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黑龙江省大庆铁人中学2013-2014学年高二数学上学期期末试题 理 新人教A版


大庆铁人中学 2012 级高二上学期期末考试 数学试题(理)
时间:120 分钟 满分:150 分 一、选择题: 2 2 1. “ab<0”是“方程 ax +by =1 表示双曲线”的( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.F1,F2 是定点,且|F1F2|=6,动点 M 满足|MF1|+|MF2|=6,则 M

点的轨迹方程是( ) A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段 2 2 3.椭圆 x +my =1 的焦点在 y 轴上,长轴长是短轴长的 2 倍,则 m 的值是( ) 1 1 A. B. C.2 D.4 4 2 4.某校选修乒乓球课程的学生中,高一年级有 30 名,高二年级有 40 名.现用分层抽样的 方法在这 70 名学生中抽取一个样本,已知在高一年级的学生中抽取了 6 名,则在高二年级 的学生中应抽取的人数为( )

A.6

B.8

C.10

D.12

5.在长为 10 ㎝的线段 AB 上任取一点 P,并以线段 AP 为边作正方形,这个正方形的面积介 2 2 于 25cm 与 49 cm 之间的概率为 ( ) A.

1 5

B.

2 5

C.

4 5

D.

3 10

6.如图,一环形花坛分成 A、B、C、D 四个区域,现有 5 种不同的花供选种,要求在每个区域里种 1 种花,且 相邻的 2 个区域种不同的花,则不同的种法种数为 A.96 B.84 C.260 D.320

7.编号为 1,2,3 的三位学生随意坐入编号为 1,2,3 的三个座位,每位学生坐一个座位,则 三位学生所坐的座位号与学生的编号恰好都不同的概率 A. 2 3 1 B. 3 1 C. 6 5 D. 6

8.若如图所示的程序框图输出的 S 的值为 126, 则条件①为( A.n≤5? B.n≤6? C.n≤7? D.n≤8? 9.给出两个命题:p:平面内直线 l 与抛物线 y ? 2 x 有且只有一个交点,则直线 l 与该
2

)

y2 ? 1 右焦点 F 的最短弦长是 8.则( 抛物线相切;命题 q:过双曲线 x ? 4
2

)

1

A.q 为真命题 C. “p 且 q”为真命题 10.设 F1 F2 是椭圆 E :

B. “p 或 q”为假命题 D. “p 或 q”为真命题

?F2 PF1 是底角为 30? 的等腰三角形,则 E 的离心率为(
2 ? ? C. D. 3 ? ? 11.如图,AB 是平面 a 的斜线段 ,A 为斜足,若点 P 在 ... 平面 a 内运动,使得△ABP 的面积为定值,
A.

3a x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点, P 为直线 x ? 上一点, 2 2 a b


1 2

B.

则动点 P 的轨迹是 A.圆 B. 椭圆

C.一条直线

D.两条平行直线

x2 y 2 ? ? 1 的左焦点,在 x 轴上 F 点的右侧有一点 A ,以 FA 为直径 12.设 F 为双曲线 16 9
的圆与双曲线左、右两支在 x 轴上方的交点分别为 M 、 N ,则

FN ? FM FA

的值为(



A.

2 5

B.

5 2

C.

4 5

D.

5 4

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。 13.用 0、1、2、3、4 这 5 个数字可组成没有重复数字的三位偶数_ 14.将二进制数 101 101(2)化为八进制数,结果为________. 15.如图,正方体的棱长为 1,C、D 分别是两条棱 的中点,A、B、M 是顶点,那么点 M 到截面 ABCD 的距离是

__个. D C

A B

M

16.右图是抛物线形拱桥,当水面在 l 时,拱顶离水面 2 米, 水面宽 4 米,水位下降 1 米后,水面宽 米.

三、解答题: 17.(本小题满分 10 分) 命题 p:关于 x 的不等式 x 命题 q:函
2

? 2ax ? 4 ? 0 ,对一切 x ? R 恒成立;

f ( x) ? (3 ? 2a) x 是增函数.若 p 或 q 为真,p 且 q 为假,

求实数 a 的取值范围.

2

18.(本小题满分 12 分) 抛物线的顶点在原点,以 x 轴为对称轴,经过焦点且倾斜角为 135°的直线,被抛物线所截 得的弦长为 8,试求该抛物线的方程.

