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高中数学竞赛讲义十一


高中数学竞赛讲义十一
──圆锥曲线

一、基础知识 1.椭圆的定义,第一定义:平面上到两个定点的距离之和等于定长(大于两个定点之 间的距离)的点的轨迹,即|PF1|+|PF2|=2a (2a>|F1F2|=2c). 第二定义: 平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数 e(0<e<1) 的点的轨迹(其中定点不在定直

线上),即

(0<e<1). 第三定义:在直角坐标平面内给定两圆 c1: x2+y2=a2, c2: x2+y2=b2, a, b∈R+且 a≠b。从原 点出发的射线交圆 c1 于 P,交圆 c2 于 Q,过 P 引 y 轴的平行线,过 Q 引 x 轴的平行线,两 条线的交点的轨迹即为椭圆。 2.椭圆的方程,如果以椭圆的中心为原点,焦点所在的直线为坐标轴建立坐标系,由 定义可求得它的标准方程,若焦点在 x 轴上,列标准方程为

(a>b>0),

参数方程为

( 为参数)。

若焦点在 y 轴上,列标准方程为

(a>b>0)。 3.椭圆中的相关概念,对于中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆

, a 称半长轴长,b 称半短轴长,c 称为半焦距,长轴端点、短轴端点、两个焦点的坐标 分别为(±a, 0), (0, ±b), (±c, 0);与左焦点对应的准线(即第二定义中的定直线)为

, 与右焦点对应的准线为

; 定义中的比 e 称为离心率, 且

, c2+b2=a2 由

知 0<e<1. 椭圆有两条对称轴,分别是长轴、短轴。

4.椭圆的焦半径公式:对于椭圆

1(a>b>0), F1(-c, 0), F2(c, 0)是它的两焦点。

若 P(x, y)是椭圆上的任意一点,则|PF1|=a+ex, |PF2|=a-ex. 5.几个常用结论:1)过椭圆上一点 P(x0, y0)的切线方程为



2)斜率为 k 的切线方程为 3)过焦点 F2(c, 0)倾斜角为θ 的弦的长为



。 6.双曲线的定义,第一定义: 满足||PF1|-|PF2||=2a(2a<2c=|F1F2|, a>0)的点 P 的轨迹; 第二定义:到定点的距离与到定直线距离之比为常数 e(>1)的点的轨迹。 7.双曲线的方程:中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线方程为



参数方程为



为参数)。

焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程为

。 8.双曲线的相关概念,中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线

(a, b>0), a 称半实轴长,b 称为半虚轴长,c 为半焦距,实轴的两个端点为(-a, 0), (a, 0). 左、右焦

点为 F1(-c,0), F2(c, 0),对应的左、右准线方程分别为

离心率

,由

a2+b2=c2 知 e>1。两条渐近线方程为

,双曲线



有相

同的渐近线,它们的四个焦点在同一个圆上。若 a=b,则称为等轴双曲线。

9.双曲线的常用结论,1)焦半径公式,对于双曲线

,F1(-c,0), F2(c, 0)

是它的两个焦点。设 P(x,y)是双曲线上的任一点,若 P 在右支上,则|PF1|=ex+a, |PF2|=ex-a; 若 P(x,y)在左支上,则|PF1|=-ex-a,|PF2|=-ex+a.

2) 过焦点的倾斜角为θ 的弦长是



10.抛物线:平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线, 点 F 叫焦点,直线 l 叫做抛物线的准线。若取经过焦点 F 且垂直于准线 l 的直线为 x 轴,x

轴与 l 相交于 K,以线段 KF 的垂直平分线为 y 轴,建立直角坐标系,设|KF|=p,则焦点 F

坐标为

,准线方程为

,标准方程为 y2=2px(p>0),离心率 e=1.

11.抛物线常用结论:若 P(x0, y0)为抛物线上任一点,

1)焦半径|PF|=



2)过点 P 的切线方程为 y0y=p(x+x0);

3)过焦点倾斜角为θ 的弦长为



12. 极坐标系, 在平面内取一个定点为极点记为 O, O 出发的射线为极轴记为 Ox 轴, 从 这样就建立了极坐标系,对于平面内任意一点 P,记|OP|=ρ ,∠xOP=θ ,则由(ρ ,θ )唯 一确定点 P 的位置,(ρ ,θ )称为极坐标。 13.圆锥曲线的统一定义:到定点的距离与到定直线的距离的比为常数 e 的点 P,若 0<e<1,则点 P 的轨迹为椭圆;若 e>1,则点 P 的轨迹为双曲线的一支;若 e=1,则点 P 的轨

迹为抛物线。这三种圆锥曲线统一的极坐标方程为 二、方法与例题 1.与定义有关的问题。



例 1 已知定点 A(2,1),F 是椭圆 3|PA|+5|PF|取最小值时,求点 P 的坐标。

的左焦点,点 P 为椭圆上的动点,当

[解] 见图 11-1,由题设 a=5, b=4, c=

=3,

.椭圆左准线的方程为

,又因为

,所以点 A 在椭圆内部,又点 F 坐标为(-3,0),过 P 作

PQ 垂直于左准线,垂足为 Q。由定义知

,则

|PF|=|PQ|。

所以 3|PA|+5|PF|=3(|PA|+

|PF|)=3(|PA|+|PQ|)?3|AM|(AM

左准线于 M)。

所以当且仅当 P 为 AM 与椭圆的交点时, 3|PA|+5|PF|取最小值, y=1 代入椭圆方程得 把

,又 x<0,所以点 P 坐标为

例 2 已知 P,

为双曲线 C:

右支上两点, F1K=∠KF1Q.

