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奥赛静力学测试题附答案


54 级物理奥赛第一次测试
1.如图 1-6-3 所示,A、B 原为两个相同的均质实心球,半径为 R,重量为 G,A、
R 3R 35 和 G 4 的小球,均质杆重量为 64 ,长度 l ? 4 R ,试求系 B 球分别挖去半径为 2

统的重心位置。

A

a?

l

>C 图 1-6-3

B

b?

a

b

2. 如图所示,建造屋顶边缘时,用长度为 L 的长方形砖块,一块压着下面一块并伸出砖 长的 1/8,如果不用水泥粘紧,则最多可以堆几层同样的砖刚好不翻倒?这样的几层砖最多 可使屋檐“飞”出多长?

1

3.压延机由两轮构成,两轮直径各为 d=50 cm,轮间的间隙为 a=0.5 cm,两轮按反方向 转动,如图 2-15 上箭头所示.已知烧红的铁板与铸铁轮之间的摩擦系数μ =0.1.问能压延 的铁板 厚度 b 是多少?

4.如图所示,一长 L、质量均匀为 M 的链条套在一表面光滑,顶角为α 的圆锥上,当链条 在圆锥面上静止时,链条中的张力是多少?

2

5.如图所示,在墙角处有一根质量为 m 的均匀绳,一端悬于天花板上的 A 点,另一端悬 于竖直墙壁上的 B 点,平衡后最低点为 C,测得绳长 AC=2CB,且在 B 点附近的切线与竖 直成α 角,则绳在最低点 C 处的张力和在 A 处的张力各多大?

6.如图 1—15,两把相同的均匀梯子 AC 和 BC,由 C 端的铰链 连起来,组成人字 形梯子,下端 A 和 B 相距 6m,C 端离水平地面 4m,总重 200 N,一人重 600 N,由 B 端 上爬,若梯子与地面的静摩擦因数 μ =0.6,则人爬到何处梯子就要滑 动?

3

7. 一长为 L 的均匀薄板与一圆筒按图 1—14 所示放置,平衡时,板与地 面成θ 角, 圆筒与薄板相接触于板的中心. 板与圆筒的重量相同均为 G. 若 板和圆筒与墙壁之间无摩擦,求地面对板下端施加的支持力和静摩擦力.

8. 质量分别为 m 和 M 的两个小球用长度为 l 的轻质硬杆连接,并按图 1 一 11 所示 . 位置那样处于平衡状态.杆与棱边之间的摩擦因数为μ ,小球 m 与竖直墙壁之间的摩擦力 可以不计.为使图示的平衡状态不被破坏,参数 m、M、μ 、 l 、a 和 ? 应满足什么条件?
ht

4

54 级物理奥赛第一次测试答案
1.如图 1-6-3 所示,A、B 原为两个相同的均质实心球,半径为 R,重量为 G,A、
R 3R 35 和 G 4 的小球,均质杆重量为 64 ,长度 l ? 4 R ,试求系 B 球分别挖去半径为 2

统的重心位置。

A

a?

l
C 图 1-6-3

B

b?

a
解: 将挖去部份的重力, 用等值、

b

反向的力取代,图示系统可简化为图 1-1-31 所示平行力系;其中
G a? ? G 27 , Gb ? ? G 8 64 。设重心位置为 O,则合力 G 27 93 ? G? G 8 64 64

W ?G?G?

且?

M 0 (Gi ) ? 0



G (3R ? OC ) ?

27 R G R 35 G (OC ? 3R ? ) ? (3R ? ? OC ? G ? OC ? G (3R ? OC ) 64 4 8 2 64 ? OC=0.53R

2. 如图所示,建造屋顶边缘时,用长度为 L 的长方形砖块,一块压着下面一块并伸出砖 长的 1/8,如果不用水泥粘紧,则最多可以堆几层同样的砖刚好不翻倒?这样的几层砖最多 可使屋檐“飞”出多长?

5

3.压延机由两轮构成,两轮直径各为 d=50 cm,轮间的间隙为 a=0.5 cm,两轮按反方向 转动,如图 2-15 上箭头所示.已知烧红的铁板与铸铁轮之间的摩擦系数μ =0.1.问能压延 的铁板 厚度 b 是多少?

4.如图所示,一长 L、质量均匀为 M 的链条套在一表面光滑,顶角为α 的圆锥上,当链条 在圆锥面上静止时,链条中的张力是多少?