19.(本小题满分 12 分) 一个袋中装有四个形状大小完全相同的球,球的编号分别为 1,2,3,4, (1)从袋中随机取出两个球,求取出的球的编号之和不大于 4 的概率; (2)先从袋中随机取一个球,该球的编号为 m,将球放回袋中,然后再从袋中随机取一个球, 该球的编号为 n,求 n<m+2 的概率. 20.(本小题满分 12 分) 某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出 60 名学生,将其成绩(均为整数) 分成六段

?40,50? , ?50,60? ? ?90,100 ? 后画出如下部分频率分布直方图.观察

图形的信息,回答下列问题: (1)求第四小组的频率,并补全这个频率分布直方图; (2)估计这次考试的及格率( 60 分及以上为及格)和平均分; (3)从成绩是 70 分以上(包括 70 分)的学生中选两人, 求他们在同一分数段的概率.
频率 组距

0.025 0.015 0.01 0.005 分数 40 50 60 70 80 90 100

21.(本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 S ? ABCD 中, SD ? 底面 ABCD ,底面

ABCD 是矩形,且 SD ? AD ? 2 AB , E 是 SA 的中点.
(1)求证:平面 BED ? 平面 SAB ; (2)求平面 BED 与平面 SBC 所成二面角(锐角)的大小.

22.(本小题满分 12 分) 设椭圆 M: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率与双曲线 x -y =1 的离心率互为倒数,且内切于圆 x

y2 x2 a b

2

2

2

3

+y =4. (1)求椭圆 M 的方程; (2)若直线 y= 2x+m 交椭圆于 A、B 两点,椭圆上一点 P(1, 2),求△PAB 面积的最大值.

2

一、选择题: CDAB ACBB BCBC 二、填空题: 13. 30 14. 55(8) 15. 2 3 16. 2 6

三、解答题: 17.(本小题满分 10 分) 解:p 为真:△=4 a -16<0 ? -2< a <2 q 为真:3-2 a >1 ? a <1 因为 p 或 q 为真,p 且 q 为假 ?p,q 一真一假
2

------------2 分 ------------4 分 ------------5 分 ------------7 分

当 p 真 q 假时, ?

?? 2 ? a ? 2 ?a ? 1

? 1≤ a ? 2 ? a ? ?2

?a ? 2或a ? ?2 当 p 假 q 真时, ? ?a ? 1

------------9 分

? a 的取值范围为 ?1,2? ? ?? ?,?2?
18.(本小题满分 12 分) 2 解析 依题意,设抛物线方程为 y =2px(p>0), 1 则直线方程为 y=-x+ p. 2 设直线交抛物线于 A(x1,y1)、B(x2,y2)两点, 过 A、B 分别作准线的垂线,垂足分别为 C、D, 则由抛物线定义得 |AB|=|AF|+|FB|=|AC|+|BD|=x1+ +x2+ , 2 2 即 x1+x2+p=8.① 又 A(x1,y1)、B(x2,y2)是抛物线和直线的交点, 1 ? ?y=-x+ p, 2 由? 2 ? ?y =2px,
2

------------10 分

p

p

消去 y,

得 x -3px+ =0,所以 x1+x2=3p. 4 将其代入①得 p=2,所以所求抛物线方程为 y =4x. -----------6 分 2 当抛物线方程设为 y =-2px(p>0)时,
4
2

p2

同理可求得抛物线方程为 y =-4x. 综上,所求抛物线方程为 y =4x 或 y =-4x. ------------12 分 19.(本小题满分 12 分) 解: (1)从袋子中随机取两个球, 其一切可能的结果组成的基本事件有 1 和 2,1 和 3,1 和 4,2 和 3,2 和 4,3 和 4,共 6 个. 从袋中随机取出的球的编号之和不大于 4 的事件共有 1 和 2,1 和 3 两个. 1 因此所求事件的概率为 .(6 分) 3 (2)先从袋中随机取一个球,记下编号为 m,放回后,在从袋中随机取一个球,记下编 号为 n,其中一切可能的结果(m,n)有:(1,1)(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3), (2,4),(3,1)(3, 2),(3,3)(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共 16 个. 所有满足条件 n≥m+2 的事件为(1,3)(1,4)(2,4),共 3 个, 3 所以满足条件 n≥m+2 的事件的概率为 P1= . 16 3 13 故满足条件 n<m+2 的事件的概率为 1-P1=1- = .(12 分) 16 16 20.(本小题满分 12 分) 频率 解:(1)因为各组的频率和等于 1,故第四组的频率: 组距 f4=1-(0.025+0.015*2+0.01+0.005)*10=0.03 分 直方图如右所示???????????.4 分 (2)依题意,60 及以上的分数所在的第三、四、五、六组, 0.025 频率和为(0.015+0.03+0.025+0.005)*10=0.75 所以,抽样学生成绩的合格率是 75% ?? 6 分 0.015 0.01 利用组中值估算抽样学生的平均分 0.005 45?f1+55?f2+65?f3+75?f4+85?f5+95?f6 80 40 50 60 70 90 =45?0.1+55?0.15+65?0.15+75?0.3 +85?0.25+95?0.05=71 估计这次考试的平均分是 71 分?????????8 分 (3)[70,80),[80,90) ,[90,100]的人数是 18,15,3。 所以从成绩是 70 分以上(包括 70 分)的学生中选两人,他们在同一分数段的概率。
2 2 C18 ? C15 ? C32 87 P? ? ????????12 分 2 C36 210
2 2