延长线交右准线于 K,

PF1 延长线交双曲线于 Q,(F1 为右焦点)。求证:∠

[证明] 记右准线为 l, PD 作

l 于 D,

于 E, 因为

//PD, 则



又由定义

,所以 =∠KF1Q。

,由三角形外角平分线

定理知,F1K 为∠PF1P 的外角平分线,所以∠

2.求轨迹问题。 例 3 已知一椭圆及焦点 F,点 A 为椭圆上一动点,求线段 FA 中点 P 的轨迹方程。 [解法一] 利用定义,以椭圆的中心为原点 O,焦点所在的直线为 x 轴,建立直角坐标

系,设椭圆方程:

=1(a>b>0).F 坐标为(-c, 0).设另一焦点为

。连结



OP,则

。所以|FP|+|PO|=

(|FA|+|A

|)=a.

所以点 P 的轨迹是以 F, 为两焦点的椭圆 O (因为 a>|FO|=c) 将此椭圆按向量 m=( ,

,0)

平移,得到中心在原点的椭圆:

。由平移公式知,所求椭圆的方程为

[解法二] 相关点法。设点 P(x,y), A(x1, y1),则

,即 x1=2x+c, y1=2y.

又因为点 A 在椭圆

上,所以

代入得关于点 P 的方程为

。它表示中心为

,焦点分别为 F 和 O 的椭圆。

例 4 长为 a, b 的线段 AB,CD 分别在 x 轴,y 轴上滑动,且 A,B,C,D 四点共圆, 求此动圆圆心 P 的轨迹。

[解] 设 P(x, y)为轨迹上任意一点, B, D 的坐标分别为 A(xA, C,

,0), B(x+

,0), C(0,

y-

), D(0, y+

), 记 O 为原点,由圆幂定理知 |OA|?|OB|=|OC|?|OD|,用坐标表示为

,即 当 a=b 时,轨迹为两条直线 y=x 与 y=-x; 当 a>b 时,轨迹为焦点在 x 轴上的两条等轴双曲线; 当 a<b 时,轨迹为焦点在 y 轴上的两条等轴双曲线。

例 5 在坐标平面内,∠AOB=

,AB 边在直线 l: x=3 上移动,求三角形 AOB 的外心

的轨迹方程。 [解] 设∠xOB=θ ,并且 B 在 A 的上方, 则点 A, 坐标分别为 B(3, 3tanθ ),A(3,3tan(θ B

-

)),设外心为 P(x,y),由中点公式知 OB 中点为 M



由外心性质知

再由



×tanθ =-1。结合上式有

?tanθ =





tanθ +

=





所以 tanθ -

=

两边平方,再将①,②代入得

。即为所求。 3.定值问题。

例 6 过双曲线

(a>0, b>0)的右焦点 F 作 B1B2

轴,交双曲线于 B1,B2

两点,B2 与左焦点 F1 连线交双曲线于 B 点,连结 B1B 交 x 轴于 H 点。求证:H 的横坐标为 定值。 [证明] 设点 B,H,F 的坐标分别为(asecα ,btanα ), (x0, 0), (c, 0),则 F1,B1,B2 的坐

标分别为(-c, 0), (c, 以

), (c,

),因为 F1,H 分别是直线 B2F,BB1 与 x 轴的交点,所



所以



由①得

代入上式得



(定值)。

注:本例也可借助梅涅劳斯定理证明,读者不妨一试。 2 例 7 设抛物线 y =2px(p>0)的焦点为 F,经过点 F 的直线交抛物线于 A,B 两点,点 C 在准线上,且 BC//x 轴。证明:直线 AC 经过定点。

[证明]



,则

,焦点为

,所以







。由于

,所以

?y2-

y1=0 , 即

=0 。 因 为

,所以 以

。所以

,即

。所

,即直线 AC 经过原点。

例 8 椭圆 为定值。

上有两点 A, 满足 OA B,

OB, 为原点, O 求证:

[证明]

设|OA|=r1,|OB|=r2,且∠xOA=θ ,∠xOB=

,则点 A,B 的坐标分别为

A(r1cosθ , r1sinθ ),B(-r2sinθ ,r2cosθ )。由 A,B 在椭圆上有







①+②得 4.最值问题。

(定值)。

例 9 设 A,B 是椭圆 x +3y =1 上的两个动点,且 OA 值与最小值。

2

2

OB(O 为原点),求|AB|的最大

[解] 由题设 a=1,b=

,记|OA|=r1,|OB|=r2,

,参考例 8 可得

=4。设

m=|AB| =

2

,

因为

,且 a >b ,所以

2

2



所以 b?r1?a,同理 b?r2?a.所以

。又函数 f(x)=x+



上单调递减,



上单调递增, 所以当 t=1 即|OA|=|OB|时, |AB|取最小值 1; 当



时, |AB|

取最大值



例 10 设一椭圆中心为原点, 长轴在 x 轴上, 离心率为 1 上点与这椭圆上点的最大距离为

, 若圆 C:

,试求这个椭圆的方程。

[解] 设 A,B 分别为圆 C 和椭圆上动点。由题设圆心 C 坐标为

,半径|CA|=1,

因为|AB|?|BC|+|CA|=|BC|+1,所以当且仅当 A,B,C 共线,且|BC|取最大值时,|AB|取最 大值 ,所以|BC|最大值为

因为

;所以可设椭圆半长轴、半焦距、半短轴长分别为 2t,

,t,椭圆方程



, 并设点 B 坐标为 B(2tcosθ ,tsinθ ), 则|BC| =(2tcosθ ) +

2

2

=3t sin θ -3tsinθ +

2

2

+4t =-3(tsinθ +

2

) +3+4t .

