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函数的奇偶性试讲教案


1.3.2 函数的奇偶性
教材分析: 函数的奇偶性选自人教版高中新课程教材必修 1 第一章第三节 《函数的基本性质》 的内 容,本节安排为二课时, 《函数的奇偶性》为本节中的第二课时。 从在教材中的地位与作用来看, 函数是高中数学学习中的重点和难点, 函数的思想贯穿 整个高中数学。 而函数的奇偶性是函数的重要性质之一, 它与现实生活中的对称性密切联系, 为接下来学习指数

函数、对数函数和幂函数的性质奠定了坚实的基础。因此,本节课的内容 是十分重要的。 学情分析: 授课对象为 xxxx 中学高一(x)班的学生,从学生现有的学习能力来看,学生已具有一 定的分析问题和解决问题的能力, 能根据以前学习过的二次函数和反比例函数这两个特殊函 数的图象观察出图象对称的思想,使本节通过观察图象学习函数奇偶性的定义成为可能。 教学目标: 1、知识与技能目标: 通过本节课, 学生能理解函数奇偶性的概念及其几何意义, 掌握判别函数奇偶性的方法。 2、过程与方法目标: 通过实例观察、具体函数分析、图形结合、定性与定量的转换,让学生经历函数奇偶性 概念建立的全过程,体验数学概念学习的方法,积累数学学习的经验。 3、情感态度与价值观目标: 在经历概念形成的过程中,培养学生归纳、概括的能力,使学生养成善于观察、勇于探 索的良好习惯和严谨的科学态度。 教学重难点: 重点:函数奇偶性概念的形成和函数奇偶性的判断。 难点:理解函数奇偶性的概念,掌握判断函数奇偶性的方法。 教法分析: 为了实现本节课的教学目标, 在教法上, 我通过大自然中对称的例子和学生已掌握的对 称函数的图象来创设问题情境,启发学生自主思考,归纳共同点,从而调动学生主体参与的 积极性。 在形成概念的过程中, 紧扣概念中的关键语句, 通过学生的主体参与, 正确地形成概念, 在给出偶函数的定义之后,让学生类比得出奇函数的定义。 教学过程: 一、知识回顾 平面直角坐标系中的任意一点 P(a,b)关于 X轴、 Y轴及原点对称的点的坐标各是 什么? (1)点P( a, b)关于 x 轴的对称点的坐标为P(a,-b) .其坐标特征为:横坐标不 变,纵坐标变为相反数; (2)点P( a, b)关于 y 轴的对称点的坐标为P( - a, b) ,其坐标特征为:纵坐标 不变,横坐标变为相反数; (3)点P( a, b) 关于原点 对称点的坐标为P(-a,-b) ,其坐标特征为:横坐标变 为相反数,纵坐标也变为相反数. 二、新课教学

(一)偶函数 1. 老师和学生一起画出函数 f 讨论以下问题:

( x) ?

x

2



f ( x) ? x

,思考并

(1)这两个函数图像有什么共同特征? (2)相应的两个函数值对应表是如何体现这些特征的?

y

5 4 3 2 1

-4

-3

-2

-1

0 1 -1 -2 -3 -4

2

3

4

x

x
f ( x) ?

x

2

y

5 4 3 2 1

-4

-3

-2

-1

0 1 -1 -2 -3 -4

2

3

4

x

x
f ( x) ? x

可以看到两个函数的图像都关于 y 轴对称. 从函数值对应表可以看到, 当自变量 x 取一 对相反数时,相应的两个函数值相同. 对于函数 f ( x ) ?

x

2

,有 f (?3) ? 9 ? f (3), f (?2) ? 4 ? f (2), f (?1) ? 1 ? f (1), 事实

上, 对于 R 内任意的一个 x , 都有 f (? x) ?

(?x) ? x
2

2

? f ( x) .此时,称函数 f ( x ) ?

x

2

为偶函数. 学生通过观察表格,易发现这两个函数的自变量互为相反数时,函数值相等,从而引出 偶函数的定义: 如果对于 f (x) 定义域中任意一个 x,都有 f (? x) ? f ( x) ,那么 f (x) 就叫做偶函数。 重点标注定义中的关键词:任意一个、都有。 (二)奇函数 用同样的方法,让学生画出并观察函数 f ( x) ? x 和 f ( x) ?