2

分数 100

21.(本小题满分 12 分) 证明: (I)∵ SD ? 底面 ABCD , SD ? 平面 SAD , ∴平面 SAD ? 平面 ABCD ???????????2 分
5

∵ AB ? AD ,∴ AB ? 平面 SAD ,又 DE ? 平面 SAD , ∴ DE ? AB , ????????????????4 分 ∵ SD ? AD , E 是 SA 的中点,∴ DE ? SA , ∵ AB ? SA ? A ,∴ DE ? 平面 SAB ,∵ DE ? 平面 BED , ∴平面 BED ? 平面 SAB . ???????????6 分 (II)由题意知 SD, AD, DC 两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系 D ? xyz ,不妨设

AD ? 2 .
则 D(0,0,0) , A(2,0,0) , B (2, 2, 0) , C (0, 2, 0) , S (0,0, 2) , E (1, 0,1) , ∴ DB ? (2, 2, 0) , DE ? (1, 0,1) , CB ? (2, 0, 0) , CS ? (0, ? 2, 2) ????????8 分 设 m ? ( x1 , y1 , z1 ) 是平面 BED 的法向量,则

??? ?

????

??? ?

??? ?

??

?? ??? ? ? ? ?2 x ? 2 y1 ? 0, ?m ? DB ? 0, 即? 1 令 x1 ? ?1 ,则 y1 ? 2, z1 ? 1 , ? ?? ???? ? ? ? x1 ? z1 ? 0, ?m ? DE ? 0, ?? ∴ m ? (?1, 2,1) 是平面 BED 的一个法向量.
设 n ? ( x2 , y2 , z2 ) 是平面 SBC 的法向量,则

?

? ??? ? ? ? ? 2 x2 ? 0, ?n ? CB ? 0, 即? 解得 x2 ? 0 ,令 y2 ? 2 ,则 z2 ? 1 , ? ? ? ??? ? 2 y ? 2 z ? 0, ? n ? CS ? 0, ? ? 2 2 ? ? n ? (0, 2,1) ∴ 是 平 面 个 S B 的C 一
量.





?? ? ?? ? m?n 3 3 ∵ cos m, n ? ?? ? ? , ? 2 m?n 2 3

???????????10 分

∴平面 BED 与平面 SBC 所成锐二面角的大小为 分

? . 6

??????????12

6

22.(本小题满分 12 分) (1)双曲线的离心率为 2,则椭圆的离心率为 e= = 2a=4 ? ?c 2 =4,得:? = a 2 ? ?b =a -c
2 2

c a

2 2 2 ,圆 x +y =4 的直径为 4,则 2a 2

2

?a=2 ? ?c= 2 ?b= 2,

所求椭圆 M 的方程为 + =1.?????4 4 2

y2 x2



? ?y= 2x+m (2)直线 AB 的直线方程: y= 2x+m.由?x2 y2 + =1 ? ?2 4
5分

, 得 4x +2 2mx+m -4=0, ???

2

2

由 Δ =(2 2m) -16(m -4)>0,得-2 2<m<2 2,????6 分 2 m -4 ∵x1+x2=- m,x1x2= .????7 分 2 4 ∴|AB|= 1+2|x1-x2|= 3? ? = 3? 1 2 m -m2+4= 3 2
2

2

2

x1+x2? m2

2

-4x1x2

4- ,????8 分 2

|m| 又 P 到 AB 的距离为 d= .?????9 分 3 则 S
△ ABC

1 1 = |AB|d = 2 2

3

4-

m2 |m|
2 3

1 = 2

m ? 4- ?
2

2

m2



1 2 2

m2? 8-m2? ?????10 分
≤ 1 2 2 ?

m2+? 8-m2?
2

= 2,?????11 分

当且仅当 m=±2∈(-2 2,2 2)取等号.???12 分 ∴(S△ABC)max= 2.

7


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