2

2



,则当 sinθ =-1 时,|BC| 取最大值 t +3t+

2

2

,与题设不符。

若 t>

,则当 sinθ =

时,|BC| 取最大值 3+4t ,由 3+4t =7 得 t=1.

2

2

2

所以椭圆方程为



5.直线与二次曲线。 2 例 11 若抛物线 y=ax -1 上存在关于直线 x+y=0 成轴对称的两点,试求 a 的取值范围。 2 [解] 抛物线 y=ax -1 的顶点为(0,-1),对称轴为 y 轴,存在关于直线 x+y=0 对称两点 的条件是存在一对点 P(x1,y1), (-y1,-x1),满足 y1=a 且-x1=a(-y1) -1,相减得
2

x1+y1=a(

),因为 P 不在直线 x+y=0 上,所以 x1+y1≠0,所以 1=a(x1-y1),即 x1=y1+

所以

此方程有不等实根,所以

,求得

,即为所求。

例 12 若直线 y=2x+b 与椭圆 最大时,求 b 的值。

相交,(1)求 b 的范围;(2)当截得弦长

[解] 二方程联立得 17x +16bx+4(b -1)=0.由Δ >0,得

2

2

<b<

;设两交点为

P(x1,y1),Q(x2,y2),由韦达定理得|PQ|=

。所以当 b=0

时,|PQ|最大。 三、基础训练题 1.A 为半径是 R 的定圆⊙O 上一定点,B 为⊙O 上任一点,点 P 是 A 关于 B 的对称点, 则点 P 的轨迹是________. 2 2.一动点到两相交直线的距离的平方和为定值 m (>0),则动点的轨迹是________.

3.椭圆 ________.

上有一点 P,它到左准线的距离是 10,它到右焦点的距离是

4.双曲线方程

,则 k 的取值范围是________.

5.椭圆 积是________.

,焦点为 F1,F2,椭圆上的点 P 满足∠F1PF2=60 ,则Δ F1PF2 的面

0

6.直线 l 被双曲线

所截的线段 MN 恰被点 A(3,-1)平分,则 l 的方程为

________. 2 7.Δ ABC 的三个顶点都在抛物线 y =32x 上,点 A(2,8),且Δ ABC 的重心与这条抛物 线的焦点重合,则直线 BC 的斜率为________. 8. 已知双曲线的两条渐近线方程为 3x-4y-2=0 和 3x+4y-10=0, 一条准线方程为 5y+4=0, 则双曲线方程为________. 2 9.已知曲线 y =ax,与其关于点(1,1)对称的曲线有两个不同的交点,如果过这两个 0 交点的直线的倾斜角为 45 ,那么 a=________.

10.P 为等轴双曲线 x -y =a 上一点,

2

2

2

的取值范围是________.

11.已知椭圆

与双曲线

有公共的焦点 F1,F2,设 P 是它们的

一个焦点,求∠F1PF2 和Δ PF1F2 的面积。 12.已知(i)半圆的直径 AB 长为 2r;(ii)半圆外的直线 l 与 BA 的延长线垂直,垂

足为 T,设|AT|=2a(2a<

);(iii)半圆上有相异两点 M,N,它们与直线 l 的距离|MP|,

|NQ|满足

求证:|AM|+|AN|=|AB|。

13.给定双曲线 求线段 P1P2 的中点的轨迹方程。 四、高考水平测试题

过点 A(2,1)的直线 l 与所给的双曲线交于点 P1 和 P2,

1.双曲线与椭圆 x +4y =64 共焦点,它的一条渐近线方程是

2

2

=0,则此双曲线的

标准方程是_________. 2.过抛物线焦点 F 的直线与抛物线相交于 A,B 两点,若 A,B 在抛物线准线上的射影 分别是 A1,B1,则∠A1FB1=_________.

3.双曲线

的一个焦点为 F1,顶点为 A1,A2,P 是双曲线上任一点,以|PF1|

为直径的圆与以|A1A2|为直径的圆的位置关系为_________.

4.椭圆的中心在原点,离心率

,一条准线方程为 x=11,椭圆上有一点 M 横坐标

为-1,M 到此准线异侧的焦点 F1 的距离为_________.

5.4a +b =1 是直线 y=2x+1 与椭圆

2

2

恰有一个公共点的_________条件.

6.若参数方程 条直线的方程是_________.

(t 为参数)表示的抛物线焦点总在一条定直线上,这

7.如果直线 y=kx+1 与焦点在 x 轴上的椭圆 _________.

总有公共点,则 m 的范围是

8. 过双曲线

的左焦点, 且被双曲线截得线段长为 6 的直线有_________条.

9.过坐标原点的直线 l 与椭圆

相交于 A,B 两点,若以 AB 为直径的

圆恰好通过椭圆的右焦点 F,则直线 l 的倾斜角为_________. 2 2 2 2 10.以椭圆 x +a y =a (a>1)的一个顶点 C(0,1)为直角顶点作此椭圆的内接等腰直角 三角形 ABC,这样的三角形最多可作_________个.