6

5.如图所示,在墙角处有一根质量为 m 的均匀绳,一端悬于天花板上的 A 点,另一端悬 于竖直墙壁上的 B 点,平衡后最低点为 C,测得绳长 AC=2CB,且在 B 点附近的切线与竖 直成α 角,则绳在最低点 C 处的张力和在 A 处的张力各多大?

6.如图 1—15,两把相同的均匀梯子 AC 和 BC,由 C 端的铰链 连起来,组成人字 形梯子,下端 A 和 B 相距 6m,C 端离水平地面 4m,总重 200 N,一人重 600 N,由 B 端 上爬,若梯子与地面的静摩擦因数 μ =0.6,则人爬到何处梯子就要滑动?

进行受力分析,如图所示,把人和梯子看成一个整体,整个系统处于平衡状态: AB=6m,CD=4m,∴AC=BC=5m 设人到铰链 C 的距离为 l 满足 ? F ? 0 ,

?M ? 0

所以 G ? GAC ? GBC ? FN1 ? FN 2

Ff 1 ? Ff 2
1 G ? l ? cos ? ? GBC ? BD ? ? ? FN 1 ? CD ? FN 1 ? BD 2

整理后: FN1 ? FN 2 ? 400N , l ? 2.5m
7. 一长为 L 的均匀薄板与一圆筒按图 1—14 所示放置,平衡时,板与地 面成θ 角,圆筒与薄板相接触于板的中心.板与圆筒的重量相同均为 G.若板和圆筒与墙 壁之间无摩擦,求地面对板下端施加的支持力和静摩擦力.

解:如图所示,圆筒所受三个力沿水平和竖直方向平衡的分量式为

FN1 ? FN sin ? ? 0 , FN cos? ? G ? 0
板所受五个力沿水平和竖直方向平衡的分量式为
7

? Ff ? FN sin ? ? FN 2 ? 0

? FN 3 ? G ? FN cos? ? 0

板所受各力对圆筒和板的交点为转动轴的力矩平衡方程为 L L L ? FN 2 sin ? ? Ff sin ? ? FN 3 cos ? ? 0 根据牛顿第三定律,有 FN ? FN 2 2 2 联立以上各式,可解得地面对板的支持力和静摩擦力分别为 1 (cot? - tan?) FN3=2G, Ff ? G 2 8. 质量分别为 m 和 M 的两个小球用长度为 l 的轻质硬杆连接,并按图 1 一 11 所示 .
ht

位置那样处于平衡状态.杆与棱边之间的摩擦因数为μ ,小球 m 与竖直墙壁之间的摩擦力 可以不计.为使图示的平衡状态不被破坏,参数 m、M、μ 、 l 、a 和 ? 应满足什么条件? :本题是一道典型的刚体定轴转动平衡问题,解题时对整体进行受力分析,但物体的平衡 不是共点力的平衡,处理时必须用正交分解法,同时还要考虑力矩的平衡,受力分析 如图,根据力的平衡条件可列出:

N cos ? ? Fm sin ? ? (M ? m) g N sin ? ? N1 ? Fm cos ?
根据力矩平衡条件可写出: ②



Mgl cos ? ?

Na cos ?



杆不滑动的条件为 Fm < Μ n。由①得

Fm ?

( M ? m ) g Nc o s ? ? ? ? N ,即 sin ?

(M ? m) g ? N (cos ? ? ? sin ? ) ④
用③除④得 (

m l ? 1) ? cos 2 ? (cos ? ? ? sin ? ) M a



杆不向右翻倒的条件为 N1>0。由①和②可得出 N1 ? Fm cos ? ? N sin ?

?

( M ? m) g ? N cos ? cos ? ? N sin ? ? 0 sin ?
⑥ ⑦

由此可得 (M ? m) g cos ? ? N 将③中的 N 代人⑥得 1 ?

由于 l cos ? ? a ,再考虑不等式⑦,可得

m l ? cos ? M a

1?

l m l c o? ? 1 s ? ? c2 o s ? a M a

( ? o ?? c s

?s i n ⑧ )

为了在不等式⑧中能同时满足最后两个不等号,就必须满足条件:

cos (cos ? ? ??

s?? in

)

1
,就不可能出现平衡.

由此可得平衡条件为: ? ? tan ? ,如果 ? ? tan ?

8


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