1 的图象,让学生类比学习 x

偶函数的过程,得出结论,再让学生仿照偶函数的定义给出奇函数的定义。 奇函数:如果对于 f (x) 定义域内的任意一个 x ,都有 f (? x) ? ? f ( x) ,那么函数 f (x) 就叫奇函数. 奇函数的讲解过程: 1、作出函数 f ( x) ? x 和 f ( x) ?

y

1 的图像如下图。 x
3 2 1

f ( x) ? x

-3

-2

-1

0 -1 -2 -3

1

2

3

x

x
f ( x) ? x

y

3 2 1

1 f ( x) ? x
1 2 3

-3

-2

-1

0 -1 -2 -3

x

x
f ( x) ? 1 x
通过类比偶函数的学习过程,我们可以得到,当自变量x取一对相反数时,相应的函数 值 f(x)也是一对相反数,即对任一 x∈R 都有 f(-x)=-f(x) .此时,称函数 y=f(x) 为奇函数. 即奇函数:如果对于函数 f (x) 的定义域内任意一个 x ,都有 f (? x) ? ? f ( x) ,那么函 数 f (x) 就叫作奇函数. 思考:由于对于任意一个 x ,都有一个- x 与之对应,因此奇偶函数的定义域有什么特 征呢? 通过这个思考,引导学生发现对于定义域内的任一个 x , ? x 也在这个定义域中,从而 引导学生得出奇偶函数的定义域关于数原点对称。 (三)对奇函数、偶函数定义的说明 1.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。 2.奇、偶函数定义的逆命题也成立,即: 若 f (x) 为偶函数, 则 f (? x) ? f ( x) 成立。 若 f (x) 为奇函数, 则 f (? x) ? ? f ( x) 成立。 3.如果一个函数 f(x)是奇函数或偶函数,那么我们就说函数 f(x) 具有奇偶性。\ (四)判断函数的奇偶性 1.通过例题讲解判断函数奇偶性的方法:先求定义域,后化简,再判断 例 1: (1) f ( x ) ?

x

4



(2) f ( x) ? x ?

1 ; x

(3) f ( x) ? 0 ;

(4) f ( x) ? 5x ? 7, x ?[?1,2].

(1) f ( x ) ? 解:

x

4

由题意有函数f ( x) ? x 的定义域为R
4

因为f(x) x ?

4 4

所以f(- x) (? x) ? x ? 所以f (? x) ? f ( x)
4

4

所以函数f ( x) x 为偶函数 ?
(2) f ( x) ? x ? 解:

1 x

1 函数f ( x) ? x ? 的定义域为(- ?, ? 0, ?) 0)( ? x 1 因为f ( x) ? x ? x 1 1 1 所以f(- x) ? x ? ? ? ? x ? ? ?( x ? ) ?x x x 所以f (? x) ? ? f ( x) 1 所以函数f ( x) ? x ? 为奇函数 x
让学生按照前来那个例题的求解过程完成(3)和(4) 。 例 2. 已知: 定义在 R 上的函数 f (x) 是奇函数, x ? 0 时,f ( x) ? x(1 ? x) , f (x) 当 求 的表达式. 解:

由题意得 (1)当x ? 0时,f (?0) ? ? f (0)且f (?0) ? f (0) 则f (0) ? 0; (2)当x ? 0时,有 ? x ? 0, 则f (? x) ? ? x(1 ? x) 又知函数f ( x)为奇函数 所以f (? x) ? ? f ( x) 所以f ( x) ? x(1 ? x)

综上所述:f ( x) ?

例 3. 已知:函数 f (x) 是偶函数,且在 (??,0) 上是减函数,判断 f (x) 在 (0,??) 上 是增函数,还是减函数,并证明你的结论. 解: 先结合图像特征: 偶函数的图像关于 y 轴对称, 猜想 f (x) 在 (0,??) 上是增函数, 证明如下: 任取

x ?x
1

2

? 0 ,则 ? x1 ? ? x2 ? 0

∵ f (x) 在 (??,0) 上是减函数,∴ f (? 又 f (x) 是偶函数,∴ f (? 所以 f (

x ) ? f (? x )
1 2 2 2

x ) ? f ( x ), f (? x ) ? f ( x )
1 1

x ) ? f (x )
1 2

∴ f (x) 在 (0,??) 上是增函数. 思考:奇函数或偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性有何关系? 小结:根据函数的奇偶性,函数可以分为奇函数、偶函数、非奇非偶函数、既奇又偶 函数。 (五)奇偶函数图象的性质 1.偶函数图象关于 y 轴对称,反过来,若图像关于 y 轴对称,那么这个函数为偶函数。 2.奇函数图象关于原点对称,反过来,如图像关于原点对称,那么这个函数为奇函数。 (六)应用: 1)简化函数图象的画法 2)根据图象判断奇偶性 请学生完成课本 p36 根据函数奇偶性补全函数的图象。 三、课堂小结 1、奇函数和偶函数的概念 如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 f(-x)=-f(x) ,那么函数 f (x)就叫作奇函数. 如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 f(-x)=f(x) ,那么函数 f (x)就叫作偶函数. 2、判断函数奇偶性的一般步骤: ①首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称; ②确定 f (? x) 与 f (x) 的关系; ③作出相应结论: 若 f (? x) ? f ( x) 或 f (? x) ? f ( x) ? 0 ,则 f (x) 是偶函数; 若 f (? x) ? ? f ( x) 或 f (? x) ? f ( x) ? 0 ,则 f (x) 是偶函数; 3.函数的四种情况:奇函数,偶函数,既是奇函数又是偶函数,非奇非偶函数;

四、作业布置 完成数学课本上函数奇偶性的练习。

试讲人:赵全能 2012 年 12 月 xx 日


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