11.求椭圆

上任一点的两条焦半径夹角θ 的正弦的最大值。

12.设 F,O 分别为椭圆

的左焦点和中心,对于过点 F 的椭圆的任意弦 AB,

点 O 都在以 AB 为直径的圆内,求椭圆离心率 e 的取值范围。

13.已知双曲线 C1:

(a>0),抛物线 C2 的顶点在原点 O,C2 的焦点是 C1

的左焦点 F1。 (1)求证:C1,C2 总有两个不同的交点。 (2) 问: 是否存在过 C2 的焦点 F1 的弦 AB, 使Δ AOB 的面积有最大值或最小值?若存在, 求直线 AB 的方程与 SΔ AOB 的最值,若不存在,说明理由。 五、联赛一试水平训练题 2 2 2 1.在平面直角坐标系中,若方程 m(x +y +2y+1)=(x-2y+3) 表示的曲线为椭圆,则 m 的 取值范围是_________. 2.设 O 为抛物线的顶点,F 为焦点,且 PQ 为过 F 的弦,已知|OF|=a,|PQ|=b,Δ OPQ 面积为_________.

3. 给定椭圆

, 如果存在过左焦点 F 的直线交椭圆于 P, 两点, OP Q 且

OQ,

则离心率 e 的取值范围是_________.

4.设 F1,F2 分别是双曲线

(a>b>0)的左、右焦点,P 为双曲线上的动点,

过 F1 作∠F1PF2 平分线的垂线,垂足为 M,则 M 的轨迹为_________.

5. ABC 一边的两顶点坐标为 B Δ (0,
+

) C 和 (0,

) 另两边斜率的乘积为 ,



若点 T 坐标为(t,0)(t∈R ),则|AT|的最小值为_________. 2 6.长为 l(l<1)的线段 AB 的两端点在抛物线 y=x 上滑动,则线段 AB 的中点 M 到 x 轴的 最短距离等于_________. 2 2 7.已知抛物线 y =2px 及定点 A(a,b),B(-a,0),ab≠0,b ≠2pa,M 是抛物线上的点,设 直线 AM,BM 与抛物线的另一个交点分别为 M1,M2,当 M 变动时,直线 M1M2 恒过一个定点, 此定点坐标为_________.

8.已知点 P(1,2)既在椭圆
+

内部(含边界),又在圆 x +y =

2

2



部(含边界),若 a,b∈R ,则 a+b 的最小值为_________.

9.已知椭圆

的内接Δ ABC 的边 AB,AC 分别过左、右焦点 F1,F2,椭圆的

左、右顶点分别为 D,E,直线 DB 与直线 CE 交于点 P,当点 A 在椭圆上变动时,试求点 P 的轨迹。

10.设曲线 C1:

(a 为正常数)与 C2:y =2(x+m)在 x 轴上方有一个公共点

2

P。(1)求实数 m 的取值范围(用 a 表示);

(2)O 为原点,若 C1 与 x 轴的负半轴交于点 A,当 0<a<

时,试求Δ OAP 面积的最大

值(用 a 表示)。 11.已知直线 l 过原点,抛物线 C 的顶点在原点,焦点在 x 轴正半轴上,若点 A(-1, 0)和 B(0,8)关于 l 的对称点都在 C 上,求直线 l 和抛物线的方程。 六、联赛二试水平训练题 1.在四边形 ABCD 中,对角线 AC 平分∠BAD,在 CD 上取一点 E,BE 与 AC 相交于 F,延 长 DF 交 BC 于 G,求证:∠GAC=∠EAC。 2.求证:在坐标平面上不存在一条具有奇数个顶点,每段长都为 1 的闭折线,它的每 个顶点坐标都是有理数。 3.以 B0 和 B1 为焦点的椭圆与Δ AB0B1 的边 ABi 交于 Ci(i=0,1),在 AB0 的延长线上任取点 P0,以 B0 为圆心,B0P0 为半径作圆弧 交 C1B0 的延长线于 Q0;以 C1 为圆心,C1Q0 为半径

作圆弧 Q0P1 交 B1A 的延长线于 P1;B1 为圆心,B1P1 为半径作圆弧 P1Q1 交 B1C0 的延长线于 Q1;以 C0 为圆心,C0Q1 为半径作圆弧 Q1 ,交 AB0 的延长线于 。求证:(1)点 与点 P0 重合,

且圆弧 P0Q0 与 P0Q1 相内切于 P0;(2)P0,Q0,P1,Q1 共圆。 4.在坐标平面内,从原点出发以同一初速度 v0 和不同发射角(即发射方向与 x 轴正向

之间 的夹角)α (α ∈[0,π ],α ≠

)射出的质点,在重力的作用下运动轨迹是抛物线,

所有这些抛物线组成一个抛物线族, 若两条抛物线在同一个交点处的切线互相垂直, 则称这 个交点为正交点。证明:此抛物线族的所有正交点的集合是一段椭圆弧,并求此椭圆弧的方 程(确定变量取值范围)。 5.直角Δ ABC 斜边为 AB,内切圆切 BC,CA,AB 分别于 D,E,F 点,AD 交内切圆于 P 点。若 CP BP,求证:PD=AE+AP。 CD, A 为 BD 中点, Q 在 BC 上, 点 点 AC=CQ, 又在 BQ 上找一点 R, BR=2RQ, 使

6. 已知 BC

CQ 上找一点 S,使 QS=RQ,求证:∠ASB=2∠DRC。

高中数学竞赛讲义(十一)答案

基础训练题 1. 设 AO 交圆于另一点 圆。 所以 P 在以 为直径的圆上。 是 A 关于 的对称点。 则因为 AB ,

2 . 圆 或 椭 圆 。 设 给 定 直 线 为 y= ± kx(k>0),P(x,y) 为 轨 迹 上 任 一 点 , 则

。化简为 2k x +2y =m (1+k ). 当 k≠1 时,表示椭圆;当 k=1 时,表示圆。

2 2

2

2

2

3.12.由题设 a=10,b=6,c=8,从而 P 到左焦点距离为 10e=10× 的距离为 20-8=12。 4.-2<k<2 或 k<5.由(|k|-2)(5-k)<0 解得 k>5 或-2<k<2.

