( ) , n ? N , …………………………………...…8 分 2 1 n * 则 cn ? an ? bn ? n ? ( ) , n ? N ……………………………………………………...9 分 2 1 1 2 1 3 1 n 所以 Tn ? 1 ? ? 2 ? ( ) ? 3 ? ( ) ? ? ? n ? ( ) ① 2 2 2 2 1 1 1 1 1 Tn ? 1 ? ( ) 2 ? 2 ? ( )3 ? ? ? (n ? 1) ? ( ) n ? n ? ( ) n ?1 ② . ……………………10 分 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 3 1 n 1 n ?1 1 n ?1 ①-②得: Tn ? ? ( ) ? ( ) ? ? ? ( ) ? n ? ( ) ? 1 ? (n ? 2)( ) .………12 分 2 2 2 2 2 2 2
当 n ? 1 时, b1 ? S1 ? ?b1 ? 1,即 b1 ?
8


1 2


或写 Tn ? 2 ?


n?2 ,n? N* . n 2


……………………14 分

n * 所以 Tn ? 2 ? ( n ? 2)( ) , n ? N .

3、已知等比数列 ?an ?学科网的前 n 项和为 Sn , an ? 0 ,
a1 ? 2 3 1 1 ,且 ? , , 成等差数列. 3 a2 a3 a4

?1? 求数列 ?an ? 的通项公式; ? 2 ? 设数列 ?bn ? 满足 bn ? log3 ?1? Sn?1 ? ? 1 ,求适合方程
b1b2 ? b2b3 ? ??? ? bnbn ?1 ? 25 的正整数 n 的值. 51

1、解: (1)设数列 { an } 的公比为 q ,由 an ? 0 ,得 q ? 0 . 由?

3 1 1 , , 成等差数列, a2 a3 a4



2 3 1 2 3 1 , ? ? ? ,所以 ?? ? 2 a3 a2 a4 a1q a1q a1q 3

得 ?3 ?

1 2 ? ,故 3q 2 ? 2q ? 1 ? 0 .…………………...………..2 分 2 q q

1 ,或 q ? ?1 (舍) .………………………….….………4 分 3 2 1 1 所以 an ? a1q n ?1 ? ? ( ) n ?1 ? 2 ? ( ) n ;……………………………6 分 3 3 3 2 1 (1 ? n ?1 ) n ?1 a (1 ? q ) 3 1 3 ? ? 1 ? n ?1 , (2)由(1)得 S n ?1 ? 1 1 1? q 3 1? 3 1 故 log 3 (1 ? S n ?1 ) ? log 3 n ?1 ? ? n ? 1 ,………………………………8 分 3
解得 q ? 所以 bn ?

1 1 .…………………..………………9 分 ?? log 3 (1 ? S n ?1 ) n ?1

bnbn ?1 ?

1 1 1 ? ? .…………..……………11 分 (n ? 1)(n ? 2) n ? 1 n ? 2

9


b1b2 ? b2b3 ?
由题意得


? bnbn ?1 ? 1 1 1 1 ? ? ? ? 2 3 3 4 ?


1 1 1 1 ? ? ? n ?1 n ? 2 2 n ? 2



1 1 25 ..………………………..…………. ……13 分 ? ? 2 n ? 2 51 解得 n ? 100 ,
? 满足题意得 n ? 100 .…………………………..…………. ……14 分
4、 (要用放缩法) (Ⅰ) 由题设 4Sn ? ? 2n ?1? an?1 ?1,则 a2 ? 4S1 ? 1 ? 3 , 3a3 ? 4S2 ? 1 ? 15, a3 ? 5 . 当 n ? 2 时, 4Sn?1 ? ? 2n ? 3? an ?1, 两式相减得

? 2n ?1? an ? ? 2n ?1? an?1 ,
方法一:由 ? 2n ?1? an ? ? 2n ?1? an?1 ,得 则数列 ? 6分 所以数列 ?an ? 是首项为 1 ,公差为 2 的等差数列

……………………………………2 分

an ?1 a a a ? n ,且 2 ? 1 . 3 1 2n ? 1 2n ? 1

an a1 ? an ? ? ? 1, 即 也即 an ? 2n ? 1 …………………………… ? 是常数列, 2n ? 1 2 ? 1 ? 1 ? 2n ? 1 ?
…………7 分

方法二:由 ? 2n ?1? an ? ? 2n ?1? an?1 ,得 ? 2n ? 3? an?1 ? ? 2n ?1? an?2 , 两式相减得 an ? an?2 ? 2an?1 ,且 a1 ? a3 ? 2a2 所以数列 ?an ? 等差数列. (Ⅱ) 由(Ⅰ)得 an ? 2n ? 1 , Sn ? 当 n ? 1 时, T1 ? 1 ? ………6 …………………………7 分

?1 ? 2n ? 1? n ? n2 , b
2

n

?

1 ,…………9 分 n ? 2n ? 1?

3 成立;…………………………………………………10 分 2 1 1 1 1? 1 1? ? ? ? ? ? ? …………12 分 当 n ? 2 时, bn ? 1 ? 2n ? n ? 1? 2 ? n ? 1 n ? n ? 2n ? 1? ? 2n ? n ? ? 2? ?
所以 Tn ? 1 ?

1 ?? 1 ? ? 1 1 ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? 2? ?? 2 ? ? 2 3 ?

1? 1? 1 3 1 ?? ? 1 ?? ? ? ? ? 1 ? ?1 ? ? ? 1 ? ? 2? n? 2 2 ? n ?1 n ??

综上所述,命题得证.…………………………………………14 分

10


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