=8,所以 P 到右焦点

5.

设 两 条 焦 半 径 分 别 为 m,n , 则 因 为 |F1F2|=12,m+n=20. 由 余 弦 定 理 得

12 =m +n -2mncos60 ,即(m+n) -3mn=144.所以

2

2

2

0

2



6 . 3x+4y-5=0. 设 M(x1,y1),N(x2,y2) , 则

两式相减得

-(y1+y2)(y1-y2)=0.由

,得



故方程 y+1=

(x-3).

7.-4.设 B(x1,y1),C(x2,y2),则

=0,所以 y1+y2=-8,故直线 BC 的斜率为

8.

=1。由渐近线交点为双曲线中心,解方程组

得中心为(2,1),又准线为

,知其实轴平行于 y 轴,设其方程为

=1。其渐近线方程为

=0。所以 y-1=

(x-1).由题设

,将双曲线沿向

量 m=(-2,-1)平移后中心在原点,其标准方程为

=1。由平移公式

平移

后准线为

, 再结合

, 解得 a =9, =16, b 故双曲线为

2

2

=1。 2 2 9.2.曲线 y =ax 关于点(1,1)的对称曲线为(2-y) =a(2-x),



得 y -2y+2-a=0,故 y1+y2=2,从而

2

=

=1,所以 a=2.

10.(2,

]。设 P(x1,y1)及

,由|PF1|=ex1+a

,|PF2|=ex1-a,|PF1|+|PF2|=2ex1, 所以

,即

。因



所以

,所以

即 2<t?2

.
2

11.解: 由对称性, 不妨设点 P 在第一象限, 由题设|F1F2| =4 又根据椭圆与双曲线定义

=4c ,

2

解得|PF1|=a1+a2,|PF2|=a1-a2. 在Δ F1PF2 中,由余弦定理

从而

又 sin∠F1PF2=

所以 12.解:以直线 AB 为 x 轴,AT 的中垂线为 y 轴建立直角坐标系,则由定义知 M,N 两 2 2 2 2 2 2 点既在抛物线 y =4ax 上, 又在圆[x-(a+r)] +y =r 上, 两方程联立得 x +(2a-2r)x+2ra+a =0, 设点 M,N 坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则 x1+x2=2r-2a.又|AM|=|MP|=x1+a,|AN|=|NP|=x2+a. |AB|=2r,所以 |AM|+|AN|=x1+x2+2a=2r=|AB|. 得证。 13.解:若直线 l 垂直于 x 轴,因其过点 A(2,1),根据对称性,P1P2 的中点为(2,0)。 若 l 不垂直于 x 轴,设 l 的方程为 y-1=k(x-2),即 y=kx+1-2k. ① 将①代入双曲线方程消元 y 得 2 2 2 (2-k )x +2k(2k-1)x-(4k -4k+3)=0. ② 这里 且Δ =[2k(2k-1)] +4(2-k) (4k -4k+3)=8(3k -4k+3)>0,
2 2 2 2

设 x1,x2 是方程②的两根,由韦达定理

③ 由①,③得 y1+y2=kx1+(1-2k)+kx2+(1-2k)

=k(x1+x2)+2(1-2k)=



设 P1P2 的中点 P 坐标(x,y),由中点公式及③,④得

消去 k 得

点(2,0)满足此方程,故这就是点 P 的轨迹方程。 高考水平测试题

1.

由椭圆方程得焦点为

,设双曲线方程

,渐近线



由题设

,所以 a =3b ,又

2

2

,c2=a2+b2. 所以 b2=12, a2=36.

2. 900。 见图 1, 由定义得|FA|=|AA1|,|FB|=|BB1|,有∠1=∠BFB1, ∠2=∠AFA1, 又∠1=∠3, 0 ∠2=∠4,所以∠3+∠4=∠BFB1+∠AFA1=90 。

3.相切,若 P(x,y)在左支上,设 F1 为左焦点,F2 为右焦点,M 为 PF1 中点,则|MO|=

|PF2|=

(a-ex),又|PF1|=-a-ex,所以两圆半径之和

(-a-ex)+a=

(a-ex)=|MO|,所以两

圆外切。当 P(x,y)在右支上时,同理得两圆内切。

4.

与 F1 对应的另一条准线为 x=-11,因|MF1|与 M 到直线 x=-11 距离 d1 之比为 e,

且 d1=|xm+11|=10.所以

,所以|MF1|=
2 2 2 2 2 2

5.充要。将 y=2x+1 代入椭圆方程得(b +4a )x +4a x+a (1-b )=0. ① 2 2 2 2 2 2 2 2 若Δ =(4a ) -4(b +4a )a (1-b )=0,则直线与椭圆仅有一个公共点,即 b +4a =1;反之, 2 2 4a +b =1,直线与椭圆有一个公共点。

6.y=2(x-1)。消去参数得(y-2m) =4(x-m),焦点为

2

它在直线 y=2(x-1)上。

7.1?m<5。直线过定点(0,1),所以 0

?1.又因为焦点在 x 轴上,所以 5>m,所以 1

?m<5。 8.3.双曲线实轴长为 6,通径为 4,故线段端点在异支上一条,在同支上有二条,一 共有三条。

9.
2 2



。设直线 l: y=kx 与椭圆交于 A(x1,y1),B(x2,y2),把 y=kx 代入椭圆方程得

(1+3k )x -6x+3=0,由韦达定理得



② 因 F(1,0),AF BF,所以(x1-1)(x2-1)+y1y2=0,即

x1x2-(x1+x2)+1+k2x1x2=0.



把①,②代入③得

,所以倾斜角为



10.3.首先这样的三角形一定存在,不妨设 A,B 分别位于 y 轴左、右两侧,设 CA 斜 2 2 2 2 率为 k(k>0),CA 的直线方程为 y=kx+1,代入椭圆方程为(a k +1)x +2a kx=0,得 x=0 或

,于是

,|CA|=

由题设,同理可得|CB|= (k-1)[k -(a -1)k+1]=0, 2 2 解得 k=1 或 k -(a -1)k+1]=0。① 对于①,当 1<a< 时,①无解;当
2 2

,利用|CA|=|CB|可得

时,k=1;当 a>

时,①有两个不等实根,

故最多有 3 个。 11.解 设焦点为 F1,F2,椭圆上任一点为 P(x0,y0),∠F1PF2=θ ,根据余弦定理得 2 2 2 |F1F2| =|PF1| +|PF2| -2|PF1|?|PF2|cosθ , 2 2 又|PF1|+|PF2|=2a,则 4c =(2a) -2|PF1|?|PF2|(1+cosθ ),再将|PF1|=a+ex0,|PF2|=a-ex0 及 a =b +c 代入得 4b =2(a -e
2 2 2 2 2 2

)(1+cosθ ).

于是有

由0

, 得

, 所以

。 因θ ∈[0, ], π

所以 cosθ 为减函数,故 0

当 2b >a 即

2

2

时,

,arccos

,sinθ 为

增 函 数 , sin θ 取 最 大 值

; 当 2b ? a 时 ,

2

2

arccos

,θ ∈[0,π ],则 sinθ 最大值为 1。

12.解 设 A(x1,y1),B(x2,y2),若 AB 斜率不为 0,设为 k,直线 AB 方程为 y=k(x+c), 代入椭圆方程并化简得 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (b +a k )x +2a k cx+a (k c -b )=0. ① 则 x1,x2 为方程①的两根,由韦达定理得





因为 y1y2=k (x1+c)(x2+c),再由②,③得

2

所以
2

=x1x2+y1y2=
2 2 4 2 2

,O 点在以 AB 为直径的圆内,等价
2 2 2 2 2

<0, k (a c -b )-a b <0 对任意 k∈R 成立, 即 等价于 a c -b ?0,即 ac-b ?0,即 e +e-1

?0.所以 0<e?

若斜率不存在,问题等价于 13.解 (1)由双曲线方程得 准线的距离 ,抛物线 ① 把①代入 C1 方程得



,综上 ,所以 F1( ,0),抛物线焦点到

② Δ =64a >0,所以方程②必有两个不同实根,设为 x1,x2,由韦达定理得 x1x2=-a <0,所以 ②必有一个负根设为 x1,把 x1 代入①得 y = 所以 C1,C2 总有两个不同交点。
2 2 2

,所以

(因为 x1≠0) ,

(2)设过 F1( ,0)的直线 AB 为 my=(x+ a),由 得 y +4 2 2 2 2 may-12a =0 , 因 为 Δ =48m a +48a >0 , 设 y1,y2 分 别 为 A , B 的 纵 坐 标 , 则

2

y1+y2= a?

,y1y2=-12a .所以(y1-y2) =48a (m +1).所以 SΔ AOB=

2

2

2

2

|y1-y2|?|OF1|=

a?

,当且仅当 m=0 时,SΔ AOB 的面积取最小值;当 m→+∞时, 使Δ AOB 面积有最小值 6a .
2

SΔ AOB→+∞,无最大值。所以存在过 F 的直线 x=

联赛一试水平训练题

1. m>5.由已知得

, 说明(x,y)到定点 (0,-1) 与到定直线 x-2y+3=0

的距离比为常数

,由椭圆定义

<1,所以 m>5.

2.

因 为 b=|PQ|=|PF|+|QF|=

, 所 以

。所以 SΔ OPQ=

absinθ =

.

3.

。设点 P 坐标为(r1cosθ ,r1sinθ ),点 Q 坐标为(-r2sinθ ,r2cosθ ),因

为 P, 在椭圆上, Q 可得

, RtΔ OPQ 斜边上的高为

?|OF|=c. 所以 a b ?c (a +b ),解得

2 2

2

2

2

?e<1.

4.以 O 为圆心,a 为半径的圆。延长 F1M 交 PF2 延长线于 N,则 |F2N|=|PN|-|PF2|=|PF1|-|PF2|=2a,所以|OM|=a.

F2N,而

5.t∈(0,1]时|AT|min=

,t>1 时|AT|min=|t-2|.由题设 kAB?kAC=-

,设 A(x,y),则

(x ≠ 0) , 整 理 得

=1(x ≠ 0) , 所 以

|AT| =(x-t) +y =(x-t) + x=2t,|AT|取最小值

2

2

2

2

(x-2t) +2-t . 因 为 |x| ? 2,所 以 当 t ∈ (0,1] 时 取 。当 t>1 时,取 x=2,|AT|取最小值|t-2|.

2

2

6.

设点 M(x0,y0) ,直线 AB 倾斜角为θ ,并设 A(x0-

),

B(x0+

),因为 A,B 在抛物线上,所以



② 由①,②得 2x0cosθ =sinθ . ③

所以

因为 l <1,所以函数 f(x)=

2

.在(0,1]在递减,

所以

。当 cosθ =1 即 l 平行于 x 轴时,距离取最小值

7.



, 由 A , M , M1 共 线 得

y1=

,同理 B,M,M2 共线得

,设(x,y)是直线 M1M2 上的点,则

y1y2=y(y1+y2)-2px,将以上三式中消去 y1,y2 得 2 y0 (2px-by)+y0?2pb(a-x)+2pa(by-2pa)=0.

当 x=a,y=

时上式恒成立,即定点为

8.

。由题设

且 a +2b ?15,解得 5?b ?6.

2

2

2

所以 a+b?

(t=b -4∈[1,2]),而

2

,又 t?2 可得上式成立。 9. 解 设 A(2cosθ , ), B(2cosα , sinα ),C(2cosβ , sinβ ), 这里α ≠β ,

则过 A,B 的直线为 lAB: 点 F1(-1,0),代入有 (sinθ -sinα )?(1+2cosθ )=2

,由于直线 AB 过 sinθ (cosθ -cosα ),即 2sin(α -

θ )=sinθ -sinα =2

?

,故





?





lBD:

?(x+2)=

, 同 理 得

。lCE:

(x-2)=

?(x-2).

两直线方程联立, P 点坐标为 得

, 消去

得点 P(x,y)

在椭圆

上(除去点(-2,0),(2,0)).

10.解 (1) 由

消去 y 得 x +2a x+2a m-a =0,①设 f(x)=x +2a x+2a m-a ,

2

2

2

2

2

2

2

2

问题(1)转化为方程①在 x∈(-a,a)上有唯一解或等根。只需讨论以下三种情况:

1 .Δ =0,得

0

,此时 xp=-a ,当且仅当-a<-a <a 即 0<a<1 时适合;2 。
0 2

2

2

0

f(a)?f(-a)<0,当且仅当-a<m<a 时适合;3 。f(-a)=0 得 m=a,此时 xp=a-2a ,当且仅当 2 2 2 -a<a-2a <a 即 0<a<1 时适合。令 f(a)=0 得 m=-a,此时 xp=-a-2a .由于-a-2a <-a,从而 m≠

-a.综上当 0<a<1 时,

或-a<m?a;当 a?1 时,-a<m<a.

(2)Δ OAP 的面积

因为 0<a<

,故当-a<m?a 时, 0<-a +

2

,

由唯一性得 xp=-a +.当 m=a 时,xp 取最小值。由于 xp>0,从而

2

时取值最大,

此时

,故

;当

时,xp=-a ,yp=

2

,此时

以下比较



的大小。令





,故当 0<a?

时,

,此时

;当

时,有

,此时

11. 设 A, 关于 l 的对称点分别为 A1(x2,y2),B1(x1,y1), AA1 中点 解: B 则 在 l 上, 所以 又l y2=k(x2-1) ① AA1,所以

② 由①,②得

同理,由 BB1 中点
2

在 l 上,且 l

BB1,解得
2

设抛物线方程为 y =2px,将 A1,B1 坐标代入并消去 p 得 k -k-1=0.

所以

,由题设 k>0,所以

,从而

所以直线 l 的方程为

,抛物线 C 的方程为

联赛二试水平训练题 1 . 以 A 为 原 点 , 直 线 AC 为 x 轴 , 建 立 直 角 坐 标 系 , 设 C(c,0),F(f,0),D(xD,kxD),B(xB,-kxB),则直线 DF 的方程为



直线 BC 的方程为 c×①-f×②得



(c-f)x+



③表示一条直线,它过原点,也过 DF 与 BC 的交点 G,因而③就是直线 AG 的方程。 同理 ,直线 AE 的方程为

(c-f)x+



③,④的斜率互为相反数,所以∠GAC=∠EAC。 2.证明 假设这样的闭折线存在,不妨设坐标原点是其中一个顶点,记它为 A0,其他

顶点坐标为:

, …,

, 其中

都是既约分数, 并记 An+1=A0.

若 p 与 q 奇偶性相同,则记 p≡q,否则记 p≠q,下面用数学归纳法证明。 bk≡1,dk≡1(k=1,2,…,n),ak+ck≠ak-1+ck-1(k=1,2,…,n,n+1)。

当 k=1 时,由

,得

,因为 a1,b1 互质,所以 d1 被

b1 整除,反之亦然(即 b1 被 d1 整除)。 因此 b1=±d1,从而 不可能都是偶数(否则 b1 也是偶数,与互

质矛盾);不可能都是奇数,因为两个奇数的平方和模 8 余 2 不是 4 的倍数,也不可能是完 全平方数,因此,a1≠c1,b1≡d1≡1,并且 a1+c1≠0=a0+c0.

设结论对 k=1,2,…,m-1?n 都成立,令

这里

是既约分数,因为每一段的长为 1,所以

=1,与 k=1 情况类似:

a≡c,d≡b≡1,又因为

,分数

既约,所以 bm 是 bbm-1 的

一个因子,bm≡1. 同理可知 dm≡1,又 am≡abm-1+bam-1(同理 cm≡cdm-1+dcm-1). 因此(am+cm-am-1-cm-1)≡(abm-1+bam-1+cdm-1+dcm-1-am-1-cm-1)≡am-1(b-1)+abm-1+cm-1(d-1)+cdm-1≡ a+c≡1. 所以 am+cm≠am-1+cm-1,结论成立,于是在顶点数 n+1 为奇数时,an+1+cn+1≠a0+c0,故折线 不可能是闭的。 3.证明 (1)由已知 B0P0=B0Q0,并由圆弧 P0Q0 和 Q0P0,Q0P1 和 P1Q1,P1Q1 和 Q1P1 分别相 内切于点 Q0,P1,Q1,得 C1B0+B0Q0=C1P1,B1C1+C1P1=B1C0+C0Q1 以及 C0Q1=C0B0+ 利用 B1C1+C1B0=B1C0+C0B0,以及 。在 B0P0 或其延长线上,有 B0P0=B0 ,四式相加, 与

,从而可知点

点 P0 重合。由于圆弧 Q1P0 的圆心 C0,圆弧 P0Q0 的圆心 B0 以及 P0 在同一直线上,所以圆弧 Q1P0 和 P0Q0 相内切于点 P0。 (2)现分别过点 P0 和 P1 引上述相应相切圆弧的公切线 P0T 和 P1T 交于点 T。又过点 Q1 引相应相切圆弧的公切线 R1S1,分别交 P0T 和 P1T 于点 R1 和 S1,连接 P0Q1 和 P1Q1,得 等腰Δ P0Q1R1 和Δ P1Q1S1,由此得∠P0Q1P1=π -∠P0Q1P1-∠P1Q1S1=π -(∠P1P0T-∠Q1P0P)-(∠

P0P1T-∠Q1P1P0),而π -∠P0Q1P1=∠Q1P0P1+∠Q1P1P0,代入上式后,即得∠P0Q1P1=π ∠P1C1Q0).

(∠P0B0Q0+

同理得∠P0Q0P1=π -

(∠P0B0Q0+∠P1C1Q0),所以 P0,Q0,Q1,P1 共圆。
2

4.证明 引理:抛物线 y=ax +bx+c(a≠0)在(x0,y0)处的切线斜率是 2ax0+b. 引理的证明:设(x0,y0)处的切线方程为 y-y0=k(x-x0),代入抛物线方程得 ax2+(b-k)x+c+kx0-y0=0. ① 又 故①可化简成 (x-x0)[a(x+x0)+b-k]=0, ② 因为②只有一个实根,所以 k=2ax0+b.引理得证。

设 P(x0,y0) 为 任 一 正 交 点 , 则 它 是 由 线 y=x?tan

?x 与

2

y=x?tan

?x 的交点,则两条切线的斜率分别为(由引理)

2

又由题设 k1k2=-1,所以



又 因 为 P(x0,y0) 在 两 条 抛 物 线 上 , 所 以

代入③式得

(※)

又因为 tanα 1,tanα 2 是方程

?t -t+

2

=0 的两根,所以

tanα 1+tanα 2=



tanα 1?tanα 2= 把④,⑤代入(※)式得

。 ⑤

,即 5.证明 以 C 为原点,CB 所在直线为 x 轴,建立直角坐标系,设∠ADC=θ ,|PD|=r. 各点坐标分别为 D(x1,0),E(0,x1),A(0,x1tanθ ),B(x0,0),P(x1-rcosθ ,rsinθ ).

则 lAB 方程为 x1? =

,即 x1x+x0?cotθ ?y-x1x0=0,因为 lAB 与圆相切,可得 x0x1?cotθ -x1x0|,约去 x1,再两边平方得 , 所 以

?x1. ① 又因为点 P 在圆上,所以(rcos ) +(x1-rsin ) =
2 2

,化简得 r=2x1sin . ②

要证 DP=AP+AE cos . ③ 又因为 因为

2DP=AD+AE

2r=

+x1tan -x1

1+sin -cos =4sin

,所以 =(x1-x0-rcosθ ,rsinθ ),
2

=(x1-rcosθ ,rsinθ ), ④

所以 (x1-rcosθ )(x1-rcosθ -x0)+r sin2θ =0. 把②代入④化简得



由①得 x0=x1?

代入⑤并约去 x1,化简得 4sin 2 -3sin2 =0,因为 sin2 ≠0,所以 sin2 =

2

,又因为

sin =

=cos ,所以 sin -cos >0.

所以 sin -cos = 以 DP=AP+AE。

,所以 1+sin -cos =

=4sin cos ,即③成立。所

6.证明 设 BC=d,CD=b,BD=c,则 AC=CQ=

,取 BC 中点 M,则 AM

BC,以

M 为原点,直线 BC 为 x 轴建立直角坐标系,则各点坐标分别为









,因为

,所以点

,所以

因 为 0< ∠ DRC<

, 0< ∠ ASQ< π , 所 以 只 需 证 tan ∠ ASQ=tan2 ∠ DRC, 即

,化简得 9d -9c -9b =0 即 d =b +c ,显然成立。所以命题得证。

2

2

2

2

2

2


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